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はてなキーワード: 複素数とは

2021-11-01

anond:20211101142109

それ以前に複素数ならnumpyレベルで扱える

まぁどんな計算してるのか知らんけど

ソフトウェアエンジニアは他のソフトエンジニアが便利なソフトを作ってくれるからいいよね・・・

自分で作れって話もあるんだけどさ。

ログCSVの整形とかは楽だけど、複素数計算とかの科学計算関係進化してない感じ。

2021-09-27

anond:20210927011443

査読が終了していない」んじゃなくて、そもそも査読っていうのはそういうものなの。

論文として載せる価値がある」というのは「絶対的に正しい」ことを意味しないの。査読担保しているのは「論文としての価値」であって、「絶対的な正しさ」ではないの。(もちろん、正しさに対する一定以上の信頼度がなければ「論文としての価値」も認められないけど。)

科学的な正しさというのは、ある瞬間に100%正しいと認められるものではないの。論文掲載されて、その後の研究者コミュニティによって引用を繰り返され、一人一人の研究者がそれぞれの価値観でもって「この論文は正しいor間違っている」と判断し、サーベイ寄稿したり教科書執筆されたりすることによって正しさが認められていくものなの。

そもそも論文掲載されるというのはゴールじゃなくてスタートなの。


君はきっとリーマン面タイミュラー理論も、p進タイミュラー理論も知らないでしょ?「宇宙際タイヒミュラー理論」というのは単に数体上のタイミュラー理論のことで、細かい技術的なギャップがあるのかないのかは専門外の私にはわからんけども、少なくとも「トンデモ」扱いするバカがいたらそいつ数学者ですらないバカだと一発でわかるよ。

複素数可能ならp進数でやる。p進数可能なら数体でやる。というのは数論幾何学王道中の王道で、パッと見「できそうだな(具体的にどうやるかは知らんけど)」というのが普通数学者認識。その応用があるかないかは後から考えることで、ABC予想が解けてるのか解けてないのかは私にはわからんけども、少なくとも理論としては間違いなく面白いものだろうとはわかるし、「俺も一生に一度はこういう論文書きてぇなぁ」と思うよ。

2021-07-29

借金先生の身に何が起こったか金川晋也と平林緑萌は大丈夫なのか?

借金先生が今(2021年7月29日インターネットで袋叩きにされている。借金先生は長年に渡る誹謗中傷に耐えてきたが、とうとう許容範囲限界に達したので開示請求等の法的措置をとることを示唆したところ、借金先生誹謗中傷してきたアカウントが一斉に借金玉に対して更なる誹謗中傷を浴びせてきたのだ。

と思ってる人間結構散見されるが事実は全く異なる。今回の騒動は雑に簡単にまとめてしまえば「借金先生reiに対する営業妨害として、rei含めて自分否定的言及した人間否定的ツイートRTした奴に対して開示だの裁判だの個人情報バラまくだのスーパー興信所だのご家族について調べ上げるだの騒いだ結果、周囲から流石にそれはおかしいとどん引かれ物申したら、その物申した人間過去借金玉に物申した人間に対しても片っ端から開示請求するぞと暴れ始めた」ものだ。因みに今回の騒動reiに対する営業妨害であることは借金先生自身

ttps://megalodon.jp/2021-0727-0824-32/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1419703402582319119

あ、たった今発売1年の僕の本が1,194位、6日前発売のrei氏の本が1,628位本と追い抜きましたね。せめてちゃんとワビ入れて、「もうやりません」って言ってくれたら発売日に合わせて告発なんてやらなかったのに。なんでそんなこともわからんかね



公言してる。念の為に断っておくと「直接営業妨害目的とは言ってないからセーフ」理論司法の場では通用しないことは、はてな法務部は勿論として借金先生顧問弁護士である第一東京弁護士会所属秋葉原KM法律事務所離婚借金問題が専門の新人弁護士金川晋也でも当然知っているはずだ。またrei氏の名誉の為に言っておくと、rei氏は2年程前に2度借金先生レスバしてから先生には全く言及していない。恐らく、その2回において借金先生

