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はてなキーワード: 自然数とは

2021-04-16

はてラボ人間性センター

回答結果

■平方数と立方数に挟まれ自然数は?

正解: 26

さだまさしグレープ時代に出したシングル「無縁坂」の名前の由来となった坂のある都道府県はどこ?

正解: 東京都

■「への」からはじまる文字絵の鼻に当たる文字はなに?

正解: も

大政奉還が行われたお城は?

正解: 二条城

■驢馬、駱駝、ライオン。「ら」を含まないのは?

正解: 驢馬

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2021-04-02

確率絶滅」についての算数理解の手引き

再生産数Rが0.5にせよ1.5にせよ、感染者数(人間)は自然数をとるのであって、「感染者が(0.5 or 1.5)人いる」という状態は生じない。

たとえばあるウイルスが、1人の感染者が1人に感染させる確率と0人に感染させる確率がそれぞれ50%だとしよう。この場合再生産数R=0.5である

感染者の数が多ければ「50%」の試行回数が多くなるから次世代感染者数は現世代の1/2に近い数になる確率が高い(大数の法則)。R=0.5で現在感染者が10000人いる場合次世代は5000人くらい(Rt=0.5)だろう。

けれど、現在感染者が2人だったら次世代が1人だとは限らない。2名とも感染0人のクジを引けば、次世代感染者は0人(Rt=0)となる。50%*50%=25%の確率でこのウイルス絶滅する。3人なら50%*50%*50%=12.5% (8分の1)の確率絶滅する。これが確率絶滅である

まり簡単算数理解では、《 絶滅確率 = 1人の感染者が誰にも感染させない確率現在感染者数 》となる。

 

これはR=1.5の場合でも同様で、たとえばあるウイルスが、1人の感染者が25%の確率で0〜3人に感染させるとすると、R>1つまり増加傾向のウイルスでありながら、現在感染者が1人なら25%の確率絶滅する。

 

また、これまでの例は確率分布を一様にしているが、「多くの人は他人感染させないが少数の人がたくさん感染させる(スーパースプレッダー)」という場合もある。

たとえばR=1.5であるが、4人のうち3人は誰にも感染させず1人が6人に感染させるとする。つまり、75%の可能性で0人に感染させ、25%の可能性で6人に感染させる。

この場合現在感染者が2名だとして、2名とも0人のクジ(75%)を引けば次世代感染者は0になる。絶滅確率は75%*75%=56.25% (16分の9)である

 

確率絶滅がなぜ重要か。

集団内の感染者が0名であれば、その集団内ではどれだけ接触しても感染しないので、そのウイルスに対する感染対策不要になる(院内感染鎮圧はこれを目指す)。外部から流入にだけ気をつければ良い。

よくいわれるように、エボラウイルス地球から絶滅していないが、日本国内ではエボラ対策無しに生活できる。日本国という集団内ではエボラウイルス絶滅しているからだ。(もしかすると「絶滅」という言葉が強すぎるのかもしれない。「お家断絶」の方がイメージが近いかもしれない。)

大数の法則により、確率絶滅は、感染者数が極めて少数のときしか期待できない。

世代感染者数を100〜1000程度の波で上下させる施策(少ないロックダウンを長く)と、50〜100程度にする施策(短いロックダウンを多く)とでは通算ロックダウン期間は変わらないが、1〜10程度にする施策であれば、確率絶滅によって、対策せずとも増えない期間が生じるため、通算ロックダウン期間も短くなる。(ここでの数字あくまイメージ的なもの

から確率絶滅を目指すかどうかは、対策の一つの大きな分かれ目になる。(現在感染者数が多く、1回のロックダウンでは効果持続期間が足りず(自粛疲れ)確率絶滅を達成できない場合も、ロックダウンを何回かに分けて感染者を徐々に減らすことで、確率絶滅を目指すことができる。)

2021-03-28

anond:20180221202548

古い記事ですが、無限ホテル検索すると上位に出てきてしまうので、ここで反論しておきます

この記事無限ホテル解釈は誤りなので、無限ホテルを調べてこの記事に当たった人はここまで読んでもらえると幸いです。

現実にはあり得ない話なので直感的には理解し難いと思いますが、どうかこの記事を読んで理解を投げてしまわれないよう。

無限ホテルとは

無限ホテルというのは無限に部屋があるホテルです。

普通ホテルだと1Fがフロントで2F以上に20n号室、といった構成になっていますが、

ここでは簡単のため、1号室、2号室から無限に部屋があるホテルしましょう。

無限に部屋がある、というのはあらゆる自然数に対してその番号の部屋が存在する、ということです。

たとえばもちろん1000号室はありますし、141421356号室も存在します。

もっと大きい番号の部屋も存在しますが、長くなるだけで意味がないので部屋の紹介はこれくらいにしておきます

無限ホテルが「満室」であるとは

満室というのは、すべての部屋が埋まっている状態ということです。

無限ホテルにおいて満室であるというのは、あらゆる自然数に対してその部屋番号の部屋がすでに埋まっているという状態です。

1000号室も、10000号室も、1732050807568877号室も埋まっています

試しに思いつく限り大きな自然数を言ってみてください。あいにくですがその部屋はすでに埋まっています

■すべての部屋が埋まっているのにまだ1人泊まれる?

