  |
はてなキーワード: 整数論とは
フェルマー予想は初等的な問題ですが最終的な証明者がとった手段は高等学校で習う二次元座標の上のよくある素数指数を含んだ楕円関数
初等的な問題だというのは、 ４のときは素朴整数論の議論で証明されているので
デカルト座標を考えたデカルトは戦争中に休憩していたら思いついたそうですが、そのデカルト座標がないとフェルマー予想は完成しなかったので
デカルトという人は偉い人だと思います。それで、フェルマーは、もしその楕円関数が存在すると考えると異常なふるまいをするとし、
ｐ進簡約群の例で言うと、ＧＬとか、Ｇアデールの保形表現πをとったものです。
そのデカルト座標ですが東京大学の２３年前からの入試問題で、文系生にも理系生にも必ず出ることになっている問題で、高等学校の、っていうか中学校の頃から二次関数は
習うのですがそれをさらに高等にした奴が、高校の数学２Ｂで、３Ｃは、もっと難しい奴ですね、楕円関数というのは３Ｃくらいやってないと分からないわけです。
チェインコンプレックスオブセカンダリポリトプというのは、微分の形式で、チェインルールというのは教養で習います。δｆのδｘで微分したときにそういうルールがある。
素数の列の中に任意の長さの等差数列があるという定理について解説する。これは、主に、素数と、等差数列という有名な主題にまとをしぼったもので、なおかつ、
どこに存在するかは確定できないが、どこかには存在するだろう、という点に出て、任意の長さの等差数列が存在するという趣旨の完全な定理である。
等差数列はしばしば初等整数論で話題にされることは界隈の者なら誰でもしるところである。その等差数列と素数の融合定理である。しかし、巨大で遠大な定理である
ため、諸学者がノートに書いて手を動かしてもどのような方針を立てて進めていいか皆目見当がつかない。最終的な解決はエルデシュ予想を幾何学的に組み立てるという
数学における結論の美というところで２０１２年の整数の問題はスマートなことは当然ながら簡潔な等式と過激な等式の連立方程式を満足するものは限定されるという
内容だったけれどもその簡潔な等式と過激な等式の重なり合うものを決定するｎが決まるということが濃いというか、それが円満で完全無欠であるというようなことではなかったかと思う。
これを参考にしてフェルマーを検討すると、係数が存在する他の類題より係数が１なのでスマートであり、満足する自然数は存在しないという簡潔な事実と全てのｎでという過激さと
それで存在しないのでその存在しないこと自体が驚愕的で完全無欠ということではないかと解釈する。ｎ＝２の場合は公式を確定させることができ、ｎ＝４のときは素朴整数論の
議論と無限降下法でたまたまできる。しかし、ｎ＝３の場合は非常に難しく無限降下法は使用できるがその前提となる定理の証明は複雑である。３５０年間の間に大量の数学者が
手段を検討したが説明できるものがなく、よく知られている、x^n+2y^n=4z^nならば、無限降下法で支持できることに比較して、なぜこの問題は陥落しないのか多くの数学者に不思議がられた。
無視というかそもそもお前の世界に存在する価値がない、最初からそこにいこうとしていないのだから技術も何も出てくるわけがない。おれが現実にやっているのは懐中電灯をもって
河川敷の検索、ざーちゃんみたいなことを昨日はした。後は、GLAYが、俺がいるようにみせている。ざーちゃんみたいにライトをもってあの辺をうろうろすることはおれでもたまにやっている。
しかしどうせ見せているだけでむなしいからほとんどやらないだけ。しかしざーちゃんはそれをする。下坂はあなたはどちらかというとブサイクだから鈴木光は無理だって言っていたなどといって
いたが、私はブサイクというよりも、養老みたいにみせているだけで自分でやったわけではないものについて、くそつまんねーと思ってるから自動的に反発行動になるだけで、くそつまんねーと
