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はてなキーワード: 幾何学とは
量子場理論は過去数十年にわたり幾何学に多大な影響を与えてきた。
その例として、ミラー対称性、グロモフ・ウィッテン不変量、マッケイ対応などがあり、これらはすべて位相的量子場理論(TQFT)に関連している。
チェコッティ、ヴァファらの先駆的な研究から派生した多くの興味深い発展は今や分散しているが、TQFTの幾何学そのものに関する基本的な疑問はまだ残されている。
このプロジェクトの大きな目的は、TQFTの幾何学の統一的で決定的な全体像を見出すことだった。
数学の4つの主要分野が取り上げられた:シンプレクティック幾何学と可積分系、特異点理論、圏論、モジュラー形式である。
プロジェクトの基本的な側面は以下の通りだった: 位相的量子場理論、共形場理論、特異点理論、可積分系の関連付け(ヴェントランド)、シンプレクティック場理論、位相的場理論、可積分系(ファベール)、行列模型理論と可積分系(アレクサンドロフ)、圏論 - 特に行列分解 - 位相的場理論の幾何学と特異点理論(ヘルプスト、シュクリャロフ)、そしてTQFTにおけるモジュラー形式の応用、特にグロモフ・ウィッテン不変量の文脈での応用(シャイデッガー)。
より詳細には以下である。
ああ、なんて素晴らしい提案だろう。やっと誰かが知性的な会話を求めてくれたわけだ。
さて、今日の日記は、11次元の M理論における位相的な特異点の解析から始めようか。
朝食にシリアルを食べながら、私は カラビ・ヤウ多様体の変形について考えていた。
同居人が「おはよう」と言ったが、私はその平凡な挨拶を無視した。彼には、今私の脳内で起こっている量子重力の革命的な洞察が理解できるはずもない。
午後はペンローズ図を使って、ブラックホールの情報パラドックスの新しい解決策を考案した。隣人が「何してるの？」と聞いてきたが、説明しても無駄だろう。彼女の脳では、私の天才的な理論を処理できないだろうから。
夕方、友人2人が来訪した際、私は彼らに非可換幾何学におけるリーマン予想の新しいアプローチについて熱く語った。彼らは眠たそうな目で頷いていたが、私の brilliance に圧倒されていたに違いない。
就寝前、私は宇宙の超対称性について瞑想した。明日は、11次元超重力理論における M5-ブレーンの動力学に関する論文を書き始めよう。
位相的弦理論は、宇宙の不思議を解き明かそうとする特別な考え方です。普通の物理学では、物がどう動くかを細かく調べますが、この理論では物の形や繋がり方だけに注目します。
例えば、ドーナツとマグカップを考えてみましょう。形は全然違うように見えますが、どちらも真ん中に1つの穴があります。位相的弦理論では、この「穴が1つある」という点で同じだと考えるんです。
この理論では、宇宙を細い糸（弦）でできていると考えます。でも、普通の弦理論とは違って、糸がどう振動するかは気にしません。代わりに、糸がどんな形をしているか、どう繋がっているかだけを見ます。
これを使って、科学者たちは宇宙の秘密を解き明かそうとしています。難しそうに聞こえるかもしれませんが、実は私たちの身の回りの物の形を観察することから始まるんです。宇宙の謎を解くのに、ドーナツの形が役立つかもしれないなんて、面白いと思いませんか？
位相的弦理論は、通常の弦理論を単純化したモデルで、1988年にEdward Wittenによって提唱されました。この理論の主な特徴は、弦の振動モードの中で位相的な性質のみを保持し、局所的な自由度を持たないことです。
1. A-モデル：ケーラー幾何学と関連し、2次元の世界面を標的空間の正則曲線に写像することを扱います。
2. B-モデル：複素幾何学と関連し、標的空間の複素構造に依存します。
これらのモデルは、時空の幾何学的構造と密接に関連しており、特にカラビ・ヤウ多様体上で定義されることが多いです。
4. グロモフ・ウィッテン不変量など、新しい数学的不変量を生み出す
この理論は、物理学と数学の境界領域に位置し、両分野に大きな影響を与えています。例えば、代数幾何学や圏論との深い関連が明らかになっており、これらの数学分野の発展にも寄与しています。