そんな満室の無限ホテルに1人の客が泊めてほしいと訪ねてきました。

満室なので当然、どんなに大きな部屋番号を調べても埋まっています。この客を断るしかないでしょうか。

ホテル側は一計を案じ、すべての宿泊客に対して、今自分が泊まっている部屋番号+1の部屋に移動して欲しいとお願いしました。

すると心優しい宿泊客達は文句の一つも言わず+1の部屋に移動してくれました。

1号室の宿泊客は2号室に、314159265358979323846号室の宿泊客は314159265358979323847号室に移りました。

こうして1号室が空いたので、新たな客を泊めることができました。

■すべての部屋が埋まっていてさらに1人泊めたのにまだ無限人泊まれる?

そうして新たな客を追い返さずに済んだ無限ホテルですが、その直後、無限人の団体客が訪れました。

1人や2人、22360679774人など有限の人数程度であれば先ほどのように、その分宿泊客に移動してもらえば止められます

ただ無限に移動してもらうことはできません。いくら心優しい宿泊客でも自分がどの部屋に移動すればいいのかわからないと困惑してしまうからです。

そこでさら無限ホテルは一計を案じ、宿泊客に今の今自分が泊まっている部屋番号を2倍した部屋に移動して欲しいとお願いしました。

すると心優しい宿泊客達はまたしても素直に移動してくれました。

10000号室の宿泊客は20000号室に、271828182845904523536号室の宿泊客は543656365691809047072号室に移動しました。

すると奇数番目の部屋がすべて空いたので、無限人の団体客1人1人にホテル側は2n+1の番号を割り当て、その部屋に入室してもらいました。

こうして無限人の客から無限宿泊費を受け取り、無限ホテルは大繁盛しました。

ポイント

この話で大事なのは、下記4点です。

  1. 無限に部屋があるからといって「無限号室」があるわけではなく、すべての部屋には一意かつ自然数の部屋番号が割り当てられていること
  2. 宿泊客は今自分の泊まっている部屋が何号室なのかを知っていること
  3. 宿泊客を移動させるとき、移動先の部屋番号が明確にわか必要があること
  4. 新たな客を泊めるとき、泊まる部屋の番号が明確にわか必要があること

2021-03-25

二乗して0になる実数は0だけ」をどう証明するか

https://www.ajimatics.com/entry/2021/03/22/174633

これについていたブコメ

id:versatile実数の中には、「2乗して0になる数」というのは0しかありません」の証明ってどうやるの?

が、ちょっと面白い問題だったので参戦。

メタブを見に行ったら、そういう数が存在した場合は逆数をとると矛盾が引き起こせるよっていうスマート背理法が書かれてたんだけど、これはかなり危うい議論に見える。

というのも、その議論は0でない実数は必ず逆数が取れるよねっていう前提を所与のものとして扱っているわけで、じゃあその「0でない実数は必ず逆数がとれる」って命題はどうやって証明するのという話になる。

そんなの当たり前の話じゃないかと感じられるかもしれないが、我々の証明しようとしている「二乗して0になる数は0以外にない」という命題も同程度には当たり前のことであって、つまりこれは当たり前から当たり前を示す、基礎論的なところの問題なのである

こういう議論では、話の土台が何より重要で、よく知られた性質の中でもどれは使っていいのか、どれは使ってはいけないのか良く整理してから始めなければいけない。

なぜなら証明済みの性質を贅沢に使って基礎的な部分を証明してしまうと、その元の議論のほうの前提に実は今証明している命題が間接的に入っているんだよということになりかねない。

これは循環論法になってしまう。

から、「当たり前のものを示す時」には、議論が「逆流」しないか十分気にする必要がある。

で今回の問題が具体的にどう引っかかっているかと言うと、実数には有理数という土台があって、有理数整数という土台から作られている。

ここでもし、「二乗すると0になる0でない数a」が【整数の中に】含まれていると、有理数上で、(1/a)*(1/a)の答えが定義できなくなってしまう。

そうなるとそもそも有理数上の掛け算の定義が壊れているということなので、実数構成どころの話じゃない。

まりこの掲題の疑問は有理数に掛け算構造を与える際にこそ気にすべき問題なのである

逆数という概念は掛け算の成立後にようやく有効になる話であって、その前段階にあるはずのこの疑問に対して逆数の性質を使ってしまうのは若干論点先取というか、真芯を外している回答のように思う。