思っていること以外には本質がない。くそつまんねーことについては何度も言っているが、にんかいからの反応は、そうだぞ、違うぞ、もしくは、ないぞ、だけ。
おれが自慢にしているのは、はねくろ警察署で解いた問題で、 帰納法が円のように出てきて解いてしまうIMOの ２０１２年の整数論の問題に取り組んだことだけであれ以外に勲章がない。
そんなわけがない。数学の証明は技術的着想であり、超難問は、パズルやゲームのたぐいであり、特に、超難問を解くときの技術には種類があることが知られている。例えば
（１）数学的帰納法が完全無欠な道具として機能する場合が相当数ある。 ２０１２年IMOの整数論の理想的な解法。
（２）indction and contradictionという特殊な技がある。 ２０１３年IMOの組み合わせ論の模範解答。
（３）幾何学では、Lemma、パスカルの定理、などが出てくること自体が必殺技である問題が多い。 ２０１１年、２００６年のIMOの最後の超難問。
（４）対称性を利用した消去というのは実関数ではよく知られているが誰も教えていない。変数を対称に入れ替えて２倍すると効力が出る。
当然、社会生活においても、工場の形式的側面にそのようなものが見られることが多い。 例 鉄塔の上に球が乗っているような工場の施設など。
その種の日本人に受けそうなテクニック集といったものが一種のテレビゲームの攻略本のようなものとして書籍で一切出なかったのが平成の怪奇という他ない。
北予備で田辺先生の難関大数学を受けていたときの喜びだけがガチで後はウソだから。田辺先生は一橋大学には整数論の権威がいるといって平成１４年の時点でそういうことを
言っていたが一橋大学の過去問題からちょうどいいのをテキストに載っていたのが記憶に新しい。私も全ての種類のIMOを解いてるわけではないので全ての技術を知っているわけでは
ないが、最近では実関数でf(fx))を消すときにいきなりドカーンという技があることを知りびっくりしている。そういうのは知っていうというかそれ向けに訓練されていて、IMOに出るように
トレーニングを受けていればできるともいえる。しかしまあこんなものは自慢にもならないだろう。２０００年頃だったらIMOくらいの問題が解ける灘高校生は嫉妬されていたが今はない。
２００３年ごろだと実際に解けなかったら東大入れなかったからちまなこで解けるようにしないといけなかった。今では何にもならんだろう。更にいえば裁判官とか論外で誰も知らん
話にならん。
形式的 形に拘り、内容はほとんどないさま。俗に昭和６０年からの天皇制の出来上がっているからそれを形式的に維持することしか目的がないさま。
日本列島ではブサイクだからとも言われるがそれだけで正体を暴けるものではない。形式的な完全無欠性に拘り、完全無欠なものが連携していることそれ自体ではなく
そのように見えることだけをもって、キレイであるというさま。平成２７年頃にスマートタブレットで様々なところにいき、きれいな景色だけを撮影していたさま。晴生。
特に幾何学や整数論にあっては自分で基礎から教科書を勉強し多くの演習問題を解いて精神が豊かになっていないさま。無内容で極めて悪質であるさま。
日本列島ではブサイクが自分の顔に拘っているからそれに執着するしかないようなさま、出来上がったものの出現だけを称賛し、その過程や現実は考慮にいれないさま。
行政の形式的能率性の維持だけで中身はなく中身は悪魔だったりただのバカであるようなさま。特に平成２６年からの日本列島では、それに従わないといけないさま。
東京大学法学部の特質は偉いことなどにはない。初等中等教育において、幾何学、整数論をはじめとして多くの演習問題を行い、人類生活には様々なルール的な技術があることを
体験した者のうち、全国模試などで成績優秀な者が採用されるだけ。法学部では、幾何学などで体験した知見や技術に基づき、社会に関する様々な法則を学び、人類社会の技術や
美しさ、人類が公共社会においてどのように住まうべきかを勉強する。東京大学法学部が昭和時代から社会をけん引し、現在の高度な社会を形成してきたことに間違いはないが、その特質は