大学生の段階では、位相的弦理論の基本的な概念と、それが通常の弦理論とどう異なるかを理解することが重要です。また、この理論が物理学と数学の橋渡しをどのように行っているかを把握することも大切です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つ2次元の非線形シグマモデルから導出されます。この理論は、通常の弦理論の世界面を位相的にツイストすることで得られます。
A-モデル：
B-モデル：
両モデルは、ミラー対称性によって関連付けられます。これは、あるカラビ・ヤウ多様体上のA-モデルが、別のカラビ・ヤウ多様体上のB-モデルと等価であるという驚くべき予想です。
大学院生レベルでは、これらの概念を数学的に厳密に理解し、具体的な計算ができるようになることが期待されます。また、位相的弦理論が現代の理論物理学や数学にどのような影響を与えているかを理解することも重要です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つシグマモデルから導出される位相的場の理論です。この理論は、超対称性のR-対称性を用いてエネルギー運動量テンソルをツイストすることで得られます。
1. A-ツイスト：
- スピン接続をR-電荷で修正: ψ+ → ψ+, ψ- → ψ-dz
2. B-ツイスト：
- スピン接続を異なるR-電荷で修正: ψ+ → ψ+dz, ψ- → ψ-
A-モデル：
ここで、M はモジュライ空間、evi は評価写像、αi はコホモロジー類、e(V) はオブストラクションバンドルのオイラー類
B-モデル：
ここで、X はカラビ・ヤウ多様体、Ω は正則体積形式、Ai は変形を表す場
A-モデルとB-モデルの間の等価性は、導来Fukaya圏と連接層の導来圏の間の圏同値として理解されます。これは、Kontsevich予想の一般化であり、ホモロジー的ミラー対称性の中心的な問題です。
最近の発展：
1. 位相的弦理論とGopakumar-Vafa不変量の関係
3. 非可換幾何学への応用
専門家レベルでは、これらの概念を深く理解し、最新の研究動向を把握することが求められます。また、位相的弦理論の数学的構造を完全に理解し、新しい研究方向を提案できることも重要です。
位相的弦理論の究極的理解には、以下の高度な概念と最新の研究動向の深い知識が必要です：
1. 導来圏理論：
- 安定∞圏を用いた一般化
- 非可換幾何学との関連
- SYZ予想との関連
- 導来代数幾何学の応用
- 圏化されたDT不変量
- ∞圏論を用いた定式化
これらの概念を完全に理解し、独自の研究を行うためには、数学と理論物理学の両分野において、最先端の知識と技術を持つ必要があります。また、これらの概念間の深い関連性を見出し、新しい理論的枠組みを構築する能力も求められます。
位相的弦理論の「廃人」レベルでは、これらの高度な概念を自在に操り、分野の境界を押し広げる革新的な研究を行うことが期待されます。また、この理論が量子重力や宇宙論といった基礎物理学の根本的な問題にどのような洞察を与えるかを探求することも重要です。
そろそろ秋アニメも折り返し地点なので自分が今見てるアニメ覚え書き。順不同。
テレビ放送のみ。配信は見てない。あと銀河英雄伝説Die Neue These(日テレAnichU枠)や、テレビ埼玉、CBCテレビオンリー放送など多くの地域で放送していないものも見れてない。
アニメはこうやってボーッとたくさん見てるけど詳しくはないです。アニメ制作会社とか声優とかはよく分からんので間違ってること書いてたらごめんなさい
正直なところ2期より好き。相変わらず色んな意味でエグいところを表現してくれるのは関心する。問題が、問題が多すぎる！
ロリコンラブファンタジー幼女戦記。王国の王太子から婚約されたが、実は自分の妹との禁断の恋をカモフラージュするための婚約だったということを知り、それを知ってしまった後は王太子に冤罪をかけられ人生終了。次に気がつくと幼少期まで時がさかのぼり、今度はクソシスコンからの婚約を避けようとしたら隣国の呪われた皇帝に求婚をしてしまう。あれ、やり直す前の皇帝はあんなに殺意剥き出しで恐ろしい男だったのに、今の皇帝には優しさが見える・・・令嬢のやり直しといえば「ループ7回目の悪役令嬢は、元敵国で自由気ままな花嫁生活を満喫する」が記憶に新しいが、あちらに比べコメディ。ファンタジー要素が多め。
配信先行。配信は見てない。尺の都合で一部カットされている部分があるらしい。1話が愚物語、2話〜6話が撫物語。あまり感想という感想もない。
