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はてなキーワード: 自然数とは

2024-02-21

[] 数学は量子物理学と同様に観察者問題がある

量子力学における観測問題についてはよく知られるように、人間主観性が量子実験の結果に重要役割果たしている。

ドイツ物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。

私たちが観察するのは現実のものではなく、私たち質問方法さらされた現実です。」

例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。

したがって実験プロトコル選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点物理学の不可欠な部分になる。

さて、数学にも一人称視点余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。

ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性真実の模範」のようである

それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。

ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理発見しただろう。

さら定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。

さて、ピタゴラス定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学声明であるしかし、ピタゴラス定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。

何が起こっているのか?

この質問に答えるには、数学定理証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。

定理真空中には存在しない。数学者が正式システムと呼ぶもの存在する。正式システムには、独自正式言語付属している。

まりアルファベット単語文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。

ユークリッド幾何学正式システムの一例である

その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。

次に正式システムのすべての文のうち、有効または真実である規定した文を区別する。これらは定理である

それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初定理証明なしで有効である宣言する定理選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。

これらは正式システムの種を構成する。

公理から演繹は、すべての数学コンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。

公理選択されると、正式システム定理構成するもの曖昧さがないのは事実である

これは実際にコンピュータプログラムできる客観的な部分である

例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである

しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。

ユークリッド幾何学定理は、非ユークリッド幾何学定理ではなく、その逆も同様。

数学者はどのように公理を選ぶのか。

ユークリッド幾何学非ユークリッド幾何学場合、答えは明確である。これは、単に説明したいもの対応している。

平面の幾何学であれば前者。球の幾何学であれば後者

数学は広大であり、どのように公理選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。

過去100年間、数学集合論に基づいてきた。

すべての数学オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。

たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。

一般的なセットとは、数学で正しく定義されたことがない。

集合論特定正式システムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。

今日数学者は、すべての数学を支える集合論正式システムとしてZFCを受け入れている。

しかし、自分自身を有限主義者と呼ぶ少数の数学者がいる。

彼らは、無限公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。

言い換えれば、有限主義者正式システムは、無限公理のないZFCである

無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である

有限主義者は、自然数リストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。

彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。

したがって、彼らはZFCから無限公理を削除する。

この公理を取り除くと、有限主義者証明できる定理はかなり少なくなる。

正式システム判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的基準...なんてものはない。

主観的には、選ぶのは簡単である

時間空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。

ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式システム(ZFC等)は、自身一貫性証明することができないと述べている。

数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。

そしておそらく、決して知ることはない。

なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式システムにおけるZFCの一貫性証明することしかできなかったから。

一貫性証明する唯一の方法は、さらに大きな正式システム作成することだけだ。

数学を行うためにどの公理選択すべきかについて、実際には客観的基準がないことを示唆している。

要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである自由意志に任せて。

公理のための主観的基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。

これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。

自分自身制限する必要がないので、無限公理を受け入れる。

特定公理のセットを選択する行為は、量子物理学特定実験を設定する行為に似ている。

それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。

これが、一人称視点とそれに伴う自由数学において正当な場所を取る方法である

2024-02-18

anond:20240218142849

そもそも

全ての自然数加法による計算は、感覚ではなく公理定義から導出出来るものであるということの一例と私は考えています

1+1=2は直感的に正しそうだけど証明可能不可能かは大問題証明できないと数学破綻している可能性があります

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13293425613

みたいな主張、ようは「数学的に証明されたら感覚的なことではない。感覚じゃない事実なことを示すために証明するんだ」みたいな主張に対する違和感から始まってんだよね、元増田は。

いや、定義自体が、人間インプットされた「同一/非同一」とか「書き換える」みたいな原始的観念/身体感覚依存してる部分が多少なりともあって、このプリセットが全人類で同一か確認する術が不可知なのだから

感覚あいまいなもとみなし、そこから『全く』逃れるために証明するんだ」という考え方は、誤りだろって突っ込みたい動機から始まってるんだよね。全くじゃなく、程度問題だろ、全く感覚の影響を排除できてるというのは思い上がりだろっていう。もちろん厳密であろうと努力する態度は尊いと思うよ。

