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はてなキーワード: 非ユークリッド幾何学とは
量子力学における観測者問題についてはよく知られるように、人間の主観性が量子実験の結果に重要な役割を果たしている。
ドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。
「私たちが観察するのは現実そのものではなく、私たちの質問の方法にさらされた現実です。」
例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。
したがって実験プロトコルの選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点が物理学の不可欠な部分になる。
さて、数学にも一人称視点の余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。
ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性と真実の模範」のようである。
それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。
ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理を発見しただろう。
さらに定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教、性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。
さて、ピタゴラスの定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学的声明である。しかし、ピタゴラスの定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。
何が起こっているのか?
この質問に答えるには、数学的定理を証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。
定理は真空中には存在しない。数学者が正式なシステムと呼ぶものに存在する。正式なシステムには、独自の正式な言語が付属している。
つまり、アルファベットと単語、文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。
その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。
次に正式なシステムのすべての文のうち、有効または真実であると規定した文を区別する。これらは定理である。
それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初の定理、証明なしで有効であると宣言する定理を選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。
公理からの演繹は、すべての数学がコンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。
公理が選択されると、正式なシステムで定理を構成するものに曖昧さがないのは事実である。
これは実際にコンピュータでプログラムできる客観的な部分である。
例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである。
しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。
ユークリッド幾何学の定理は、非ユークリッド幾何学の定理ではなく、その逆も同様。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の場合、答えは明確である。これは、単に説明したいものに対応している。
数学は広大であり、どのように公理を選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。
すべての数学的オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。
たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。
集合論は特定の正式なシステムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択の公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。
今日の数学者は、すべての数学を支える集合論の正式なシステムとしてZFCを受け入れている。
彼らは、無限の公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。
言い換えれば、有限主義者の正式なシステムは、無限の公理のないZFCである。
無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である。
有限主義者は、自然数のリストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。
彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。
この公理を取り除くと、有限主義者が証明できる定理はかなり少なくなる。
正式なシステムを判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的な基準...なんてものはない。
「時間と空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。
ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式なシステム(ZFC等)は、自身の一貫性を証明することができないと述べている。
数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。
