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はてなキーワード: 幾何学とは
無限圏は、数学の中でも難しい概念の一つだ。簡単に言えば、たくさんの点と、その点をつなぐ矢印が無限に続いている図のようなものだと考えるとよい。普通の図形とは違って、点や矢印の数に制限がない。これは、数学者たちが複雑な関係や構造を理解するために考え出した道具だ。例えば、数直線上のすべての点を考えるときや、無限に続く数列を扱うときに役立つ概念だ。中学生の皆さんにとっては難しく感じるかもしれないが、数学の世界には日常生活では想像もつかないような不思議な概念がたくさんあることを知っておくと良いだろう。
無限圏は圏論という数学の分野で扱われる概念である。通常の圏が有限個の対象と射で構成されるのに対し、無限圏では無限個の対象や射を考慮する。これにより、より複雑で抽象的な数学的構造を扱うことが可能となる。無限圏の具体例としては、集合の圏や位相空間の圏などが挙げられる。これらの圏では、対象の数が無限であり、それらの間の射も無限に存在する。無限圏の理論は、代数的位相幾何学や表現論、函数解析学などの分野で重要な役割を果たしている。例えば、無限次元ベクトル空間やヒルベルト空間の研究において、無限圏の概念が活用されている。大学生の段階では、これらの応用例を学びながら、無限圏の基本的な性質や構造について理解を深めていくことが重要である。
無限圏は高次圏論の重要な研究対象の一つである。特に、∞-圏や準圏（quasicategory）といった概念が中心的な役割を果たす。これらの概念は、ホモトピー理論や導来圏論などの現代数学の基礎となっている。無限圏を扱う際には、モデル圏やシンプリシャル集合、Kan複体などの概念が重要となる。例えば、準圏はシンプリシャル集合の特殊な場合として定義され、高次圏の直観的なモデルを提供する。また、無限圏の理論は、代数的K理論や位相的周期理論、高次スタック理論などの先端的な研究分野と密接に関連している。大学院生は、これらの概念間の関係性を理解し、具体的な問題に応用する能力を養うことが求められる。さらに、Jacob Lurie の「Higher Topos Theory」や「Higher Algebra」などの文献を読み込み、無限圏の深い理論的背景を学ぶことも重要である。
無限圏の研究は、現代の圏論的手法の最前線に位置している。Lurie の高次圏論や Joyal の準圏理論は、この分野の基礎を形成している。これらの理論を基に、導来代数幾何学や高次スタック理論、圏論的量子場理論などの先端的な分野が発展している。無限圏の応用は、数学の様々な分野に及んでおり、例えば位相的量子場の理論や圏論的量子力学など、数学と物理学の境界領域にまで及んでいる。専門家は、これらの理論を深く理解し、新たな応用や一般化を探求することが求められる。具体的には、∞-トポスの理論や高次圏の余極限の研究、導来幾何学における無限圏の役割の解明などが重要な研究テーマとなっている。また、無限圏の理論を用いて、古典的な数学の問題を再解釈し、新たな洞察を得ることも重要な課題である。
無限圏の究極の理解には、Grothendieck の宇宙理論や高次余極限の内部言語、(∞,n)-圏の完全な分類理論などの深遠な概念が必要不可欠である。これらの概念を自在に操ることで、Goodwillie 微分や導来Azumaya 代数、高次モナド理論などの超越的な数学的構造を解明することが可能となる。無限圏の真の美しさは、圏論的コボルディズム仮説や高次Baez-Dolan 安定性予想などの未解決問題に挑戦する中で見出される。さらに、無限圏の理論は、量子群や非可換幾何学、位相的場の理論などの高度に抽象的な分野との深い関連性を持つ。数学廃人は、これらの概念や理論を完全に理解し、自在に操るだけでなく、新たな理論や予想を生み出すことが求められる。例えば、無限圏の理論を用いて、リーマン予想や P≠NP 問題などの数学の未解決問題に新たなアプローチを提案することも可能かもしれない。無限圏の研究は、純粋数学の最深部に位置し、その探求は数学の本質的な構造と美しさを明らかにする道筋となるのである。
Topological quantum field theory (TQFT)は、場の量子論の幾何学的概念を統一的かつ抽象的に捉える強力な枠組みである。以下に、TQFTの主要な側面を数式を用いて説明する。
1. 各向き付け可能な閉d次元多様体Σに対して、有限生成Λ加群Z(Σ)が対応する。
2. 向き付け可能なd次元ボルディズムM: Σ₀ → Σ₁に対して、Λ準同型Z(M): Z(Σ₀) → Z(Σ₁)が対応する。
3. 恒等射id: Σ → Σに対して、Z(id) = idZ(Σ)となる。
4. ボルディズムの合成M₁ ∘ M₂に対して、Z(M₁ ∘ M₂) = Z(M₁) ∘ Z(M₂)が成り立つ。
5. 空集合∅に対して、Z(∅) = Λとなる。
6. 非連結和Σ₁ ⊔ Σ₂に対して、Z(Σ₁ ⊔ Σ₂) ≅ Z(Σ₁) ⊗ Z(Σ₂)が成り立つ。
TQFTは以下の特徴を持つ:
δS = 0
ここで、δは対称性変換を表す。
δ² = 0
δOᵢ = 0
4. エネルギー運動量テンソルTμνが対称性変換の形で表される:
Tμν = δGμν
TQFTの量子化は、以下の幾何学的構造と密接に関連している:
ω = dθ
H = Γ(L)
ここで、Lは(M, ω)上のプレクァンタム線束で、Hは量子ヒルベルト空間である。
H^q(G/B, Lλ) ≅ Vλ (q = 0の場合)
H^q(G/B, Lλ) ≅ 0 (それ以外の場合)
ここで、G/Bはフラグ多様体、Lλは等質線束、Vλは最高ウェイトλの既約表現である。
3次元TQFTは、以下の不変量と関連している:
1. Jones多項式:
V_L(t) = Σₙ aₙ tⁿ
2. Reshetikhin-Turaev不変量:
Z_RT(M) = Σλ S₀λ Zλ(M)
ここで、Mは3次元多様体、λはラベル、S₀λはモジュラーS行列の要素、ZλはWRT不変量である。
3. Turaev-Viro不変量:
Z_TV(M) = Σ_triangulations Π_tetrahedra |6j|²
拡張TQFTは、より高次の圏論的構造を取り入れ、以下のように定式化される:
Z: Bord_n → nCat
みなさん、宇宙がどのようにできているか考えたことはありますか？実は、私たちが見ているすべてのものは、とても小さな粒子からできています。でも、その粒子もさらに小さなものからできているとしたらどうでしょう？
科学者たちは、「超ひも理論」という考え方を持っています。この理論では、すべての基本的な粒子は、とても小さな「ひも」のようなものだと考えます。このひもはとても小さくて、直接見ることはできませんが、さまざまな振動をしています。その振動の仕方によって、電子や光子など、いろいろな粒子になるのです。
さらに、「M理論」というものがあります。これは、いくつかの超ひも理論を一つにまとめた大きな理論です。M理論では、私たちが感じている3次元（縦・横・高さ）だけでなく、見えない次元がもっとたくさんあると考えます。この理論では、ひもだけでなく「膜（まく）」と呼ばれる二次元やそれ以上の広がりを持つものも重要な役割を果たします。これらの考え方を使って、宇宙の始まりやブラックホールなどの謎を解明しようとしています。
超弦理論は、基本粒子を一次元の「ひも」として記述し、量子力学と相対性理論を統一しようとする理論です。ひもの異なる振動モードが様々な粒子種に対応し、相互作用を統一的に説明します。超対称性を導入することで、フェルミオンとボソンの対称性を確立し、理論の無矛盾性を維持しています。
M理論は、5つの異なる超弦理論（タイプI、タイプIIA、タイプIIB、ヘテロSO(32)、ヘテロE8×E8）を11次元の統一的な枠組みでまとめるものです。この理論では、一次元のひもだけでなく、二次元や五次元の膜状のオブジェクト（ブレーン）が重要な役割を果たします。高次元時空やデュアリティ対称性が理論の中核となり、ブラックホールの性質や宇宙の始まりに関する理解が深まっています。特に、AdS/CFT対応と呼ばれるホログラフィー原理を通じて、重力理論とゲージ理論の関係性が新たな視点で捉えられています。