借金先生rei発達障害詐称してる」→rei障害者手帳です」→借金先生逃亡

借金先生reiに対しては然るべき場所で決着をつける!リーガルバトルをやる!」→rei「然るべき場所リーガルバトルって具体的に何のことですか?」→借金先生逃亡

惨敗したことが原因だろうが、現在は完全に一方的借金先生rei粘着している状態だ。またrei氏の名誉の為に言っておくと、借金先生の言ってる「剽窃」「パクリ」は単に借金先生が流用した既存表現メソッドreiも使っているという話でしかない。詳しくはhttps://archive.is/3CKESを参照して欲しい。

勿論インターネット名誉棄損や侮辱された時に正当な法的手段を取る手続きとして開示請求し、個人情報を取得するのは悪いことではない。しか借金先生

ttps://megalodon.jp/2021-0723-1059-50/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1418370111874867200

これは複数弁護士に「多少賠償払う気があるならアリ」って勧められたやつなんですけどね、「裁判で訴えて勝つ」より「開示請求で身元が割れた時点で、その人の発言個人情報をセットでインターネットに放つ」って選択肢あるんですよ。これ、人によっては全てを失うでしょ。人を雇う前にググるよ。

ttps://megalodon.jp/2021-0725-0031-05/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1418373588285984772

名前やらなんやらわかってる人の顔写真やお勤め先、家族写真まで全部集めるなんて、ちょっと腕のいい興信所なら一瞬でやってくれるし、僕の相棒はまさしく「腕のいい興信所(と記者)」なんですよね。「余裕でやれる」って気づいて、そこで困ってしまうことありますよね。

ttps://megalodon.jp/2021-0723-2318-20/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1418372421166399491

名前ならなんやらわかってるならちょっと興信所に小銭払えば、お住まいから家族からあっという間に調べはつくし、「開示請求からマトモに裁判」やってる人ってあれめちゃくちゃ優しい人なんですよね。さて、僕はどうするべきか。色々考えています



個人情報不正利用を示唆しているのだ。このような個人情報活用プロバイダ責任制限法に反しており、こんなこと言って周囲に否定的反応されないと思うほうがどうかしている。付け加えて言うなら借金先生

個人情報インターネットバラまく借金先生相手個人情報保護の為に借金先生スクショをとったツイートURLで失礼

ttps://twitter.com/DividedSelf_94/status/870896897568849921

個人情報を手に入れた瞬間、リア凸するぞ!と相手に迫る借金先生

ttps://web.archive.org/web/20180307144447if_/ttps://twitter.com/syakkin_dama/status/893387243682844672

まなべさん、スケジュール合わせましょう。訪問する場所はわかったので。親切な人が教えてくれました。

ttps://web.archive.org/web/20180307144316/ttps://twitter.com/syakkin_dama/status/893389454672449536

