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はてなキーワード: 自然数とは

2016-11-27

掛け算の順序には意味がある

私は,某国立大理学部数学科学生です.先日,掛け算の順序問題についてどう思うかと友人に尋ねられました.その際に,友人と議論したことを踏まえて,私の意見をまとめておこうと思います.

1. 掛け算の順序には意味がある.

 掛け算の順序には意味があります.インターネットには「掛け算の順序には意味なんてないのに,うちの子担任意味があると教えている! 文章題の採点も,"正しい順序"の式を書いていないと間違いにされてしまう!」と激怒する親御さんが度々現れますが,文章題の採点基準については後述するとして,なんにせよ,掛け算の順序には意味があります.

 小学校では,「3×4」を「3+3+3+3」で《定義》しているはずです(もちろん,「3×4」を「4+4+4」で《定義》してもよいのですが,そのように教える先生はいないでしょう.この文章では,以下「3×4」を「3+3+3+3」で《定義》しているものとして話を進めます.)つまり,「3×4」は「3+3+3+3」という《意味》であり,「4×3」は「4+4+4」という《意味》です。掛け算に意味がない,つまり「3×4」と「4×3」は同じ《意味》だと言う人は,「3+3+3+3」と「4+4+4」が同じ《意味であると言っているわけですが,そんな馬鹿げたことがありうるでしょうか.

 「でも,実際に3×4=4×3になるじゃないか!」と言う人がいるかもしれません.確かにそうなります.しかし,「3×4=4×3」とは,言い換えれば,「3+3+3+3=4+4+4が成立する」という定理なのであって,全く非自明なことです(敢えて"非自明"という言い方をしましたが,乗法交換法則を,小学生にも分かるように説明できる大人は,そう多くないのではないかと思います).

2. 文章題を「正しく」理解するということ.

 小学校における文章題の採点で最優先すべきは,「正しく」理解していない生徒にマルを付けたり,「正しく」理解している生徒にバツを付けたりすることがないようにすることです.

 さて,文章題を「正しく」理解するとはどういうことでしょうか.例を出して考えてみましょう.

問題:1皿につき5つの飴が入っており,皿は全部で3皿あります.さて,飴は全部でいくつあるでしょう.

解答例A:5×3=15 答え15個

解答例B:3×5=15 答え15個

 ここでは,実際の教育現場先生がこれらの解答をどう扱うべきかという話はしません.これらの解答を書いた生徒がこの問題をどのように捉えていれば,この問題を「正しく」理解している,あるいは「正しく」理解できていないことになるのか,という話をします.

 解答例Bについてのみ議論すれば十分かと思われますので,解答例Aについては各自で考えてください.

 解答例Bを書いた児童が, 例えば以下のように捉えているならば,この問題を「正しく」理解しているとは言えません.

生徒X:飴が1皿につき5個入っていて,皿は全部で3皿ある.従って,飴の総数は5+5+5=3×5=15個(※掛け算の《定義》が分かっていない)

生徒Y:数字の3と5が出てきたから,3×5=15個(※最も危惧すべきパターンです)

 逆に, 解答例Bを書いた児童が, 例えば以下のように捉えているならば,この問題を「正しく」理解していると言えます.

生徒Z:飴が1皿につき5個入っていて,皿は全部で3皿ある.従って,飴の総数は5+5+5=5×3,ところで掛け算の交換法則から,5×3=3×5=15個

生徒W:皿は3皿ある.もしも1皿につき1つの飴が入っていたとしたら飴の総数は3である.ところが,実際は,飴は5個入っているから,飴の総数は3+3+3+3+3=3×5=15個.

 要するに,「3×5」という立式をする際に,「3+3+3+3+3という計算をするのが妥当な状況である理解している」あるいは,「5+5+5という計算をするのが妥当な状況である理解しており,かつ,掛け算の交換法則理解している」状況のとき,「3×5」と立式した生徒は,この文章題を「正しく」理解していると言えます.

3. 実際の教育現場での採点基準について.

 2.での議論を踏まえれば自明に分かる通り,立式だけでは必ずしもその立式をした児童文章題を「正しく」理解しているかどうか判断することはできません.従って,別の方法判断せざるを得ないわけです.私は,式を書くスペースの他に,図や文章説明する余白を設けて,児童記述させればいいのではないか,と思います.授業中に,そういう説明の仕方についての指導も行えばなおよいのではないでしょうか(式を書くだけでなく,その説明もするという訓練はとても大切なことですし,理解度が深まることも期待できます).もちろん,式は正解になりうるが説明欄が意味不明という状況もあるでしょう.そういう児童に対しては,個別に「これはどういう意味なの?」と訊き,十分な答えが得られたら正解にしてあげるべきだと思います.「そんな時間や労力はない!」などと言われそうですが,理解していない生徒がマルをもらったり,理解している生徒がバツをくらったりする現状は,やはり異常ではないでしょうか.

追記1.

ですから先生は,掛け算の《定義》を児童にきちんと伝えておくことが必要だと思います.