超弦理論は、一次元の紐状オブジェクトを基本構成要素とし、超対称性を持つ10次元時空における理論です。この理論は、量子力学と一般相対性理論を統一的に扱い、ゲージ相互作用と重力を包含します。ひもの振動モードが各種素粒子に対応し、異なるコンパクト化手法により4次元の有効理論を導出できます。カラビ-ヤウ多様体へのコンパクト化は、\( \mathcal{N}=1 \) 超対称性を持つ標準模型の構築に重要です。
M理論は、これら5つの超弦理論と11次元超重力理論を非摂動的に統合する枠組みです。M2ブレーンとM5ブレーンが基本的な力学的役割を果たし、そのワールドボリューム上の場の理論、特に6次元 \( (2,0) \) 超共形場理論の研究が進められています。デュアリティ対称性（Sデュアリティ、Tデュアリティ、Uデュアリティ）を通じて、異なる理論間の相関が明らかにされ、高次元時空における物理の統一的理解が深化しています。
さらに、AdS/CFT対応を利用して、M理論の背景空間である \( \text{AdS}_4 \times S^7 \) や \( \text{AdS}_7 \times S^4 \) における超重力理論と境界のスーパー共形場理論との対応関係が探究されています。これにより、ブラックホールエントロピーの微視的起源や、ゲージ理論の非摂動的性質の理解が進み、量子重力理論の完成に向けた重要な手がかりが得られています。
M理論は、11次元時空における非摂動的な量子重力理論であり、5つの異なる超弦理論（タイプI、タイプIIA、タイプIIB、ヘテロ SO(32)、ヘテロ \( E_8 \times E_8 \)）および11次元超重力理論をその異なる極限として包含します。M理論において、M2ブレーン（膜）とM5ブレーン（5次元膜）が基本的なダイナミクスを支配し、その相互作用が理論の核心を成しています。
デュアリティ対称性、特にUデュアリティ（SデュアリティとTデュアリティの統合）を介して、異なる超弦理論間の対応関係が明示され、モジュライ空間の構造やスペクトラムの一致が示されています。例えば、タイプIIA超弦理論の強結合極限がM理論の11次元への拡張に対応し、タイプIIB理論の \( SL(2,\mathbb{Z}) \) 対称性が自己双対性を示すことが知られています。
さらに、AdS/CFT対応を通じて、M理論の背景時空である \( \text{AdS}_4 \times S^7 \) や \( \text{AdS}_7 \times S^4 \) における11次元超重力と対応する境界の3次元または6次元のスーパー共形場理論との双対性が研究されています。これにより、高次元における重力理論と低次元のゲージ理論の非摂動的な関係性が明らかになり、ブラックホールの微視的エントロピー計算や量子場理論の強結合ダイナミクスの解析が可能となっています。
M理論のコンパクト化では、\( G_2 \) ホロノミー多様体や \( \text{Spin}(7) \) ホロノミー多様体を用いて、4次元における \( \mathcal{N}=1 \) 超対称性を持つ有効理論の構築が試みられています。フラックスコンパクト化やモジュライ安定化の問題も深く研究されており、宇宙論的定数問題やインフレーションモデルへの応用が期待されています。さらに、F理論との関連性により、12次元時空を仮定した新たなコンパクト化シナリオや、タイプIIB理論の強結合現象の幾何学的理解が進められています。
M理論は、非摂動的定式化が未だ完全には確立されていない11次元の量子重力統一理論であり、従来の5つの超弦理論と11次元超重力理論をその相図上の異なる極限として包括します。理論の基盤には、M2ブレーンとM5ブレーンの非摂動的ダイナミクスが存在し、特に6次元 \( (2,0) \) 超共形場理論の定式化は未解決の問題として残っています。
最新の研究では、ABJM理論を介した3次元 \( \mathcal{N}=6 \) スーパー共形場理論とM理論の \( \text{AdS}_4/\text{CFT}_3 \) 対応が深く探究されています。さらに、M5ブレーン上の \( (2,0) \) 理論の非局所的な性質やテンソル多様体のモジュライ空間、自己双対テンソル場の量子化問題が重要な課題となっています。
行列模型に関しては、BFSS行列模型やIKKT行列模型の大 \( N \) 極限における連続性の問題や、非可換ゲージ理論との対応、ホログラフィック双対性を用いたブラックホール熱力学の微視的解析が進展しています。また、非摂動的効果としてのモノポール、インスタントン、ソリトン解、Dブレーンの境界状態の高次元への一般化も活発に研究されています。
\( G_2 \) ホロノミー多様体のコンパクト化では、フラックスによるモジュライ安定化やゲージ群の破れ、さらにはM理論ランドスケープにおける統計的手法を用いた真空解の分類が行われています。これに関連して、スーパーパートナーの質量スペクトルや、暗黒物質候補としてのグラビティーノやアクシオンの役割も検討されています。
F理論との関連性では、エンハンストゲージ対称性の幾何学的実現や、12次元時空におけるコンパクト化スキームが提案されています。特に、楕円ファイブレーションを持つカラビ-ヤウ4次元多様体でのコンパクト化により、異常消去条件やゲージ結合定数の統一が議論されています。
ブラックホール物理では、極端に高いチャージやスピンを持つブラックホールのエントロピー計算が、微視的状態数の計算と一致することが示され、アフィン・リー代数やモック・モジュラー形式を用いた解析が進められています。情報パラドックスの解決策として、ファイアウォール仮説や \( \text{ER}=\text{EPR} \) の提案があり、量子エンタングルメントと時空構造の深い関係性が示唆されています。
宇宙論的には、M理論を基にしたブレーンワールドモデルやエキピロティック宇宙論、さらにはサイクリック宇宙論が提案され、ビッグバンの起源や宇宙の周期的な振る舞いを説明しようとしています。これらのモデルでは、時空の始まりや終わり、特異点の回避、さらには量子重力効果によるインフレーションのメカニズムが重要な研究課題となっています。
数学的側面では、非可換幾何学、圏論的手法、ホモトピー型理論、トポロジカル量子場理論などの高度な数学的枠組みがM理論の理解に寄与しています。モチーフ理論やランズバーグ-ウォッテン方程式、量子コホモロジー、ミラー対称性などが、物理的現象の背後にある深遠な数学的構造を解明する鍵となっています。
さらには、弦理論の非摂動的効果としての \( D_{-1} \) ブレーンや非ペルチューバティブな \( R \)–行列、\( \tau \)-関数を用いた可積分系との関連性も指摘されています。これらは、量子カオス、ランダム行列理論、統計力学的手法を通じて、弦理論と他の物理学分野との統一的理解を促進しています。
1. K理論とは何か？
3. 具体的な数式と例
4. 結論
K理論は代数的位相幾何学や代数幾何学における強力な道具であり、空間上のベクトル束の同型類を分類するための理論である。特に、位相的K理論はコンパクト位相空間上の複素ベクトル束の差を考慮し、その情報をKグループと呼ばれるアーベル群にまとめる。
位相空間 X 上の複素ベクトル束全体を考え、その同型類を Vect(X) とする。K理論では、これらのベクトル束の形式的な差を取ることで、グループ構造を持つ集合を構成する。具体的には、Kグループ K(X) は次のように定義される：
K(X) = Vect(X) × Vect(X) / ∼
ここで、同値関係 ∼ は、ベクトル束の直和と差を考慮したものである。
超弦理論では、Dブレーンは開弦の終端が存在できる超膜であり、ラモン-ラモン（RR）場のソースとして機能する。従来、RRチャージはコホモロジー理論を用いて分類されてきたが、背景空間にトーラスのような非自明な位相構造がある場合、コホモロジーでは全てのチャージを正確に捉えられないことが判明した。
これに対して、K理論を用いると、Dブレーンのチャージをより精密に分類できる。具体的には、Dブレーンのチャージは空間 X 上のKグループの元として表現される：
Dブレーンのチャージ ∈ K(X)
これにより、背景場や位相的効果を考慮したチャージの非自明な構造を捉えることが可能となる。
