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はてなキーワード: 有理数とは

2020-12-13

anond:20201213001142

横だけど、天才っていうか初めからセンスがある奴はそもそも一般人が言う意味での「努力」はしなくても学習できるんだよね。一般人と同じ経験をしても脳が勝手抽象化して概念獲得するから学びの密度が全く違う。掛け算九九の表を渡されたら一般人は頑張って暗記するみたいになるんだけどセンスあるやつはあーねっつって有理数の積くらいまで一瞬で理解し終わるみたいな。それって一般人の数ヶ月とか数年とかの努力に相当するんだよね。

もちろんそれでもセンスある奴だけの世界でやっていくなら「努力」が必要になるんだけど、そこまで行かず一般社会でいいやってなるなら努力必要自体が無いというのは全然あり得る。

2020-06-05

Cauchy列って何?

収束先がどこかにある数列です。

定義

Xを距離空間、d: X×X→Rを距離関数とする。

Xの点列(x_n)は以下をみたすとき、Cauchy列であるという。

任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n, m ≧ Nならば、d(x_n, x_m) < ε。

収束する点列はCauchy列である。実際、lim[n→∞] x_n = x ならば、任意のε/2>0に対して、ある自然数Nが存在して、n>Nならば|x - x_n|<εとなるので、任意のε>0に対して、n, m>Nならば|x_n - x_m|≦|x - x_n| + |x -.x_m|<ε。

逆に、Xの任意のCachy列がXの点に収束するとき、Xは完備であるという。

実数場合

実数全体の集合は、絶対値から定まる距離について、完備である

(x_n)を実数のCauchy列とする。

まず、(x_n)は有界である。実際、ε>0に対して、Nが存在して、n>Nならば|x_n - x_N|<εなので、任意のiに対して、|x_i|≦max{|x_1|, |x_2|, ..., |x_N|, |x_N|+ε}である

Bolzano-Weierstrassの定理より、有界実数列は収束する部分列を含むので、自然数列n_1<n_2<...<n_i<...と実数xが存在して、lim[i→∞] x_(n_i) = xとなる。

xが(x_n)の極限である。lim[i→∞] x_(n_i) = xより、任意のε/2>0に対して、ある自然数Iが存在して、i>Iならば|x-x_(n_i)|<ε/2。(x_n)がCauchy列であることより、任意のε/2に対して、ある自然数Nが存在して、n, m>Nならば|x_n - x_m|<ε/2。この2つより、任意のε>0に対して、n>max{I, N}ならば、|x - x_n|≦|x - x_(n_n)| + |x_(n_n) - x_n|<ε。□

完備ではない例

√2に収束する数列(1, 1.4, 1.41, ...)はCauchy列だが、Qの元に収束しない。

f_n(x)を以下で定める。

xが有理数で、xを既約分数a/bに表したとき、bがn!の約数ならば、f_n(x) = 1。それ以外は、f_n(x) = 0。

各f_nは有限個の点で1になる以外0なので、Riemann積分可能で、∫|f_n(x)|dx = 0。

しかし、その(各点収束)極限は、xが有理数とき1、無理数とき0となる関数であり、これはRiemann積分不可能。(有理数稠密から区間の細分をどれだけ細かくとっても、各区間に1を取る点と0を取る点がそれぞれ存在するため、Riemann和が収束しない)

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-05-27

anond:20200527180924

ちょうど、整数から有理数構成するのは、一般環論で整域の商体を扱えば、その例として挙げれば十分というように。

anond:20200527134829

実数論は、ワイエルシュトラスの上限定理またはコーシー列の収束性を公理として認めるのが実際的と思う。

実数構成については、デデキント切断ではなく、有理数絶対値による完備化を採用し、関数解析などの講義でより一般距離空間の完備化を扱う時に、例として挙げるのが適切ではないかと思う。その頃には、コーシー列等の概念が身についているだろうから

2020-05-22

中学高校数学ユークリッド幾何学不要である

中学高校数学から、いわゆるユークリッド幾何学廃止してよい。理由単純明快で、何の役にも立たないからだ。

大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウス定理高校卒業以降(高校数学指導以外で)使ったことのある現代はいないだろう。こういうことは、別に高等数学知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器必要になったとして、補助線パズル適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代数学および科学技術を支えているのは、三角関数ベクトル微分積分などを基礎とする解析的な手法である