そしておそらく、決して知ることはない。
なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式なシステムにおけるZFCの一貫性を証明することしかできなかったから。
一貫性を証明する唯一の方法は、さらに大きな正式なシステムを作成することだけだ。
数学を行うためにどの公理を選択すべきかについて、実際には客観的な基準がないことを示唆している。
要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである。自由意志に任せて。
公理のための主観的な基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。
これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。
特定の公理のセットを選択する行為は、量子物理学の特定の実験を設定する行為に似ている。
それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。
今日は「演習で学ぶ科学のための数学」という本を一通りやり終えました。薄い本ですが線形代数・微分積分の基礎からフーリエ変換まで書かれています。
これぐらい薄い本だと、計算問題を具体的に解こうとしない限りは一日で読み終えることができます。私はいつも計算問題を見ると、sage mathというツールを使えば解けるのになぁと思ったりします。
さて、最近の調子はどうかというと、インターネットの楽しみが増してきました。
「数学の複数の概念を繋げたらどうなるのか」という興味に基づいてグーグル検索するととても面白いのです。
調和解析と数論を繋げるような深淵的なものから、とりあえず繋がっただけという表面的なものまであります。
複数のドメインを繋げる際の「センス」について素人なので、どの繋がりが本質的なのかを見抜くことがまだまだできていない気はします。
atcoder的な問題解決者ではなく、コホモロジー的な理論構築の観点から深淵を覗きたいのです。
最先端のトピックが概ね英語で書かれていることが多いので、読む際に翻訳にかけなければスラスラと読めないのが少し難点です。
ところで「笑わない数学」という番組を知りました。私が最初に見たのは確率論に関するエピソードでしたが、昨日やっていたのは非ユークリッド幾何学でした。
テレビとTwitterの連動性はよく知られていますが、こういう番組に対して視聴者が持つ感想を眺めるのが面白いです。
低コストで飽きない趣味としては、数学はとても良い題材だと思います。
ファインマンさんが言うように、誰かに教えるときに学習効果が最大化されるという面もあるので、いずれブログを書いてまとめたいです。
社会学に限らず人文科学・社会科学（いわゆる「文系」）が自然科学（いわゆる「理系」）と大きく立場を異にするのが、「社会現象に絶対的真理はない」ということ。
自然科学において1＋1＝2というのはごく当然のことで（1＋1＝10という2進法を用いると法則がかわるよねとか、平行線が直交しうるという概念を新設して非ユークリッド幾何学が生まれたとか、そういう話はあるがその辺は措く）、人文科学・社会科学ではそういった明確な自然法則は存在しない。ただ、それでもやはり仰る通りの「科学」の手法をとるなら、科学的な手法で研究をしていかねば、という話は出てくる。
大学時代に受講していた政治学ゼミの教授が言った印象的な言葉がある。一字一句覚えているわけではないのであくまで要約と思ってもらいたいが、ざっとこんな感じだ。
「目の前に特定の政治現象を説明する理論があったとする。そこで重要になるのは『それが正しいかどうか』ではない。社会科学である以上、その理論に対する例外的な現象が発生するのは当然なので『例外があるから間違っている』と考えるのはそもそも誤りだ。それよりも、『その理論がどのくらい多くの現実を説明することが可能なのか』が重要な論点だ。その理論が否定されるとしたら、その理論よりも『より多くの現実』を説明できる理論が立てられたときだろう」
この辺の話はおそらく「パラダイム理論」という名前がついている。「正しいかどうか」ではなく、「どのように現実を説明できるか」というのが「文系」では論点になる、というのは覚えておいていいかもしれない。
［算数の問題「円周率を3.14とするとき、半径11の円の面積を求めよ」の解を379.94とするのは誤り？（togetterまとめ） https://togetter.com/li/940931］
このリンク先の議論が見落としていること。それは、「面積」という言葉についてもまた複数の定義が可能であるということ。これだけで、スムーズに問題は解決できる。
具体的な導入方法としては、たとえば算数の時間の（教科書の）はじめに、「算数のじかんに『面積』っていうのは、計算で出た結果のことだからねー。」と確認させることにする。つまり厳密には
「小学校 算数」において「図形の『面積』」とは、算数の指導範囲内で計算される式の結果求められる数で表されるもののこととします。
という風に「面積という言葉を再定義」させればよい。これによって、円周率を３．１４とするという条件下で半径１１の円の面積を求める問題の答えは「３７９．９４」で無事正解となる。「非ユークリッド幾何学ガー！」とか（理系の）斜め上方向に吹き上がらなくても「円の面積」という言葉の定義の方を広げれば問題は解決。【現状問題ない・無駄に指導内容増やすな派】に対しても、特に莫大な手間や子供の理解を求めることでもないので受け入れられるだろうし、【有効数字ｶﾞｰ派】に対しても、「あ、面積って言葉の意味が違うんで」で終わり。教員の方に対しては、なんでそんなことを言わないといけないかということについて研修させることで、レベルアップを求めることができて万々歳。
以上から言えること。理系の皆さんはもう少し人文系の学問（たとえば言語学、哲学、歴史、政治学、文学）を真剣に学ぶべきだということです。よろしく。
まあ自転車置き場の議論感はあるけど, 自転車置き場の議論は楽しいので許してほしい, と言い訳をした上で書く. くだくだしくどうでもいいことを書くのでお暇な方だけどうぞ. 私自身は円周率3.14で教えるべきか否か, というのには特に意見がない. それはそれとして, の話.