もちろん実数の話であるからには土台にある有理数基本的性質所与のものであるという考え方も間違いではないけれど、それはこの疑問の「心」が見えていないんじゃないかな。

で実際どうやって証明すべきかというと、まずは上述のように【整数で】この性質を示すべき。

もっと言うと整数の土台には自然数(ここでは0を含む)があるので自然数上で非0×非0が非0になることを示す。

そうして得られた性質整数有理数実数へと順々に拡張していく。こういう流れになる。

自然数上での証明は、0でない自然数には前者関数Preが適用できることを用いて、

a*b=a*Pre(b)+a≧a>0

という感じで示せる。(もちろんもっと厳密にやるけどね)

整数自然数コピーを貼り合わせてできている。自然数上での非0×非0=非0という性質から整数上でも容易にそれが示される。

有理数整数分子分母のペアに約分という同一視を入れてできている。ここでも整数上の非0×非0=非0の性質簡単有理数上に拡張できる。

最後実数は、有理数無限数列を極限の考え方で同一視してできるので、有理数上の性質をうまく実数上にも持ってくることができる。

概要だけざっくりだけどこれを組み立てれば疑問への回答になると思う。

道筋だけ最後まで立てられることがわかったら途端に興味を失うやつ)

追記

文章が長ったらしくて申し訳ないけど、やっぱ伝わってないね…。

前半部は、「当たり前のことを証明する時には当たり前の前提を無批判に使っちゃいけない」ってことを言ったつもり。

ブコメで貰ってる「両辺をaで割って〜」っていうようなのも、実は割り算の存在無意識に前提とされているけど、零因子があるかないかっていうのは【割り算の構成のためにこそ】必要な話なんだ。

から「割り算というもの存在する」って無邪気に考えることすらもこういう問題では危険だよと言いたかった。

零因子がないことを証明→よかった、これで割り算が「上手く定義」できるぞ→逆数も定義できるぞ

という話なんで、第一段階の証明のところで割り算の存在を前提にしては議論が逆流してしまうのです。

2021-02-17

anond:20210217132421

重複は省略

羽生結弦羽生善治、「はぶ」はどっち

羽生善治

■「塔の上のラプンツェル」、日本語版主人公の声を演じたのは?

中川翔子

■平方数と立方数に挟まれ自然数は?

26

2021-02-04

1user, 2users

このまえ話題になってたポスタポ短編、『viewers:1』

1なんだから単数になるべきで、viewer:1としてほしいところだ

でも間違ってるのは作品タイトルじゃない

実際1でも複数形表記するサービスはクソ多い

そらそうだ 無限にある自然数の中で、単数系になるのは1だけだ

視聴者がひとりしかいない状況にいちいち備えて、表記が切り替わるようにするのはアホくさい

まあそんなに難しいことでもなさそうだけど、一切の手間なしにできるわけじゃないだろうし、やらなくていいならやらないほうがいいだろう 

そんで実際やらなくていいので、やってないサービスが多い

そういや確かはてブもそうだよなあ、とさっき思い、念のため見てみた

違った

そこにあったのは、燦然と輝く”1user” “2users”

はてブ、大好きだーーーッ

過疎ってるゴミサービスからそのままにしてると無視できない量の1usersが発生してしまうってことなんすかね

2021-01-30

anond:20210130100037

自然数」は0を含む正の整数というのは自明の理みえるのだが、自明ではないのが、どういう場合かが逆にバカにはわかりにくい

anond:20210130095831

じゃぁ3進法は?じゃぁ10進法は?

