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はてなキーワード: 幾何とは
数学の世界には無限の可能性が広がっている。無数のパターンやそれらに隠された法則。
三人の応用数学者が、自分の全霊魂を賭けてある難問に挑んでいる。
ドミニク・シュタイナーはベルリンの研究室で、論理的な一連の方程式を前にしていた。彼は数学が絶対的な真理を解き明かすものであり、そこには一切の曖昧さが許されないと信じていた。数式は純粋であり、その解は厳密でなければならない。
その日、彼のデスクに届いた論文は、アレクサンドラ・イワノフからのものだった。彼女はロシアの数学者で、非線形ダイナミクスを用いた社会変革のモデルを研究している。ドミニクはその論文に目を通し、数式の整合性や論理性を冷静に評価した。
パリでの国際数学会議で、ドミニクは自身の研究成果を発表した。壇上に立ち、彼は無駄のない言葉で論理の精緻さを示す数式の力を説明した。彼の発表は冷静であり、数学的な厳密さに基づいていた。聴衆は静かに耳を傾け、数学の普遍性に魅了されているようだった。
発表が終わると、アレクサンドラ・イワノフが手を挙げた。彼女は冷静に質問を始めた。
「シュタイナー教授、あなたの理論は数理的に整合していますが、社会の複雑な相互作用を完全に捉えているでしょうか？非線形ダイナミクスを適用することで、社会変革の予測可能性が高まると考えられませんか？」
ドミニクは一瞬考え、冷静に答えた。
「イワノフ教授、非線形方程式は確かに複雑系の挙動を捉えるには有効かもしれませんが、その安定性が保証されていない場合、結果は信頼できません。数学の役割は、ランダム性を排除し、真理を探求することです。過剰に変数を導入することで、モデルの頑健性が失われるリスクがあります。」
「そのリスクは承知していますが、社会変革は非線形な過程であり、そこにこそ数学の力を発揮する余地があると考えます。複雑系の理論に基づくシミュレーションによって、より現実に即したモデルが構築できるのではないでしょうか？」
ドミニクは彼女の意見に静かに耳を傾けた後、言葉を選びながら答えた。
「社会変革が非線形であるという見解は理解できますが、モデルの複雑性を高めることが必ずしも精度の向上を意味するわけではありません。安定した予測を行うためには、シンプルで確定的なモデルが必要です。」
「シュタイナー教授、イワノフ教授、両方のアプローチにはそれぞれの強みがありますが、私は数学的美学の観点から異なる提案をさせていただきます。リーマン幾何や複素解析の観点から、数式が持つ内在的な対称性やエレガンスは、解が収束するかどうかの指標となる可能性があります。特に、複素平面上での調和関数の性質を用いることで、社会変革のような複雑なシステムでも、特定のパターンや法則が見出せるかもしれません。」
「タカハシ教授、あなたの視点は興味深いものです。調和関数の性質が社会変革にどのように適用できるのか、具体的な数理モデルを提示していただけますか？」
「例えば、調和関数を用いたポテンシャル理論に基づくモデルは、複雑系の中でも安定した解を導き出せる可能性があります。リーマン面上での解析を通じて、社会的変革の潜在的なエネルギーを視覚化し、それがどのように発展するかを追跡することができます。エネルギーの収束点が見えるなら、それが社会の安定点を示すかもしれません。」
「そのアプローチは確かに興味深いですが、実際の社会では多数の変数が絡み合い、単純なポテンシャル理論だけでは捉えきれない動きもあります。その点を考慮すると、複雑系のシミュレーションとの併用が必要ではないでしょうか？」
「もちろんです。私が提案するのは、調和関数を基盤とした解析が複雑系のシミュレーションと補完し合う可能性です。単独のアプローチでは見落とされがちなパターンや収束性を明確にするための道具として捉えていただければと思います。」
三人は、お互いに目配せをすると別れを惜しむかのようににこやかに近付き合い、お互い談笑しながら出口へと歩みを進めた。
一方その日のパリは過去にないほどの快晴で、会議場の外ではどういうわけか、太陽の下で穏やかにほほえむ人々で溢れ返っていた。
・学問、幅広い知識、精神の修養などを通して得られる創造的活力や心の豊かさ、物事に対する理解力。また、その手段としての学問・芸術・宗教などの精神活動。
・教養とは，一般に人格的な生活を向上させるための知・情・意の修練，つまり，たんなる学殖多識，専門家的職業生活のほかに一定の文化理想に応じた精神的能力の全面的開発，洗練を意味する