なんか最近"数"が増田流行っているみたいなので、ワイくんも作文してみました

数の概念文化歴史によって変化してきた。古代ギリシアでは、1は数ではなく単位とされていたが、現代では自然数の集合 N の最小の要素とされている。

 

数の概念哲学的問題を引き起こすことがある。無限や超準数といった数は直観に反する性質を持つ。例えば、無限自分自身に加えても変わらないという性質を持つ(∞+∞=∞)。超準数もまた通常の数の演算法則が成り立たない(ω+1≠1+ω)。

 

数は実在するのか、それとも人間の心の産物なのかという存在論的な問いもある。数の実在主義は、数は客観的実在であり、人間の心とは独立して存在すると考える。数の構成主義は、数は人間の心の産物であり、人間言語思考依存して存在すると考える。プラトニズムは、数はイデア界に存在する普遍的実在であると考える。ピタゴラス主義は、数は万物の根源であると考える。論理主義は、数は論理的な体系から導き出されるものであると考える。

 

数の概念数学の基礎付けにも関わる。数学公理定理は、数の概念に基づいて構築されているが、その正当性や完全性には限界がある。ゲーデル不完全性定理は、数の概念を用いた形式体系には矛盾しないが証明できない命題存在することを示した。

 

数の概念は、かつて客観的現実を表すものと考えられていたが、量子論の発展により、数はより複雑で主観的ものである可能性が高まった。古典物理学では、数は物理量と一致していたが、量子論では、数は物理量とは別の抽象的な概念として使われている。

 

自我自由意識と同様に、数の本質はまだ解明されていない。しかし、量子コンピューターは数の概念を利用して作られており、数は物理システム表現する有効ツールであることは、どのレイヤースケールにおいても明らかである

 

数の概念私たち知識理解拡張するものであり、同時に私たちの疑問や不確実性を増やすものでもある。

 

数の概念は、私たち世界に対する見方を変える力を持っている。(どやああああ)

 

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流行を作った増田

数学定義は本当に厳密で一意なものと言えるのか気になりました

https://anond.hatelabo.jp/20240216124331

メタイデア

数学における自然数みたいなもの定義、が形成する概念を、たとえば数式の3という表記が指示する概念が、我々が日常見てる、3個のりんごやひもとその3倍のひもが並べられてる光景や、時計の長針と短針が三目盛り分ずれてるみたいなのから得られる共通世間一般に3とよばれる性質と同じだと思うのは、すでに「解釈」なんだよな。

数学において3、「0の次の次の次の数」と自然言語では説明されるような概念はただの操作対象である記号列でしかない。

その記号列にどんな意味を持たせるかは、「物理現象の中に見いだされる3という性質」以外にもあるかもしれないし、ないかもしれない。

「直線と呼ばれるもの定義」についても、幾何的なイメージ解釈するのも、イデアル?だかで解釈するのも勝手日常生活の個数や順番などとして見出される3の性質も、それと同程度に解釈しかない。

トポロジーなんかが典型的だと思う。あれが示す証明が、幾何的なイメージとしての立法内包する何かに対する性質を示してると考えるのは解釈しかない。

そうすると自然言語認識してる3や△というのは、たとえそのもっと理想的ものを持ち出しても、数学定義にとっては一段レイヤーの低いイデアということになるかもしれない。

数学定義に対して、複数の3や三角形というイデア解釈として結びつくなら、数学定義メタイデアか。

その前は、定義もまたイデアとするなら、3や三角形物理イデア、と物理的を冠して存在する領域区別すればいいのかなとか思った。

anond:20240217133852

もっと根源的な問題として、推論規則の「一覧表」があるとして、あるマスの記号とあるマスの記号列の関係それ自体を厳密に記述することは可能なのか?と思う。

はい. もちろんできます. 例えば数理論理学の本などを参照していただければ, 証明体系などの数学定義が与えれらています.