http://anond.hatelabo.jp/20160225040508
「鉛筆が100円で消しゴムが120円だとする」とかの「とする」と同じように、
鉛筆が100円である世界は必要なく「今言及している鉛筆」が100円であればいいし、
めっちゃ歪んでる。
私なんて数学で赤点とったことがあるくらいだから証明はできない。すまん。
もし仮に半径11の円の円周率がぴったり3.14だった場合の世界って、仮定（あるいは定義）できるんだろうか？
よくわからないんだけど、少なくとも円に内接する96角形の周長よりも、円周のほうが小さいってことでしょ？
違う。非ユークリッド空間で円周率が3.14なら円に内接する96角形は歪んで小さくなる。
まず、円周率が3.14ピッタリの世界で、円に内接する96角形の面積よりも円の面積が大きくなるのか、小さくなるのか、
それすら私にはわからないわけだが。
私にも内接する96角形のほうが大きくなる条件は想定できなかった。
数学屋に聞きたいところだ。
そんなわけのわからん世界である必要はない。他のブコメでも非ユークリッド空間に触れていたが
世界のどこでも同じ円周率である必要はないので適当にゆがんだ空間で
空間内にある条件（円周率が3.14）を満たす範囲があればいいしこれは現実の空間である必要はない。
これはモデル化だと思う。
実際は太郎君は歩くときに早くなったり遅くなったりするだろうし別の太郎君はマッハ4で歩くかもしれないが
今言及している太郎君は平均では時速4㎞と認識しているという意味であり、
消しゴムは100円ショップでは100円だしスーパーなら98円にしそうだが今は100円ということにするという意味だ。
「円周率を3.14とする」は、円周率はπだが私は小数表記で正確なπを記述できないので3.14ということにするという意味だ。
あなたにはπを正確に用いて小数の計算ができるのか？もちろんπ表記のままでは計算したことにならないぞ？
時速4㎞で歩き出すのは加速時間が0となるため理論的に実現不可能だ。
あなたが目の前に円を想定した場合、その円は地球の重力により相対性理論的に歪んで円周率はπではなくなる。
必ず円周率がπである世界は何も存在しない世界である必要があり理論的に実現不可能だ。
一方、πが3.14となる範囲を含む非ユークリッド空間は理論的に実現可能だろうが
数学屋に聞きたいところだ。
残念ながら時速4㎞で歩くのを想像させるのは意外と難しい。
常に一定の速度で歩くのはおかしいとか言い出す子供はたくさんいる。
実際の世界には真理など存在しないし認識もできない。それどころか人間には実際の世界を正しく認識することすらできない。
問題文にない条件を持ち出すことが正しいなんて言い出すくらいなら実際の世界を想定しないほうがマシだ。
そのとおりだ。
書いてあるので汲み取る必要はないというか汲み取ってはいけない。これは国語の問題じゃないんだ。
そうだ、科学に対する姿勢の問題だ。何が正しいかを知っているかではなく、
目の前にある条件から矛盾しない答えを導き出すことこそが科学的な姿勢だ。
私は、どんな世界であれ押し付ける傲慢さをあなたに感じている。
もちろん私も世界を正しく認識できていないがそれを人に押し付けるようなことはしていないつもりだ。
違う。与えた条件と異なる条件を持ち出すと間違った答えになるからだ。
「円周率は3.14と条件を指定したな？あれは嘘だ」と言い出したら
私は今、「洞窟に住む縛られた人々が見ているのは「実体」の「影」であるが、それを実体だと思い込んでいる」
と言ったプラトンの気持ちを痛感している（Wikipediaの引用であり国家の文面そのままではない）。
真理というものがあるとしよう。だがそれをあなたが認識しているものと私が認識しているものは違う。
真理の手掛かりとなる影を認識し集め、お互いの認識を形にし、共有する（モデル化）。そして、この共有したモデルについて話をするんだ。
だから「数学の定義では円周率はπだから私が正しい」というのは成立しない。
これはあくまで数学上のπの定義を共有しているモデル、つまり数学での話であり、
円周率がπではないモデルを共有しているときは円周率がπではない前提で話をすることになる。
