  |
はてなキーワード: 定理とは
数学書を読みこむ意義は、数学における、定理に対する証明の仕方という芸能をみにつけるための教養を積むこと以外にはありえない
そこで幾何学に対してはコクセタの幾何学入門を読み込むことが必須となっているが、素朴整数論、組合せ、代数学に対応する基本書がない
もちろん、素朴整数論に関しては受験雑誌や入試の過去問にいくらでも問題があるだろう。
しかし最近の問題は因数分解したりしてしまえば簡単に解けるような整数問題しかなく、整数の世界を網羅しているとはいえない。
他方、高校数学で勉強するベクトル、複素数、微分積分の応用問題に対する解答例を紹介する書籍はそれこそ書店に無数にある。チャート、受験雑誌
しかしこれでは凡庸な理論を用いた、数学の論理構成の芸能が発達しない、応用問題、演繹問題に関する知識がやたら身につくだけで、数学世界の構成全体の
本質、つまり、定理の意義深さや証明技能の美が少しも身につかないから、論理構成能力がまったく洗練されない。
第一、小中高校生がやるような初等数学段階において思考能力を磨いていない凡俗が、大学の数学に踏み込んでいくなど噴飯である。
数学の公理、定理、補題、証明に、ハイレベルも低レベルもねえよバカ
東大の教授でも、国際数学オリンピックの問題は解けない。なぜなら、ＩＭＯの問題は知識だけでは解けないように作られているからであり
お前が数学の素晴らしさを理解できないのはお前がくだらない人間だからなだけ。
例えば ｎ→∞のときになぜ １／ｎが０に収束するのか、自明ではない。多くの文系理系は、グラフを描いたら０に向かっているとか、
０．０００００１と続けていけば０になるでしょ、などというただの予想、証明として完成していないことをいうだけ。
そういう単なる感想、予想で、歴史上どれだけの間違いがあったか。 例えば調和級数、 Σ1/k は１４世紀まで収束すると信じられていたが
実は発散し、間違いであることが発見された、現在の小中学生でも、１＋０．５＋０．３３３＋みたいなものを積み重ねていっても∞までいくのはおそろしく時間が
かかることから収束するという意見を出す人がいることも無理ではない
１／ｎが０に収束することの証明は、 まず、数列anbn→αβに収束することをεδ論法で証明し、 ｎ＊1/nは 公理から １
自然数Ｎは無限に存在し（アルキメデスの公理） ｎ→∞は ｎ＞Ｎを意味するから 1/nが０でないものに収束すると仮定するとｎ＊1/n＝１と矛盾する。
ゆえに1/nは０に収束するほかない。
大学物理の教科書では、ベクトル場を曲線lあるいは曲面Sに沿って積分する際に、「∫l F・dl」とか「∫S F・dS」といった表記が使われる。これは教育的に何のメリットも無いので、本当にやめて欲しい。
何が問題かと言えば、多くの教科書でこの表記が使われるにも関わらずその定義が書かれていないことだ。これは喩えるなら、実数a, bに対して「a ☆ b」という操作が行われているが、肝心の二項演算子「☆」の定義が無い、というようなものだ。
定義が書いていないなら、例題などからその計算方法を推測するしかない。しかし、よりにもよってその例題が、「Sが球面で、Fの大きさはSの中心からの距離にのみ依存する」といった積分が必要ないものしか載っていないのである。
このような教科書では、この計算が出てくる概念を正確に学ぶことはできない。
そもそも、この計算はこんな意味不明な表記を使わずとも書ける。
x, y, zを変数とする直交座標で、F = (Fx, Fy, Fz)とすれば、
である。ただし、lやSを適切な「向き」でパラメータ表示しないと符号が逆になることに注意。この表記は、同時期に数学で学ぶであろう微分積分の教科書に必ず書いてある。
上記のように微分形式を使うことには、単に曖昧さがなくなるというだけでなく、大きなメリットがある。
みたいなベクトル解析の定理を3つほど覚えている。微分形式を使うと、これらの定理を覚える必要がなくなる。
Dを境界がなめらかであるなどの十分によい性質を持った領域とする（2次元でも3次元でもいい）。∂DをDの境界とする。ωはDの内部および境界で定義された微分形式とする。このとき、上の一連の定理はすべて
∫D dω = ∫∂D ω
昔から東大入試問題にはメッセージ性があるといって様々問題になり、文部科学省が円周率を３にしようとしたときの平成１５年には