もちろん、たとえば三角比定義するには「三角形内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学定理必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学手法はお役御免でよい。

高校数学では、以下の分野が特に重要だと思われる。

これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。

現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在2020年5月)のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトル文系範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。

ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠代表的ものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり代数や解析は計算主体であるが、ユークリッド幾何学証明主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。

しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題証明されなければならないからだ。実際、高校数学教科書を読めば、三角関数加法定理や、微分ライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも数学問題は全て証明問題である関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。

2020-04-23

24時間働かせても、給料の支払いをゼロにできる方法がある

ここに、時分秒だけでなく、秒の小数点以下も計測できる時計があるとする。

例えば、「1時23分45.6789秒」みたいな感じにだ。

その場合契約条件を

秒が有理数ときは働いてください。

秒が無理数ときは休んでください。

とすると、

有理数の集合の測度はゼロから、実働時間ゼロだ。

しかし、人間有理数秒だけ休むということができないので、実際には24時間働き続けないといけない。

2018-07-18

はてな見てると、tan1°が有理数なのか考えたことないんだろうな、って人居る

2018-07-16

anond:20180716125238

円周率有理数ではない

これをきちんと証明できる?。ここでできる人はいないだろうし、

その証明をキチンと理解できる人さえ、少ないだろう。

法律に反例集(not判例集)がない

数学とかで新しい概念が出てきたとき

その概念の具体例だけでなく、「それには当てはまらない例」(反例)があって初めて理解が進むじゃないですか

たとえば「有理数」っていうのは整数の比で表される数ですよってだけでは初学者には理解ができない

1/2とか-4/7とか0とか1とかのことですよって言われただけでは不十分

円周率とかルート2とかは当てはまらないですよ、整数の割り算で表現できないからねって言うとようやくイメージが掴める

境界線の内側と外側を言ってもらえて初めて境界線が目に見えると言います

ところが法律、とくに刑法解説では「こういう行為刑罰になるんです!」ばっかり言うけど

なかなか「こういう事例はギリギリ大丈夫です、何故ならこういう理由要件にあたらないから」って言ってくれないですよね

私が知らないだけで、市販判例集とか見たら反例も載ってるのかな

少なくともそういう情報ネットで気軽に見れる解説ページとかで見たことないんですが、

解説」したい気があるなら絶対境界線の外側も言ってくれた方がイメージ形成に役立つと思います

っていうのをインサイダー定義をググってて思いました

2018-06-12

anond:20180611100237

問題 以下の命題は真か偽か。

命題1.それぞれ異なる無理数無理数の和は無理数である

命題2.有理数無理数の積は無理数となる。

解答はすべて「偽」

中学生レベルだけど普段数学から離れていると難しかったんじゃないか

2018-06-11

頭の体操

どうもここ最近今までとは違った部類の人が押し寄せてきているようだ。

さて閑話休題で以下の2問ができるかな

命題1.それぞれ異なる無理数無理数の和は無理数である

命題2.有理数無理数の積は無理数となる。

以上2つの命題について真か偽か,答えのみ記せ。証明などは不要である

6時間後に解答を公表する。

増田くん できるよな¥

2018-03-17

anond:20180317122309

同じパターンを繰り返して無限に続く数(循環小数)があって、これは無理数ではない

例えば0.123123123...みたいに123を無限に繰り返す数は無理数ではなく有理数

無理数は、同じパターンの繰り返しにならずに無限に続く

2017-08-31

https://anond.hatelabo.jp/20170831204351

33:【初音ミクAppend】  Q  【オリジナル曲

https://www.youtube.com/watch?v=kX_LmAXYB2I

マイナー電子音系ですけど落ちついたしっとりさもある曲です。心の手の届かないところを撫でられる感じ。

34:【初音ミク有理数プラネットオリジナル

https://www.youtube.com/watch?v=hg4yM6dF1XI

35:ORBITAL

https://www.youtube.com/watch?v=XGZkRbQSMms

上とは逆にこのリスト多数派キュンキュンピリピリスピード電子音系。

現在。2014/01/01~

少し離れていたので薄めですf(^_^; ボカロムーヴメント自体はだいぶ落ちついて、ある意味パターンが出切っちゃった感がありますが、一時の低迷から最近は抜け出して作者や再生が戻ってきてるみたいです。