コンパクト位相空間 X に対する複素Kグループ K(X) は、ベクトル束の同型類の差を形式的に考えることで定義される。
まず、複素ベクトル束の同型類全体からなるモノイド Vect(X) を考える。このモノイドからグループを構成するために、Grothendieck群を取る：
K(X) = G(Vect(X)) = Vect(X) × Vect(X) / ∼
(E₁, F₁) ∼ (E₂, F₂) ⇔ E₁ ⊕ F₂ ≅ E₂ ⊕ F₁
K理論の要素からコホモロジーへのマッピングとして、チャーンキャラクターが存在する。これは、Kグループから有理コホモロジー群への準同型写像である：
ch: K(X) → Hᵉᵛᵉⁿ(X, ℚ)
チャーンキャラクターは、ベクトル束の位相的性質をコホモロジーのクラスに対応付けるものであり、Dブレーンの物理的な特性を解析する際に重要である。
Dブレーンの世界体は空間 Xに埋め込まれており、そのチャージはKグループの元として表現される。具体的には、Dブレーン上のベクトル束 E を考えると、そのチャージは [E] ∈ K(X) で与えられる。
さらに、背景場としてのB場（B-フィールド）の効果を考慮すると、ねじれたK理論 K*(X, H) が必要となる。ここで、H はB場の三形式のフラックスを表す。
K理論は、超弦理論におけるDブレーンのチャージを精密に分類するための数学的枠組みを提供する。特に、背景空間の位相的・幾何学的な特徴や、B場のような非自明な背景場の影響を正確に捉えることができる。これにより、超弦理論の物理的予測や、Dブレーンのダイナミクスの理解が深まり、理論物理学と数学の深い関係が示されている。
M理論と超弦理論は、自然界の基本的な相互作用を統一的に記述するための最先端の理論物理学の枠組みである。これらの理論の数学的定式化には、高度な幾何学、トポロジー、そして代数的手法が必要とされる。一方、トポス理論、特に高次トポス理論は、集合論と論理を一般化し、高次のホモトピー的構造を扱うための強力な数学的ツールである。本稿では、高次トポス理論を用いてM理論と超弦理論を厳密に定式化するための数学的枠組みを構築する。
(∞,1)-カテゴリー𝒞は、高次元の射（n-射、n ≥ 1）を持つカテゴリーであり、特にすべてのk-射（k > 1）が可逆であるという特徴を持つ。これはホモトピー論における∞-グルーポイドと密接な関係がある。
(∞,1)-トポスは、(∞,1)-カテゴリーの特別なクラスであり、以下の性質を持つ：
ワールドシートΣからターゲット空間Xへのマッピング空間Map(Σ, X)を考える。これは場の構成空間であり、その上で物理的な作用を定義する。
高次トポス理論と関連する数学的手法を用いることで、M理論と超弦理論の複雑な物理的構造を厳密に定式化することが可能である。特に、高次バンドル、L∞-代数、微分コホモロジーなどの概念を活用することで、弦やブレーンのダイナミクスと相互作用を統一的に記述できる。このアプローチは、物理学と数学の深い関係を示すものであり、理論物理学のさらなる発展に寄与することが期待される。
定義：Hの分割 {Ai}iεI が存在し、SO(3)の部分群 G が存在して、
1. H = ∪iεI Ai
2. Ai ∩ Aj = ∅ for i ≠ j
3. ∃g1, g2, ..., gn ε G such that ∪k=1n gk(∪iεI1 Ai) = H and ∪k=1n gk(∪iεI2 Ai) = H
ここで、I1 ∪ I2 = I かつ I1 ∩ I2 = ∅
事象の地平面上の量子状態を密度作用素 ρ ε B(H) で表現する。
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
AdS/CFT対応に基づき、バルク空間の重力理論と境界のCFTの間の同型を考える：
Zgravity[φ0] = ZCFT[J]
I[H] = ∫H √h d³x I(x)
ここで、hはHの誘導計量、I(x)は局所的な情報密度である。
I[H] = I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai]
が成り立つ。
プランクスケールでの量子効果を考慮するため、非可換幾何学を導入する。
H上の座標演算子 X̂i に対して：
[X̂i, X̂j] = iθij
limε→0 |I[H] - (I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai])| ≤ Cε
ここで、εはプランク長に関連するカットオフパラメータ、Cは定数である。
このモデルは、バナッハ＝タルスキーのパラドックスとブラックホールの情報量問題を統合している。
量子効果と非可換幾何学の導入により、情報の保存と量子重力理論との整合性を保ちつつ、事象の地平面上の情報量を記述することが可能となる。
このアプローチは、量子重力理論と情報理論の融合に新たな視座を提供し、ブラックホール情報パラドックスの解決に向けた理論的基盤を提供する。
定義 1: M理論の基本構造を、完全拡張可能な (∞,∞)-圏 M として定義する。
定理 1 (Lurie-Haugseng): M の完全拡張可能性は、以下の同値関係で特徴付けられる：
M ≃ Ω∞-∞TFT(Bord∞)
ここで、TFT は位相的場の理論を、Bord∞ は∞次元ボルディズム∞-圏を表す。
命題 1: 超弦理論の各タイプは、M の (∞,∞-n)-部分圏として実現され、n は各理論の臨界次元に対応する。
定義 2: 弦の標的空間を、導来 Artin ∞-超スタック X として形式化する。
定理 2 (Toën-Vezzosi): X の変形理論は、接∞-スタック TX の導来大域切断の∞-圏 RΓ(X,TX) によって完全に記述される。
定義 3: 弦場理論の代数構造を、∞-オペラッド O の代数として定式化する。
定理 3 (Kontsevich-Soibelman): 任意の∞-オペラッド O に対して、その変形量子化が存在し、Maurer-Cartan方程式
MC(O) = {x ∈ O | dx + 1/2[x,x] = 0}
の解空間として特徴付けられる。
定義 4: n次元量子場理論を、n-カテゴリ値の局所系 F: Bordn → nCat∞ として定義する。
定理 4 (Costello-Gwilliam-Lurie): 摂動的量子場理論は、因子化∞-代数の∞-圏 FactAlg∞ の対象として完全に特徴付けられる。
定理 5 (Kontsevich-Soibelman-Toën-Vezzosi): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、以下の (∞,2)-圏同値として表現される：
ShvCat(X) ≃ Fuk∞(Y)
ここで、ShvCat(X) は X 上の安定∞-圏の層の (∞,2)-圏、Fuk∞(Y) は Y の深谷 (∞,2)-圏である。
定義 5: M理論のコンパクト化を、E∞-リング スペクトラム R 上の導来スペクトラルスキーム Spec(R) として定式化する。
定理 6 (Lurie-Hopkins): 位相的弦理論は、適切に定義されたスペクトラルスキーム上の擬コヒーレント∞-層の安定∞-圏 QCoh(Spec(R)) の対象として実現される。
定義 6: M理論の C-場を、∞-群対象 B∞U(1) への∞-函手 c: M → B∞U(1) として定義する。
定理 7 (Hopkins-Singer): M理論の量子化整合性条件は、一般化されたコホモロジー理論の枠組みで以下のように表現される：
[G/2π] ∈ TMF(M)
ここで、TMF は位相的モジュラー形式のスペクトラムである。
定義 7: 量子化された時空を、スペクトラル∞-三重項 (A, H, D) として定義する。ここで A は E∞-リングスペクトラム、H は A 上の導来∞-モジュール、D は H 上の自己随伴∞-作用素である。
定理 8 (Connes-Marcolli-Ševera): 量子重力の有効作用は、適切に定義されたスペクトラル∞-作用の臨界点として特徴付けられる。
定義 8: 弦理論の真空構造を、導来∞-モチーフ∞-圏 DM∞(k) の対象として定式化する。