大丈夫、在宅スケジュールはわからないけど親切な人が居場所特定に十分な情報をくれたので。ご心配なく。

複素数太郎に対して「情報リークがあったので覚悟しろ」「アウトローな友人を連れて訪問する」と宣言する借金先生

ttps://sutaro.hatenablog.jp/entry/2018/03/13/012810



と実際に個人情報悪用してきた過去があるのだ。

そして現在この騒動の渦中の人であり、借金先生2021年7月29日現在誹謗中傷されてる「えりぞ」氏はこうした借金先生の動きに対して疑問を呈しただけである借金先生はえりぞ氏に「デマを流された」「不当な誹謗中傷を受けた」と大騒ぎしているが、えりぞ氏の名誉の為に言っておくとえりぞ氏自身借金先生に対してデマ誹謗中傷はしていない。えりぞ氏が行ったのは借金先生上記のような「法に束縛されずやる」「多少賠償金払う気があるなら」「個人情報インターネットで流す」といった発言に対して「ヤクザじみてる」と述べただけである。こうした「誠意を見せろ」「夜道に気を付けろ」「娘さんは可愛い年ごろですね」といった直接的に何をするかは言わず害悪を仄めかすことで威圧する論法ヤクザの言い方として有名であり、えりぞ氏はその意味借金先生言動を「ヤクザじみてる」と批判したのだろう。尚、当然この言い方は司法の場では通用しないのは第一東京弁護士会所属秋葉原KM法律事務所離婚借金問題が専門の新人弁護士金川晋也もご存じだろう。また借金先生に開示請求するぞと名指しされためんたね氏も、こうした借金先生の言い方を過去に「マフィア論法」と評しただけだ。第一東京弁護士会所属秋葉原KM法律事務所離婚借金問題が専門の新人弁護士金川晋也は、これが本当に名誉棄損や侮辱にあたると考えているのだろうか?

参考:借金先生が切り取ったり湾曲したりして騒いでるえりぞ氏の元ツイート

ttps://twitter.com/erizomu/status/1418954179289051137

またえりぞ氏はこうした借金先生言動

ttps://twitter.com/erizomu/status/1419953625841868804

私は借金玉氏が私の発言名誉毀損にあたるとするなら、キチンと弁護士を立て、裁判に応じますしかし氏は名誉毀損かどうかでなく「開示が通るか」「法に束縛されずやる」「多少賠償を払う気があるなら」と繰り返しています。氏に仕事を依頼する企業はこれを許容しているのでしょうか



問題視し、

ttps://twitter.com/erizomu/status/1420181552101609475

さて、僕は

東洋経済オンライン

週刊プレイボーイ

ダイヤモンド社

角川書店

上記出版社やその雑誌に対し、「私個人実名で」借金玉氏の「開示請求で身元が割れた時点で、個人情報インターネットに放つ」といった一連の発言について、出版社として許容しているのか、問い合わせを行いました。



と動き、その後に借金先生関係があると思わしき志学社にも問い合わせを行ったところ

ttps://twitter.com/moegi_hira/status/1420205830826201089

弊社は借金玉氏及び彼の会社とは現時点で一切の取引がございません。というわけで営業妨害やめてください。ツイート消して謝罪してね。



志学社の代表である平林緑萌自身からTwitterにて返信された。上記について問い合わせるのが営業妨害!?という疑問はさておき、問題はここからである志学社の代表である平林緑萌氏は何故か氏自身の言明によれば「一切の取引がございません」借金先生に対して、えりぞ氏がした志学社への問い合わせ内容を話したというのである

ttps://megalodon.jp/2021-0729-1006-38/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1420214593423437825

えりぞ氏、かけてきた電話では相当なことを仰っているそうで、しか無関係人間をどんどん巻き込んでいきますね。流石にこれは…。

ttps://megalodon.jp/2021-0729-1007-37/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1420217057048600584

えりぞ氏、電話口で「借金玉に脅迫された」とご主張のようですが、それは「事実である」という認識でよろしいのでしょうか。僕は「違う」と否定しましたが。

ttps://megalodon.jp/2021-0729-1008-36/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1420373199477374981

そしてえりぞ (@erizomu)氏、全く関係のない会社営業妨害をかけ、私の友人知人に迷惑な連絡を送り放題に送り、挙句借金玉に脅迫された」と虚偽を述べた上、更にこの「早稲田を出てる障害者汎用性のない本」をRTですか。流石に、流石です。これはもう、流石にです。



因みに電話の内容に関してえりぞ氏は「私は一切「脅迫」などという単語を使っていません」と否定している。電話の内容に関して、どちらの言ってる事が正しいのかは現時点で不明であるが、いずれにしろ志学社が個人情報(問い合わせ人と問い合わせ内容)を流出させ、尚且つその個人情報ネットに発信されてしまったのは間違いない。借金玉氏が志学社と関係があると言うなら分かる。両者の言い分を聞いてどちらが正しいのか判断したいというのなら分かる。しか志学社の代表である平林緑萌氏はえりぞ氏の問い合わせを「借金玉は弊社とは無関係である」「問い合わせは営業妨害」と門前払いしておきながら、その無関係借金先生電話の内容を話したというのだ。志学社のコンプラどうなってるの?平林緑萌は公私の区別ついてるの?