私は「書き換え」のように自然言語を使って表現していますが, これらの操作などももちろん数学的に定義されます. 「操作」とは何かという疑問をお持ちでしたらラムダ計算理論が参考になると思います. そしてこれらの操作は全て計算可能です, 平たくいうとプログラムとして実装できます. これらは全く感覚的なものではありません.

・(その他の部分に関して)

何が問題意識としてあるのかが私ははっきりとつかめていません. すいません.

例えば自然数概念を共有していれば上記概念(証明体系等)は一意的に共有できるものです. 一方で例えば何も共有していない全く無の人にこれらの概念を共有するのは困難だと思われます.

卑近な例でしたら, 数学を全く知らない人に突然これらの定義を見せたら, ただの絵や呪文に見えるでしょう. (私はそれはそうだと思います. 数学に対してどういう普遍性を求めているのか分かりませんが. )

最後に, 哲学的にそのようなトピック議論したいのであれば, 無理に数学言葉を使わなくとも可能だと思われます. 時には数学における言葉遣いが通常の言葉遣いと異なる場合もあります. また度々言及れい事柄のいくつかは様々なな分野で歴史的議論, 研究されているトピックがいくつもあります. いくつかの文献を読んでみて一度整理されると, 誤解, 車輪の再発明を避けることになりますし, あなたがどういう問題, 問題意識を持っているかをきちんと言語化する助けになると思います. それに加えて, これまで人々が様々な学問領域で積み重ねてきた多くの結果に敬意を払うことが重要であると私は考えます.

申し訳ないですが, 一度この議論は終わりとさせてください. 参考になれば幸いです.

2024-02-13

    フェルマー定理というのは予見されたもので、1600年に予想されたが、構成はできないということで400年間放置されたものである

   3N+1問題というのは、極めて簡単ものとして予見されているが、最先端数学者ガリアスによっても、到達不能な高さにあるといわれ、

   予見されているだけで構成はまだ出来ていないということである

    幾何学問題で、なんでそんなに分かりやすいように構成できるのかという問題がある。 逆に、 素数の列の中に任意の等差数列があるという定理

  大量の定理を用意して到達しており、自分でなしうるようなものではない。

    3N+1問題も、途中で放棄されている。 ほとんど全ての自然数では成立するが全部では証明されていない。

  昭和58年の文部科学省国会に提出した法律によって、学習指導要領から幾何学を教えることが削除されたため、30、40代の者は誰も幾何学を教わっていない。

    東京大問題にも幾何学問題は出ない。

  以上の見地からすると、請求人の学習過程は、 昭和58年以降の学習指導要領準拠して行うのが相当である。(なお、平成27年から学習指導要領改定されているが、

   中学校数学において、三平方の定理の美しさを味わう、と記載されているにとどまり幾何学、数論、組み合わせ、代数を教えることとするとは記載されていない。

2024-01-30

anond:20240130154949

30歳 以上の自然マンコ について、臭い + 味 = 汁気 となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない

2023-12-25

  フェルマー事実、 x^4+y^4=z^4 にあてはまるものがない。そんなことをどうやって支持するのですか。 と学生が言う。普通に考えて、出来ないでしょというわけである

   無限降下法といって、背理法があるのよ、と教える。 該当するものがあると仮定すると自然数の最小値が1であることに矛盾するというものがある。

   小川というのは、蓮根に住んでいるらしい。ニートが集まっている集落がある。 舟渡蓮根一般に、高度な株式会社が有名で、 アパートは、トップ志村、というのがある。

 一時期、そこに住めそうで、住めなかった。 審査に、落ちたかである。 板橋区に住んで何をするか。 さいたまにうらみがある。 だから

  戸田橋を超えて、 高砂まで行く。 にっくき、 かもたゆずる、がいるはずである。 そういうものである、という、それは分かるが、作れない、といって嘆く。何で作れないか頭が悪いから作れないらしい。

   そういうものであるはいいが、ひとつも分からない。 スワンコンダクターという。 コンダクターとは何か、エアコンコンダクターのことですか。それとも河川敷にある、コンダクターのことか、

 何のことか分からない。

2023-12-12

[] 2023-12-12

無限は様々な人たちを当惑させてきた。周囲の物理世界で観察されるものはすべて有限。

観測可能宇宙原子の数でさえ、想像を絶するほど大きいとはいえ、やはり有限。

無限は本当に存在するのか?