追記2.

インターネットには,Zは可換環から云々との意見がありますが,小学生にとって自然数は,極めて素朴な対象として存在しているのであって(人類にもかつてはそうだったのでしょう),従って小学校算数は,小学生にとっても直観的に明らかな事柄から,内容を自然拡張するようにカリキュラムを組むべきだと思われます.掛け算を習ったばかりの小学生にとっては,「×」は可換環Zに定義された乗法ではなく,前の数を後ろの数の回数だけ足すという記号です.

http://anond.hatelabo.jp/20161127001318

この文章では,数学的な厳密さとはある意味対照的に,素朴な自然数の掛け算の定義から出発して話を進めています.

2016-10-24

http://anond.hatelabo.jp/20161023231826

とりあえず部分点狙いで。

自然数mに対して、1つ小さい (m-1) に関して二乗すると

(m-1) * (m-1) = m^2 -2*m +1 になるので、これは必ず mで割ると1余る。

2016-10-23

誰かこの中に次の問題を解ける増田はいらっしゃいませんか

自然数m以下の数であって、mと互いに素な数をm(j) 1≦j≦rとし、その集合をSとする

このとき、Sの任意の数nに対し、あるm(j)があって、nm(j)はmで割ると1余ることを示せ。

前に京大入試問題を解いていた増田がいましたが、京大レベル以上だと思います

宜しくお願いします。

2016-09-24

http://anond.hatelabo.jp/20160924060939

12進数でもキリがいい数字は生まれしまうのでよくない。

フォンノイマンによる自然数構成法で表記すれば「キリがいい数字」は存在しなさそう。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

0 := {}

1 := suc(0) = {{}}

2 := suc(suc(0)) = {{}, {{}}}

3 := suc(suc(suc(0))) = {{}, {{}}, {{},{{}}}}

2016-05-12

memo

Web + DBより

Git

コミットを遡る指定
HEAD ~1

HEADの親

HEAD ~2

HEADの親の親

HEAD ^1

HEADの1番目の親

HEAD ^2

HEADの2番目の親

コミット指定する方法
HEAD

現在ブランチの最新コミット

ORIG_HEAD

git merge や git reset でHEADが移動してしまう.

ORIG_HEADを使うことで移動前のHEADを指定できる.

FETCH_HEAD

git fetch によってリモートリポジトリから取得した最新のコミット指定できる.

変更履歴確認する方法
git log --oneline

logを一行で表示する.

git log --decorate

tag名前ブランチマージ履歴を表示する.

git log --follow FILENAME

FILENAMEファイルの変更履歴を,たとえ途中でリネームされたとしてもそれも見る.

git log --author <name>

nameログ検索できる.

git log --graph

ブランチコミットグラフを表示する.

git log -p

コミット差分を表示する.

差分を見る
git diff <base commit>...<opposit commit>

コミット差分を表示する.

トリプルドット指定する必要がある点に注意しましょう.

問題のあるコミットを探す
git log -S "string"

履歴string検索する.

git bisect start <bug commit> <correct commit>

二分探索の開始

git bisect good

提示されたコミットが正しい挙動を示すとき

git bisect bad

提示されたコミットが正しくない挙動を示すとき

git bisect reset

二分探索の終了

rebase
git checkout <branch name, needs to be rebased>
git rebase <base of rebase>

rebase

注意
git pull --rebase

git pull は git fetch + git merge

merge ではなく rebase したい場合に利用するのがよい.

git log --merge

コンフリクトを発生させたコミットを表示する.

高度な機能
git stash

内容の退避

git stash pop

退避した内容の復活

git stash list

退避した内容の一覧

git worktree

作業ワークツリーの追加

git submodule

外部のリポジトリ管理する

git rebase -i HEAD~N

Nは自然数

過去コミットを消したり編集したりする.

最新からN個まえのコミットまでを対象編集できる.

編集時にエディタが開くが,編集を終えてエディタを閉じてもrebase機能しないことがある.

その場合は次のように, .gitconfig へエディタパスを書けばよい.

   [core]
     editor = /usr/bin/vim
フック

2016-04-30

平方数の数字根は必ず「1,4,7,9」になることの証明

各桁の和を求める操作を1桁になるまで繰り返したときの値のことを

数字根と言うそうです。

http://anond.hatelabo.jp/20160429165138

この記事の、

「平方数の数字根は 1, 4, 7, 9 の四通りの値しか取らない」ことの証明

以下のような感じになると思います

証明の前に、先に数字根の重要性質について述べておきます

進数場合、ある自然数 N の数字根は N%9 (ただし0のときは9) に等しくなります

(「N%9」の意味について補足しておくと、

「n%m」は、数学的には「mを法としたnの剰余」とか「n mod m」とか書かれますが、

書くのが手間なのでここでは「n%m」の表記を使います

要するに「nをmで割った時の余り」です。)