・実利主義的，立身出世的，政治的な明治の〈修養〉概念に対して，大正の〈教養〉には内面的，精神的，非ないし反政治的，人格主義的等々のニュアンスが強く帯びさせられているわけである。
・人間の精神を豊かにし、高等円満な人格を養い育てていく努力、およびその成果をさす。とかく専門的な知識や特定の職業に限定されやすいわれわれの精神を、広く学問、芸術、宗教などに接して全面的に発達させ、全体的、調和的人間になることが教養人の理想である
・精神文化一般に対する理解と知識をもち，人間的諸能力が全体的，調和的に発達している状態。
・教養教育を意味するLiberal Artsは、近代大学のルーツといわれる中世ヨーロッパ大学においては、聖書を読み解くための能力（論理、修辞、文法）と神の摂理による自然現象を理解するための能力（天文、算術、幾何、音楽）から構成されていました。つまり教養とは、キリスト教世界において「神につながる」力を意味したのです。
・生きていく上で価値判断の基準となる自分なりのものさしを持っている人のことを教養があると表現しています。
・自分の力で「いかに生きるか」を考える人々が出現しました。彼らは古典語（ラテン語）を駆使して「いかに生きるか」に思いを巡らしました。教養とは古典語に精通することでもありました。
https://kotobank.jp/word/%E6%95%99%E9%A4%8A-53100
https://www.cshe.nagoya-u.ac.jp/nu_stips/sub2_colum_2.html
色々定義はあるが教養は単なる知識に留まらず、文化理解や精神的な豊かさなどの非実利的な意味合いを含む定義が多くある。
これらの意味合いを含める定義に従うなら、知識量あっても知識マウント取ったりする人間は人格に問題があるので教養がないし、知識量等は平均レベルでも精神的に円熟してる人は教養があると言えよう。
情報理論を幾何学的に定式化するには、微分幾何学、特にリーマン幾何学とアフィン接続の理論を使う。
1. 統計多様体: 統計多様体𝓜は、パラメータ空間Θ上の確率分布p(x|θ)の集合として定義され、滑らかな多様体の構造を持つ。ここで、θ = (θ¹, θ², ..., θⁿ)は局所座標系である。
2. フィッシャー情報計量: 統計多様体𝓜上のリーマン計量gは、フィッシャー情報計量として与えられる。これは、次のように定義される二次形式である：
gᵢⱼ(θ) = ∫ (∂ log p(x|θ)/∂θⁱ)(∂ log p(x|θ)/∂θʲ) p(x|θ) dx
1. アフィン接続: 統計多様体には、双対のアフィン接続∇と∇*が定義される。これらは、次の条件を満たす：
- 接続∇は、∇g = 0を満たし、統計多様体の平行移動を定義する。
- 双対接続∇*は、∇*g = 0を満たし、∇に対する双対接続である。
2. 双対平坦性: 統計多様体が双対平坦であるとは、∇と∇*の両方の曲率テンソルがゼロであることを意味する。これにより、𝓜は双対平坦な多様体となる。
1. エントロピー: 確率分布p(x|θ)のエントロピーH(θ)は、次のように定義される：
H(θ) = -∫ p(x|θ) log p(x|θ) dx
2. KLダイバージェンス: 二つの確率分布p(x|θ)とq(x|θ')の間のKLダイバージェンスは、次のように定義される：
Dₖₗ(p ∥ q) = ∫ p(x|θ) log (p(x|θ)/q(x|θ')) dx
KLダイバージェンスは、統計多様体上の測地距離として解釈されることがある。
3. 測地線: フィッシャー情報計量に基づく測地線は、統計多様体上で最小のKLダイバージェンスを持つ経路を表す。測地線γ(t)は、次の変分問題の解として得られる：
δ ∫₀¹ √(gᵧ(t)(ẏ(t), ẏ(t))) dt = 0
ここで、ẏ(t)はtに関するγ(t)の微分を表す。
連続時間モデルにおいて、最適投資戦略は Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程式を解くことで導出される。
投資家の効用関数を U(x) とし、リスク資産の価格過程を幾何ブラウン運動
このとき、最適な投資比率 π*(t,x) は以下の HJB 方程式を解くことで得られる：
0 = sup_π { U'(x)(rx + (μ-r)πx) + ½U''(x)σ²π²x² + V_t }
ここで、V(t,x) は価値関数、r は無リスク金利である。
完備市場を仮定し、リスク中立測度 Q のもとでのオプション価格を導出する。
ヨーロピアン・コール・オプションの価格 C(t,S) は以下で与えられる：