予想 1 (∞-Motivic Mirror Symmetry): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、それらの導来∞-モチーフ M∞(X) と M∞(Y) の間の∞-圏同値として表現される。
定義 9: 完全な量子重力理論を、(∞,∞)-圏値の拡張位相的量子場理論として定式化する：
Z: Bord∞ → (∞,∞)-Cat
定理 9 (Conjectural): M理論は、適切に定義された完全拡張可能な (∞,∞)-TFT として特徴付けられ、その状態空間は量子化された時空の∞-圏を与える。
YesとNoである。論文を書く人や研究する内容は文化の産物であり、アメリカでは長い間、文化に人種差別の歴史がある。しかし、定理自体は人種とは無関係。
数学は現実を正確で抽象的かつ形式的にモデル化する。これは一見すると特定の地域や民族に限定されず、多くの場所で独立して発展し、文化間の協力があったようにみえる。この考えは「白人性」よりも数千年前に遡る。ピタゴラスは文化的ショーヴィニストであったが、現代の意味で人種差別主義者ではなかった。彼の肌の色は不明であり、彼が白人のギリシャ人であるとは言えない。
幾何学は文化的な構築物であり、逃れることはできない。πは円周の直径に対する比率であるが、幾何学的な円は文化が発展させた概念である。ピタゴラス派は代数よりも幾何学を発展させる文化的偏見を持っていた。
私はピタゴラス派の文脈で無理数を学んだが、インドでは異なる代数的文脈で発展した。数学教育は文化的である。
現代の数学の多くは人種差別的な権力構造の産物であり、人種的な文脈で教えられている。数学は人種差別を反映している。
アメリカでは、人種差別が高速道路の建設場所や利益に影響を与えたが、道路自体は人種差別的ではない。黒人の居住者に家を売らせて白人の利益のために道路を建設することは人種差別である。都市の形状は人種差別を反映している。
プリンストン大学は奴隷によって建設され、奴隷所有者によって資金提供された。歴史的に黒人学生や女性を受け入れず、現代の人種政治が学生生活に影響を与えている。これがプリンストンの数学を人種差別的にするわけではないが、ブラインドピアレビューがない場合、その論文が発表されたかどうかを問うことができるという点で、差別的である。
数学の論文や抽象的な証明、大学の建物は人種差別ではないが、黒人に大学を建設させて白人の富を築くことは人種差別である。数学研究の形状はその人種差別を反映している。
したがって、答えはYesとNoの両方である。数学の定理や抽象的な考えは人種差別とは関係がないが、数学的試みは人種差別の文化的文脈で行われている。つまり、誰が認められるかとかそういった話になると一気に政治的になる。
超弦理論を数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏（∞-圏）の関手として定式化する。
𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ
ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏（例：鎖複体の圏、導来圏など）。
超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。
BV形式はゲージ対称性と量子化を扱うためにホモトピー代数を使用する。
Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0
ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。
𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
以上の数学的構造を用いて、超弦理論における重要な定理である「ホモロジカル・ミラー対称性の定理」を証明する。
ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である。
𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
1. フクヤ圏の構築：
- 対象：𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件（例えば、スピン構造やマスロフ指数の消失）を満たすもの。
- 射：ラグランジアン間のフロアーコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。
2. 導来圏の構築：
- 射：Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。
- 合成：連接層の射の合成。
- ファンクターの構成：ラグランジアン部分多様体から連接層への対応を定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。
- 構造の保存：この関手が 𝐴∞ 構造や三角圏の構造を保存することを示す。
- 物理的対応：𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデルの物理的計算が一致することを利用。
- Gromov–Witten 不変量と周期：𝑋 の種数ゼロのグロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算と対応する。
5. 数学的厳密性：
- シンプレクティック幾何学の結果：ラグランジアン部分多様体のフロアーコホモロジーの性質を利用。
- 代数幾何学の結果：連接層の導来圏の性質、特にセール双対性やベクトル束の完全性を利用。
結論：
以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカル・ミラー対称性の定理が証明される。
ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロアー境界演算子 ∂ を用いてコホモロジーを定義：
∂² = 0
𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im ∂
∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0
Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。
まず、以下のデータを考える。
- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。
- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。
- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。
幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。
𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
ここで、
この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。
核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手
Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)
ここで、
𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)
問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。
ヒッチン写像を導入する。
ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)
ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。
完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。
Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。
𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))
ここで、
- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。
- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。
この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。
𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))
ここで、
- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。
- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。
作用素:
M 理論におけるブレーンの配置:
- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。
- Σ は曲線 𝑋。
Lurie の高次圏論:
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。
これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。
以下は、M理論と超弦理論の幾何学を抽象化した数学的枠組みでのモデル化について述べる。
まず、物理的対象である弦や膜を高次の抽象的構造としてモデル化するために、∞-圏論を用いる。ここでは、物理的プロセスを高次の射や2-射などで表現する。
∞-圏 𝒞 は、以下を持つ：
これらの射は、合成や恒等射、そして高次の相互作用を満たす。
次に、デリーブド代数幾何学を用いて、空間や場の理論をモデル化する。ここでは、デリーブドスタックを使用する。
デリーブドスタック 𝒳 は、デリーブド環付き空間の圏 𝐝𝐀𝐟𝐟 上の関手として定義される：
𝒳 : 𝐝𝐀𝐟𝐟ᵒᵖ → 𝐒
ここで、𝐒 は∞-グルーポイドの∞-圏（例えば、単体集合のホモトピー圏）である。
物理的なフィールドやパーティクルのモジュライ空間は、これらのデリーブドスタックとして表現され、コホモロジーやデリーブドファンクターを通じてその特性を捉える。
非可換幾何学では、空間を非可換代数 𝒜 としてモデル化する。ここで、スペクトラルトリプル (𝒜, ℋ, D) は以下から構成される：
作用素 D のスペクトルは、物理的なエネルギーレベルや粒子状態に対応する。幾何学的な距離や曲率は、𝒜 と D を用いて以下のように定義される：
∞-トポス論は、∞-圏論とホモトピー論を統合する枠組みである。∞-トポス ℰ では、物理的な対象やフィールドは内部のオブジェクトとして扱われる。
フィールド φ のグローバルセクション（物理的な状態空間）は、次のように表される：
Γ(φ) = Homℰ(1, φ)
ここで、1 は終対象である。物理的な相互作用は、これらのオブジェクト間の射としてモデル化される。
ゲージ対称性やその高次構造を表現するために、L∞-代数を用いる。L∞-代数 (L, {lₖ}) は次元付きベクトル空間 L = ⊕ₙ Lₙ と多重線形写像の族 lₖ からなる：
lₖ : L⊗ᵏ → L, deg(lₖ) = 2 - k
∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ₊₁ ∑ₛᵢgₘₐ∈Sh(i,n-i) (-1)ᵉ⁽ˢⁱᵍᵐᵃ⁾ lⱼ ( lᵢ(xₛᵢgₘₐ₍₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₎), xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₊₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ₙ₎) = 0
ここで、Sh(i,n-i) は (i, n - i)-シャッフル、ε(sigma) は符号関数である。
これにより、高次のゲージ対称性や非可換性を持つ物理理論をモデル化できる。
安定ホモトピー理論では、スペクトラムを基本的な対象として扱う。スペクトラム E は、位相空間やスペースの系列 {Eₙ} と構造写像 Σ Eₙ → Eₙ₊₁ からなる。
πₙˢ = colimₖ→∞ πₙ₊ₖ(Sᵏ)
ここで、Sᵏ は k-次元球面である。これらの群は、物理理論における安定な位相的特性を捉える。
物理的な相関関数は、コホモロジー類を用いて以下のように表現される：
⟨𝒪₁ … 𝒪ₙ⟩ = ∫ₘ ω𝒪₁ ∧ … ∧ ω𝒪ₙ
ここで、ℳ はモジュライ空間、ω𝒪ᵢ は観測量 𝒪ᵢ に対応する微分形式またはコホモロジー類である。
先に述べた抽象数学的枠組みを用いて、M理論の重要な定理であるM理論とIIA型超弦理論の双対性を導出する。この双対性は、M理論が11次元での理論であり、円 S¹ に沿ってコンパクト化するとIIA型超弦理論と等価になることを示している。
時空間の設定：
H•(ℳ₁₁, ℤ) ≅ H•(ℳ₁₀, ℤ) ⊗ H•(S¹, ℤ)
これにより、11次元のコホモロジーが10次元のコホモロジーと円のコホモロジーのテンソル積として表される。
C-場の量子化条件：
M理論の3形式ゲージ場 C の場の強度 G = dC は、整数係数のコホモロジー類に属する。
[G] ∈ H⁴(ℳ₁₁, ℤ)
デリーブド代数幾何学では、フィールド C はデリーブドスタック上のコホモロジー類として扱われる。
非可換トーラスの導入：
円 S¹ のコンパクト化を非可換トーラス 𝕋θ としてモデル化する。非可換トーラス上の座標 U, V は以下の交換関係を満たす。
UV = e²ᵖⁱθ VU
非可換トーラス上のK-理論群 K•(𝕋θ) は、Dブレーンのチャージを分類する。
K•(ℳ₁₁) ≅ K•(ℳ₁₀)
𝕊ₘ ≃ Σ𝕊ᵢᵢₐ
ここで、Σ はスペクトラムの懸垂（suspension）函手である。
デリーブド代数幾何学、非可換幾何学、および安定ホモトピー理論の枠組みを用いると、11次元のM理論を円 S¹ 上でコンパクト化した極限は、IIA型超弦理論と数学的に等価である。
(b) 非可換性の考慮
最初期宇宙の基本構造を記述するために、位相的弦理論の圏論的定式化を用いる。
定義: 位相的A模型の圏論的記述として、Fukaya圏 ℱ(X) を考える。ここで X は Calabi-Yau 多様体である。
対象: (L, E, ∇)
射: Floer コホモロジー群 HF((L₁, E₁, ∇₁), (L₂, E₂, ∇₂))
この圏の導来圏 Dᵇ(ℱ(X)) が、A模型の D-ブレーンの圏を与える。
最初期宇宙の量子構造をより精密に記述するために、導来代数幾何学を用いる。
𝔛: (cdga⁰)ᵒᵖ → sSet
ここで cdga⁰ は次数が非正の可換微分次数付き代数の圏、sSet は単体的集合の圏である。
𝔛 上の準コヒーレント層の ∞-圏を QCoh(𝔛) と表記する。
宇宙の大規模構造の位相的性質を記述するために、モチーフ理論を適用する。
定義: スキーム X に対して、モチーフ的コホモロジー Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) を定義する。
これは、Voevodsky の三角圏 DM(k, ℚ) 内での Hom として表現される：
Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) = Hom_DM(k, ℚ)(M(X), ℚ(j)[i])
最初期宇宙の高次ゲージ構造を記述するために、∞-Lie 代数を用いる。
定義: L∞ 代数 L は、次数付きベクトル空間 V と、n 項ブラケット lₙ: V⊗ⁿ → V の集合 (n ≥ 1) で構成され、一般化されたヤコビ恒等式を満たすものである。
Σₙ₌₁^∞ (1/n!) lₙ(x, ..., x) = 0
最初期宇宙の量子重力効果を記述するために、圏値場の理論を用いる。
