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はてなキーワード: 幾何学とは
和田秀樹らによるいわゆる「暗記数学」の要点をまとめると、以下のようになるだろう。
これは従来、数学の入試問題を解くのに必要なのはひらめきや才能だと思われていたことへのアンチテーゼである。特別な才能がなくとも、基礎事項を確実に習得することで、入試を通過できる程度の数学力は身に付くことを主張している。
そもそも、大学入試は大学で研究をする上で重要な知識や考え方の理解度を問うているわけであって、徒な難問を出して受験生を試しているわけではない。したがって、そのような重要事項（つまり、教科書の基礎事項や、数学を活用する上で頻繁に出てくるような考え方）を身に付けるのが正攻法である。
そのための教材としては、エレガントな別解や難問に拘ったものよりも、基礎事項や入試頻出の問題を網羅したスタンダードなものが良いとされる。
これはいわゆる解法暗記である。なぜ、具体的な実例を学ぶのかと言えば。数学に限らず、具体的な経験と関連付けられていない知識は理解できないためである。
実際、教科書を読んだばかりの人の多くは、自身の知識と入試問題との間にギャップを感じる。たとえば、ベクトルの内積の定義や線形性等の性質を知っただけでは、それを幾何学の問題に応用するのは難しいだろう。教科書を読んだばかりの段階というのは、将棋で喩えれば駒の動かし方を覚えただけのようなもので、実戦で勝つのは難しい。実戦で勝つには、定跡や手筋のような、ルールだけからは直ちに明らかではない、駒の活用法を身に着ける必要がある。
将棋の定跡を初心者が独自に発見するのが難しいのと同様に、数学の自明でない実例を見出すことも難しい。そのほとんどは歴代の数学者が生涯をかけて究明してきたものなのだから、当然である。しかし、現代の高校生には既に教科書や入試問題がある。特に入試問題は、数学の専門家が選りすぐった、良質な実例の宝庫である。受験生はこれを通じて数学概念の活用のされ方や、論理の展開等を深く理解するべきである。
そしてこれは、大学以降で数学や工学を学ぶ際も同様である。特に、大学以降の数学では、抽象的な概念が中心になるため、ほとんどの大学教員は、具体的な実例を通じて理解しているかを非常に重んじる。たとえば、セミナーや大学院入試等では、以下のような質問が頻繁になされる。
教科書の記述や、解いた問題は完全に理解すべきである。つまり、
といったことを徹底的に自問するべきである。自分の理解が絶対に正しいと確信し、それに関して何を聞かれても答えられる状態にならなければいけない。「微分で極値が求まる理屈は分からない（或いは、分からないという自覚さえない）が、極値問題だからとりあえず微分してみる」というような勉強は良くない。
そして、理解できたと思ったら、教科書の一節や問題の解答を何も見ずに再現してみる。これはもちろん、一字一句を暗記するということではなく、上に書いたような知識が有機的な繋がりを持って理解できているのかを確認することである。ある事実が、どのような性質を前提としていて、どのように示されるのかという数学のストーリーを理解していれば、何も見ずともスラスラ書けるはずだ。
また、問題を解く際は、いきなり答えを見るのではなく、一通り自分で解答を試みてから解答を見ることが好ましい。実際に手を動かすことにより、分かっている部分とそうでない部分が明確になるからである。
以上のことは、何も受験数学に限った話ではない。他の科目でも、社会に出て自分で調べたり考えたりしたことを他人に発表するときでも同様である。
要するに、数学の専門知識と社会的常識のある人は暗記数学に賛成しているようだ。
逆に、反対している人。
反対しているのは、金儲けが目的で目立つことを言っているか、何かをこじらせて勉強法に無駄な拘りを持っている人たちのようだ。
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思うに、アンチ暗記数学派というのは、精神の根底に以下のような考えを持っているのではないのだろうか？