理由は大雑把に書くと次の通りです。

まず各桁に 9 や 0 がある場合、その桁は足す必要がないことが判ります

(例えば 19→1+9=10→1+0=1 とか 906→9+0+6=15→1+5=6 の様に 9 や 0 は消えます。)

さらに、途中で任意複数の桁の和が 9 になる場合もそれらの桁をスキップ出来ます

(例えば 12345→1+2+3+4+5=15→1+5=6 ですが 1+2+3=6 を計算するだけで良いのです。)

これらを一言で言うと上の再掲になりますが、

「十進数場合、ある自然数 N の数字根は N%9 (ただし0のときは9) になります。」

ということです。

ここで N を 3k, 3k+1, 3k+2 (k≧0 の整数) の三通りに場合分けして考えてみます

N=3k のとき(ただし k=0 の場合は除く):

平方数は Nの2乗 = (3k)の2乗 = 9x(kの2乗) なので、

平方数の数字根は (9x(kの2乗)) % 9 = 0 つまり 9 になります

N=3k+1とき

平方数は Nの2乗 = (3k+1)の2乗 = 9x(kの2乗) + 6k + 1 なので、

平方数の数字根は (9x(kの2乗) + 6k + 1) % 9 = 1, 7, 4, ... の循環になります

N=3k+2 のとき

平方数は Nの2乗 = (3k+2)の2乗 = 9x(kの2乗) + 12k + 4 なので、

平方数の数字根は (9x(kの2乗) + 12k + 4) % 9 = 4, 7, 1, ... の循環になります

従って「平方数の数字根は 1, 4, 7, 9 の四通りの値しか取らない」ことが判ります

(ついでに 149779419149779419 ... の循環数になっていることも示されました。)

----------------------------------------------------------------

余談ですが、任意の桁数で連続する数字の平方数について次のような性質があります

ある一桁の整数 m が k 桁連続する場合、(例えば m=7, k=10場合7777777777)

「それの平方数を k 桁毎に分割して和を求め、結果が k 桁以内になるまで繰り返す」

という操作を行ったときの結果は、

「 (k x m x m) % 9 が k 桁連続した値」に等しくなります

または、

「k x m x m の数字根が k 桁連続した値」に等しいとも言えます

(ちなみに k x m x m の数字根は、先に k の数字根 i と m x m の数字根 j を求めて

i x j の数字根を求める手順にすると計算が楽になります。)

例えば m=7, k=10場合

7777777777 x 7777777777 = 60493827148395061729

6049382714 + 8395061729 = 14444444443 (これが 11 桁なのでさらに分割します)

0000000001 + 4444444443 = 4444444444 となりますが、

もっと簡単に

(k x m x m) % 9 = (10 x 7 x 7) % 9 = (1 x 4) % 9 = 4 なので

4 が 10連続することが判ります。(10数字根が1、7の平方数の数字根が4)

例えば m=7, k=2 の場合

77 x 77 = 5929

59 + 29 = 88 ですが

(k x m x m) % 9 = (2 x 7 x 7) % 9 = (2 x 4) % 9 = 8 なので 8 が 2 桁連続

例えば m=7, k=3 の場合

777 x 777 = 603729

603 + 729 = 1332

001 + 332 = 333 ですが

(3 x 7 x 7) % 9 = (3 x 4) % 9 = 12%9 → 1+2 = 3 なので 3 が 3 桁連続

例えば m=5, k=8 の場合

55555555 x 55555555 → 30864196 + 91358025 → 1 + 22222221 = 22222222 ですが

(8 x 5 x 5) % 9 = (8 x 7) % 9 = 56%9 → 5+6=11 → 1+1=2 なので 2 が 8 桁連続

例えば m=6, k=13 の場合

(13 x 6 x 6) % 9 = ((1+3) x (3+6)) % 9 = (4 x 9) % 9 = 0 なので 9 が 13 桁連続

もうここまでくると暗算で出来ますね。

奇数の積から偶数が出てきたり偶数の積から奇数が出てきたりするのが面白いですね。

これらは任意の N進数でも成立します。(n%9 の代わりに n%(N-1) を使います。)