C(t,S) = e^(-r(T-t)) E_Q[(S_T - K)⁺ | F_t]
ここで、K は行使価格、T は満期、F_t は時刻 t までの情報集合である。
Black-Scholes モデルの下では、この期待値は解析的に計算可能であり、以下の公式が得られる：
C(t,S) = SN(d₁) - Ke^(-r(T-t))N(d₂)
ここで、N(・) は標準正規分布の累積分布関数、d₁ と d₂ は所定の公式で与えられる。
Heston モデルなどの確率ボラティリティモデルでは、ボラティリティ自体が確率過程に従うと仮定する：
ここで、W¹ₜ と W²ₜ は相関 ρ を持つウィナー過程である。
このモデルの下でのオプション価格は、特性関数法を用いて数値的に計算される。
大口注文の最適執行を考える。Almgren-Chriss モデルでは、以下の最適化問題を解く：
min_x E[C(x)] + λVar[C(x)]
ここで、C(x) は執行コスト、x は執行戦略、λ はリスク回避度である。
市場インパクトを線形と仮定すると、最適執行戦略は時間に関して指数関数的に減少する形となる。
極値理論を用いて、稀な事象のリスクを評価する。一般化極値分布 (GEV) を用いて、最大損失の分布をモデル化する：
F(x; μ, σ, ξ) = exp{-(1 + ξ((x-μ)/σ))^(-1/ξ)}
ここで、μ は位置パラメータ、σ はスケールパラメータ、ξ は形状パラメータである。
これにより、通常の VaR や ES では捉えきれないテールリスクを評価できる。
確率制御理論を用いて、時間変動する市場環境下での最適資産配分を導出する。
dXₜ = μ(Xₜ,αₜ)dt + σ(Xₜ,αₜ)dWₜ
sup_α E[∫₀ᵀ f(Xₜ,αₜ)dt + g(X_T)]
Ωを仮に100次元の実ベクトル空間R^100とする。各次元は特定の神経活動パターンに対応する。
Ω = {ω ∈ R^100 | ||ω||₂ ≤ 1}
ここで||・||₂はユークリッドノルムである。τは標準的なユークリッド位相とする。
O : Ω → Ω
O(ω) = Aω / ||Aω||₂
ここでAは100×100の実行列で、||Aω||₂ ≠ 0とする。
S[ω] = -∫Ω p(x) log p(x) dx
S[O(ω)] ≤ S[ω] + log(det(AA^T))
dω/dt = F(ω) + G(ω, O)
F(ω) = -αω + β tanh(Wω)
G(ω, O) = γ(O(ω) - ω)
ここでα, β, γは正の定数、Wは100×100の重み行列、tanhは要素ごとの双曲線正接関数である。
g_ij(ω) = E[(∂log p(x|ω)/∂ω_i)(∂log p(x|ω)/∂ω_j)]
ここでE[・]は期待値、p(x|ω)は状態ωでの条件付き確率密度関数である。
ψ(x) = √(p(x)) exp(iθ(x))
Φ[ω] = min_π (I(X;Y) - I(X_π;Y_π))
ここでI(X;Y)は相互情報量、πは可能な分割、X_πとY_πは分割後の変数である。
勾配降下法を用いて定式化する：
ω_new = ω_old - η ∇L(ω_old, O)
L(ω, O) = ||O(ω) - ω_target||₂²
G = (V, E)
V = {v_1, ..., v_100}
E ⊆ V × V
各頂点v_iはω_iに対応し、辺(v_i, v_j)はω_iからω_jへの因果関係を表す。
このモデルはPythonとNumPyを用いて以下のように実装できる：
import numpy as np from scipy.stats import entropy from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt class ConsciousnessModel: def __init__(self, dim=100): self.dim = dim self.omega = np.random.rand(dim) self.omega /= np.linalg.norm(self.omega) self.A = np.random.rand(dim, dim) self.W = np.random.rand(dim, dim) self.alpha = 0.1 self.beta = 1.0 self.gamma = 0.5 self.eta = 0.01 def observe(self, omega): result = self.A @ omega return