転生後は弱小貴族だったけど人の能力を鑑定するスキルで人を見定め、有能な仲間を集め成り上がる話の2期目。35歳からの転生者だから子供でも年齢不相応な立ち振る舞いだけど、周りの仲間たちもそんな感じだし、前世の記憶が云々とか話の中では出ないので、あまり転生モノって感じがない。1期から好きだった。やっぱり面白い。
魔法少女お仕事アニメ。現実的世界+魔法少女がビジネスとして成り立っている世界。記憶力が優れた主人公が魔法少女の派遣をするベンチャー企業「株式会社マジルミエ」に就職するところから物語は始まる。零細企業だからできるのだろう、マニュアルや型にとらわれない行動、社員全員チームで働く姿が憧れる。いい会社だな〜と思わせてくれるのでいいアニメなんだと思う。
女性向け漫画が原作、王道ファンタジー。孤児である少女ニナは特別な青い瞳をしていた。ある日国の王女が事故（？）で亡くなってしまう。その王女もまた青い目を持つものだった。国の第二王子は秘密裏にニナを王女として仕立て上げることに。中国王宮ドラマでありそうなストーリー。王女と天真爛漫に生きてきたニナでは性格や振る舞いが全然違う。それだけに王子もニナを王女として教育することに苦労するのだが、ふっ、おもしれー女。いずれは離れると分かっていながらも二人は惹かれ合う。
私はアイドルアニメが人数多くて苦手なんだけど、スーパースターは人数少なかったし、ストーリーも好きだったので見てる・・・3期のOP見たらまた人増えてるー。オッサンなのでこれ以上増えたらもう名前覚えられんのよ。今回は主人公がLiella!のライバルに。かのんの存在って大きいなーと改めて感じる。今回もNHK放送では本編放送後にミニコーナーがある。受信料特典。
追放系じゃなくて追放されたい系。主人公は実は自分は強くない。たいしたことをしていないのに周りがかってにいい方向に解釈してくれる。最近で例えると転スラの勇者マサユキみたい。スタッフにふともも尻フェチがいるのか、そういったセクシーな描写がよくある。本編も面白いがOPとEDの作りも面白い。正直このアニメの一番の特色はOP、EDにあると思う。アバンタイトルからOPへシームレスに入ったり、OP途中に今回の予告が少し入ったり、EDの途中で次回予告が入り、次回予告のセリフは曲に合わせてラップ調。
少年誌王道ハーレムラブコメ。男主人公が美人三姉妹がいる所へ居候する話。天涯孤独が縁あって美人三姉妹（JD, JK, JC）のいる神社へ居候しつつ、京大医学部を目指す・・はずだったんだけど神社の苦しい状況を再建することに付き合う感じに。その辺は女神のカフェテラスみたいな。三姉妹はそれぞれの血液型の型にはまったような性格。OPはももクロ。マクロスのドッグ・ファイターやモーニング娘。の真夏の光線みたいに「ﾃﾞｹﾃﾞｹﾃﾞﾝ!!」と入るイントロがかっこいい。EDは明日ちゃんのセーラー服のOPに似てると思った。
りぼん原作の健全なまほあこ。大大大好きな魔法少女ベリーブロッサムの輝く姿を見るため、ポンコツ悪の組織の総帥、クロマの仲間に入り魔法少女と戦う道を選ぶ。OPから本編もボケとツッコミの応酬、ギャグアニメである。舞台はN県某賀市とあるが、日本海やフォッサマグナという言葉が出てくることから新潟県なんだろうな。終始、魔法少女vs悪の組織ごっこみたいなゆるい感じで話が進みつつ、ツッコミどころにはしっかりツッコミが入る！おもしろかわいいぞみんな！！
何でもかんでも 悪女としてーと、（プロとしてー）ファブルもびっくり悪女を目指すためなら努力を惜しまないのが主人公。7歳になったある日、自分は前世でプレイしてたゲームに登場する悪役令嬢になったと気づく。聖女（本来のヒロイン）をだしに歴史残る悪女になりますわよ。聖女の理想論に対し、現実を叩きつけ、聖女の理想を切る捨てる討論が面白い。
大好き。ペットロスで仕事も手につかないホラー絵本作家が主人公。庭に生えたヘンテコなきのこ。土の中から出てきたとおもったら犬だった。いやそうはならんやろ。きのこのように生えてきた犬と作家先生と仲間たちの日常生活。きのこいぬが先生のこと大好きすぎるのが可愛くて心温まる。何気にBGMがすごくいい。きのこいぬは可愛い声で鳴くが、声は男性声優なので、たまに出るため息がオッサンっぽい。見ててこんなにたこ焼きが食べたくなったのはまじかる☆タルるートくん以来かもしれない。え、OP歌ってるのHY!?