偉大であるなどということではなく、現在のような社会で生活する技術などを学ぶだけの学部である。しかし現在の国民にはその意識が欠損しているし、文系のやる気のなさは見るに堪えない。
以前に増田で存在しないことに関する証明法は存在しないという見解が出たが、高等学校でも例外的に知られている無限降下法という考え方をとりあえず用意しておいて、
それが出てくるようなところまで議論を追い詰めれば、存在しないことの証明法はあったというのがフェルマーの４の場合である。この極めて初等的でエレガントな証明法が発見された
ためにこの分野での華々しい議論が陸続した。しかし、ディリクレやラメやルジャンドルがそれ以降にこの無限降下法を発動したかどうかに関する論文は存在しておらずオイラーが３の場合にした
議論は非常にアクロバティックなものでまだ一般には理解されていない。虚数単位√-1＝i の補題６つつきの定理を発表し、無限降下法を発動するというもので幾何学でいうと相当に
難しいことをした観がある。４の場合は非常にシンプルであるため、赤チャートにも回答が掲示されている。しかし、３の場合は幾何学の類推からとてつもないサーカスのような解答になったため、
何が書いているのかにわかに信じがたい、逆に、なんで３のときにはこの回答しかないのか、更に、５，７，１１，１４の場合は更に難しくなり多くの初等整数論者がこのやり方での
証明を断念したという。サーカスのようなことを初等幾何学ですることがアレフガルトなのか、無限降下法の発動がバラモスなのかはまだ分かっていない。フェルマーの問題は結局、
（x/z）^p + (y/z)^p = 1 が存在しないことと同値とされ、背理法なども動員されたが、GCD＝１で、しかも、素数がからんでいるとどうにもならないことは数学者なら一目瞭然だろう。
この表現は、既約表現と素数によって構成される楕円関数の不存在をいうことになるので、とてつもなく難しく、結果は、y=x(x^2-u^p)(x^2-v^ｐ)が複素関数でモジュラーではないという難しい
定式化までいきついたが、そこから先を補完するものはさらに多くの教科書を書かないといけないし、何を出すべきか分からないとして絶望された。
x^p+y^p=z^pという式が絶望的である理由。 横に広がっており、inductionも機能しない。クンマーは、 z^p-y^pを因数分解してそこにイデアル理論なるものが出現するだろう
ということであったが、 z^p-y^pを因数分解すると、右の項に、多項式が出現し、それを検討すればいいのではないかということである。そういう正攻法によってやっても、正則素数というもの
(x/z)^p + (y/z)^p = 1 が希望な理由。 既約表現とｐ進群という別の宇宙にもっていける。クンマーがやった宇宙ではだめだった。
こちらの宇宙では大量の専門的な知識を動員して考察を加えることで宝石が発見された。その宝石の発見によりものとして完成した。
備考 この定理は整数論の孤立したもので、数学的には何の参考にもならないし、価値がないと言われ、エルデシュをはじめとして、生産性がない、孤立している、興味がないとも言われた
備考 ２ エルデシュは次から次に問題が存在したりお題を作ることができる幾何学や整数論や組み合わせの問題を大量に考え出してその証明にいそしんだ学者である。そのため
白チャートに載っている、 2^n > n を誘導法で示せというのはただの練習問題であって誘導法には様々なヴァリエーションがあり、より難問のときにそなえるための練習である。
ｎ＝ｋのとき 2^k > k とする。 k+1のときに、 2^(k+1)-k-1 = 2*2^k-k-1 > k-1 > 0
これが誘導法というものである。この問題は自明なので証明する必要がないが、誘導法が美しくて確実な証明法であることを生徒に知らしめるための基礎である。現に、これを用いたときに