result / np.linalg.norm(result) def entropy(self, omega): p = np.abs(omega) / np.sum(np.abs(omega)) return entropy(p) def dynamics(self, omega, t): F = -self.alpha * omega + self.beta * np.tanh(self.W @ omega) G = self.gamma * (self.observe(omega) - omega) return F + G def update(self, target): def loss(o): return np.linalg.norm(self.observe(o) - target)**2 grad = np.zeros_like(self.omega) epsilon = 1e-8 for i in range(self.dim): e = np.zeros(self.dim) e[i] = epsilon grad[i] = (loss(self.omega + e) - loss(self.omega - e)) / (2 * epsilon) self.omega -= self.eta * grad self.omega /= np.linalg.norm(self.omega) def integrated_information(self, omega): def mutual_info(x, y): p_x = np.abs(x) / np.sum(np.abs(x)) p_y = np.abs(y) / np.sum(np.abs(y)) p_xy = np.abs(np.concatenate([x, y])) / np.sum(np.abs(np.concatenate([x, y]))) return entropy(p_x) + entropy(p_y) - entropy(p_xy) total_info = mutual_info(omega[:self.dim//2], omega[self.dim//2:]) min_info = float('inf') for i in range(1, self.dim): partition_info = mutual_info(omega[:i], omega[i:]) min_info = min(min_info, partition_info) return total_info - min_info def causal_structure(self): threshold = 0.1 return (np.abs(self.W) > threshold).astype(int) def run_simulation(self, steps=1000, dt=0.01): t = np.linspace(0, steps*dt, steps) solution = odeint(self.dynamics, self.omega, t) self.omega = solution[-1] self.omega /= np.linalg.norm(self.omega) return solution def quantum_state(self): phase = np.random.rand(self.dim) * 2 * np.pi return np.sqrt(np.abs(self.omega)) * np.exp(1j * phase) # モデルの使用例 model = ConsciousnessModel(dim=100) # シミュレーション実行 trajectory = model.run_simulation(steps=10000, dt=0.01) # 最終状態の表示 print("Final state:", model.omega) # エントロピーの計算 print("Entropy:", model.entropy(model.omega)) # 統合情報量の計算 phi = model.integrated_information(model.omega) print("Integrated Information:", phi) # 因果構造の取得 causal_matrix = model.causal_structure() print("Causal Structure:") print(causal_matrix) # 観測の実行 