数学はおそらく、無限とつながるための最も知性的論理的方法を与えてくれる。

数学的な無限理論は、19 世紀末ドイツ数学カントールによってほぼ独力で作成された。

自分アイデアを追求するために、カントールは途方もない勇気を示した。批判者たちに答えて「数学本質はその自由にある。」と書いたのである

数学では、選択された公理論理規則に厳密に従わなければならない。

しかし、そのルールの中においては、本当に想像力を羽ばたかせることができる。数学には独断偏見が入り込む余地はない。

カントールの考えは、無限大は数ではなく、むしろ集合の性質であるというものであった。

2 つの集合 A と B が与えられると、A から B への「写像(勝間さんじゃないですよ)」について考えることができる。

これは、 B の要素を A の各要素に割り当てるルールである

カントールによって導入された重要概念は、集合 A と B の間の1 対 1 対応である。これは、Bの各要素がAの1つの要素にのみ割り当てられるような、A から B への写像である

Aが有限数の要素 (たとえば、n) を持ち、B が別の集合である場合、B にもn要素がある場合にのみ、AとBの間に1対1の対応関係存在するという定義である。 

ここで、無限集合の概念を導入できる。これは、Aと有限集合Bの間に1対1の対応がないような集合Aである。たとえば、自然数の集合 N={1,2, 3,…}は無限集合である

ここまでの理論はかなり単純だ。しかしその後、カントールは驚くべき発見をした。互いに1対1対応していない無限の集合が存在するのである

言い換えれば、無限大にはさまざまなサイズがある。

たとえば、集合Nと実数の集合Rの間には1対1の対応がないことがわかる。

カントールの対角線論証とも呼ばれる証明があるが、これはかなり美しい証明と言われている。

そこでは実数の集合と自然数の集合の間には 1 対 1 の対応関係がないということが示されている。実数の「無限大」は自然数の「無限大」よりも「大きい」と言える。

この 2 つの間に「無限」は存在するのか? これは、数理論理学における最も深い問題の 1 つである、有名な「連続体仮説」につながる。

2023-12-09

  フェルマー予想証明にとりかかった宮岡洋一も知っている通り、  4のときは、完全に 初等的に出来るのでこれほど有名な支持説明の仕方はない。

  使う道具は、ピタゴラス数の代入と、定理、これだけでなぜか、無限降下法が使える。無限降下法という道具は、なんである場合とない場合があるのか

  信じられているのか分からないが、 数学的帰納法一般的に使えると信じられているが、無限降下法はそうならないと使えないので、

   単純に青少年、なかんづく、  中学生とか高校生は、 x^4+y^4=z^4に当てはまることがないことの説明だけを知りたいのでそれ以外はどうでもいいから、

  なんで当てはまるものがないかというと、 x、yが奇数とすると、 左辺が 4の余りが2になる 右辺は4の倍数になるから矛盾していてないのは当たり前。

   しかしこうすると、奇数偶数ときに段階が移るがそうすると難しくなるから説明できない。 入試問題ではあれで、次のような問題簡単すぎて出ないと思うが、

        x^4+y^4=z^4 を考える。このような数式を、不定方程式という。次に、 平方数とは、 自然数の2乗の数の事である

        そのようなものを考えて次の設問に答えよ。

      (1)x、y が奇数とき、この不定方程式をみたす z が存在しないことを示せ。

      (2) 平方数は必ず、互いに素な平方数の積に分けられることを示し、 この結論は、学術上、 事実なのか定理なのか判定せよ。

2023-12-06

一袋1000円です。二袋で2000円、三袋で3000円です。

1袋1000円だけ言えば十分だろ。

逆に二袋で2000円、三袋で3000円などと言わないと二袋三袋の合計金額がわからないやつは四袋五袋の合計がわからんだろ。

まりそんな人を想定するなら、自然数個の値段を延々と言い続けなければ筋が通らない実際は一度に客が物理的に買える在庫あるだけの分だけ言えばいいってのはあるが)