36:【第12MMD杯本選】ミクさんが一曲披露してくれるそうです

https://www.youtube.com/watch?v=URl7NLO95BI

幻想的な動画

37:【IA】アスノヨゾラ哨戒班【オリジナル

https://www.youtube.com/watch?v=XogSflwXgpw

2014の1番のボカロヒット曲

38:【Miku&IAシークレットメタファー【オリジナル

https://www.youtube.com/watch?v=bn_1jPIJEaM

15年はあまりボカロ聞いていなかったのですが、これはリズム気持ちよくて好き

39:[MV] 脱法ロック / Neru feat. 鏡音レン

https://www.youtube.com/watch?v=u5mHVUwDf_0

16年。声にクセがありますが、それも込みでインパクト大。

2016-10-26

0.999…=1は公理じゃねぇぇぇぇ

0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田エントリ[1]があって、

それに対してわっと氏が「等しいのは公理から」って返答[2]している。

[1] http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

[2] http://watto.hatenablog.com/entry/2016/10/25/133000

いや、ちげーよ!!というのが本稿の趣旨である

ちなみに私は[1]の増田とは別人。

わっと氏の主張のどこが間違っているか述べる前に、

じゃぁ、0.999…=1となる本当の理由は何か、というのを先に書いておく。

そもそもなんとなくごまかして「0.999…」と書くことで9が無限に続いている事を表現しているが、

実際には人間の有限の寿命無限個の数字を書けるわけもない(ヒルベルトの「有限の立場」)。

なんで、実際には有限個数であるn個の9を書いて、そのnをどんどん大きくしているのである

で、nを大きくするたびに、0.999…が1に近づくというのが、「0.999…=1」の正しい数学意味である

高校数学をわかってる人向けに書くと、ようするにnを無限大飛ばしときの極限を考えているわけ。

で、わっと氏の何が間違っているのか。

おめー、0.999…=1が実数体公理だってんなら、有理数体や複素数体の上では「0.999…=1」は

成り立たないってのか!?

当然そんなわけない。

まり実数体公理の中でもっと重要公理であるデデキントの切断公理が満たされないケース(有理数体)や

順序の公理が満たされないケース(複素数体)でも「0.999…=1」は成り立っているわけで、

「0.999…=1は実数体公理」という主張はおかしい(注)。

じゃぁ何が重要なのか。

答えは実数体の「距離構造である(更に弱く「位相構造」でも良い)。

先に極限の話をしたとき、0.999…の桁数nを大きくすると、1に「近づく」って述べた。

「近づく」ってのは「距離が小さくなる」ってことなんで、距離関係しているわけだ。

わっと氏が触れているε-N0式の極限の定義でも、

二点間の距離を使って極限を定義してますしね。

実際、実数体距離として通常の距離とは別のものをいれると、

0.999…は1に近づくとは限らない。

単純な例としては実数xとyの距離d(x,y)を

d(x,y) = 0 if x=y

d(x,y) = 1 if x≠y

定義する(離散距離)と0.999…(n桁)と1との距離

nがいくつであっても常に1なので、nを無限大飛ばしても

0.999…は1に収束しない。

(注)もちろん、実数に関する性質を導くには必ず実数公理を使うわけだから

そういう意味では「0.999…=1」の証明実数公理を使うことにはなるんだけど、

そんなこと言い出したら「πは超越数」とか「5次方程式は解の公式を持たない」とか

実数に関する全ての定理実数公理を使っていることになるでしょ。

★追記

わっと氏の新しい記事を見て、わっと氏が何を勘違いしているのかわかった。

勘違いしているのは、デデキント切断公理の意義である

切断公理の意義は何らかの実数存在性を示せる事だ。

例えば

0.123456789101112131415....