しかし、inductionは実に多くの種類があり、 いくつかの事実を指摘して例外的に使用できるものや、補題に対して使用するもの、整数に対する独自の理論を編み出してそれに対しての
使用が成功する場合もあるなど、整数論に関して蓄積された多くのノウハウというかテクニックがあり、帰納法は奥が深いと言える。
このように数学的帰納法に使用例が大多数に及び、問題解決法の沃野を形成して華々しい議論が陸続した経緯などは明らかではないが、整数論者が多くの問題に取り組む中で次第に
発展していった分野であるともいえる。
フェルマー予想を証明したのは、下坂行雄ではない。この下坂行雄というのは私が一番嫌いで興味がない者なんだけど、フェルマー予想の難点は、整数論の中で孤立した問題で
他に類題がない、似たような諸問題がないため、証明に応用できる技術がない、孤立しているため、イデアル理論という、それにしか使用できない、どうやって思いついたのか分からない
あまり役に立たない理論によって解明が進んだが、複素関数論のモジュラー確立以降も、その問題にしか使用できない現代数学の全ての専門知識を応用し、ほとんどワイルズの
天才と独創のアイデアによって証明方法が確立した。数学の難問は一般に色々な課題を解決する中で思いつくものであるけれども、フェルマー予想の最終証明は、数学研究者の中でも
数人しか思いつかないアイデアによってなされているもので、井上修二のようなゴミに届くものではない。あきらめろクソゴミ、そして、法を守れ。
極めて初等的な計算技術として平成６年に押方彰一から習ったのが１から１０までの足し方であるけれど、実関数論で、単にf(f(x))を削除するためだけに、シンメトリー＆キャンセル
という着想があり、これがどのような法思想に由来するのかが理解できない。おそらく伝来としては、三平方の幾何のあの定理、すなわち、a+bの正方形の中にｃの正方形を作成できる
という幾何の定理から来ているのではないかと思う。それを知っているからこそそのような着想が可能となるわけのものなので、２回目に、関数を２倍して消すのは簡単だけど、１回目の
操作が難しい。シンメトリーキャンセルという技術は、幾何の補題から、簡潔性、新規性、必要最小限性を除外して残ったもののように思う。あの補題から、そういう要素を全部捨てたら
何が残るか？シンメトリーキャンセルだけが残ります。それを使ったら有効に結論が出てくることが多い。だから、f(f(x))を消すときに使う人が多い。警察官の中にも、警察の力なめんなとか
いいながら４人くらいでどつめる人がいますが、対称に囲い込んで消しているかどうかは分からない。対象者としても囲まれているくらいの気分しかないのではないか。そのシンメトリーキャンセル
以外にも様々な定理や補題から抽出された技術があると思いますが、整数論だと、12 operation法っていうのもありますが、あれは別の整数の定理や問題に由来していると思うので、
IMOの一番最後の 超難問だけど、 数学の定理って、 フェルマー予想もそうだが いわゆる すごいかたち はしてないので、結論の定理というのは、 すごい力で成立してることは
あっても、 ぐわっ、うらやましい、みたいなかたちはしておりませんので
ぐわあああああああああ うらやましいというかたちをしてるのは大体、証明っていうか、constructionの方で、そっちだと色々、お前それ包丁でさしとるやんけとかですね、そういう数式が
なんかいっぱいでてくるんですが、そういうのはですね、なんか、危険というか、できるんだけどやりたくないというかそういうところがありますね
だから、結論が危険な形をしてるんじゃんくて、構成が危険な形をしているので、
整数論で等式を満たすものを確定させるときに、inductionって普通使わないのですが、たまに、めったにない使い方っていうか、普通は使用すると思わないのだが、
滅茶苦茶過激な使い方がまれにあってですね、そういうことでできるんですが、着想がきついからできないっていうか