こうして経緯を整理してみれば分かると思うが、借金先生の身に何が起こったか?というより本件は借金先生が主導して火種バラまいたものだ。誹謗中傷に対して正々堂々と立ち向かうのではなく、無駄に「開示請求して個人情報手に入れたらこんな悪さ出来ちゃなぁ」「こんな個人情報知っちゃったなぁ」と周囲を威圧したことが原因である。更に言えば借金先生自身が、こうしたムーブ所謂スラップである公言している。

ttps://megalodon.jp/2021-0728-1352-31/ttps://twitter.com:443/syakkin_dama/status/1420244025756446725

不法行為要件を満たさないとしても、これはおかしいだろ」も当然包括します。僕は問題提起をしているので。



要は法的措置をちらつかせて周囲を威圧し、自分に対する否定声を封殺したいというだけなのだ。また借金先生が主張してる「長年自分は不当な誹謗中傷と受けてきた」に関してだが、借金先生自身が長年に渡って不当な誹謗中傷を続けてることは、もう魚拓とか貼る必要ないぐらい周知の事実だ。というか、このブログだけでもrei氏、えりぞ氏、めんたね氏が不当な誹謗中傷受けてることが書かれてるしね。さて、こうした借金先生言動を「東洋経済オンライン」「週刊プレイボーイ」「ダイヤモンド社」「角川書店」は出版社として許容するのだろうか?

最後にえりぞ氏のツイートを貼っておく。借金先生にお困りの方は相談してみるのもいいのではないだろうか?

ttps://twitter.com/erizomu/status/1420318678340358144

借金玉さんが正々堂々「1,000万円用意した」とのことですが、僕がいま即座に・自由に動かせる預金は400万円しかありません。いったん私はこの中で対応します。今後のことですが、場合によっては他の人とまとめて一つの案件として弁護士に依頼するなどし、節約できたらと思います

2021-05-21

anond:20210521071149

から複素数を使ってはいけないとはいわれていないから、ルールは満たしている

自分が知らないことを言われたらルール違反だというのはおかし

anond:20210521070215

壊れちゃいましたか

複素数は今関係ないですよ。

私が言ってるのは「『pが素数ならばp^4+14は素数でない』は間違っている」じゃないです。

「『pが素数ならばp^4+14は素数でない』をあなた証明できていない」です。

実際、証明ならたとえば

https://science-log.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6/p%E3%81%8C%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AA%E3%82%89%E3%81%B0p414%E3%81%AF%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%A7%E3%81%AA%E3%81%84%EF%BC%882021%E5%B9%B4%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%89%8D%E6%9C%9F%E6%96%87/

こんなのがあります

2021-04-30

複素数表現って

連立方程式を一本で書くのに都合がいいものくらいに思っていたのだけどあってる?

2021-04-26

anond:20200425212218

虚数空間は平面じゃないっぽい響きだから複素数平面とは違うものなんだろね。

そうなると、四元数以上の虚数を考える必要があるね。

2021-03-23

「2乗してはじめて0になる数とかあったら面白くないですか?」って

どういうことかと思ったら

「2乗してはじめて0になる数」すなわち「ε^2=0,ε≠0」を満たすような「ε」を導入して、複素数ときと同じように「a+bε(a,bは実数)」という数を作ってみる

そんなこと言ったら何でもありになってしまうやん。

「n乗してはじめてxになる数」すなわち「ε^n=x,ε≠xのn乗根」を満たすような「ε」を~とか言って何でも実験できる。

これ楽しいのか?意味あるのか?