16進数場合

FFFF x FFFF = FFFE0001 → FFFE + 0001 = FFFF ですが、

m=F, k=4 より (4 x F x F) % F = (3+8+4)%F = F なので F が 4 桁連続と判ります

8進数場合

666 x 666 = 566544 → 566 + 544 = 1332 → 1 + 332 = 333 ですが、

m=6, k=3 より (3 x 6 x 6) % 7 = (1+5+4)%7 = 12%7 = 3

(12 は 8進数表記であることに注意) なので 3 が 3桁連続と判ります

興味があるひとは是非他の値で実際に計算して確認してみてください。

最後まで読んでいただいてありがとうございました。

q23lfZvn.g

2016-04-29

平方数の各桁の和を求める操作を1桁になるまで繰り返すと

任意自然数Nを2乗した数の各位の和を求める操作を1桁になるまで繰り返すと

結果は「1,4,7,9」の4通りにしかならない。

という命題証明する方法

1の2乗=1

2の2乗=4

3の2乗=9

4の2乗=16 → 1+6=7

5の2乗=25 → 2+5=7

6の2乗=36 → 3+6=9

7の2乗=49 → 4+9=13 → 1+3=4

8の2乗=64 → 6+4=10 → 1+0=1

9の2乗=81 → 8+1=9

10の2乗=100 → 1+0+0=1

11の2乗=121 → 1+2+1=4

12の2乗=144 → 1+4+4=9

13の2乗=169 → 1+6+9=16 → 1+6=7

14の2乗=196 → 1+9+6=16 → 1+6=7

15の2乗=225 → 2+2+5=9

16の2乗=256 → 2+5+6=13 → 1+3=4

17の2乗=289 → 2+8+9=19 → 1+9=10 → 1+0=1

18の2乗=324 → 3+2+4=9

19の2乗=361 → 3+6+1=10 → 1+0=1

20の2乗=400 → 4+0+0=4

149779419...という循環数になってるっぽい?

(63は9で割り切れるので9になるはず)

63の2乗=3969 → 3+9+6+9=27 → 2+7=9

64の2乗=4096 → 4+0+9+6=19 → 1+9=10 → 1+0=1

65の2乗=4225 → 4+2+2+5=13 → 4

2016-02-26

半径2cmの円の面積のより精確な答え

円の面積は

半径×半径×円周率

で求めることができる。

半径2cmの円の面積を計算してみよう。

円周率無理数なので、無限に桁があるから数値計算をするときには筆算だけするというわけにはいかない。

よっていくつかの工夫を用いる。

a.)円周率π=3.1415926535…を用いて計算する。実際はできないが、できるとする。今回はエクセルPI関数を用いて計算したもの代用した。これを真の値とよぶことにする。

b.)円周率3.14として計算する。筆算などを行う。これを小学校計算とよぶことにする。

c.)円周率有効数字3桁の概数3.14として計算する。bの計算結果を有効数字3桁の概数で表せばよい。これを概数計算とよぶことにする。

結果は以下のようになる。半径が2cmのとき、半径×半径は2×2=4である

a.)4×3.1415926535…=12.56637061…

b.)4×3.14=12.56

c.)4×3.14…=12.56…≒12.6

このときbとaの差は

12.56-12.56637061…=-0.00637061…

cとaの差は

12.6-12.563761…=0.03362938...

となる。

つの値を比較してみると分かる通り、

概数計算の結果12.6よりも、小学校計算の結果12.56の方が真の値12.56637061…に近い。


今度は半径19cmの円の面積を計算してみよう。

a.)361×3.1415926535…=1134.114948…

b.)361×3.14=1133.54

c.)361×3.14…=1133.54…≒1130

今度は差をとらなくても、小学校計算の結果が概数計算の答えより真の値に近いことがわかるだろう。

エクセルで他の数についても調べてみよう。

自然数n a.)πn b.)3.14n c.)有効数字3桁の概数 d.)bとaの差 e.)cとaの差 f.)eとdの絶対値の差
1 3.141592654 3.14 3.14 -0.001592654 -0.001592654 0
2 6.283185307 6.28 6.28 -0.003185307 -0.003185307 0
3 9.424777961 9.42 9.42 -0.004777961 -0.004777961 0
4 12.56637061 12.56 12.6 -0.006370614 0.033629386 0.027258771
5 15.70796327 15.7 15.7 -0.007963268 -0.007963268 1.77636E-15
6 18.84955592 18.84 18.8 -0.009555922 -0.049555922 0.04
7 21.99114858 21.98 22 -0.011148575 0.008851425 -0.00229715
8 25.13274123 25.12 25.1 -0.012741229 -0.032741229 0.02
9 28.27433388 28.26 28.3 -0.014333882 0.025666118 0.011332235
10 31.41592654 31.4 31.4 -0.015926536 -0.015926536 3.55271E-15
11 34.55751919 34.54 34.5 -0.017519189 -0.057519189 0.04
12 37.69911184 37.68 37.7 -0.019111843 0.000888157 -0.018223686
13 40.8407045 40.82 40.8 -0.020704497 -0.040704497 0.02
14 43.98229715 43.96 44 -0.02229715 0.01770285 -0.004594301
15 47.1238898 47.1 47.1 -0.023889804 -0.023889804 0
16 50.26548246 50.24 50.2 -0.025482457 -0.065482457 0.04
17 53.40707511 53.38 53.4 -0.027075111 -0.007075111 -0.02
18 56.54866776 56.52 56.5 -0.028667765 -0.048667765 0.02
19 59.69026042 59.66 59.7 -0.030260418 0.009739582 -0.020520836
20 62.83185307 62.8 62.8 -0.031853072 -0.031853072 7.10543E-15
21 65.97344573 65.94 65.9 -0.033445725 -0.073445725 0.04
22 69.11503838 69.08 69.1 -0.035038379 -0.015038379 -0.02
23 72.25663103 72.22 72.2 -0.036631033 -0.056631033 0.02
24 75.39822369 75.36 75.4 -0.038223686 0.001776314 -0.036447372
25 78.53981634 78.5 78.5 -0.03981634 -0.03981634 0
26 81.68140899 81.64 81.6 -0.041408993 -0.081408993 0.04
27 84.82300165 84.78 84.8 -0.043001647 -0.023001647 -0.02
28 87.9645943 87.92 87.9 -0.044594301 -0.064594301 0.02
29 91.10618695 91.06 91.1 -0.046186954 -0.006186954 -0.04
30 94.24777961 94.2 94.2 -0.047779608 -0.047779608 0