2進法も負はあるけど、自然数は 10は違うとして0

1桁の0だけを特別扱いのいみがわからない

もっといえば

+0だけが特別扱いでー0もあるのになぜわざわざ+0があるから、何も言わなくて良いものを0を含むと-0を曖昧にするのかがわからない

自然数」という言葉を2つに分解するべきではないか

高校数学まで、「自然数」は正の整数を指すものとされているが、

大学に入ると、フォンノイマンによる自然数構成からの流れで、「自然数」は0を含む正の整数として扱われることが多い。

から論文で「自然数」という言葉を使うとき(そして、花文字の「N」を使うとき)は、

序文かどこかで、この論文ではどちらの定義で行くのか予め述べておかなくてはいけない。

これって面倒なことだと思う。本文を抜粋していきなり読むと、「自然数」の定義を間違えてけつまずく可能性がある。

そもそも論理性が大事数学という学問において、なんでこんな曖昧単語が残っているのか不思議だ。

なので、境界となる数を含むかどうかで「0を超える」「0以上」と言い分けるように、「自然数」という言葉自体も2つの言葉に分けるべきだと思う。

しかし、「0を超える整数」は「正の数」と呼べばわかるのに対し、「0以上の整数」は「自然数」以外の、それこそ自然呼び方が思い付かない。

あと、数学用語で気になるのは「モニック」という言葉

最高次係数が1である多項式のことを「モニック多項式」と呼ぶのだが、

この「モニック」に対応する日本語訳をいまだに見たことがない。いまだに、外来語漢字組合せで呼ばれている。

ちなみに、「最高次係数が1である場合特別に扱うのはn次方程式からの流れ。

最高次係数で左辺・右辺を割ってしまえば、方程式では最高次係数が1の場合だけ考えれば十分であるため。

そんな中学生でも理解できる単純な概念なのに、しっくり来る日本語訳が無いのが不思議だ。

でも、係数が1なのは単純化のためだから、「単純」って呼ぼうとすると、その言葉群論で使われてるし、

「単項式」だとそもそも意味が変わってくるし、やはりこちらも良い訳が思い付かない。

2021-01-24

anond:20210124111708

というかこの場合ドメイン定義必要だろ。

自然数の集合Pと機能の集合Fを置いて

n円払ってAをBにする

という表記にしないと文章が成り立たない

2020-12-02

「全ての素数の積は偶数」と自信満々に主張する人の思考回路について

問題: 全ての素数の積は偶数か。

  1. 偶数
  2. 奇数
  3. どちらになることもある
  4. どちらでもない

何かのゲームでこういう問題があったらしいが、これの答えが「偶数」だと言って譲らない人たちが一定数いる。

結論から述べれば、これは「どちらでもない」が正しい。そもそもすべての素数の積は整数ではないから、偶奇もクソも無いからだ。なお、一部の分かっていない人のために以下を補足しておく。

まず、これは立場解釈によって答えが変わる問題ではない(少なくとも、一般的数学の体系を前提とする限り)。つまり、一部の分野ではすべての素数の積を偶数とみなすとか、整数拡張した概念ではこれが偶数になるわけではないのである。そういう分野も探せばあるのかも知れないが、それは全く一般的ではないし、数学的に有用と認められているわけでもない。それは個人勝手脳内定義と変わらない。

また、これに答えるのに高度な数学知識必要ない。中学高校数学範囲で答えが一意に定まる問題である。これを「偶数」だと答える人は、単純に初等数学が身に付いていない。「2がかかってるから偶数」などと言っているようでは、大学入試ですら点を貰えないだろう。

この問題は、高等数学教育を受けた人なら、まず間違えないと思われる。というのも、大学教養レベル数学では、無限を正確に扱うことが非常に重要になるからだ。たとえば、

S[n] = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n

を考えると、任意自然数nに対してS[n]は2未満だが、その極限は2未満ではない。このように、有限に対して成り立つ性質が、無限に対しては成り立たないということは頻繁にあり、大学数学を学んだ人はその区別重要だと知っている。つまり、上の問題を間違える人は、高等数学知識に乏しく、そもそも数学を云々するだけの能力が無い可能性が高い。

ここで問題にしたいのは、この問題が解けるかどうかよりも、明らかにある分野の知識経験に乏しいにもかかわらず、自説が正しいと信じて疑わない人々の精神性だ。この問題の答えが「偶数」だと言う人は、整数や倍数といった基礎的な概念すら理解しておらず、無限の取り扱いにも注意を払えない。つまり客観的に見て明らかに数学能力に乏しいのであるが、往々にしてそのような人ほど、自己主張が強いのである

こういうことは、何も数学に限った話ではない。たとえば、歴史経済勉強したことのないネット右翼の連中は、南京大虐殺は無かったとか韓国経済崩などの荒唐無稽戯言を日夜連呼している。反原発派のほとんどは放射線についてまともな知識を持っていないが、自分たちこそ正しいと信じて過激政治運動を繰り返している。オーディオオタクは、高額なケーブルなどで音質が向上すると信じ込んでいて、効果が実感できない奴は耳が悪いからと言って自説を曲げようとしない。マイナスイオンとか水素水とか信じてる連中は科学リテラシー皆無だが、自分たち現代科学の先を行ってると思い込んでいる。他にも挙げればキリがない。