一部の人は、大学入試では「ひらめき」や「発想力」を試すために敢えて典型的ではない問題を出しているとか、「天才」を発掘するために常人には解けないような難問を出題していると思っているのかも知れない。しかし、先にも述べたように、大学入試は、大学に入って研究するための基礎学力を測っており、入試問題は、そこで問われている知識や考え方が重要だから出題されるわけである。したがって、そういう重要な知識や考え方を十分に身に着けていれば受かる。ただそれだけの話である。そして、良識ある教育者は、数学で重要なところが分かっているから、それに基づいて教材や予想問題を作っている。
また、「数学自体は重要ではなく、数学を通じて思考力を鍛えることが重要」とか「受験勉強は社会に出て嫌な仕事を我慢するための訓練」等と思っている人もいるかも知れない。特に前者は、自称数学好きにもいるようだ。しかし、深く考えるまでもなく、大学受験に数学が課せられるのは、大学で研究するために（少なくとも、教員が望む水準で）絶対に必要だからである。また、数学をそれほど使わない学部にも課せられるのは、多くの大学には転部等の制度があり、文学部から経済学部とか、農学部から工学部に転部するような事例は珍しくないからである。
上記2つに共通するのは、「理解」よりも「ひらめき」等のオカルティックなものを重視することである。これは、上に述べた胡散臭い教育業者や、受験生に絡んでる学歴コンプが暗記数学に反対する理由と符合する。金儲けがしたい受験業者にとって、「基礎を確実に理解することが重要」などと言うよりも「入試本番に典型問題は出ないから、ひらめきが大事」などと言った方が、客は集まりやすいだろう。また、SNS等で受験生や教員などに絡んでる奴にしても、数学の本質が理解できず霊感的なものに価値を見出しておかしな勉強理論にかぶれてしまったと考えれば納得がいく。
専門分野の歴史は勉強するにしても、それが生み出された思想や社会情勢、幾何学的分析、技術的背景までは思い至らない。教えられる教官も極めて限られる。
西洋スタイルのデザインの場合、西洋哲学をベースに緻密に理論づけられているものがほとんどだ。
それを踏襲することができなければ、下請けのアレンジメントの仕事しかできない。いわゆる搾取される側だ。
日本で西洋スタイルのデザインを真に極めるのは一部の天才を除いて無理なのではないか。
絵が上手いからではなくて勉強ができる人がデザイナーを志望してほしいとすら思う。
日本に伝わる伝統工芸は古臭い徒弟制度で若い人からは忌避されているが、経験と習熟に根差した合理性を持っており、日本人にはなじみやすいと思う。
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今まで3年間、色んなことをやってきた。
競技プログラミングをやった。
水色まで行った。
数学をやった。
ソフトウェア開発をやった。
今までの累計GPAは3.9/4.0だ。
他にも色々やったと思う。
でも、気づいてしまったんだ。
全部「他人の後を追っていただけなんだ」って。
競技プログラミングをやった。
数学をやった。
ソフトウェア開発をやった。
どうやらみんなやっているらしいから。
レールが敷いてあったから。
結局、「自分で頑張った」と思っていたもの全て「他人の後追い」だったんだって、気づいてしまった。
大学に入ってから「自分で頑張った」と思っていたが、そんなことは無かった。
こんな自分を変えたい、が変えられるんだろうか。
そんな不安で一杯だ。
以前もこんなことがあった。
同じように言語化して心は落ち着いた。
でも、中身は変わってないんだ。
こうして書いている今も、「書けば改善する」という妄信によってその場しのぎの解決をしている。
根本の解決をしなければならないのに、それができそうにないと思っている自分がここにいる。
私はどうしたらいいのか。
教えてほしい。
と、こんな言葉を書いている目的は何だろうと考えると、問題の解決を望んでいるのではなく「共感してほしい」だけなのかもしれない。
「共感してもらうこと」が目的だから、言葉にすることで表面上の解決は出来るが、根本の解決には至らないというと辻褄が合いそうだ。
そして、他人の共感が欲しくなったらまた疑似鬱になるのだろう。
「共感してほしい」という、いわゆる「かまってちゃん」から抜け出す方法を教えてほしい。
長々と書いたので、少し心が楽になった気がする。
とりあえず寝よう。
Day,5
5日目
最高の街※ただし金持ちに限る
窓のない部屋で目覚めたシンガポールの朝。