observed_state = model.observe(model.omega) print("Observed state:", observed_state) # 学習の実行 target_state = np.random.rand(model.dim) target_state /= np.linalg.norm(target_state) model.update(target_state) print("Updated state:", model.omega) # 量子状態の生成 quantum_state = model.quantum_state() print("Quantum state:", quantum_state) # 時間発展の可視化 plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.plot(trajectory[:, :5]) # 最初の5次元のみプロット plt.title("Time Evolution of Consciousness State") plt.xlabel("Time Step") plt.ylabel("State Value") plt.legend([f"Dim {i+1}" for i in range(5)]) plt.show()
Ω = (X, τ)
O : Ω → Ω'
S : Ω → ℝ
S[ω] = -∫ f(ω(x)) dx
S[O(ω)] ≤ S[ω]
dω/dt = F[ω] + G[ω, O]
g_ij(ω) = ∂²S[ω] / (∂ω_i ∂ω_j)
Q : Ω → H
Φ[ω] = min_π I[ω : π(ω)]
ω_new = ω_old + η ∇_g L[ω, O]
ここで∇_gは情報計量gに関する勾配、Lは適切な損失汎関数である。
G = (V, E)
このモデルは、意識の特性についての仮説である。「観測能力」と「エントロピー減少」を一般化された形で捉えている。具体的な実装や解釈は、この抽象モデルの特殊化として導出可能。
課題としては、このモデルの具体化、実験可能な予測の導出、そして計算機上での効率的な実装が挙げられる。さらに、この枠組みを用いて、意識の創発、自己意識、クオリアなどの問題にも着手できる。
ここで完全出現法というのは完全無欠と考えられている定理に出現してもらうことで目標が示される技術であり、それ以外にも色々あるが、デカルト座標は、旧来の社会では、幾何の図形を
方程式にすると方程式の計算で解けないものではないのではないかと言われていたが、方程式の手計算による幾何の証明はできないことはないが計算量が膨大になり、ベクトルや複素数による
幾何のアプローチも同じである。計算が面倒なだけで一般の高校生や受験生にとっても、うざいだけで何も面白くないのではないかと思われる。他方で、幾何の正当な解き方というのは、平行線の
公理（平行ではない２本の直線は必ず１点で交わる）などから、図形独自の考え方でもっとも経済的かつエレガントな構成を目指そうという考え方でこちらがそもそも正当なやり方であり、
パスカルの定理と呼ばれる完全無欠な定理が最も光り輝くように証明の最期に出現して結論が示されたときの感激は甚大である。なお、これを完全出現法と初等幾何学では星野華水先生も
考えていると思うが、一刀両断法というのは、初等幾何では適当なところに直線を１本引くとすぐに落ちるという発想法である。絞り込み法は隠れた補助線を見つけるという類で、新規洞察法は
ピタゴラスの定理や、整数論で言う、AB＝GLの定理は、面積と関係しているのではないかという洞察からやるものであり、その結論も一挙抜本的でなければならない。一般化法というのは、大量の
行き詰まっている問題が、ABC定理が真正であれば一挙に解決できるくらいの華々しさが必要であり、特定の技術的思想がそこまでエレガントであると評価されるかどうかは難しい問題である。
しかしくだくだしい計算によってなんとか証明することも数学の証明論では考えてもよいところだが、エレガントな着想により一瞬にて解けたときの喜びもまた数学を学ぶ者によって感激の要素である。
数学の証明というのは紀元前の哲学者のタレスにその思想を発しこれは当たり前だから理解しろという説得の手段として発達したものであるが戦後３０年の時代にこの方面で成功した
当時の老人の男としては、刑法学者で最高裁判事の団藤重光、くらいしか知られておらず、昭和２２年から昭和５７年の間には学習指導要領の中に幾何や数論も入っていたが、