こういう人たちは、専門的なことや抽象的なことを腰を据えて学ぶという習慣がなく、常に物事自分の都合の良いように捉えて分かった気になっている。議論になっても、結論ありきで、インターネットで聞きかじった知識で自説を補強することしか考えていない。苦しくなると論点定義すり替える。そもそも彼らには、正しいことを言ったり、生産的な提案をしたりして、議論に貢献しようと言う気すらない。相手が何を言っていようが、所構わず口喧嘩を吹っ掛けて承認欲求が満たされればそれでいいと考えている。

2020-09-21

とりあえずこの、自然数無限しか無い小学生トークに いろいろ数学いかしようぜ

2020-09-20

東工大あるある

自然数に0は入るから(怒)

・57は素数(笑)

・うぶんちゅ、うぶんちゅ、うぶんちゅ

2020-09-19

工学部の初年度の数学ってなんであんなに無意味なの?

一階述語論理を知らない人間数学ができるわけ無いじゃん。

自然数実数の濃度の違いを知らない人間微積議論に納得できるわけ無いじゃん。

体の定義も知らない人間線形代数意味を見いだせるわけ無いじゃん。


数学ちゃんと段階を踏んで教えれば誰にでも理解できるようになってるのになぜそう教えないの?

誰も数学を教えないから誰も数学を知らないんだよ。

2020-09-07

アルバイトから休業手当をもらえるようになった話

昨今、例の感染症関係で休業や短縮営業となった(なっている)お店が多いと思う。主に飲食店に多いのではないだろうか。

この話は私がアルバイトをしている飲食店が休業になった際の話です。

あらかじめ断っておきますが、飲食店と言っても大学と少々関連がある飲食店(ご想像にお任せします)ですので普通飲食店とは事情が違うかもしれません。もしも奇跡的にこの記事に辿り着いた皆様のご参考、ないし暇つぶしになれば幸いと思います

ことの起こり

4月某日でした。全国的緊急事態宣言ムードが出てきた中で、私が在籍する大学活動制限レベルも上がったのに伴って「4月○○日から5月××日まで営業時間を短縮させるためアルバイトは休業です!」とのお達しが店舗職員から届いた。バイトシフトは月単位で出るものであったためか、「シフトが決まっていた分については休業手当を出す、それ以降の分は出さない」との返事。よくわからん理由を問うと、「パート職員と同じ対応にしたんじゃないか」とのこと。まるで要領を得ないが店舗職員とて上からのお達しを横流ししているだけであろう。問い詰めても申し訳ない気もしてその日は一応それで話を収めた。

続く休業

翌月の××日が近づいたある日、案の定と言うべきか、「当面の間短縮で営業とするためアルバイトシフトは当面ありません」とのお達しが届く。もちろん休業手当はあるわけがない。お国JASSO大学から給付金があったにしても貯金は目減りしていく。飲み会外食をしなくても金は減るもんだと思い知る。単純に自分がアホなだけなのかもしれないが、生命を維持するコスト一定だなんてツイート最近見た。うーんこれは険しい。

動きます

これは休業手当をもらえるように動くしかないと決心した。学業上の理由があり、8月頃に地域労働基準監督署GO。その際の解答を簡単にまとめると以下の通り。

ということでまずは勤務店舗職員相談してみる。正直門前払いされるかと思ったら「まぁ…なんもないのはつらいよな…」とかなり同情的に接してくれる。これは正直意外ではあった。更に聞くと近いうちに会議があって上と話す機会があるのでその時に聞いてくれるとのこと。これはありがたい。

しばらく待っていると上(以下、A氏)と話す機会まで作ってくれた。これもありがたい。その際に「いくらほしいのか、その根拠も合わせて示してくれ」とのことだったので一枚ほどの文書にまとめて馳せ参じることに。監督署に行った際に金額についても試算してくれたため、その際に教えてもらった金額根拠となる法律等はある程度ググれば出てくるので、それらをまとめればよかったので現在執筆中の論文よりも遥かに楽だった。

話の場でA氏に言われたことを簡単に書くと以下の通り。

とりあえずアルバイトが再開するまで、少ないとは言えお金が入ることは嬉しい。一応、「勝利」なんですかね。よくわかりませんが。

まとめ

あとがき

こんな取り止めもない話を最後まで読んでくれて感謝します。ということでオチを。

私は年度末に卒業を控えた身分であり、論文執筆中ということもありなかなか今から新たなバイトを探すというのも難しいのだ。

A氏「うちも売り上げが去年より激減しているからねぇ…。次の契約更新タイミング(12月末)で更新しないかもしれない…。」

私、魔女のキキ!こっちは3月引っ越し代の危機

とりあえず、契約打ち止めに関する労基法条項でも調べておくか…。

2020-09-03

数学夏祭り 問3

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問3


エクセル計算させたい衝動を抑えつつ、出題者に指示されるがままにTn(x)について考えてみる。


T1(x)=x

T2(x)=2x^2-1

T3(x)=4x^3-3x

T4(x)=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1


法則が見えてくるだろうか。自信がなければ気が済むまで計算すればよいのだろうが、

・Tn(x)の次数はnに等しい

・最高次数の係数は2^(n-1)