今日の予定といえばまた長距離バスに乗ってクアラルンプールに向かうぐらいで、ここシンガポールですることなどほとんどないのだが、手元にあるのが30シンガポールドルあまりではお土産も買えない。
ホテルを出てカフェを物色しながら朝のシンガポールの街を歩く。
喜園咖啡店。
カウンターのショウケースに並ぶオカズと、叔母さんがボウルで混ぜ混ぜしている麺をチョイスして盛り合わせるスタイルのようだ。
これとアイスコーヒー。
併せて3シンガポールドル、240円足らず。
入国してからというもの、物価にギョッとしていたので、この価格はたすかった。
漢字で書くと福建麺。
シンガポールでも有効なGRABでタクシーをピックアップする。
何気なく料金を見てみると、請求料金のアラビア数字自体はマレーシアと大体同じ。
でも、1シンガポールドルは約3リンギット、つまりお値段は3倍だ。
チャンギ国際空港に到着すると、幾何学的な建築の中に存在する溢れるほどの樹木に圧倒される。
チェックインはキノコのように地面から生える自動チェックイン機。
地下のフードコートでは、QRコードで注文サイトにアクセスしてオーダーする。
その全てが単なる成金趣味を超えたスマートさ、洗練されたデザインだ。
旅行趣味の同僚や友人に聞くと皆「シンガポールは綺麗で発展している」という。
確かにそうだけど、実際に見てみると、もはややりすぎ感すら感じる。
フードコートで頼んだポークライスとスープのセットは25シンガポールドル、約2,000円。
ここでは何をするにも金がかかってしょうがない。
ホテルに戻って荷物をピックアップし、マレーシア、クアラルンプール行きのバスが出るスタービスタモールに向かう。
既にチケットの予約と支払いは済んでいるので、スムーズにチケットを受け取ることができた。
しばらくピックアップポイントで待っていると、定刻より15分遅れた15:00、マレーシア・スバンジャヤ行きのバスが到着し、自分も含めた乗客が搭乗すると、スムーズに発進した。
バスが出発すると、やがて雨が降ってきた。
シンガポールは入国も雨、出国も雨、いずれも車内で迎え、濡れることはなかった。
シンガポールは隅から隅まで清潔で、スマートで、食事も美味しく、英語も通じ、バスの遅れも受付のお姉さんがアナウンスしてれるほどで、自己の信念という極めて個人的な内心の問題以外は不安なことは何もなかった。
今まで、初めての海外旅行はどこがいいかということを聞かれたら、韓国か台湾と答えようと思っていたが、安全性や確実性、清潔さ、スマートさならシンガポールだ。
初めての海外旅行はきっと素晴らしいものになるだろう、あなたにお金がたくさんあれば。
シンガポール、マレーシア間の出入国処理も終え、バスに揺られる事6時間、個人的に立てていたスケジュールを大幅にオーバーして、バスはスバンジャヤ駅に到着した。
ちょっと不安だった鉄道、LRTだが、コイン式の切符の購入もわかりやすく、車内も綺麗だった。
何より複雑な乗り換えがないのがいい。
LRTはKLセントラルに到着、GRABでタクシーが捕まらなかったので、チケット制のタクシーでホテルに向かう。
マセマの数学系の本を読んだことがある。東大の工学部の院試を受けてみて受かったことがある。
生物系の研究でも数学っぽい概念が絶対確立されてそうな雰囲気なものが多いので、数学を理解したいなーと思っていた。
２カ月くらい前に受験を決意。
＜実際の結果＞
カナリ過去問から出ると思った。逆に言えば、過去問で解答を作成できるかどうかが勝負。
基礎科目（大学１，２年レベル）と専門（代数、幾何、解析、その他の数学科特有の分野）に分かれるが。
基礎科目すら危うかった。専門は全く勝負にならなかった。
＜基礎科目のお勉強＞
基礎科目の方は、割とマセマと『演習大学院入試』で何とかなると感じた。もちろん、過去問の答えを全て作成できることが前提だけど。
追加で、『イプシロンデルタ完全攻略』、『線形代数３０講』（固有値と固有空間問題対策）でやったくらい。
時間があれば、もっと実際に手を動かして計算練習などすれば、点数は満点近くまで伸びると感じた。
一方で、集合論や幾何学を捨てていたので、京都大学の受験ではかなりビハインドを引いてしまったし、東大でも逃げ科目を作れなかったのが少し痛かった。
１００時間ほどで過去問まで対策できた。初学の分野が少なかった（複素関数、εδ、微分方程式の級数解放、線形代数の空間論が初学）ので、割となんとかなった。