話題になったn=121のあたりはこのようになる。

115 361.2831552 361.1 361 -0.183155163 -0.283155163 0.1
116 364.4247478 364.24 364 -0.184747816 -0.424747816 0.24
117 367.5663405 367.38 367 -0.18634047 -0.56634047 0.38
118 370.7079331 370.52 371 -0.187933124 0.292066876 0.104133753
119 373.8495258 373.66 374 -0.189525777 0.150474223 -0.039051554
120 376.9911184 376.8 377 -0.191118431 0.008881569 -0.182236862
121 380.1327111 379.94 380 -0.192711084 -0.132711084 -0.06
122 383.2743037 383.08 383 -0.194303738 -0.274303738 0.08
123 386.4158964 386.22 386 -0.195896392 -0.415896392 0.22
124 389.557489 389.36 389 -0.197489045 -0.557489045 0.36

以上の表は

http://tetsu23.my.land.to/table.htm

を利用してコピペした。

なお使用した関数は2列目2行目より左から順に

=A2*PI()

=A2*3.14

=ROUND(C2,2-INT(LOG(C2,10)))

=C2-B2

=D2-B2

=ABS(F2)-ABS(E2)


確かにn=121においては、概数計算の結果380の方が小学校計算の結果379.94よりも真の値380.1327111…に近い。

ところが次のn=122の場合では小学校計算の結果の方が概数計算の結果よりも真の値383.2743037…に近い。

表の右端の列でbとaの差、cとaの差の絶対値の大きさを比較をしている。すなわち、bとc2つの計算結果の真の値との距離の差をとっている。

よって、右端の列の値が正のときのnにおいて、小学校計算の方が概数計算より真の値に近い、精確な答えを出せることになる。

小学校計算の方が概数計算より精確な答えを出せるnとそうでないnは、どちらの方が多いだろうか?




ところで、以上の議論ほとんど意味がない。

概数と定数値を同一に扱って真の値との距離比較しているからだ。

概数とは、ある点からの触れ幅を定義しているものであり、あるxの値がa≦x<bにあるということを言っているに過ぎない。

すなわち、n=121において121πが有効数字3桁の概数で380というのは

379.5≦121π<380.4

であるということを言っているにすぎない。

したがって、筆算の末に半径11cmの円を「379.94です!」と笑顔で言った子どもがいるのなら、

ちゃんと範囲内におさまる値を計算できた事をほめてやらねばならない。

ならば同時に380も380.1327111も正解とせよというのは一理ある。

ただし、これは面積の値をある精確さで以って求めよという問題に答えた場合であって、123.14筆算の結果を380とした子どもには計算が間違えっているとして×を与えなければならない。

なぜなら123.14=379.94なのだから…。

まとめると、

「半径11cmの円の面積を380㎠とした方が380.1327111…㎠により近い値であるから、答えを379.94㎠とするのは誤りである」という議論はなりたたない。

有効数字3桁の概数で計算した379.94という結果は、上から4桁目、5桁目が信頼のおけない数字であるという状態のものであるだけで、値の精確さ、すなわち真の値との距離の近さ競うものではない(上の表をみよ)。

信頼のおけない部分を丸めた数値である380の方が、よりおおまかに信頼がおける数値だというだけである

なおn=300あたりから計算結果が4桁になり、1の位がまるめられるので、概数と真の値の差はより大きく感じられるようになってしまう。

エクセルをおもちならやってみてほしい。

間違ってるところがあったらプリーズテルミー。

円周率3.14問題雑感

まあ自転車置き場の議論感はあるけど, 自転車置き場の議論楽しいので許してほしい, と言い訳をした上で書く. くだくだしくどうでもいいことを書くのでお暇な方だけどうぞ. 私自身は円周率3.14で教えるべきか否か, というのには特に意見がない. それはそれとして, の話.

追記:増田勝手に半角の不等号を文字実体参照に直すのやめろ!!!!!(全角に直した)

2016-01-02

新年早々、クイズを出した者ですが

20, 20, 96, 96 の 4 つの自然数をすべて使い, +, ー, ×, ÷, カッコを組み合わせて 2016 を作ってください.

via. http://anond.hatelabo.jp/20160101205726

なんと出題してから 2 時間足らずで正解が出てしまうとは驚きました. 特に景品とかはないですがおめでとうございます. 付き合ってくれてありがとう.