定義: n-圏値の位相的量子場の理論 Z を、コボルディズム n-圏 Cob(n) から n-圏 𝒞 への対称モノイダル函手として定義する：
Z: Cob(n) → 𝒞
特に、完全拡張場の理論は、Lurie の分類定理によって特徴づけられる。
最初期宇宙の量子情報理論的側面を記述するために、von Neumann 代数を用いる。
定義: von Neumann 代数 M 上の状態 ω に対して、相対エントロピー S(ω || φ) を以下のように定義する：
S(ω || φ) = {
tr(ρω (log ρω - log ρφ)) if ω ≪ φ
+∞ otherwise
}
ここで ρω, ρφ はそれぞれ ω, φ に対応する密度作用素である。
最初期宇宙の量子時空構造を記述するために、非可換幾何学を用いる。
∫_X f ds = Tr_ω(f|D|⁻ᵈ)
非行少年だけじゃなくてそこいらで普通に働いてる人の中にもケーキを切れない人っているかもよ。
はんじょうってゲーマーがケーキを切る問題に挑戦したらできなくてリスナーに衝撃が走ってたけど、そのゲーマーは口が回るしオレより地頭は良さそうな感じ。
「まぁ、ピタゴラスの定理なんて、あれはもう初歩の話よね。確かに、a² + b² = c² は中学生レベルでも理解できるけれど、そこに潜む深い代数的構造や、ユークリッド幾何学との関連性を本当に理解しているのかしら？あの定理の背後には、単なる平面上の直角三角形の話じゃなくて、リーマン幾何学や複素数平面を通じたさらに高度な次元の世界が見えてくるのよ。それに、ピタゴラスの定理を特別な場合とする円錐曲線や、楕円関数論まで考え始めると、幾何学の美しさっていうものがもっと深く見えてくるわけ。」
「それと、黄金比ね。もちろん、あのφ（ファイ）がどれだけ重要か、理解してる？単に無理数というだけじゃなく、数論的にも代数的にも特異な数なのよ。フィボナッチ数列との関係も美しいけど、そもそもあの比が自然界で頻繁に現れるのは、単なる偶然じゃないわ。代数的無理数としての特性と、対数螺旋やアファイン変換を通じた変換不変性が絡んでいるのよね。そういった数学的背景を理解せずに、ただ黄金比が「美しい」ってだけで済ませるのはちょっと浅はかだと思うわ。」
「あと、パルテノン神殿の話だけど、そもそも古代の建築家たちが黄金比だけでなく、より複雑なフラクタル幾何学や対称群に基づいた設計をしていたってことは、あまり知られてないのよね。建築の対称性は、単なる視覚的な美しさじゃなくて、群論や代数的トポロジーに深く結びついているわ。あなたが好きな絵画も、ただの黄金比じゃなく、もっと深い数学的な構造に従っているのよ。わかるかしら？」
平面だと正三角形の一つの角度は60度だけど、球面上だと90度になるよ、みたいなのあるじゃん。
球面上だと60度より大きい角度になるのはなんとなくわかるんだけど、逆に60度よりも小さい角度になるのってどんな面？そういうのってないのかな？
街コンに行くと、いつも何を話すべきか迷う。
人が集まる場だし、みんな軽い話題で盛り上がってるんだろうけど、俺はいつも違う。
女性たちは不思議そうな顔をしていたけど、そんなのはお構いなしだ。
だって、これは美の根本に関わる話なんだから。誰でも分かるだろう。いや、分からなきゃおかしい。
「たとえば、ピタゴラスの定理。a² + b² = c² なんて、中学生でも知ってるでしょ？でも、あの定理が持つ幾何学的な美しさ、理解してます？ただの数式じゃないんですよ、これは宇宙の秩序そのものを象徴してるんです。直角三角形の辺の比が、どうしてあんなに完璧に収まるのか、その背後にあるシンメトリーとバランス、これはただの計算じゃ説明できないんです。幾何学は、自然界に隠された美を可視化する手段なんです。あなたの顔のすべてのパーツはそれを示しています。もしかしてお気づきになっていませんか？」
女性たちは相変わらずポカンとしていたが、そんなことは全く気にしない。
「それに、円と黄金比ですよ。黄金比の美しさって聞いたことありますよね？ φ（ファイ）という無理数、1:1.618...っていうあの比率は、自然界でも至るところに現れるんです。貝殻の螺旋や、ヒマワリの種の配置、果てはギリシャのパルテノン神殿まで。これらすべてが、幾何学的な美しさの証明なんですよ。建築家や芸術家たちは、何千年も前からこの黄金比に魅せられてきたんです。それが美の基準なんです。たとえば、あなたが好きな絵画も、おそらく黄金比に従って構図が決まっているはずですよ。あなたのお顔もまさにそのとおりで、僕はあなたが数学的に美しいことを証明できます。」
ここまで来ると、女性の一人が「えぇ〜？本当ですかぁ〜？」と、曖昧な笑みを浮かべているのが目に入る。
だが、その目に理解の色はない。いや、むしろ遠ざかっているかもしれない。
それでも俺は一歩も引かない。だって、幾何学は俺の人生そのものなのだから。
「次はもっと複雑な話をしましょうか？ユークリッドの『原論』はご存知ですか？あれは古代ギリシャで書かれた数学書で、数千年の間、数学の基礎として使われてきたんです。『原論』の最初の定義は、点は幅を持たないもの、線は幅を持たず長さを持つもの。これをもとに、無限に広がる空間の中で幾何学的な図形を描くんです。そして、その空間の中に、あらゆる美が存在するんです。アポロニウスの円錐曲線における楕円の美しさなんか、誰でも感動するはずです。見てください！ほらあなたの腕はアポロニウスと言えるし、あなたの全身は原論の誕生にすら資するべき存在と言えるでしょう」
彼女たちは完全に引いていたが、そんなことはもう気にしない。
「俺にとって幾何学は、ただの学問じゃないんです。これは美を追求する哲学であり、生き方なんです。人々がモナ・リザやアフロディーテ像に美を見出すように、俺はピタゴラスやユークリッドにその美を見出しているんです」
幾何学の美しさを語り終えた頃、ようやくふと我に返り、周囲の反応を確認してみた。
皆、頬に赤みを浮かべているが、目は明らかに遠く、何か別の世界に意識を飛ばしているかのようだった。
ひとりは下半身をチラッと確認し、もうひとりは、首元の鎖骨の付け根あたりをいじっている。
こちらを見ている女性もいたが、彼女の表情はどう見ても「本当にこの人何を言っているの…」という困惑そのものだった。
「ええ、そうですね……幾何学って、すごいですね……」と、一人がようやく口を開いたが、その声には熱意も、理解も、ましてや感銘など微塵も感じられない。
表面的に場を繋ごうとするその言葉は、俺が夢中で語っていた美の真髄が、まるで真空の中に吸い込まれたかのように、何も響いていないのをはっきりと感じさせた。
もう一人が、さらに微妙な笑みを浮かべ、「あ、そうなんですか……それで、その定理って、なんでしたっけ……？」と、曖昧に質問してくる。
しかし、それは好奇心ではなく、ただ適当に話を引き延ばすための、無理やりな興味に過ぎないことは明白だった。
俺はその瞬間、すべてを理解した。
ああ、やっぱりこうなるのか、と。彼女たちの心を動かすことは簡単でも、幾何学的美しさを彼女たちに理解してもらうことはできないんだと。
俺の語るピタゴラスの定理も、黄金比の神秘も、彼女たちにとってはただの退屈な講義に過ぎない。
彼女たちは、たぶん俺の年収や、俺の背景、俺の地位の話を楽しみにしていたのだろう。それが街コンで求められる「会話」なのだ。
「まあ、こういう話、ちょっと難しいですかね……」と自分から話を切り上げるが、内心、虚しさと諦念がこみ上げてくる。
俺は分かっているんだ。結局、幾何学の美を理解できる人間は、ここにはいない。
諦めが胸に染み渡り、俺はふと目の前のグラスを手に取る。
冷たい水が喉を通り、ほんの一瞬だけ現実感を取り戻すが、同時に心の中でつぶやいた。
俺は幾何学を愛している。それだけで十分だ。理解されなくてもいい。これが俺の誇りなのだから。
女性たちがどれだけ俺に興味を持ったかなんて、もうどうでもよかった。
最終的に、女性たちがどれだけ幾何学に興味を持ったかは知らない。
だが、俺の中では確信がある。
幾何学こそが、真の美であり、それを理解しない者は本当の美を知らないのだと。
彼女たちには理解できない美が、俺の中にある。それだけで、俺は満たされているんだ。
俺は腰を振りながらそう思った。
街コンに行くと、いつも何を話すべきか迷う。
人が集まる場だし、みんな軽い話題で盛り上がってるんだろうけど、俺はいつも違う。