＜専門のお勉強＞
代数学は『代数学１，２（雪江）』、『群・環・体 入門』、『代数学演習』、『大学院への代数学演習』と「物理のかぎしっぽ」で対策したのだが。
１００時間も勉強時間を取れなかったので、ガロア拡大の計算と、イデアルの簡単な奴しか抑えられなかった。しかも、本番で出てきたのは、明らかに知らない概念だった。もちろん、問題分の意味は何とか理解できたが、恐らくは『アティマク』や『ハーツホーン』や整数論系の概念を知らないと厳しい問題だった。
過去問を見てもできないなーと思っていたが、試験場で他の人たちが、洋書やハーツホーンや零点定理やシェバレーと言った、全く知らない概念を話していたので、勉強する分野を完全にミスったと思った。
ネットでググっても、雪江代数で受かってるっぽい感じだったから、雪江代数だけで行けると思ったけど、勘違いだったみたい。
無念。
＜感想＞
結果的にはゼンゼン駄目だったけど、数学科の人たちの雰囲気や、レベルを肌で理解できてよかった。
時間が更にあるなら、
あと、代数学もアティマクとハーツホーンと整数論は押さえたいなあと思った。
上野さんが東大には女性が少ないって祝辞で言っていたらしい。らしい...というのはツイッターのつぶやきからなんで原文を読んでないが。少ないだから差別だ云々って論理が展開するんだろうそんなのは面倒だなというので読んでません。
私は小学校の子どもたちに工作を教えていたりする。小学校１年生～３年生までである。男女比っで言えば女の子が６割で男の子が４割ぐらい。
（と書いていくうちにふと女性６割だから男性が少ないから差別があるんじゃって「少ないから差別」論理の人からはそう見えるんだろうなと。いやいや面倒ですよね。友達で男子3人女性2人のグループがいたとすればそれも差別ってなるんでしょうね。それは言いたいこととは違うので置いておいて）
最初、この仕事をしていて工作するという能力に男女差はないだろうと考えていたのだが、数年間仕事この仕事をしてきて「いやいや男女差はあるな....」と思うことがたくさんあった。たとえば、折り紙の工作の話をしよう。一般の方としては手先の器用さが必要だからこれは女性向きって思う人が多いように感じる。しかし、折り紙は折り紙を折って構造を作っていく。幾何学的な要素がありとても理数的な能力が必要である。実際、これを教えていて飲み込みが早くてどんどん進むことができるのが男の子である。他にも、貯金箱をつくるってときにも、立体的な感覚が必要となりこれも男の子が速かったりする。（もちろん女子でも優秀な子はいたのだが、全体的に女子より男子の方が多い気がする。）どのぐらい覚えが違うかっていえば、女子が３時間かかるものが男の子だと１～２時間ぐらいで終わるのである。
工作によっては女子優位ってのももちろんあった。例えば、色塗りとかお絵かきとかである。これも先ほどの事例とまったく逆の話になるので、詳しくは語らない。なにが言いたいかといえば、私の経験からすれば男女の能力の差はあって当然だと思えるのだ。もちろんこれは私の経験であって、統計とかではない。しかしながら、実感としては男女差はあるように感じる。
小学校１-３年生、という発達段階でいえばまだ低い学年ですごく能力の差を実感するのである。だから、そもそも男性と女性に能力に差はある。潜在能力的に女性は能力を隠しているとか、抑圧されて能力が発揮できないとかそういうことなしに、能力の差は男女で違うのである。男女の能力の差は全く同じだと信じて疑わない方々がいらっしゃるが、私は事実として男女の差はあるといえる。
これはどこかで聞いた与太話なんだが、「男性と女性の脳の違いはあるけど、(おまえらが考えるようなものでは)ない」と誰かが言ってたな。
まずそもそも違いが生まれる要因が環境にあるのか遺伝子にあるのかもわからないこと、また「全体としての傾向」から「個体差」を演繹的に導くことは不可能、が前提。その上で、データを調べればどんなところにも何かしらの違いを見出すことはできる。それはもちろん男性/女性の間にも言える。まあ、血液型だってそうなんだから、要するに世間で蔓延る「男性脳/女性脳」ってのは血液型占いと同レベルなんだけど。
前置き終わり。