回答を見てからあらためて気づいたんだけど, あの部分が 20 でピッタリ割りきれてしまうため, ゴリ押しでたどり着くこともできちゃうので難易度設定が今ひとつだったかも.

2 個の 21 と 2 個の 95 にしておけばよかったな.

2016-01-01

新年早々、クイズです

20, 20, 96, 96 の 4 つの自然数をすべて使い, +, ー, ×, ÷, カッコを組み合わせて 2016 を作ってください.

なお, それぞれの自然数は合体したりひっくり返したり等のトリッキーな扱い方はせず, そのまま使うものします.

2015-11-01

kを自然数とし、P(x)をn(>1)次の整数係数多項式とする。

P(x)をk回合成した合成関数Q(x)=P(P(・・・P(P(x))・・・))

について、Q(t)=tを満たす整数tは高々n個であることを示せ藻前

2015-09-04

日本数学オリンピック本選の次の問題検討できない奴はカス


pを任意素数、mを任意自然数とする。自然数nをうまく選べば、p^nに0がm個以上並ぶ部分があるようにできることを示せ。

2015-07-24

座標の2つの自然数公約数があるとその間に格子点があることも理解できないバカ死ね

2015-06-01

巷の4コマ漫画に対して一言申したい

4コマ漫画」は「コマが4個並んでいる漫画」とは違うんです!

俳句が、ただ五七五のフォーマットに従っているだけでは駄目で、季語を伴っていないと俳句と呼べないように、4コマ漫画も「起承転結」を土台に組み上げられることではじめて「4コマ漫画」と呼べるというのが私の考えです!

じゃあそもそも「起承転結」って何なのよ、と言われそうなので、私の考える「起承転結」を説明したいと思います

「転」とは

まず一番分かりやすい「転」から

例えば

{1, 2, 3, 4, 5}

という数列があったとします。皆さんはこの後に 6 が続くだろうと予想しますよね?

そこで

{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 15 ...}

と続きを見せることで、読者に「あれ?予想と違うぞ?」と思わせます。これが「転」です。

事前のストーリーの流れで何らかのパターンを作っておいて、そのパターンをがらっと変えるのが「転」の役割です。

「結」とは

「承」で「{1, 2, 3, 4, 5} と来れば次は 6 だろう」と思わせておき、「転」で 8, 9, 15 と流れを変えて「あれ、おかしいな?」と思わせて、最後

「実はこの数列は、A(n) = n ではありません。正解は

『n および n + 1 の約数がすべて 5 以下となるような自然数 n を小さいものから順に並べたもの

でした!」

という種明かしをして「なるほど!(スッキリ)」とさせる、これが「結」の役割です。

和音進行で例えると、ドミナントコード不安定な状態からトニックに推移して解決するという構造に似ています

もしも「転」で「あれ、おかしいな?」と思わせなければ「結」の種明かしのオチが活きてきませんよね。

「転」が充分に機能することで、はじめて「結」の面白さが出てくるのです。

「承」とは

もしも初めに見せられた部分数列が {4, 5} の二つだけだったら、

{4, 5, 8, 9} ... と続きの数列を見せても、あまり「あれ?」という感じにはならないですよね。頭の中でパターンが出来ていないためです。

はじめに {1, 2, 3, 4, 5 ...} というまとまった長さの数列を見せることで、はじめて読者に「次は 6 が来そうだな」と思わせることが出来て、「転」に繋げることが出来るのです。

このように、読者の頭の中に何らかのパターンを想起させるのが「承」の役割となります

「承」が充分な力を持っていないと「転」が死んでしまます。当然、それにつられて「結」も死ぬことになります

なお、一番シンプルで分かりやすい「承」の作り方は、「似たような場面のコマを2つ連続させる」などが挙げられます。(サザエさんによくある)

「起」とは

既に「承」「転」「結」で言いたいことをほとんど言ってしまったので、「起」について特筆すべきことはないのですが、敢えて役割定義すると

「『承』への橋渡しとなる情報提供すること」

と言えます。さきほど、与えられた部分数列が {4, 5} だけだと「承」が活きてこないということを説明しましたが、「承」を活かすための情報({1, 2, 3})を渡してやるという重要役割を担っています

以上で起承転結それぞれの役割について解説しましたが、これらの要素がそれぞれ独立して生きているわけではなく、相互作用をすることではじめて全体として意味をなすこと、どれか一つでも欠けるとその他の要素がすべて死んでしまうことがお分かりになるでしょうか。

この考え方を意識しながら、あらためてサザエさんコボちゃん等を読んでみてください。話そのもの面白いかどうかは別として、構成がきちんと「起承転結」を意識して練られていることが分かるのではないかと思います

補足

このエントリで言いたいのは「もっと起承転結意識して4コマ漫画構成してほしい」ということであって

起承転結」に則っていない4コマ漫画面白くない

ということでは決してありません。

また、起承転結いろはを充分に理解した上で、敢えてそれを崩す(守破離)という手法全然ありです。

例えば1コマだけでストーリーコンテキストを読者に存分に伝えられる能力を持つ漫画家であれば、「起・承」を一つにまとめた3コマ漫画というフォーマット確立することも出来るでしょう。

最終的には面白ければ何でもありなのですが、少なくとも基本的な型はマスターしていて欲しいです!