・nと偶奇が一致しない次数の係数は0(項は1次飛ばしで登場する)

くらいは言えそう。必要ものは後で示すこととしよう。


Πに慣れていないとKの式にビビるかもしれないが、下の説明の通りにk=1~40を代入すると

K=cos(π/79)cos(3π/79)cos(5π/79)…cos(77π/79)cos(79π/79)とわかる。 …①


さてTn(x)を利用するとして、右辺はT1(x)T3(x)T5(x)…T77(x)T79(x)にx=cos(π/79)を代入したものに等しいけれど、さすがに厳しそう。1+3+…+77+79=1600次の整式を取り扱うのは狂気だし、xもよくわからない値だし。


nを一つだけ選ぶとしていくつにすればよさそうか。まず思いつくのは79だろう。

上で推測した性質からT79(x)=2^78x^79+?x^77+…+?x^3+?xとなりそう。 …②

x=cos(π/79)を代入すると左辺はT79(cos(π/79))=cos(79π/79)=-1となる。


もしや…


x=cos(3π/79)を代入すると左辺はT79(cos(3π/79))=cos(79*3π/79)=-1となる。

x=cos(5π/79)を代入すると左辺はT79(cos(5π/79))=cos(79*5π/79)=-1となる。

x=cos(79π/79)を代入すると左辺はT79(cos(79π/79))=cos(79*79π/79)=-1となる。


まりT79(x)=-1の解がx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79), cos(79π/79)となることがわかる。解の個数は40個。

y=T79(x)は-1≤x≤1の範囲で極大値1と極小値-1を交互に取っていくので、これとy=-1の交点を考えるとx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79)は二重解となることがわかる。x=cos(79π/79)だけは一重解。


参考:y=T5(x)のグラフ。これとy=-1はx=cos(π/5), cos(3π/5)で接してx=cos(5π/5)で交わる。

https://twitter.com/totsuration/status/1301359506748633089


まり二重解を解2つとカウントすると解の個数は79個。②が正しいとすればT79(x)は79次式なのでT79(x)+1=k(x-cos(π/79))^2(x-cos(3π/79))^2(x-cos(5π/79))^2…(x-cos(77π/79))^2(x-cos(79π/79))と因数分解できる。x^79の係数を比較してk=2^78。


①の形が現れたことに気づいただろうか。そう、定数項を比較すればよい。1=-2^78cos^2(π/79)cos^2(3π/79)cos^2(5π/79)…cos^2(77π/79)cos(79π/79)である

右辺はK^2/cos(79π/79)=-Kに等しいので1=2^78 K^2よりK=-2^(-39)とわかった。


[|log2|K||]=39


終了!…ではない。②で使用した冒頭のTn(x)の性質3項目(補題)を示す必要がある。漸化式→帰納法に持ち込めれば楽そう。加法定理公式を考えると2項間の漸化式は難しそうなので3項間の漸化式を求める。


cos(n+2)θ+cos(nθ)=2cos(n+1cosθなので

T(n+2)(x)+Tn(x)=2xT(n+1)(x)

T(n+2)(x)=2xT(n+1)(x)-Tn(x)


T1(x)=x

T2(x)=2x^2-1

でありn=1,2で

・Tn(x)の次数はnに等しい

・最高次数の係数は2^(n-1)

・nと偶奇が一致しない次数の係数は0

は満たされる。


n=k, k+1上記条件を満たすとき

n=k+2においてT(k+2)(x)=2xT(k+1)(x)-Tk(x)も

・次数はk+2に等しい

・最高次数の係数は2^(k+1)

・k+2と偶奇が一致しない次数の係数は0

が言える。


よってすべての自然数nについて補題は示された。


[|log2|K||]=39

2020-07-12

数字への想いを綴ってみた

ただの数字といえばそれまで。しかしいろいろな魅力や美しさ、思い出が詰まっている気がして書いてみた。本当は100まで書こうと思って始めたけど全然無理だった。

0 無。現代感覚からすると意外だが、1,2など目に見える自然数に比べ0の概念は高度であり、数学的には新しい(と漫画で読んだ。本当かどうかは知らない)。日本では「ゼロ」も「レイ」も音的にかっこいいし、いいイメージがある。ゼロ戦とかあるしね。仏教の空も関係しているのかな。アメリカだとあまりよくないイメージなのだとか。