女性たちは不思議そうな顔をしていたけど、そんなのはお構いなしだ。
だって、これは美の根本に関わる話なんだから。誰でも分かるだろう。いや、分からなきゃおかしい。
「たとえば、ピタゴラスの定理。a² + b² = c² なんて、中学生でも知ってるでしょ？でも、あの定理が持つ幾何学的な美しさ、理解してます？ただの数式じゃないんですよ、これは宇宙の秩序そのものを象徴してるんです。直角三角形の辺の比が、どうしてあんなに完璧に収まるのか、その背後にあるシンメトリーとバランス、これはただの計算じゃ説明できないんです。幾何学は、自然界に隠された美を可視化する手段なんです」
女性たちは相変わらずポカンとしていたが、そんなことは全く気にしない。
「それに、円と黄金比ですよ。黄金比の美しさって聞いたことありますよね？ φ（ファイ）という無理数、1:1.618...っていうあの比率は、自然界でも至るところに現れるんです。貝殻の螺旋や、ヒマワリの種の配置、果てはギリシャのパルテノン神殿まで。これらすべてが、幾何学的な美しさの証明なんですよ。建築家や芸術家たちは、何千年も前からこの黄金比に魅せられてきたんです。それが美の基準なんです。たとえば、あなたが好きな絵画も、おそらく黄金比に従って構図が決まっているはずですよ」
ここまで来ると、女性の一人が「へぇ〜、すごいですね…」と、曖昧な笑みを浮かべているのが目に入る。
だが、その目に理解の色はない。いや、むしろ遠ざかっているかもしれない。
それでも俺は一歩も引かない。だって、幾何学は俺の人生そのものなのだから。
「次はもっと複雑な話をしましょうか？ユークリッドの『原論』はご存知ですか？あれは古代ギリシャで書かれた数学書で、数千年の間、数学の基礎として使われてきたんです。『原論』の最初の定義は、点は幅を持たないもの、線は幅を持たず長さを持つもの。これをもとに、無限に広がる空間の中で幾何学的な図形を描くんです。そして、その空間の中に、あらゆる美が存在するんです。アポロニウスの円錐曲線における楕円の美しさなんか、誰でも感動するはずです」
彼女たちは完全に引いていたが、そんなことはもう気にしない。
「俺にとって幾何学は、ただの学問じゃないんです。これは美を追求する哲学であり、生き方なんです。人々がモナ・リザやアフロディーテ像に美を見出すように、俺はピタゴラスやユークリッドにその美を見出しているんです」
幾何学の美しさを語り終えた頃、ようやくふと我に返り、周囲の反応を確認してみた。
皆、頬に作り笑いを浮かべているが、目は明らかに遠く、何か別の世界に意識を飛ばしているかのようだった。
ひとりはスマホをチラッと確認し、もうひとりは、手元のグラスに注がれた水をいじっている。
こちらを見ている女性もいたが、彼女の表情はどう見ても「本当にこの人何を言っているの？」という困惑そのものだった。
「ええ、そうですね……幾何学って、すごいですね……」と、一人がようやく口を開いたが、その声には熱意も、理解も、ましてや感銘など微塵も感じられない。
表面的に場を繋ごうとするその言葉は、俺が夢中で語っていた美の真髄が、まるで真空の中に吸い込まれたかのように、何も響いていないのをはっきりと感じさせた。
もう一人が、さらに微妙な笑みを浮かべ、「あ、そうなんですか……それで、その定理って、なんでしたっけ……？」と、曖昧に質問してくる。
しかし、それは好奇心ではなく、ただ適当に話を引き延ばすための、無理やりな興味に過ぎないことは明白だった。
俺はその瞬間、すべてを理解した。
ああ、やっぱりこうなるのか、と。幾何学的美しさを解くことで、彼女たちの心を動かすことはできないんだと。
俺の語るピタゴラスの定理も、黄金比の神秘も、彼女たちにとってはただの退屈な講義に過ぎない。
彼女たちは、たぶん映画の話や、食べ物、旅行の話を楽しみにしていたのだろう。それが街コンで求められる「会話」なのだ。
「まあ、こういう話、ちょっと難しいですかね……」と自分から話を切り上げるが、内心、虚しさと諦念がこみ上げてくる。
俺は分かっているんだ。結局、幾何学の美を理解できる人間は、ここにはいない。
諦めが胸に染み渡り、俺はふと目の前のグラスを手に取る。
冷たい水が喉を通り、ほんの一瞬だけ現実感を取り戻すが、同時に心の中でつぶやいた。
俺は幾何学を愛している。それだけで十分だ。理解されなくてもいい。これが俺の誇りなのだから。
女性たちがどれだけ俺に興味を持ったかなんて、もうどうでもよかった。
最終的に、女性たちがどれだけ幾何学に興味を持ったかは知らない。
だが、俺の中では確信がある。
幾何学こそが、真の美であり、それを理解しない者は本当の美を知らないのだと。
M を11次元コンパクト多様体、G を複素簡約代数群、L(G) をそのラングランズ双対群とする。
D^b(M) を M 上のコヒーレント層の導来圏、D^b(Bun_G(M)) を M 上の G-主束のモジュライ空間 Bun_G(M) 上のコヒーレント層の導来圏とする。
以下の圏同値を構築する：
Φ: D^b(D_M) ≃ D^b(Coh(Bun_L(G)(M)))
M 上の Chern-Simons 理論の量子化を考える。その分配関数 Z(M,k) を以下のように定義する：
ここで、CS(A) は Chern-Simons 作用である。
F: D^b(Bun_G(M)) → Mod(MF_q)
を構築する。ここで、Mod(MF_q) は有限体 F_q 上のモチーフの圏である。
G の既約表現 ρ に対し、以下の等式を予想する：
L(s,ρ,M) = det(1 - q^(-s)F|H*(M,V_ρ))^(-1)
ここで、V_ρ は ρ に付随する M 上のローカル系である。
以下の図式が可換であることを示す：
D^b(D_M) --Φ--＞ D^b(Coh(Bun_L(G)(M))) | | | | F F | | V V Mod(MF_q) -----≃----＞ Mod(MF_q)
M の次元を一般の n に拡張し、Voevodsky のモチーフ理論を用いて、上記の構成を高次元化する。
以上の構成により、M理論の幾何学的構造とラングランズ・プログラムの数論的側面の関連を見た。このモデルは、導来圏論、量子場の理論、モチーフ理論を統一的に扱う枠組みを提供するものである。
今後の課題として、この理論的枠組みの厳密な数学的基礎付けと、具体的な計算可能な例の構築が挙げられる。特に、Langlands スペクトラル分解との関連や、Grothendieck の標準予想との整合性の検証が重要である。
その書中において述べられるところの名文とは、単に美的であるのみならず、情緒に満ち、描写が巧みであり、さらにその文章が臨場感を伴うことにより読者の心に深く響くものである。美しさとは、単に言葉の装飾ではなく、内在する構造の確かさに拠るものであろう。
澁澤龍彦が幻想小説において「幾何学的に書くべきである」と言ったと記憶している。幾何学的とは、感覚的に直感する美麗さと秩序を持ち、その形態は正確かつ普遍的である。正三角形が持つ完全性は、内角の和が常に180度であるという確固たる定理に支えられている。これは、いかなる変形にもかかわらず揺るがない事実である。その普遍性こそが美であり、幾何学的美しさの本質を成す。
このように、文章にも同様の美的秩序が存在するのではないかと考える。たとえば、三角形の定理を文章に適用するならば、各要素が一貫して調和する様は正三角形のごとくである。三角形の三つの頂点に当たる要素は、物語の構造、感情の動き、そして読者への影響であろう。この三者が均衡を保つとき、文章は完全な形となり、名文と称されるに値する。
恋愛においても、幾何学的な要素が見て取れる。愛する者、愛される者、そしてその間に存在する感情。この三つの要素が整ったとき、恋愛は完全な形を成す。しかし、その一部が欠けたとき、三角形は不完全となる。非モテであるという状況は、その三つの内角が揃わず、歪んだ三角形のような状態である。だが、その歪みの中にも、何らかの秩序と美しさが宿っていることを認めざるを得ない。
幾何学的な美しさは、完全性の中にのみ存在するのではない。むしろ、不完全な中にも美しさは潜んでいる。それは、欠けた部分があるからこそ生まれる緊張感であり、そこに宿る秩序の欠如が逆説的に美を生むのである。モテないという状況も、ある種の幾何学的な不完全さであり、その不完全さが一つの形を成し得る。