私が本当に取り組んだ問題では、それができれば７点だったんだけど、まあ無理ですね。 AoPSをみたら色々なアイデアが出ていて、それについては非常に面白いといえる
これは全く私の精神活動上の個人的な感想というか整数論に対する主観的な評価なのですが、ある定理で、4k+1 does workだと 4k+13 does workという事実に
気づくのが難しかったと同時に、もしその事実があるときにはinductionができるというのが合体してるのではないかと思いますね、エレガントさの評価として。
幾何の問題で、 Ｘ，Ｉがあるときには、パスカルの定理がapplyできますということだと思うのですが。それはただその事実にきづくのが難しいと思っただけだからですがね。
そーよ、あん、佐藤さんというもぐらのよ、多分甲斐さんの友達じゃろけんどんよ、平成４年に東大法学部を出たげなけんどんよ、まーつまらんしてよ、なんよ、あん数学の解き方でよ
だりも解けんのがあるけんどんよ、どんげして解いたらいいか分からんでよ、ひとつもよ、あんよ、計算したらよ、４で割ってかいよ、余りが１と２んときじゃねえかちゆうやつでよ
じゃけんどんよ、一般的には言えんかいちゆうてよ、いくら考えても分からんでよ、まあつまらんしてよ、自分で思いつかんき腹が立ってよ、そん超難問ちゆうのがどんげなもんじゃろかいち
思ったときによ、まー、一つも分からんでよ、考えたこつがねえかいよ、まーつまらんこつこの上ねーしてよ、あん甲斐さんちゅうのがよ、なんで思いつかんかいちゆうても全然分からんでよ
知らんかいじゃろとおもうけんどんよ、知らんかいちゆうかよ、整数論じゃったらよ、個別の問題ごとにアイデアが違うかいよ、しっちょるアイデアじゃったら出てくるけんどんよ、知らんかったら
どんげもならんちゆうかよ、どんげもならんとじゃないかいと思うとよね、あん佐藤さんがよ、黒羽新人セミナーやったらこつがよ、まーつまらんでよ、考えても一つも分からんしつまらんかいきよ
なんであんげなつまらんこつがあったかいちゆうくらいつまらんでよ、考えたこつがねーもんが考えたこつがねーき分からんでよ、あんげなつまらん人の家に入って行ったこつはねーちゆうかよ
じゃきよ、最近よ、佐藤ちゆうものすげ、つまらんもぐらがおってよ、色んな学校でよ、そん幾何学っちゅうやつをよ、教えよるとがけんどん、滅茶苦茶つまらんちゃが
教頭のおりもよ、聞きよるけんどん、なんがでちくるか分からんし、くそつまらんちゃが
あんよ、おりもよ、むかしよ、整数論やっちょってよ、問題がわからんきよ、数式の中にはいっちょる定理をみつくるぐらいのこつはよ、５０年前はやりよったつけんどんよ、
佐藤ちゆうもぐらのよ、幾何学の講義のよ、ものすげつまらんしてよ、なんき、パスカルの定理ちゅうのがあってよ、結論はよ、美しちゃけんどんよ、なんき、証明ちよ
分かるはずがねーとよ、あんよ、あん図形があってよ、どんげして証明するかち、まー分からんしよ、面白くねえしよ、たまらんちゃが
パスカルの定理はよ、もぐらがゆうこつにはあんま、有名な定理じゃきよ、有名過ぎて証明は簡単に終わるちいいよるけんどんよ、あんま何言いよるかわからんでよ
そん講義をきいちょってもよ、演習の時間はついちょらんしよ、自分ででくるごつならんしよ、何も生産性ねーしてよ、なんも出てこんきよ、腹が立つだけでよ、面白くねーっちゃが
x^4+y^4=z^4の証明は、フェルマーが最もエレガントな方法でやっていると思うが、 n=3の証明は公開もされていないし滅茶苦茶でインターネットには記載がない。
フェルマーの証明は、平方数の定理を使うというのが少しきついが、 オイラーの証明は滅茶苦茶すぎる。
更に、x^2+y^2=z^2のときは、解があるが、自分でノートに書いて検討してみたが、これを表示するのは難しく諦めた。
多分自分で考えても分からないと思いますよ。互いに素で、ｘ、ｙは入れ替えてもいいくらいのことしか条件がないからね。ノートに書いたときに分かるのは、3^2+4^2=5^2が該当する