昭和５８年の法律改正で、時代遅れだから、ということでこれらのものを体系的に学習することは削除された。裁判所の裁判官が技術によって立法された法律を裁判の中で各種の解釈技術
を編み出し判断枠組みを形成するのが流行したのは昭和３０年代で、東京大学の理系学部で様々な技術を編み出すことが流行っていた時代の話である。いずれにしても流行っていて世間から
認められていたから生産性があったので現在のようにやることが許されていないような時代にそれをやっても誰からも認められる余地がないこと自明である。
問題の解明過程、 証明過程はテクニックで、どのような技術、テクノロジーによって解かれているのかが一般的に判明した場合、一般人が、日常的に困っている特定の問題に関して
独自にその、解決技を編み出し、その知見を利用されるおそれがある。
人工知能や電磁場を用いて、 妖怪の中身を変えてしまうということは、そういうことが出来るのではないか、ということは、科学的に予見できても、実現するためには、様々な道具を集めて、
精緻なテクニックにより間違いなく作っていく必要がある。予見するだけなら誰でもできても、実際に作るとなったら至難の技である。
人工知能と電磁場に関する教科書を書いて、様々な定理を発見し、中には、完全無欠な定理と評価されるものまで何でもかき集めて、より難しい問題に届くのではないかということである。
例えば、 幾何学の、 PowerThorem（方べきの定理）というものは、点Ｐが、円の中、円の外のどこにあっても成立するので、一見完全無欠なようにみえるが、幾何の世界では、あくまで
つねに道具として使用されているだけで、出現的技術とまでは評価されていない。
最近の小学生は、 建造物に人が住んでいることが技術であるとは理解していない。 安室奈美恵が、マンションに住んでいて、そこで光っている場合には、そういう住み方の技術である。
ベランダから現在見える、ときわ台メリーガーデンの２階の、電磁誘導で、小島良二に見える人で、 テレビを見るか寝るかという生活を繰り返しているように電磁的動画でいつも再生
されている部屋の人が、今見たときに、完全に真っ暗で寝ているのではないかと思われる。 さて、河川敷の件だが、昔は、本官が、あのあたりに拳銃で結界を張っていたので俺があそこに
行ったときに誰もいなかったが、最近は、佐藤の命令で、結界を張るな、と言われているので、本官の他に、木元、山本も、あそこにはいないように言われている。 そういうときにあそこに
行った場合には、次のことが予想される。 最初から付近の暗やみにあいつが隠れていて出て来る可能性がある。また、赤羽の、エクセレントサイレントジェネレーターの大型のものが
怪物が出て来るといっても、当然、バリーメイザーの幾何的直観で、 出て来る条件、つまり、点があるから、それをしらみつぶしに研究して、その点に触れないようにすれば出て来ないから
国際数学の私が自分で解けたことのある問題をですが、 第１問、 数の範囲を絞り込めないが必要最小限の順序仮定を何回も用いるとするりと答えが出る。
第２問 論外。 数式を等分してAMGMに入れると邪魔な項が消えて証明できる。
第３問 過激な対称入れ替えと、２倍だけの関数倍化を許すというきつい方法で片割れが出て、もう片割れは
理論的な問題。 または、完全補題を発見しないといけないが驚愕的なのでほとんど無理。
第４問 分からない、なんか出来たことがない。要点補題か、フェルマー小定理に少し改変を加えると出来るらしい。
幾何の場合は、補助線。 補助円は体験したことないから知らん。
第５問 第２問と同じようなもので、簡潔なclaimか何かをするだけ。
第６問 パスカルの定理が出て来るところを指定して出すのが難しい。
東京武蔵野病院は、 院長の、 黄野きみどりをトップとして体系的に構成されているので、本来は、数学の専門用語も交えて、その体系を説明できるはずだが、誰もしていない。
国際数学の一番評価されている問題は、 円ωに鋭角三角形が内接していて、 ωに直線 L が接しており、 三角形の辺を軸に、Lを対象移動したときにできる直線で形成される
問題の感想として、 直角三角形と鈍角三角形の場合には、成立しないことに興味を持ったが、 鋭角というのは英語で確か acute-triangleといったのではないかと思う。
THEOREM ５．５ 鋭角三角形のときは、ωとλは接する。 ただし、鈍角および直角の場合はこの限りではない。
というように書けると思う。
証明の手順は、 幾何学の教科書に書いている専門的な知識を、全部使用し、なおかつ、パスカルの定理を登場させることによりするので、非常にハイレベルで難しい。