例えばここに一見正しい条件がある。
・平面上の平行線は交わらない
実際に昔はこれで十分だった。
「平行線が交わりしかも矛盾しないモデルも作れるんじゃないか？」と工夫したことにより
非ユークリッド幾何学が生まれた。
そして、
・平面上の平行線は交わらない
という条件は
という条件に洗練された。真理に一歩近づいたんだ。
だが、きっと、これでもまだ真理そのものではないだろう。
だがその真理に向けて認識を表明し共有しそれを基に議論することで近づいていくことが大事だとプラトンは説いたんだ。
だからこれには、「今はそんな話をしているんじゃない」としか言いようがない。
今は「円周率が3.14としたときに計算結果はどうなるか」という話をしているんだ。
彼は悔しかっただろう。私もとても悔しい。
我々ちょい古いソフト屋はオブジェクト指向の本質を伝えることに失敗した。
認識を形にすることだということを伝えられなかった。
初めて使うので読みにくいだろうことを申し訳なく思う。
なんでもいいけど｢大学で学んだ｣程度の人間が(単に講義聞いただけだろ。ゼミとかやったかもしんないがそんなもんその辺の本普通の人が読んだのと何も変わらんだろ)
偉そうにすんなよ。
さらには｢イメージとしてはユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学みたいな｣なんて意味も分かってないくせに勝手なこと言うなよ。アホが。
いろいろ面倒なのではっきりさせておくと、大学で民俗を専攻してました。隣接分野として文人＆歴史＆考古の教養は有ります。更に文人サブジャンルの宗教学に関しては「馴染みがある」「概説書、エッセイを読んだことが有る」程度です。
そのうえで、この増田はすごくいい疑問を持ってると思う（ウエメセ）。
これはそのとおりで、逆に言えば「宗教の教義が十分に煩雑で多方面にわたっていれば、それがたとえ非論理的でも教義内で無謬となり諸々の事象を教義で説明できる」っていう仮説があって。イメージとしてはユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学みたいな（こちらは両方とも論理の枠内だけど）。
なのでその場合は「はさみをつかえばおまもりを切ることができる」に対応する屁理屈なり禁忌なりが形作られるのだと思うよ。
宗教と政治が一緒にならないようになったりとかは宗教上の定義とほかの何かの定義が一致しないことに基づいてじゃないかなと思うんだけど
これも逆説的にそのとおりで。
言ってしまえば「政教分離」を是とする現在の日本の状況は、人類全体で見ればたいへん特殊なんです。
200万年前に人類が猿から別れて、その後どこかで「宗教」が発明された。
発掘で確認されているのは10万年前くらいなので、仮に10万年とするけど、
その後、9万9千9百30年間くらいずっと宗教と政治権力は同一だったわけで、
「あれ？ これじゃいろいろまずいんじゃね？」と気づいたのがここ数千年（ギリシャ・ローマとかのピンポイントの特例を含む）、
必死に血を流して実効が上がってきたのがここ数百年の話（プロテスタントとかイギリス国教会とかフランス革命とか。これも「別のより穏当な宗教」に置換しただけだけど）、
やっと成功例ができてきたのが大戦期からのここ数十年（共産主義、政教分離）。
といっても何百年後かの人類からは「21世紀のヤツらってまだ○○してたんだって」「やべーｗｗｗ」と言われるんだろうが。
なので歴史＝宗教＝政治なのは普通で、上の「いろいろまずい」ってのは、あなたの言う「宗教上の定義とほかの何かの定義が一致しないことに基づいて」とほぼ同一なんだけど、たぶんまだ現生人類はベースが宗教＝歴史＝政治＝パラダイムなので、色んな場面で宗教的感覚は染み出してくる、というのが俺の私見。
渋谷スクランブル交差点地下道入口へ登ることが禁止されてるのは？ 禁止しないとやっちゃう人がいっぱいいるから。
何かが禁止された記録というのは、それをやっちゃう人が現実にわりといっぱいいたから。
というのが歴史学の基本的な考え方の一つです。
なんか読みやすい参考資料とかパッと浮かぶといいのだけど。プロ倫の解説書とかかなー。微妙か。
現役じゃなくなって久しいので、だれか現役の人頼む。