1 すべての始まり。美しい。同時に、一位という意味最上位を示す。ただ、あまり飾り気がない。

2 最初複数。同時にすべての偶数の母とも呼べる存在

3 大事な3つのコトなど、人間記憶領域と非常にバランスがいい。三つ目など、生物の多くの器官が2つまでであることに対しての神秘的な数字であもある。色恋の三角関係や、重力を及ぼし合う3つの星の動きなど、物事を一気に複雑にする。2と3の間には大きな隔たりがある。

4 3に比べ、若干しまりが悪い。戦隊モノで4人とかはあまりない。だがしかし、2の2乗と、数学的には最小の自乗数でもあり特別

5 キタコレ。片手の指の数と同じ。(正確には指の数が先だが)。仮に指が6本だったとしたら、数学歴史は変わっていた。

6 日常生活では意外と出番が少ない気がする。ワンボックスカーの6人乗りくらい?2×3と、異なる数字の積。

7 素数もっともおしゃれな一桁の数字。虹が7色だしね。七变化とか七不思議とか。7という数字を使いたくて(かどうかは知らないが)、一気にナンバリング飛ばしマクロス7という作品もあったりする。一桁のうち最大の素数で、九九の中ではかなりの強敵。孤高の存在

8 多いんです。かなり多い。タコの足って多いの代名詞。数としてはイカのほうが多いのに、イカに例えることってあまりないよね。2の三乗というのもかなり強そう。八部衆のほうが四天王より強い。ただし、自分が知っている八部衆基本的に必ず全滅する。

9 一桁のラスボス。3の自乗数だが、意外と惹かれない。

10 初の二桁。あまり話題に登ることはないが、日本語で1~10の中で濁音がつくのは5と10だけ。やはり指の数とその倍数は特別なんだと思う。

11 ゾロ目。そして二桁の素数。8,9,10と非素数が続いた後の素数素数はまだまだ出てくるよってことを予感させる

12 時間でおなじみ。5やその倍数に比べ、2でも3でも4でも6でも割れるという使いやすから採用人間の指が六本だったらなー。

13 素数。と同時に、トランプでの最大の数字素数なので誰にも屈さない=キングというイメージがある。13の倍数だけ、11,12,14,15,16と周辺の数字の倍数に比べてきれいな形にならない。マイペースな子

14 初心者向けの2と上級者向けの7が合わさった数字奇跡ちょっと冷たいイメージがある。

15 2倍すると30となり、一気に扱いやすくなる。5が入っているって大きい、ということを実感させてくれる。

16 2の二乗二乗。16進数というものもある。IT社会を支える数字と言っても過言ではないのではなかろうか。

17 来ちゃった。一桁の7さんも強かったけど、二桁の7さんである17も強い。なんたって素数。扱いづらいという事実よりも、その孤高さが魅力的に映るのが7の魔。

18 14に近い、九九の入り口の2と卒業の9の掛け合わせ。18禁褒め言葉

19 次の大台に行く前に来た、素数。そういえば大学生の時、友人間で19歳の誕生日を祝う言葉として「ヤラハタリーチ」があった。

20 大台。成人も20から。逆に考えると、大台だから大人なのかな。そう考えると雑。そういう意味では12歳を元服とした昔の人は偉大。

2020-06-22

一方はふつう数学文章。もう片方は全くデタラメ文章である

一方は正しい数学文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。

もう一方は完全に出鱈目な文章である数学的に何の意味もない支離滅裂ものである

文章1

本稿を通して、kは代数閉体とする。

k上の射影直線ℙ^1から射影平面ℙ^2への射

i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]

を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム

Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))

と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。

与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。

定義:

Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが

f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]

により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。

定義:

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L~i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである

例として、ℂ上の楕円曲線(種数1の非特異射影曲線)Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、

dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n

∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))

であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)<0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。

∴ dim(O_{E}(np)) = n

n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。

この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合次元の高い射影空間に埋め込める。

定義:

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプであるという。

与えられた可逆層がアンプであるか判定するのは、一般的に難しい問題であるアンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である

定理(Cartan-Serre-Grothendieck):

XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、

i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0

となることが必要十分である

定理(Nakai-Moishezon):

Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプであるためには、Xの任意1次元以上の既約部分多様体Yに対して、

D^dim(Y).Y>0

となることが必要十分である

文章2

kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は

E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...