という小数を考えたとき、この小数の桁数を無限飛ばした極限の

実数チャンパーノウン定数)が存在する事を示すには切断公理必要となる。

しかし0.999...の場合収束先の実数である1が存在することは

(体の公理より)自明なので、切断公理必要ないのである

記事の「これはデデキントを遠目で見てます」という記述を見る限り、

わっと氏は無限絡みで実数直線を2つにぶった切るときは常に切断公理

必要になると思っているようだが、これは正しくない。

上述したようにこのケースはデデキント切断公理必要ではないので。

デデキント切断公理は「実数直線を2つにぶった切るとどちらかに必ず端点が

存在する」という趣旨公理であり、この最後の「存在する」が必要になる場合に使われる

公理なのである

2016-10-24

http://anond.hatelabo.jp/20161024155821

1つの有理数のそばに必ず2つの無理数があるというイメージを思い浮かべたら、

無限個の有理数のそばには、その2倍の無理数があることにならないか

そうしたら、無限個の有理数よりも、無限個の無理数の方が2倍多いということがあり得ると思えない?

http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

有理数無理数無限にあるのに無理数のほうがいっぱいあるって意味がわかんないよ。

2016-02-26

http://anond.hatelabo.jp/20160225213649

まあこれだよね。もう少し数学っぽくいうと「解は a+bπ(a,bは有理数)として(一意に)表されるが, 解答としては a+3.14b の値を提示せよ」とかそんな感じかな

円周率3.14問題雑感

まあ自転車置き場の議論感はあるけど, 自転車置き場の議論楽しいので許してほしい, と言い訳をした上で書く. くだくだしくどうでもいいことを書くのでお暇な方だけどうぞ. 私自身は円周率3.14で教えるべきか否か, というのには特に意見がない. それはそれとして, の話.

追記:増田勝手に半角の不等号を文字実体参照に直すのやめろ!!!!!(全角に直した)

2016-02-24

π≒3.14有効桁数は存在する

http://anond.hatelabo.jp/20160223212129

半径11が測定値なら、有効数字は2桁で、半径11が真値なら、有効数字無限桁です。

明確に間違いです。例えば円周率を3と近似した場合に、真値で半径11の円の面積は363.00000になってしまます



円周率πには有効数字適用されません。

πには適用されません。同意します。それは、πが定数だからです。

しかし、3.14は違います。これは近似値です。近似値には有効数字有効桁数は適用可能です。

(というか、適用しないといけません。)

ちなみに、ブコメで「有効数字適用できるのは測定値のみ」と言っている人がいましたが、

それは違うと思います。(数学的には正しいのかもしれませんが、実学としてはイケていません)

実際に円周率を扱う際には、近似値を用いないと、有理数表現することができません。

日常生活では無理数は扱いづらいので近似値で表します。そうすると絶対有効数字はつきまとうはずです。



んで、なぜ実測値にしか有効数字適用できないと考えている人が居るのか考えたのですが、

おそらく、計測するような人は、実測値の有効桁数が扱う桁数の律速になっているので、

円周率の近似値の有効桁数を意識せずに使っているというのが実際のところでは無いかと結論づけました。

「379.94は誤り」派の人はなぜ380が正解だと思ったのでしょうか。

380は、3桁の有効桁数で答えた場合には正しいですが、

379.94は、5桁の有効桁数で答えた場合の解として正しくないからです。

円周率3.14 である仮定する

半径11の円の面積が10000であることを示す。

このために背理法を用いる。

仮定から円周率3.14であり、有理数である

一方で、円周率超越数であるので、有理数でない。

ここから矛盾を得る。

従って、背理法により、円周率3.14ならば円の面積は10000である

2014-05-30

http://anond.hatelabo.jp/20140530213337

じゃあお前ブラックショール方程式理解してるってほんとに言えんのか?って話。

実数軸上の有理数全体の集合のルベーグ測度がゼロであることを空で証明できんのかとか(これはできるかもしらんが)、

Kalman-Bucyフィルタ導出できんのかとか(俺はできない)。

2014-05-06

http://anond.hatelabo.jp/20140506194123

こじつけじゃなくて、誤訳というか直訳

有理数はRational Numberで Rationalは理屈 理(ことわり) の意味から Raional(理) Number(数)で 有理数

ただしコレは 直訳で 誤訳 

http://mail2.nara-edu.ac.jp/~asait/pythagorean/section7/pyta_section7.htm

正しくは a/b で表せる 比になる数 で 可比数  無比数

当時の 英語は直訳で 歴史的経緯から しょうがない。

英語訳が間違ってる日本語なんてたくさんあるよね。

無理数はわかるけど、有理数って・・・

分数で表すのが無理な数→無理数。ここまではOK

でも無理の反対は有理じゃねーだろ、と。

いくらなんでもこじつけがヒドイ。

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