クラシックでは、ハイドンモーツァルト交響曲の型(ソナタ形式・緩徐楽章メヌエットソナタ形式からなる四楽章構成)を作り、ベートーヴェンなどがその形式追従しつつ声楽など新しい要素を取り入れ、マーラー交響曲の体裁を保ちつつフォーマットを大胆に崩す、といった歴史がありますが、それは交響曲というフォーマットが充分に確立されていたからこそ出来たことなのです。

参考文献

オンライン整数列大辞典

2015-05-18

2というのは非常に融通の利く愛のある数であるのに対し

奇数はその愛で割り切れないのだから自然数の神は奇数

お嫌いになった。だから自然と,odd numberという名前

つけられた。級数和についても,神は,oddものの集合和

に対して,πという円満な数で表させるどころか,表示自体

嫌ったのだ。

2015-05-16

国際数学オリンピック2012年アルゼンチン大会第2問について解説講義を行う

国際数学オリンピック2012年アルゼンチン大会第2問について解説講義を行う

2012 アルゼンチン大会 第2問

3以上の整数nと,正の実数a2,a3,⋯,anがa2a3⋯an=1を満たしているとき以下の不等式を証明せよ:

(a2+1)^2(a3+1)^3⋯(an+1)^n>n^n

左辺の一個一個をAM-GM不等式で評価して辺々掛け合わせれば簡単に求まります

ここで重要なのは,1をそれぞれ1/2+1/2とか1/3+1/3+1/3とかに分解してからAMGM不等式を使うと

適当な不等式が得られると言うことです。こういう技術は交代級数の変形などとは違って大学受験数学でも

みっちりやらされているので,日本ではけっこうな人が思いつきやすいのではないかと思います

これがIMO問題にもかかわらず日本人に取り付きやすいのは,日本人AMGM不等式とその技術について

大学受験数学で十分教え込まれいるからであり,その着想で整然と整理すると,きれいに答えに行き着くと思います

ここで

1979年度の国際数学オリンピック第一問

p とq を自然数として,

p/q =1−1/2 +1/3 −1/4 +⋯−1/1318 +1/1319

が成立するときp は1979 の倍数となることを証明せよ

を引き合いに出します。IMO問題に一貫しているのは,これからも分かるように,美しいテクニックを知っていることと,次に,それを使って所要の形までこぎつけた上で,次に華麗な操作を施して華麗に結論に至る,ということは明らかです。どの問題にもこのような思考システムが内在しているから,まず美しいテクニックを多く知っていることと,解答者が,見出した式をいかに華麗に取り扱うかが重要であることがわかります

この問題については,交代級数を変形する技術を知らなければほとんど詰みます

その技術を知っていると,右辺を1/660+・・・+1/1319

に変形できるので,両側から足していくと,分子に1979が現れ,くくりだせることによって,pが1979の倍数であることが説明できるという仕組みです。

いずれにしても,高度なテクニックを知ること自体も難しいし,その後に美しい整理をすることも難しい話であって,単なる形式論理問題にすぎないなどとみていては甘く,頭がよほど制限集中しており,知っているテクニックを用い華麗の上に華麗な操作を施していくというような職人芸的センスがないと,数学の分野では成果が出ません。

2015-05-15

1979年度の国際数学オリンピック第一問

p とq を自然数として,

p/q =1−1/2 +1/3 −1/4 +⋯−1/1318 +1/1319

が成立するときp は1979 の倍数となることを証明せよ

交代級数を変形する技術を知らなければほとんど詰む問題

その技術を知っていると,右辺を1/660+・・・+1/1319

に変形できて,両側から足していくと1979がくくりだせるという仕組み。

2015-05-06

For example

x^n + y^n = z^n となる0でない自然数 (x, y, z) の組が存在しない

という定理については,パソコンでしらみつぶしに探すことはできても,nが一般数である以上,パソコンでは無限時間を要し,結局は人間の脳がnの場合にも成立する一般的アイデアを見出さないといけない。

しかし,この定理証明するには,世界中のあらゆる数学狂がとりかかっても400年を要したものであり,その証明も,難解なものであり,容易に発想できないものである

2015-04-04

夜型が治らない

6日には朝型に戻らなきゃいけない

極論19日までに治ればいいんだけど、一応大学生っていう身分を全うするためには今すぐに治す必要がある

.