幾何学は２０００年前のエジプトの古代人が戦争中に地面に棒で書いて熱中していたものに端を発するのであるが、上の問題は、幾何の教科書の専門知識を全部用いて、有名な定理を
私が数学の話をしたくないのはそんな実力が全然備わっていなくて分かるところまでしか分からないからであり、自分で解いたものは称賛しているが、解いていないものの答えなどを
見たくないので、見ていないので漠然とした感想しかもっていない。ことに、私の、数学の問題を発見する能力はクソ以下で、なおかつ、技術面についてもほとんどできないだろうということである。
なにがしの警察官から、法はものだから、理解してもらうしかない、と強弁されたが、ものであるとは思わないので、同意しないし、こいつの意見に過ぎないのではないかと思った。私が、法が
ものだとは思わない理由がある。国際数学の一番難しい幾何の問題は、 接点K がそこにあることがどうしても論証できない、ということである。但し、接点Kの 両側に、 ２つの直線が
伸びている。模範解答はその問題をどうしたかというと、 パスカルの定理がそこに登場すれば、 接点Kの存在とその両側の直線も、パスカルの定理の中に入っているからそれで説明がついて
落ちます、ということであった。これはあたかも、某がうざくてどうしても落ちないときに、巡査が近寄ってくれば落ちるのに似ているがここにみられるのは、ものではなくて、技術なので、ものではない
と思った。それ以外にも、幾何の問題で、 最初に書いた図形だけだと答えが出て来ないが、適当な、必要最小限度の補助線を引くと、答えにつながるものが出て来るとかいうことだが、
逆に言えば発想力を持ってる人には当たり前の思考過程を言語化せず省略してる場合が大学レベルの学問の文章には無数にあり得るということなんだよね…
あとは中学算数のひねくれたパズルみたいな初等幾何問題も数千年前に一つの真理として立派な考察対象だったわけで…
逆になんで「現代では受験問題として問われるようになった」発想力で解く問題に要するような発想力やテクニックは軽んじられるようになったのだろうと思う。
これらのことも世界をよりよく理解するのにあるに越したことはないのではないかなあ
少なくとも数千年前は世界の理解に必要な価値ある真理のピースの一つとしてまじめにそれらを解くことに取り組まれてたわけで、解けることはより世界を理解してるかのように認識されていたであろうわけで。
数学における自然数みたいなものの定義、が形成する概念を、たとえば数式の3という表記が指示する概念が、我々が日常見てる、３個のりんごやひもとその３倍のひもが並べられてる光景や、時計の長針と短針が三目盛り分ずれてるみたいなのから得られる共通の世間一般に3とよばれる性質と同じだと思うのは、すでに「解釈」なんだよな。
数学において3、「0の次の次の次の数」と自然言語では説明されるような概念はただの操作対象である記号列でしかない。
その記号列にどんな意味を持たせるかは、「物理現象の中に見いだされる3という性質」以外にもあるかもしれないし、ないかもしれない。
「直線と呼ばれるものの定義」についても、幾何的なイメージで解釈するのも、イデアル？だかで解釈するのも勝手。日常生活の個数や順番などとして見出される3の性質も、それと同程度に解釈でしかない。
トポロジーなんかが典型的だと思う。あれが示す証明が、幾何的なイメージとしての立法を内包する何かに対する性質を示してると考えるのは解釈でしかない。
そうすると自然言語で認識してる3や△というのは、たとえそのもっとも理想的なものを持ち出しても、数学の定義にとっては一段レイヤーの低いイデアということになるかもしれない。
数学の定義に対して、複数の3や三角形というイデアが解釈として結びつくなら、数学の定義はメタイデアか。
その前は、定義もまたイデアとするなら、３や三角形は物理的イデア、と物理的を冠して存在する領域を区別すればいいのかなとか思った。
言いたいことはよくわかった。ちなみに文章は全部変なところは感じなかった(笑)
そのうえで、それはその芸術家崩れがおかしいんじゃねーのって思うわけよ。もちろんおかしいといくら思ったところで憎まれっ子世に憚るだから、そういうのが嫌なら自分が避けるための対策こそ大事なのはわかる。
でも上手い絵の基準は単純に言語化できるものじゃないのよね。もちろんパースは射影幾何の範疇だし骨格的におかしいとうのも生物学と統計学で完全に定量的な評価が可能そうなので要素によりけりだけど。
ただそれは裏を返せば、なぜそれが変かの説明が理論的に説明不可能な要素もあるということで、たとえばそれを変とみるにはある種の感覚が必要なら、そもそもなぜその「感覚」はそうじゃない人の感覚より上位にあるのか。その理論的根拠はどこにあるのか。