「2乗して-1になる数」は存在しないか虚数iを考える意味があるのであって、ε^2=0の場合はε=0という解があるのに「ε≠0」とか無理矢理後付けして意味があるように振る舞うのはただのインチキだ。

2021-02-14

anond:20210214181423

ところがセンター後期になると、どこから出すか事前に予告してしまう。

かならず統計は第5問に出すとか、すべて予告されてしまったため、攻略簡単になった。

2025年には複素数平面とベクトル二次曲線はすべて理系数学になるのだが、

あれ25年前は文系数学なんだよ。

40年前は、理系は「微分方程式写像行列と一次変換」がセットで入ってたんだからね。

50年前は、群論とポワソン分布オペレーションリサーチと初等幾何学フォイエルバッハ定理)も入っていた。

あれ全部ないんだよ。

ないほうが難しいということはあり得ない。

この部分無視した読解だよねそれ

2021-01-26

anond:20180921120216

2x2行列の代わりに同型の複素数平面が入った。

ゆとり以降はカリキュラム増えてばっかりで、減ってない。

2021-01-05

たとえば、自分たち自衛官というだけで、冗談にならないことはある。

ドッキリといって

道路で人にモデルガンを向けた

ドッキリですから

あとで一緒湯件名説得

どうして、ドッキリってわかってくれないんだろう

僕にはそっちのほうがドッキリだね

ドッキリなら自衛官が、モデルガンを人に向けてもいいという考え方が

僕にはドッキリ

そのドッキリがおきた道をとおっていた、自分が悪い

ひっこみがつかない

というけど

もうひっこんでも

ひっこまなくても

おなじ

次数100以上ある複素数平面で裏返して

2020-09-01

出題ミス

もう何年も前の話だが中2の数学定期試験で出題ミスがあった

詳細は覚えていないが、a + b = -1, ab = 3のとき、以下の式の値を求めよみたいな問題

前提を満たす実数存在しないことに気がついて中2の当時は困惑したのだが、とりあえず答えを出すことはできる

これは一体どういうことなのかとあとで調べたのが複素数との出会いになった

2020-08-27

中学高校数学にいわゆるユークリッド幾何学不要

ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在高校数学カリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。

ユークリッド幾何学不要だと思う理由単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って~」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズル適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの手法一般的現象記述する上で必ず必要になります

もちろん、たとえば三角比定義するには、「三角形内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学性質必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:

OABに対して、|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|cos∠AOB

証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。

現状、少なくない時間ユークリッド幾何学に費やされています数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています

高校数学では以下のような事項が重要だと思いますユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。

これらの分野は数学手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的問題数学物理問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベル重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか?

ユークリッド幾何学初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います

  1. ユークリッド幾何学では証明の考え方を学ぶことができる
  2. 図形問題代数や解析の問題よりも直感的で親しみやす
  3. ユークリッド幾何学問題を解くことで「地頭」「数学直観」などが鍛えられる
  4. ユークリッド幾何学歴史的重要である

しかし、これらはいずれも正鵠を射ていません。

まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題証明されるべきものからです。高校教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離公式三角関数加法定理微分ライプニッツ則や部分積分公式など、どれも証明されていますそもそも数学問題はすべて証明問題です。たとえば、関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないか定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学けが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。

②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトル微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理メネラウス定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学手法問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法一般方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学手法にこだわる理由はありません。

③は単なる個人思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要数学素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学特別視する理由になっていません。

④もおかしいです。そもそも歴史的重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的重要ならば教えるというなら、古代バビロニアインド中国などの数学特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や+-×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わず数学記述するべき理由があるでしょうか。

数学重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学擁護する論者は、「(表面的に)計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います

大昔は代数計算方程式の解法(に対応するもの)は作図問題帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法重要な結果を導きやす方法を用いればよいに決まっています数学史家は別として)。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。