いっそ1日徹夜するかって考えて今に至る

でもってお腹すいたんだけど、今腹を満たしたらすぐに寝られる自信がある

てことで今日も空腹を紛らわすために駄文を書き連ねる

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今月19日は資格試験らしい

半年前に今回の一つ格下の試験を受けたら勉強時間40時間程度で受かったので今回もまあどうにかなる、わけないか

今の今までテキストに手付けてなかったけどそろそろやるか、って思ってるところ

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うそ

半年前の格下の試験、余裕で受かった~~~wwwwってやってたら、知り合いで本当になんかタコみたいな人間が一つ上の試験合格してたらしくて微妙な気持ちになった

そこでやる気出して今の今まで勉強してれば今更焦ることもないんだけどね。やってたことは大学のつまら勉強ネトゲ

わからん、そこで脇道にそれないからこそ知り合い一号くんは受かったのかもしれない。タコって言ってごめんよ知り合い一号くん。

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ネトゲさ、存在を頭の片隅にでも置いておくと本当にやらなきゃって使命感に駆られる

得られるものなど何一つないというのにね。バカらしい。

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最近(数少ない)大学の知り合い二号が数検2級の問題に夢中らしい

で、なんか電話してて、この問題解いてって言われたわけだ

そのうちの1つがこれ

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問題

1番からn番までの電球n個と、それぞれの電球の番号に対応するon/offのスイッチがn個ある。

スイッチ最初すべてoffになっており、電球も消灯している。スイッチonになると電球が点灯する。逆も然り。

このスイッチに、

1.1の倍数のスイッチ操作する(すべてのスイッチonになる)

2.2の倍数のスイッチ操作する(偶数番目のスイッチがoffになる)

3.3の倍数のスイッチ操作する

………

n.nの倍数のスイッチ操作する(最後スイッチのみ操作する)

という操作を順番に行う

このとき、n=100であれば、最後操作を終えた時点で点灯している電球の数はいくつか

(文章は自前なので適当オリジナルはもうちょっとちゃんとしてるかも)

.

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こういう問題見ると日能研に通っていた頃をふと思い出すよね

日能研で解いた算数問題ってこういうのばっかりだった気がする

約数性質が分かってると一瞬で解ける

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うそう、知り合い二号、文章題が本当に解けないんだよね

文章読んでれば答えがあるような問題でも文章をちゃんと読めないっていうか

彼女(She)の2つの資格試験、そして今後のことを思うと大きな壁になると思う

なんか対処法あれば彼女の将来のために教えてね。あ、できれば彼女(She)の機嫌を損ねない方法で。

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腹減った。牛丼食いに行こ

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そういえばすき家値上げだってね。合掌。

うちから一番近いのすき家なんだよね。別に牛丼に味を求めてない人間としてはショックでござる。

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問題の答え】

n個の電球のうち、onになっている電球の数は√n(小数点第一位切り捨て)個。

.

前提として、100個電球があったら100回操作を行うわけで、そのときスイッチの番号の約数は全部洗い出される。

そのとき数字aの約数の数が奇数になる条件ってのは√aが自然数とき

その出現回数は、√nが1,2,3,4...って感じで1ずつ増えていくわけだから、√n個でそのまま解答できる。

.

.

これ面白くてさ

たとえば36の約数は1,2,3,4,6,9,12,18,36

約数の前から、後ろから1つずつ取って掛けあわせると元の数字になる

1*36 2*18 3*12 4*9 ぜんぶ=36

でも6は平方根で、約数の中でひとりぼっちなわけ

僕みたいだね。彼が存在するから、36の約数の数は奇数になる。

.

平方根自然数にならないとき、たとえば72とか

72の約数は1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

同じように前から後ろから1つずつ取ると

1*72 2*36 3*24 4*18 6*12 8*9 ぜんぶ=72

平方根くんが存在しないので72の約数の数は偶数

.

.

みたいなくだらないことを考えるのが好きでね

でも結局自分の知識の中で完結しちゃうし、他にこういうこと話す人間もいまんとこいないし

人生まらんー

2015-01-04

http://anond.hatelabo.jp/20150104001331

擦り下ろせば体積の比率として「1個のπ倍のりんご」は存在するけど、1個という概念独立な形でπ個を定義することはおそらくできない。

別にりんごに限った話ではなく、素粒子自然数しか存在し得ない。あるいは素粒子がnπ個存在する宇宙とかあり得るんだろうか。

2015-01-03

http://anond.hatelabo.jp/20150103233230

自然数ってのはなんで特別なんだろうな。

実数体という意味では、1もπも全く対等だと思うんだけど、

りんごがπ個存在する」ことはこの宇宙では起こり得ない。

その違いを決めているのは一体なんなんだろう。

2014-12-26

http://anond.hatelabo.jp/20141226111909

n桁で打ち切る0.999...を0.9_nと書くことにすると、任意のε>0についてある自然数δが存在して、n>δなら1-0.9_n<εとすることができるので、ε-δ論法によってlim_{n→∞} 0.9_n = 1

2014-07-11

http://anond.hatelabo.jp/20140711204740

であることが多い」の反論として「山ほどいる」は妥当なの?

素数は山ほどあるけど、ランダムに選んだ自然数合成数であることが多いよ。

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