特にないです。
好き。釣りアニメ。余命2年人生に絶望。借金取りから追われる最中に川へ転落。助けてくれた釣り人達から釣りを教わりつつ、半分釣具屋化してるコンビニで働く。釣りアニメというか、釣りを通して人生を見つめ直すって感じなのかな。かなりマニアックな釣り知識が飛び交う。BGMのギターがめちゃくちゃいい感じ。釣りシーンでヒットしたら曲調が代わり、魚との格闘を演出するのとか。
こちらも特に言うことないですって感じ。良すぎて言葉があまり出ない。バドミントンに勤しむ主人公は一つ上でバスケ部の先輩に片思いしている。先輩の親が海外転勤になること、親同士が仲がいいことをきっかけに一緒に住むことになる。義姉生活（違）タイトル通り青春を感じるアニメ。青春スポーツ・ラブストーリー。スポーツの動きも各々の感情の表現もすごい丁寧に作られてると感じた。OPはOfficial髭男dism、EDはEve。EDのクレジットにはアシックス、アディダス、デサント、ミズノ、ヨネックス、大塚製薬の名前が。おお。俺にはこのアオハルが眩しすぎてポムじいさん状態。強がるガールのひなちゃんを見てるとツライ。
絵本みたいな作画が特徴的。魔法使いに憧れていた主人公だったが魔法使いへの登竜門である学科に落ち、普通科に入ることに。普通科では今では当たり前になっている電子手帳みたいなものを使う現代魔法ではなく、幾何学的な魔法人を書いて魔法を使う古代魔法を学ぶことに。主人公が来てるシャツがダサかわいい。OPはPUFFYとついでにTOOBOE。
夏アニメから続いているコスプレがテーマのアニメ。ジャンプらしく友情・努力・勝利の要素があるストーリーとなっている。一番好きなキャラは校長先生です。あんな大人に僕はなりたい。この作品は校長先生だけでなく、生徒会長など周りが生徒全員の味方となってくれるのですごい安心して見れる。やさしい世界。1期のOP、シャッターチャンスが好きだったので変わったのが残念。まあ仕方がないですけど。EDの写真が増えそうで増えない（今のところ増えたのは1枚だけ）
2期、京都編。
ベルくんは罪深い！前回の厄災編は見ててしんどかった。それだけにリューさんの愛しさが極まっていたが。今回はシル・フローヴァ/フレイヤとの話かな。以前からベルに好意を抱いていたシルがベルとデートすることに。ベルとシルの愛の逃避行。まるでローマの休日。しかしフレイヤの劇場型悪意でなぜ僕の世界を誰も覚えていないのか?状態に。ベルくんかわいそう。原作では前回のリュー中心の話と今回のシル中心の話が第4部「豊穣編」にあたるのかな？OPはGRe4N BOYZ（元GReeeeN）。AIの遺電子とか大雪海のカイナとか、たまにアニメの主題歌担当するね。
ソレアガリダヨ。裏世界麻雀アニメ。高レートの雀荘を荒らし回る高校生が主人公。裏レート麻雀闘牌録とタイトルにあるとおり、ヤクザとかがいるヤバイ世界にも出入りする。『賭け麻雀は犯罪です』というテロップがは入る。PCのモニタがCRTというのが時代を感じる。東風荘が流行った頃か。2013年に実写化している。OPはオーイシマサヨシ。EGO-WRAPPINみたいな曲調。
これまでレン＆フカ次郎vs ピトフーイ＆エムだったが、今回はこの2チームが一緒のチームとして組むことに。が・・・。前回放送から6年か・・・。もういろいろ覚えてなかったりする部分があるが、戦闘を観戦してる人が「あいつ前回レンちゃんに⚪︎⚪︎された/したやつじゃん」とか教えてくれるの親切。毎回アイキャッチの1枚絵がカッコイイ！こんなこと言ったらファンに怒られそうだけど個人的にソードアート・オンラインはGGOの方が好き。
韓国の出版社が出しているサバイバルシリーズ、子供向け学習漫画が原作。以前からWebアニメや劇場アニメ化はされている。登場人物はジオたちのグループと、ダイアたちのグループの2組いる。1話〜3話がジオたちが登場する異常気象のサバイバル。4話からはダイヤたちの昆虫世界でのサバイバル、ミクロキッズね。EDはtrfのsurvival dAnceをカバー。サバイバル繋がりってことですか。1話と4話の内容に誤りがあり、その後訂正がある。