と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体ホモトピー同値からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。

このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、

・[Y] = [Q×Z] + [R]

・dim(R)<dim(Z)

が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。

dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。

このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるもの存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という(ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d})。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである

定理:

各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は

f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}

と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である

Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素誘導する。この作用素に関しては、次の定理重要である

定理(Hilbert):

Xがコンパクト代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素有界作用素である

以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。

定理(Hilbert):

上述の定義における単純サイクルによる基底は、完備Euclid環の固有自己作用素固有ベクトルになる。

2020-06-16

素数(2, 3, 5, 7, 11, ...)が先か、自然数(1, 2, 3, 4, ...)が先か

というと、多くの人は「自然数が先だ」と答えるだろう

一方、空間Xが先か、関数{f:X→○}が先かと問われると、「Xが先だ」と答える人が多いだろう

ここで実は、素数空間の各点に対応し、自然数関数対応している

そして、空間場合関数が先だと考えても良いのである

2020-06-14

anond:20200614135929

自然数概念無限大領域まで拡張した

超限順序数と呼ばれる数では一般に積の交換法則は成立しない。

最近小学校では無限集合論を教えているのか。

進んでるな。

2020-06-05

Cauchy列って何?

収束先がどこかにある数列です。

定義

Xを距離空間、d: X×X→Rを距離関数とする。

Xの点列(x_n)は以下をみたすとき、Cauchy列であるという。

任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n, m ≧ Nならば、d(x_n, x_m) < ε。

収束する点列はCauchy列である。実際、lim[n→∞] x_n = x ならば、任意のε/2>0に対して、ある自然数Nが存在して、n>Nならば|x - x_n|<εとなるので、任意のε>0に対して、n, m>Nならば|x_n - x_m|≦|x - x_n| + |x -.x_m|<ε。

逆に、Xの任意のCachy列がXの点に収束するとき、Xは完備であるという。

実数場合

実数全体の集合は、絶対値から定まる距離について、完備である

(x_n)を実数のCauchy列とする。

まず、(x_n)は有界である。実際、ε>0に対して、Nが存在して、n>Nならば|x_n - x_N|<εなので、任意のiに対して、|x_i|≦max{|x_1|, |x_2|, ..., |x_N|, |x_N|+ε}である

Bolzano-Weierstrassの定理より、有界実数列は収束する部分列を含むので、自然数列n_1<n_2<...<n_i<...と実数xが存在して、lim[i→∞] x_(n_i) = xとなる。

xが(x_n)の極限である。lim[i→∞] x_(n_i) = xより、任意のε/2>0に対して、ある自然数Iが存在して、i>Iならば|x-x_(n_i)|<ε/2。(x_n)がCauchy列であることより、任意のε/2に対して、ある自然数Nが存在して、n, m>Nならば|x_n - x_m|<ε/2。この2つより、任意のε>0に対して、n>max{I, N}ならば、|x - x_n|≦|x - x_(n_n)| + |x_(n_n) - x_n|<ε。□

完備ではない例

√2に収束する数列(1, 1.4, 1.41, ...)はCauchy列だが、Qの元に収束しない。

f_n(x)を以下で定める。

xが有理数で、xを既約分数a/bに表したとき、bがn!の約数ならば、f_n(x) = 1。それ以外は、f_n(x) = 0。

各f_nは有限個の点で1になる以外0なので、Riemann積分可能で、∫|f_n(x)|dx = 0。

しかし、その(各点収束)極限は、xが有理数とき1、無理数とき0となる関数であり、これはRiemann積分不可能。(有理数稠密から区間の細分をどれだけ細かくとっても、各区間に1を取る点と0を取る点がそれぞれ存在するため、Riemann和が収束しない)

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-06-03

有限体って何?

位数が有限な体のことです。

定義

集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Fに対して、ある元-a∈Fが存在して、a + (-a) = a + (-a) = 0

Fの元の個数をFの位数という。

上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。

  • 任意のa, b∈Fに対して、a + b = b + a

Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである

  1. Fは、+を演算としてabel群になる
  2. 任意のa, b, c∈Fに対して、(ab)c = a(bc)
  3. 任意のa, b, c∈Fに対して、a(b + c) = ab + bx
  4. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b)c = ac + bc
  5. ある元1∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、1a = a1 = a

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。

  • 任意のa∈F\{0}に対して、あるa^(-1)が存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1

Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。

基本的定理

位数有限な斜体は、可換体である。(Wedderburn)

有限体の位数は、pを素数として、p^nの形である

逆に、任意素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。


  • pを素数として、整数をpで割った余りに、自然加法乗法を入れたものは、有限体F_pになる。
  • F_pに、F_p上既約な多項式の根を添加した体は有限体になる。逆にq=p^nとなる有限体F_qはすべてこのようにして得られる。
  • F_pの代数閉包Fを固定すると、F_q (q=p^n)はFの元のうちx^q=xを満たす元全体である

有限体の代数拡大

有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。

これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型

φ_q: x→x^q

で生成される位数mの巡回群である

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