円周率は３．０５より大きいことを示せという問題を出し、平成１６年の問題の中にも、「なお、円周率は３．１４より大きく３．１５より小さい」と記載された
それだけ色々と人気のあった東大も最近では当時のような人気を醸す問題がない
のメッセージ性としては、「今は青チャートレベルか東大模試に出るようなものができればいい」、第４問では、設問（１）（２）（３）でエレガントな整数問題の定理の証明を求める
問題を出すが、一番最後の設問（４）で、設問（３）の結果を繰り返し使用して計算すれば答えが出る、という問題を出すことで設問（１）～（３）の定理証明問題をけなす
それ以外の問題ではエレガントさのかけらもない汚物のような計算問題を大量に出すといった感じの腐れ具合で
東大からは、「腐れろ」「のぼるな」というメッセージ性がうかがわれるも、一回失敗しているから、事情を知っている３，４０代の元東大生たちは苦痛だろう
この不等式は変数が３つの場合に有名で、大学受験問題でも応用例がかなりあるが基本的に変数を増やしても延々と美しいというだけでエレガントな問題に応用
されたという例を知らない。
しかもこの不等式には名前がついていない。他方、コーシーシュワルツの不等式などは知らないとエレガントな問題を突破できないか、知っていれば
不等式の世界には他にもいろいろあるらしいが、シュアーの不等式のように著しく奇妙なものも含めて知っておくべきなのかどうかというものも多い。
不等式の問題の特徴として、日本の文科行政が本格的に教えていないために、解けるものは解けるが解けないものは解けないというどうしようもない状況であって
例えばＡＭＧＭを使えば解けるが、ロシア数学者が得意な Σ（cyc）などの表記、ヘルダーの不等式など習っていないものが多いので嫌いな人が多い。
もちろん数学の問題には様々な解法があり、重要定理を知っておかなければ絶対に解けないわけではないというものの、日本の数学教育は演習量の絶対的不足
明らかに別解はなく、それを知らないと解けないのではないかと疑われている問題も多くあり、文部科学行政に対する批判や恨みが蓄積している
このような系は、不等式という理性の定理でありながら、音楽のような調子、楽しさがある。結果も極めて単純で、証明も極めて美しいという稀有な例である。
これによると、 a^2 ≧ a^2 の証明は (a-a)^2≧０ ということになる。つまり、展開すると、a^2-2a^2+a^2≧０より a^2≧a^2である。
しかし、これは不等式論におけるバランスの問題であって、実数論の世界では、a^2≧a^2は当然であるから、 「または a＞a」とは何かという疑問が残る。
等号成立はもちろんa=aの場合である。そうすると、 a≧aというのは、a＞aの場合はありえないが、 a=aまたはa＞aであって、別にa＞aであるとは言っていないと
わたくしは刑務所の居室にいたときに便箋を使って幾何の問題を解いていたのですが、刑務所だからコンパスが持ち込めない
そこで、ボールペン二本を交差させて円を作図しました。しかし、私が持っている教養は、ユークリッドの公理、特に角度の関係くらいしかなくて
わたしは、中学数学程度の極めて簡単なことと、コンパスもなく正確な図が描けない状況で、幾何の驚異的な難問を解こうとしました。
その驚異的な難問は、角度だけで証明しようとしたのですができませんでした。後日、模範解答をみたら、わたしにはできないような、色々なところに
点を取ったり、補助線を多くひっぱった上、パスカルの定理っていうんですか、教養がないと知らない定理を使ったり、何通りもの解法が示されてあって
とうてい解けないと思いました。この問題の模範解答を探していくと、単位円でも一般性を失わないとかいって解析的に解いているものもありましたが、
学習指導要領から幾何、整数を削除し、高等学校の授業でも決して整数問題を教諭が教えることはなかったが、
センター試験に必答問題でも整数問題が出ているし、選択問題でも、整数と幾何が出ているとして近年問題になっている。
また東京大では２０１３年に問題自体はベクトルとしながら幾何学の定理を使うと簡単に解ける問題を出したほか、京都大や田舎の大学では
かなりの数で幾何学の問題が出ているとして、文科省でも問題になっている。
なお、理学部数学科で習うようなことは、理学部数学科の生徒しか理解する必要性がないから、それを知っておけというのは無意味。