そういうわけで、ある程度統計的に正しいだろうと言われているのが、「空間把握能力は男性が優位。言語認知能力は女性が優位」というもの。で、よくある誤解が「論理的思考は男性が得意だから、数学は男性が得意」というもの。これは何が嘘かと言うと、そもそも「論理的思考」とは何かという定義がそれほど明確ではない。もしもそれを「言葉で説明する能力」とするなら、言語認知能力が優位とされる女性の方が得意でも不思議ではない。ではなぜそうならないかと言うと、数学は幾何学と密接に結びついて発展した学問だから。数学は高い空間把握能力が要求するんだと。確かに数学って、難しい問題=難しい図形の問題ってイメージあるよね。でも、それだけが「数学」なのかな？とも思う。現代数学はむしろ、コンピュータとか数理論理学とか、必ずしも幾何学的直感を要求されない分野が大きな存在感を発揮してるよね。もちろん極度に抽象化された数学の世界に幾何も論理も区別はないから、「どちらも得意」な人が一番必要なんだけど。
大学でも、俺の周りにも数学科の女性って少ないながらいるんだけど、みんな基礎論とか代数とか行っちゃうんだよね。トポロジーもいるけど、やっぱりやってるのは代数的トポロジー。解析はあんまりいないかな。抽象的なことをやりたがる女性が多い印象ある。
結局何が言いたいかと言うと、例えば初等教育の中にもそういう言語的なセンスを要求される数学を取り入れる時代が来たら、男性/女性の得意/不得意って容易に入れ替わる可能性もなきにしもあらず、じゃないかな？ということ。
日本人数学者が彼の分野で最も重要な問題のうちの一つを解いたと主張している。困ったことに、彼が正しいのかどうか殆ど誰も分からないことだ。
2015年10月8日 Davide Castelvecchi
2012年8月30日の或る時、望月新一は静かに彼のウエブサイトに4つの論文をポストした。
論文は膨大(総計して500ページを超える)で密に記号が詰められており、10年以上の孤独な研究の絶頂だった。それらの論文はまた学界の突発的事件となる可能性を持っていた。論文の中で望月はabc予想を解いたと主張した。abc予想は数論において他の誰も解決に近づかなかった27年目の問題だった。彼の証明が正しければ、今世紀で数学の最も驚異な業績となるであろうし、整数を持つ方程式の研究を完全に変革するであろう。
しかし、望月は自身の証明について騒ぎ立てなかった。その有名な数学者は日本の京都大学数理解析研究所(RIMS)で研究に従事しているが、自身の研究を世界のどの仲間にも知らせなかった。彼はただ論文をポストして、世界が見つけるのを待っているのに過ぎなかった。
おそらく論文群を最初に注目したのはRIMSで望月の同僚である玉川安騎男だった。他の研究者達と同様に彼は望月が何年間その予想について研究していて、とうとう研究を終えたことを知った。同じ日に玉川は彼の共同研究者の一人である英国ノッティンガム大学の数論学者イヴァン・フェセンコにそのニューズを電子メールで送った。フェセンコはすぐに論文群をダウンロードし読み始めた。しかし、彼はすぐに"当惑した。それらを理解することは不可能だった"と言う。
フェセンコは数論幾何学という望月の分野の何人かのトップエキスパートに電子メールした。証明の知らせは急速に拡がった。数日内に、熱のこもったおしゃべりが数学ブログやオンラインフォーラムで始まった(Nature http://doi.org/725; 2012を見よ)。だが、多くの研究者達にとって証明に関する早期の意気揚々が急速に懐疑へと変わった。すべての人々(専門分野が望月のものと最も近い人々さえも)はフェセンコと全く同じように論文群に面食らった。証明を仕上げるため望月は彼の分野でも新しい分科をこしらえたが、純粋数学の水準においてさえも驚くほど抽象的なものである。"それを見れば、未来からの、または宇宙からの論文を読んでいるのかも知れぬとちょっと思える"とウィスコンシン大学マディソン校の数論学者ジョーダン・エレンバーグは論文出現の数日後にブログで書いた。
3年間ずっと望月の証明は数学的に未決定のままである。つまり、広くコミュニティによる誤りの指摘も無く、そして認められてもいない。望月は彼の研究を理解出来るために数学の大学院生が約10年かかるだろうと見積り、フェセンコは数論幾何学のエキスパートですら約500時間かかるだろうと考えている。今のところ、証明全体を読めたと言っている数学者は4人しかいない。
これすき。