単に昔の偉い人が持ってた感覚だからみたいな権威主義的なことなのか。そうすると、場合によっては(定量化できる要素については変なところがないものを楽しんでるという前提が必要かもしれないが)、「変だと思わない。いい絵だ」という人(たち)にたいして「変だ。お前らが知識がないだけだ」と否定するのは、知識という権威を使った民主的な評価のちゃぶ台返しにすら感じるから、俺は好きじゃないなあと。
それに感覚を研ぎ澄ませた結果変だと思うようになるなら、それすなわち楽しめる作品が減る(変と思いつつ楽しめる器用な人でない限り)リスクを負うわけで、手間をかけてまでそういう感覚を磨く価値があるかどうかは、よっぽど粘着増田が嫌いな人とかじゃなきゃ微妙だよね。
感覚を研ぎ澄ませて「上手い絵の良さがわかるようになる」のと、いまのままで、誰かにとって変だと思う絵が楽しめることのどちらが幸せなのか…
既に投稿してあるのがもう一つあるのでこっちも見といてくれるとうれしい↓
アルバート アインシュタインが一般相対性理論で説明したように、大規模なスケールでは重力が時空構造の曲線のように見えるように、重力を自然の量子法則に適合させるという非常に困難な仕事を担っている。
どういうわけか、時空の湾曲は、重力エネルギーの量子化単位、つまり重力子として知られる粒子の集合的な影響として現れる。
しかし、重力子がどのように相互作用するかを単純に計算しようとすると、無意味な無限が生じ、重力についてより深く理解する必要があることがわかる。
M理論は、宇宙のあらゆるものの理論の有力な候補としてよく言われる。
しかし、それについての経験的証拠や、重力が他の基本的な力とどのように統合されるかについての代替アイデアはない。
この理論は、重力子、電子、光子、その他すべてのものは点粒子ではなく、さまざまな方法で振動する、目に見えないほど小さなエネルギーの「糸」であると仮定していることは有名である。
1980 年代半ばに弦理論への関心が高まり、物理学者は弦理論が量子化重力の数学的に一貫した記述を与えることに気づいた。
しかし、ひも理論の既知の 5 つのバージョンはすべて「摂動的」であり、一部の体制では破綻することを意味していた。
理論家は、2 つの重力子の紐が高エネルギーで衝突したときに何が起こるかを計算できるが、ブラック ホールを形成するほど極端な重力子の合流がある場合には計算できない。
その後、1995 年に物理学者のエドワード・ウィッテンがすべての弦理論の母を発見した。
彼は、摂動弦理論が一貫した非摂動理論に適合することを示すさまざまな兆候を発見し、これを M 理論と名付けた。
M 理論は、異なる物理的文脈におけるそれぞれの弦理論に似ているが、それ自体には、すべての理論の主要な要件である有効性の領域に制限がない。
2 年後、物理学者のフアン・マルダセナが AdS/CFT 対応関係を発見したとき、別の研究が爆発的に起こった。
これは、反ド シッター (AdS) 空間と呼ばれる時空領域の重力を粒子の量子記述 (と呼ばれる) に結び付けるホログラムのような関係である「共形場理論」がその領域の境界上を動き回る。
AdS/CFT は、AdS 時空幾何形状の特殊なケースに対する M 理論の完全な定義を提供する。
AdS 時空幾何形状には負のエネルギーが注入されており、私たちの宇宙とは異なる方法で曲がる。
このような想像上の世界では、物理学者は、原理的にはブラック ホールの形成と蒸発を含む、あらゆるエネルギーでのプロセスを記述することができる。
この基本的な一連の出来事により、ほとんどの専門家は M 理論を有力な TOE 候補とみなすようになった。
ただし、私たちのような宇宙におけるその正確な定義は依然として不明である。
それが想定する文字列、およびこれらの文字列が動き回ると思われる余分なカールした空間次元は、大型ハドロン衝突型加速器のような実験が解決できるものよりも 1,000 万分の 1 倍小さい。
そして、宇宙ひもや超対称性など、見られたかもしれない理論の巨視的な兆候のいくつかは現れていない。
一方、他の TOE アイデアにはさまざまな技術的問題があるとみなされており、重力子-重力子散乱計算など、弦理論による数学的一貫性の実証を再現したものはまだない。
遠い競争相手には、漸近的安全重力、E8 理論、非可換幾何学、因果フェルミオン系などがある。
たとえば、漸近的に安全な重力は、無限に悩まされる計算を解決するために、より小さなスケールに進むにつれて重力の強さが変化する可能性があることを示唆している。