法学部にはその９５％以上が文科一類生しか進学できないとされておりますから、文科一類を修了した人は必ず法学部に進学します。
しかし、法学においては、法理とか、規定などのように、一見、数学の定理を思わせるような文言が出てきますが、数学が哲学的に美しかったり
面白いところがあるのに対して、実定法規というのは、政治的に合意され、公正公平のために人間によって決められた単なるルールですから
数学や哲学のような内容があまりないのであります。その代わり、その実定法を活用して形成される社会の方に内容が出てくるわけですが
もし実定法が社会で使われなかったらそこには何の豊かさや美しさというものもないのであります。
つまり、実定法学というのは頭が悪くても習得できる、とすると法学部で学ぶ実定法学にはどこに希望や美しさがあるかというと、それを使って
社会を形成するというところにあります。それを放棄してしまったら法学部で学ぶ意味はないでしょう。
法律を社会で使用し、社会に美しさをもたらさないのであれば、理学部に行って頭の中で数学という作業をしていた方が１００倍マシということになります。
なぜなら数学は哲学的にみても極めて美しく内容豊富なのに対して、実定法学それ自体には特に美しいところがなく、法規は、実際に使用されてからが
平成時代を通じて数学嫌いが増えたのって、文部科学省が初等幾何や整数、パズルを教えなくなったからだよな。
高等数学のベクトルや二次平面の問題が解けても、数学オリンピックに出るような問題が解けるようにはならないからコンプレックスが残る。
特に、幾何学のように、コンパスと定規を用いて三角形や円をたくさん書いて証明する問題が解けないからやってもつまらないとなる
中学校の数学の教師も、同位角や錯角というものがあります、中点連結定理があります、というのを教えるだけでそれ以上に発展性がない。
幾何の演習の機会も用意されていないし、幾何の演習をやりこまないと大学に通らないということもない。
わたくしは東京大に入る準備をしていたときに多くの数学の演習をしましたが、東京大は、若い学生に対して、無駄な問題を多く出しているな
という感じがした。もっとうつくしい問題や、レベルの高い問題は出題しないのかと思った。
あっただろ。
「なかった」というのは、東京の連中の目障りお受験層の遠吠えに過ぎない。
しっかり「セレブバイト」と言ってくれたのだから問題が拡散してよかった。
日本人は絶対に、富裕層や上級国民への批判を許さない。なぜならこの国には革命が存在しないからだ。
「今はインターネットでどこにでもつながるし、ツタヤやAMAZONで大学受験対策は可能」とかいう馬鹿がまだいる。
こういう嘘つきに日本人は甘い。
私が調査した限りでは青チャートの高校生の理解率は30%。赤チャートの理解率は15%。新数学演習の理解率は5%程度でしかない。
この調査を見て読者はどう思うか？
30年前の青チャートの高校生の理解率は20%。赤チャートで10%。新数学演習で3%程度だった。
「ほらみろ賢くなってる」という連中はさすがにいないだろう。なぜなら今の子供は数学に写像もなければ微分方程式もないし、ミケルの定理やフォイエルバッハの定理もないのだからね。
赤チャートや新数学演習は指定国立大専用の教材だから、この際置いといて、青チャートを理解できない連中が70%になることについて、はてな民はどう思うか？
それは「ツタヤやAMAZONがあっても大学受験対策は可能どころか、ますます都市に住んでいるガキに有利になっている」というのが本音ではないだろうか？
わたくしは平成８年から１１年まで公立のＮ中学校に在籍しておりましたが、中学数学に関してはほとんど習った記憶がありません。
中学１年生のときに、Ｋという水泳教師が、数学の授業を兼任し、黒板に整数論の基礎みたいなものを書いていましたが、生徒はつまらない顔をして
ノートに書き写すだけで、Ｋは、同中学校において、整数論を維持しようという気さえ感じられませんでした。
中学２年になると、Ｓという数学教師が幾何学の基礎を教えていたような気がしますが、内容は、中点連結定理とか、錯角、同位角などといった極めて
基礎的なことだけで
中学３年生になりますと他に理科や、数学でも、二次関数といった応用的なものがでてきて、ＫやＳがやっていた整数論や幾何のことは忘れてしまったし
その後も何も花開きませんでした。そのように、わたくしが在籍していたＮ中学校では、初等数学の肝心なもののうち、数論と幾何学は、教える先生がいたが、