というだけでお先真っ暗。何で分からないとかといっても、整数論をちゃんと教科書を使って体系的に勉強していないからだと思う。
大体、私はほとんどの分野を教科書をつかって体系的に勉強していない。須佐は理系だし、東京ぺちちの病院にいるからやったのかも知れないがそういうことに関しては口を割らないしね。
コラッツ予想で、 次のフォームをした自然数が存在するので、ｎ→∞のところでも、予想が成立することがバカのお前でも分かるだろう。つまり、無限大のところで操作をしても予想は成立する
から、論点はそれ以外での自然数ではどうかということとなる。２のべき乗になってしまえば結論は自明である。
n | 1/3 (4^n - 1) このかたちをした自然数は、３倍して１を足すと、 4^nになるため、あとは延々と２で割っていけば１に到達する。
1 | 1
2 | 5 → １６
3 | 21 → ６４
4 | 85
5 | 341
6 | 1365
7 | 5461
8 | 21845
9 | 87381
10 | 349525
この問題はおそらく素朴整数論の世界で、素朴整数論にはいかんながら、怒髪天をつくような技術的着想といっても私がみた範囲だと、Lemmaを作るとか、シンメトリーキャンセル
あとはなんか、無限降下法とかそういうものしか、ものの本には載っていないように思う。
ただし、怒髪天を衝く着想といっても、それを自分で編み出すとなるととんでもないことになるが、問題集にパターン化されていたら造作もない。平成の参考書では、問題集にパターン化
されているものもあればないものもあるが、市販の問題集にパターン化されていないで知らないものはどうしようもなかろう。
昭和３０年代頃は裁判官が自分で法解釈を編み出していたりしていた時代もあったが、今は腐れ果てていてそんなことはしていない。
それからそもそも数学に関して、解法を編み出すというのか、発見するのは数学者の仕事で裁判官の仕事ではないから、東大理学部数学科か東大図書館にいけばものの本はあるかも知れないが
もはやそういう本は、FF９の忘れられた大陸みたいな感じで、ぴょららららーぴょららーららららら、らーららららら、らららららららーぴーぽっぽぽーぽぽぽぽーぽぽぽぽぽーぽ、ぽｐ－ぽぽおおぽぽぽぽぽぽー
えー、押方彰一先生は、なんですか、昭和５６年頃に、鹿児島大学ですよね、で、川崎浩二先生は同じころに上越大だったと思いますが、押方彰一先生は、高千穂町の三田井に家がありますよね
授業では、数学の最高なものは教えられなかったですね。さっきもいったように、１から１０までの足し方の簡潔な技術を教えられただけでまあなんとかそこまではノートに書いて
でも授業は全然最高じゃなかったので、つまらなかったですね。そしてこの先生はその後に色々なところに行きましたが、知りません。
西階中学校では、隆子先生が、有理数という概念を導入して、女子生徒が盛り上がっていましたがそれくらいの記憶しかない。私はその後から二次関数などに興味を持ち始めたので、
この豊満隆子先生というのですか、担当の先生ではないですから知りません。
えー、で、延岡西高校の数学の先生は、なんか色々いたような気もしますが、日向市のあれはなんだったか、末永祐治先生は、複素数の定理しか教わった記憶がないですね、この先生は演習も
全然やらないので。 北九州予備校に行ってから、難関大数学の田辺先生から、一橋大学の過去問題を通じて、数論に興味が出るようになった。それ以前は数論とかやったことがなかった。
えー、田辺先生の授業は、回転体の体積の求める授業とか色々あったので、その時に、一橋大学には整数論のプロフェッショナルがいるとかいって、非常に簡潔なやり方で、出るとかね
里見先生の授業はなんだったか、華々しい先生と有名だった割には数学の授業では全然面白くなかったですね
里見先生がやっていた線形計画法（Liniar Programing)は、結局、東大の入試に出ました。私の年に。でも全然使えなかったですね。