たとえば、放物線は直線と点から距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育重要なのは明らかに2次関数グラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから最初から2次関数グラフとして導入するのは理にかなっています数学教育の題材は「計算問題証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。

三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学連立方程式を学ぶのに小学生鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います

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(*1)

現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに

(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーデルタ)

内積定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間ベクトル微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています

(*2)

数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題ガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識必要」というわけではありません。

2020-07-19

anond:20200719183110

法令上最低限度な電気工事士2種だけだったりするなら知らない可能性はあるが、

電験3種を一つでもとっているなら虚数複素数を知らない訳が無いだろ

2020-07-17

虚数単位iの意味が分からないとか言ってる奴

学問進歩というのは、前の時代にはできなかったことが当たり前になっていくということだ。

Gaussの時代には複素数は明示的に使われていなかったが、今は使われるのだから、単に認めればよい。

頭の中で歴史を繰り返してる奴は無駄なことをしている。

2020-06-10

基本的数学で覚えなければいけないことは無い

たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは(もちろん厳密に証明することはできるが)自然感覚であり、これも覚える必要はない。

こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。

また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないか無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。

定義は覚える必要があるか

無い。

定義公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。

それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えている問題に対してそのように概念定義すべき理由存在するからだ。

たとえば、複素数実数係数の2次方程式の解として生じるからi^2=-1と導入するのは自然であるし、三角形は2角と1辺の長さが決まれば決定されるから三角比定義自然ものである

そもそも、どのような経緯でそのような概念が導入されるのか理解することは、別に数学に限らず重要である

定理公式は覚える必要があるか

無い。

数学公式はすべて論理的に導出できるのだから、覚える必要はない。特に高校数学程度の定理公式などに大して証明が難しいものは無いのだから、瞬時に正しく導けなければいけない。

また、大抵の公式は、その意味理解できていればいくつかの具体例で試せば分かる。たとえば、三角関数加法定理は、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)さえ分かれば求められる。

用語を覚える必要があるか

無い。

用語などはどうでもいい。

たとえば、平方完成という名前を知らなくても、二次方程式の解の公式の導出や、二次関数極値問題が解ければ全く問題ない。

問題の解き方は覚える必要があるか

無い。

そもそも数学理解度を確かめるために具体的な問題があるのであって、問題の解き方を覚えるのは完全に本末転倒である

その問題で使われている概念定理、解答の論理展開などをしっかり理解することが本質的である

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-05-22

中学高校数学ユークリッド幾何学不要である

中学高校数学から、いわゆるユークリッド幾何学廃止してよい。理由単純明快で、何の役にも立たないからだ。

大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウス定理高校卒業以降(高校数学指導以外で)使ったことのある現代はいないだろう。こういうことは、別に高等数学知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器必要になったとして、補助線パズル適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代数学および科学技術を支えているのは、三角関数ベクトル微分積分などを基礎とする解析的な手法である

もちろん、たとえば三角比定義するには「三角形内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学定理必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学手法はお役御免でよい。

高校数学では、以下の分野が特に重要だと思われる。

これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。

現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在2020年5月)のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトル文系範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。

ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠代表的ものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり代数や解析は計算主体であるが、ユークリッド幾何学証明主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。

しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題証明されなければならないからだ。実際、高校数学教科書を読めば、三角関数加法定理や、微分ライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも数学問題は全て証明問題である関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。

2020-04-29

anond:20200429110739

いやクォータニオン自体理解できんだろ。

複素数理解できても、それでなぜ回転を表せるのかを理解できる中学生はめちゃ頭いいランクだわ。

2019-12-08

anond:20191202184126

虚数の性欲かー、実のところみんな複素数の性欲を持っていてお互いの組み合わせによって正や負になったりするんだろうか

まあ複素数同士かけ合わせたら大抵複素数になって実数になることは少ないはずだけど

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