私は三角形になりたいと願う。完璧であり、無駄がなく、全ての要素が調和している。しかし、不完全なままであることもまた一つの形であり、その不完全さの中にこそ真の美が宿っているのではないか、とも思うのである。
幾何学的文章の美しさとは、表面上の整合性だけではなく、そこに潜む感情や臨場感をも含むものである。その幾何学的な秩序と情感の融合こそ、真に名文たる文章の本質であろう。
定義 1: M理論の基礎空間を (M, g) とする。ここで M は 11 次元 C∞ 多様体、g は符号 (-,+,...,+) のローレンツ計量とする。
定義 2: M 上の主束 P(M, Spin(1,10)) をスピン構造とし、関連するスピノール束を S とする。
定義 3: M 上の外積代数を Λ*(M) とし、特に Λ³(M) と Λ⁴(M) に注目する。
C = {(g, C, ψ) | g ∈ Met(M), C ∈ Γ(Λ³(M)), ψ ∈ Γ(S)}
ここで Met(M) は M 上のローレンツ計量全体、Γ は滑らかな切断を表す。
定理 1 (作用汎関数): M理論の作用 S: C → ℝ は以下で与えられる：
S[g, C, ψ] = ∫_M (R * 1 - 1/2 dC ∧ *dC - 1/6 C ∧ dC ∧ dC - ψ̄D̸ψ) vol_g
ここで R はスカラー曲率、D̸ はディラック作用素、vol_g は g による体積要素である。
定理 2 (場の方程式): δS = 0 から以下の Euler-Lagrange 方程式が導かれる：
1. Einstein 方程式： Ric(g) - 1/2 R g = T[C, ψ]
2. C-場の方程式： d*dC + 1/2 dC ∧ dC = 0
ここで Ric(g) は Ricci テンソル、T[C, ψ] はエネルギー運動量テンソルである。
定義 5: M の 7 次元コンパクト化を X とし、M = R^(1,3) × X と分解する。
定義 6: X 上の G₂ 構造を φ ∈ Ω³(X) とし、以下を満たすものとする：
1. dφ = 0
2. d*φ = 0
3. (x ↦ i_x φ ∧ i_y φ ∧ φ) は X 上の Riemann 計量を定める。
定理 3 (Holonomy reduction):X が G₂ 構造を持つとき、X の holonomy 群は G₂ の部分群に含まれる。
定義 7: X 上の接束の構造群を G₂ に制限する縮約を σ: P → X とする。ここで P は主 G₂ 束である。
定義 8: M の K 理論群を K(M) とし、その Chern 指標を ch: K(M) → H^even(M; ℚ) とする。
定理 4 (Anomaly cancellation): M理論の量子異常が相殺されるための必要十分条件は以下である：
I₈ = 1/48 [p₂(M) - (p₁(M)/2)²] = 0
ここで p₁(M), p₂(M) は M の Pontryagin 類である。
定理 5 (Index theorem): M 上の Dirac 作用素 D̸ の指数は以下で与えられる：
ind(D̸) = ∫_M Â(M) ch(S)
ここで Â(M) は M の Â-genus、ch(S) は S の Chern 指標である。
定義 9: 位相的 CW 複体の圏を Top、アーベル群の圏を Ab とする。
定理 6 (T-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
K(X × S¹) ≅ K(X × S¹)
定理 7 (S-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
H^k(M; ℤ) ≅ H_{11-k}(M; ℤ)
sup_{x ∈ U(X)} x subject to φ(x) ≤ w
ここで、φ: U(X) → ℝ は連続線形汎関数、w ∈ ℝ は初期富である。
sup_{y ∈ T_p𝓜} ω(y)
生産対応を η: T*𝓜 → 2^{T𝓜} とし、以下の条件を満たす：
∀ω ∈ T*𝓜, η(ω) = {y ∈ T_p𝓜 : dω(y) = 0}
ℰ = ((ℋ_i, π_i, Ω_i)_{i ∈ I}, (T_j)_{j ∈ J})
ここで、
状態 (ψ_i*)_{i ∈ I} と価格作用素 P ∈ 𝒜 が均衡であるとは、以下を満たすことを言う：
1. ∀i ∈ I, ψ_i* = arg max_{ψ ∈ ℋ_i} ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ subject to ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ ≤ ⟨Ω_i, π_i(P)Ω_i⟩ + ∑_{j ∈ J} θ_{ij} τ(PT_j)
2. ∀j ∈ J, T_j = arg max_{T ∈ 𝒜} τ(PT)
3. ∑_{i ∈ I} (ψ_i* - Ω_i) = ∑_{j ∈ J} T_j
ここで、τ は 𝒜 上のトレース、θ_{ij} は消費者 i の生産者 j に対する利潤シェアである。
(𝒜, ℋ, D)
ここで、
[D, π(a)] = 0, ∀a ∈ 𝒜_{eq}
ここで、𝒜_{eq} ⊂ 𝒜 は均衡状態を表す部分代数、π は 𝒜 の ℋ 上の表現である。
H: [0,1] × X → X
ここで、X は経済状態空間、H(0,x) = x_0（初期状態）、H(1,x) = x*（均衡状態）である。
M理論の幾何学を最も抽象的かつ厳密に記述するには、圏論的アプローチが不可欠でござる。
M理論の幾何学的構造は、三角圏の枠組みで捉えることができるのでござる。特に、カラビ・ヤウ多様体 X の導来圏 D⁰(Coh(X)) が中心的役割を果たすのでござる。
定義：D⁰(Coh(X)) は連接層の有界導来圏であり、以下の性質を持つのでござる：
1. 対象：連接層の複体
この圏上で、Fourier-向井変換 Φ: D⁰(Coh(X)) → D⁰(Coh(X̂)) が定義され、これがミラー対称性の数学的基礎となるのでござる。
2. 各対の対象 X,Y に対する次数付きベクトル空間 hom𝒜(X,Y)
3. 次数 2-n の演算 mₙ: hom𝒜(Xₙ₋₁,Xₙ) ⊗ ⋯ ⊗ hom𝒜(X₀,X₁) → hom𝒜(X₀,Xₙ)
これらは以下のA∞関係式を満たすのでござる：
∑ᵣ₊ₛ₊ₜ₌ₙ (-1)ʳ⁺ˢᵗ mᵣ₊₁₊ₜ(1⊗ʳ ⊗ mₛ ⊗ 1⊗ᵗ) = 0
この構造は、Fukaya圏の基礎となり、シンプレクティック幾何学とM理論を結びつけるのでござる。
M理論の完全な幾何学的記述には、高次圏論、特に(∞,1)-圏が必要でござる。
定義：(∞,1)-圏 C は以下の要素で構成されるのでござる：
2. 各対の対象 x,y に対する写像空間 MapC(x,y)（これも∞-グルーポイド）
3. 合成則 MapC(y,z) × MapC(x,y) → MapC(x,z)（これはホモトピー整合的）
この構造により、M理論における高次ゲージ変換や高次対称性を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学は、導来代数幾何学の枠組みでより深く理解できるのでござる。
定義：導来スタック X は、以下の関手として定義されるのでござる：
X: CAlg𝔻 → sSet
ここで、CAlg𝔻 は単体的可換環の∞-圏、sSet は単体的集合の∞-圏でござる。
この枠組みにおいて、M理論のモジュライ空間は導来スタックとして記述され、その特異性や高次構造を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学的側面は、量子コホモロジー環 QH*(X) を通じて深く理解されるのでござる。
定義：QH*(X) = H*(X) ⊗ ℂ[[q]] で、積構造は以下で与えられるのでござる：
α *q β = ∑A∈H₂(X,ℤ) (α *A β) qᴬ
ここで、*A はGromov-Witten不変量によって定義される積でござる：
α *A β = ∑γ ⟨α, β, γ∨⟩₀,₃,A γ