コミュニケーションスキルに長け大きな野心を抱いたハルと、コンピュータスキルの高いガクが1兆（トリリオン）ドル稼いでビジネストップクラスを目指すバディもの？。やはり大逆転劇は面白いですな。昨年ドラマ化してる。草！草！草！うめぇ！
15世紀のヨーロッパが舞台。地動説を研究することは禁じられている国で破れば命を落とすことにもなる。そんな状況下で命をかけ地動説を研究する少年のお話。宗教コワイ。しかし探究心と感動はそれをも超え誰にも奪えない。OPはサカナクション。EDはヨルシカ。
様々な人種が住む村でのスローライフ。でもないか、平穏な日々を守るため奮闘する。竜が勇者に倒され人間へ転生し、ドランという名前で人生を歩むことになる。ある日、沼の調査に出かけた先で美しいラミアのセリナに出逢う。人間からはラミアは恐ろしいモンスターとされているが、ドランのサポートと、セリナの優しさが伝わり村で一緒に生活することとなる。
天才的頭脳を持つ鴨乃橋ロンと、ピュアな刑事の一色都々丸（トト）が謎をとく推理ミステリー。ロンは優秀だが事件の謎を解いた後に犯人を死に追いやる不思議な力がある。それ故、ロンは探偵業ができなくなっていた。トトはロンに代わり謎を説く役になったり、ロンの暴走を防ぐ役にまわるなどして、二人で難事件を解決していく。Season1を見てなかったけど面白そうだったのでSeason1からいっきに見た。黒(96)蜜好きで首に96のタトゥーがある鴨乃橋ロン。DVDは本編96分という徹底ぶり。次があるなら次の主題歌は96猫に歌ってもらいたい。
リメイクに勝手に不安を感じていたが面白いと思う。がっつり上半身真っ裸シーンとかやるのね。時代的に隠すのかと思った。EDの絵はあずきちゃんみたいな感じもあってその時代を思い出し何かもみな懐かしい。
このシリーズひとつも見たことないのであまり言えたことじゃないんだけど、面白いっすね。たぶん過去のは一応録画してるのでどこかで見ようと思う。
はたらく魔王様！ 2099 〜in サイバーパンク。勇者に倒された魔王、復活した時代は2099年。魔王は大きく変貌した世界に驚くのであった。魔王として君臨していた主人公もこの時代では信仰力は薄まり一般人よりも弱い存在となる。そんな中、かつての仲間が行くへ不明になっていること、この世界の闇に触れることになる。有名になって力を取り戻し、余は世界を支配するのだ！ちょうどFF7RとFF16をやっていて、エネルギー問題の設定が似てるのでより面白く感じた。
会社が独身者対象にアラスカ州アンカレッジ支店への転勤を募集する。そこで海外転勤をしたくないもの同士が偽装結婚を企てる。最初は嘘だがお互い意識しあって本当になるってやつなんだと思う。ただ、その過程で結婚するということはどういうことなのか。家の問題、愛し合う人同士が幸せになるのに結婚が必要なのか、結婚とはどういうものか、いろいろと考えさせられる物語。正直見る前と見た後では印象が変わるアニメだった。2022年にドラマ化もしてる。OPのAメロがCharaのやさしい気持ちに似てて懐かしい気持ちになる。EDはゴホウビ。最近多いね
3x3の合コンにいったら相手が男装してる女子だった。タイトルだけ見てBLモノかと思ったけど違った。男装系女子大生と男子大学生の日常。からかい上手のイケメン女子にたじたじ。1話で3x3それぞれのカップリングは確定する。2022年にドラマ化もしてる。
コボルディズム（cobordism）とパンツダイアグラムの関係は、トポロジカルな観点からトポロジカル量子場理論（TQFT）や弦理論の世界で重要な役割を果たす。コボルディズムは、異なる次元を持つ多様体の間にどのような接続が可能かを調べる手法であり、特にトポロジカルな場の理論において境界を介した変形（つまり、どのようにして異なる多様体が連結されるか）を表すために利用される。