だったらこれほどの単純なかけざんは自力でできるやつのみを対象とした説明にするほうが潔い

2023-12-01

   互いに素な自然数の積が平方数だと、その2つの自然数も、平方数である、というやつを証明しないといけないのできつい。 授業が命だからである

     1と4 1と9、 1と16

    平方数 1,4,9,16,25,36,49、64、81

      分けたら互いに素でなくなるから、 7と7は互いに素ではない。   平方数と 互いに素という性格は、重要であり、授業が命である

    4と9は、互いに素で、 36は、4と9に分けられる。 

2023-11-26

   x^4+y^4=z^4に該当する自然数存在しないというのが思い付きですが、 理科3類、理科1類に上位で合格する人は、 作業能力があるので、

   必死で手を動かせばできると思いますが、なんでこんなことを思い付くかと言うと歴史があって、これはまだ定理ではないので

     とくるわけねーだろという2ちゃんねるの人がいますが、その、とくるわけねーだろというのが分からないのですが

    とりあえず2ちゃんねるプログラム板に、エンジニアがいるので、これの解を検索するプログラムを書けよといって書けない時点で終わっているので

    だから全盛期からすると2ちゃんねるの奴らも、高齢化が激しくて恥ずかしくて言えないので

  やる気がセットアップされていないかプログラムを書けない

2023-11-10

anond:20231110223828

無視無視って君は昆虫かよ

異常独身男性のすることがその程度の語彙力と頭しかないのか

いか?君がさっきから言ってるのは女がやんちゃな男を支持しているのに、自分だけ持てないってことの腹いせでしかない

そこを隠して相手がハングレだとかいって誤魔化しているのが見え見えなの

無視しろ無視しろってあと何回ほざく予定?自然数の中で答えてね

2023-11-08

    x^3+2y^3=4z^3は幾何学的に解釈すると、円周上のインターセクションと呼ぶに値しない一点の事実に過ぎないが、係数がないときは全てが円周上のインターセクションと呼ぶに

    値する点であり、定理は、n≧3のnであるから趣旨内容が非常に規模が大きい。係数に、2,4があるもの無限降下法という手段により容易に解決する練習問題なのに

    対して、係数がないときは最終定理と呼ばれる。大分県警警官素数ときだけでいい、ピカルの定理、ひとんかたん、と言っていたがどれもおもしろくなく

    素数ときだけになっても素数無限にあるので、自然数と同じであり、驚愕的な定理であることに変わりがないがその程度が大きい。

2023-11-05

   数学における結論の美というところで2012年の整数問題スマートなことは当然ながら簡潔な等式と過激な等式の連立方程式を満足するもの限定されるという

   内容だったけれどもその簡潔な等式と過激な等式の重なり合うものを決定するnが決まるということが濃いというか、それが円満で完全無欠であるというようなことではなかったかと思う。

   これを参考にしてフェルマー検討すると、係数が存在する他の類題より係数が1なのでスマートであり、満足する自然数存在しないという簡潔な事実と全てのnでという過激さと

   それで存在しないのでその存在しないこと自体驚愕的で完全無欠ということではないか解釈する。n=2の場合公式を確定させることができ、n=4のときは素朴整数論の

   議論無限降下法でたまたまできる。しかし、n=3の場合は非常に難しく無限降下法は使用できるがその前提となる定理証明は複雑である。350年間の間に大量の数学者が

   手段検討したが説明できるものがなく、よく知られている、x^n+2y^n=4z^nならば、無限降下法で支持できることに比較して、なぜこの問題は陥落しないのか多くの数学者に不思議がられた。

   哲学界では、到達不可能ものシンボルとされる。数学の神、統合心理学関係していると言われる。

2023-10-29

東京大学模擬試験問題

   第一

 

  素数が無数に存在することは、紀元前数学者ユークリッドが、素数の最大値をPとして、2*3*5*・・・*P+1を考え、これが素数になるべきだから背理であるという方法証明している。

  このことを参考にして、次の設問に答えよ。

    (1)aを自然数とするとき、a^2+1は、4m+1の形をした素因数を必ず持つことを示せ。

    (2)4k+1の形をした素数は無数に存在することを、(1)を用いて示せ。

    

2023-10-28

   あなた主治医はだれですかー?  須佐由子って書いています。書いてるっていうのは、小島から、医長であるときいたんです、それでー、あんたなんでいつも、車を使って、す→さ

  っていうんですかー? 医長だからですか?

    でもこの人はフェイスブック検索しても、  2013年1月4日だったかな、 平成25年1月に入ってからハッピーという書き込みがあって、その後も全然更新していないし

   どんなものなのか分からないんですよね。声は普通に枯れていると思いますし、ここの院長は、黄野って書いてますが、なんでこの病院は、統括院長がいないんですか?

    だからものなのか事実なのかはっきりしなさいっていってんですよ。 パスカル定理もので、 全てのa^2+1の形をした自然数は4m+1のかたちの素因数をもつっていうのは事実でしょ

   あんた、もの事実とごちゃごちゃにするでしょ、だからだめなんです。なんで宮岡洋一先生にはっきりとした講演をさせないんですかー?

    宮岡洋一先生は、そういうものなわけですね、が口癖ですが、確かに帰納法ものですが、 もの事実は違うでしょって、あんた黒羽警察署でも何も教えなかったでしょー?

    だからあんたの話は聞きたくないっていってんですよ。

2023-10-20

https://anond.hatelabo.jp/20231020153447


  首都大学東京入試問題には、 n≧3の自然数に対し、存在しないことを示せと書いているので、ちがう。

  x^3+2y^3=4z^3 は整数解ではなく、「自然数解をもたない」。自然数とは1から開始するので0は含まない。この問題の出典は、首都大学東京入試問題なので

  検索しても出てこないだろう。証明に使う道具は、無限降下法である。  x^3+2y^3=4z^3だから、 xは偶数であるので、2x'に置き換えたい。置き換えると、

  8x’^3+2y^3=4z^3 より、 4x’^3+y^3=2z^3が得られる。この得られたものから、yも偶数から、2y’と置きたい。すると、

  2x’^3+4y’^3=z^3だから、zも偶数である。よってz=2z’と置きたい。すると、x’^3+2y’^3=4z’^3が出て来る。つまり、 x^3+2y^3=4z^3というもの

  たまたま偶数解があると仮定すると、無限に降下していくので無限降下法が使用できる練習問題であることが理解できる。 x^3+2y^3=4z^3に自然数解があると仮定すると、自然数

  最小値が1であることに矛盾するので背理である。よって、 x^3+2y^3=4z^3には自然数解がない。

2023-10-15

   2001年 アメリカ大会 第6問は難しかった。

  claim 1  a^2-ac+c^2=b^2-bc+c^2は、凸四角形の対角線として出現する。

  claim 2  凸四角形ABCDは、60度と120度だから、円の上に存在する。

  claim 3  トレミーのpricise versionより、 対角線の2乗= (ab+cd)(ad+bc)/ac+bd

 claim 4  a>b>c>d>0より、  ab+cdad+bcac+bd

  結論   ab+cd=pと仮定し、上記の4つのclaimをcombineすると、 claim 4から p*x/yは自然数にならないが、claim1,3から、p*x/yは、自然数である。よって、

        背理法により  ab+cd素数ではない。

2023-09-25

anond:20230925130841

最小値が定義できる集合は半順序集合

ただし最小値が存在しない場合がある(実数体R、実数の開区間(0, 1)など)

空でない任意の部分集合が最小値を持つ集合は整列集合(自然数Nなど)

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