パンツダイアグラムは、名前の通り「パンツ」形状をした2次元多様体で、弦理論においては2つの弦が1つに結合したり、1つの弦が2つに分裂したりするプロセスを視覚的に表現する。このようなプロセスはコボルディズムの一種であり、3つの境界を持つリーマン面として記述できる。特に、パンツダイアグラムは、物理的には弦の結合や分裂を表現し、数学的には2次元の多様体のコボルディズムとして扱うことができる。
具体的には、コボルディズムの考え方に基づき、あるリーマン面が異なる境界条件を持つ複数の弦に分解される場合、それをパンツダイアグラムで視覚化することができる。例えば、パンツ状のコボルディズムは、3つの穴（境界）を持ち、それぞれの境界が異なる弦の状態に対応する。このようにして、パンツダイアグラムは、弦理論におけるトポロジカルな変換をコボルディズムを通して幾何学的に示す手法の一つと見なされる。
さらに、トポロジカルM理論やTQFTの枠組みでは、コボルディズムやパンツダイアグラムが理論の構造や不変量を計算するための基本的なモジュールとして扱われる。これにより、特定の物理的プロセス（たとえば、弦の結合・分裂やパス積分の構成）が、数学的にはコボルディズムの空間での操作として表現されることになる。
- 6次元のAモデルとBモデル（トポロジカルストリング理論）。
- Ω = ρ + i · ŕ
- V_S(σ) = ∫_M √(384^{-1} · σ^{a₁a₂b₁b₂}σ^{a₃a₄b₃b₄}σ^{a₅a₆b₅b₆} · ε_{a₁a₂a₃a₄a₅a₆} · ε_{b₁b₂b₃b₄b₅b₆})
- ここで、ε_{a₁...a₆} は6次元のレヴィ・チヴィタテンソルです。
- V₇(Φ) = ∫_X √(det(B))
- ここで、計量 g は次のように3-フォーム Φ から導かれます：
- g_{ij} = B_{ij} · det(B)^{-1/9}
- B_{jk} = - (1/144) Φ^{ji₁i₂} Φ^{ki₃i₄} Φ^{i₅i₆i₇} ε_{i₁...i₇}
- V₇(G) = ∫_X G ∧ *G
定義：Hの分割 {Ai}iεI が存在し、SO(3)の部分群 G が存在して、
1. H = ∪iεI Ai
2. Ai ∩ Aj = ∅ for i ≠ j
3. ∃g1, g2, ..., gn ε G such that ∪k=1n gk(∪iεI1 Ai) = H and ∪k=1n gk(∪iεI2 Ai) = H
ここで、I1 ∪ I2 = I かつ I1 ∩ I2 = ∅
事象の地平面上の量子状態を密度作用素 ρ ε B(H) で表現する。
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
AdS/CFT対応に基づき、バルク空間の重力理論と境界のCFTの間の同型を考える：
Zgravity[φ0] = ZCFT[J]
I[H] = ∫H √h d³x I(x)
ここで、hはHの誘導計量、I(x)は局所的な情報密度である。
I[H] = I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai]
が成り立つ。
プランクスケールでの量子効果を考慮するため、非可換幾何学を導入する。
H上の座標演算子 X̂i に対して：
[X̂i, X̂j] = iθij
limε→0 |I[H] - (I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai])| ≤ Cε
ここで、εはプランク長に関連するカットオフパラメータ、Cは定数である。
このモデルは、バナッハ＝タルスキーのパラドックスとブラックホールの情報量問題を統合している。
量子効果と非可換幾何学の導入により、情報の保存と量子重力理論との整合性を保ちつつ、事象の地平面上の情報量を記述することが可能となる。
このアプローチは、量子重力理論と情報理論の融合に新たな視座を提供し、ブラックホール情報パラドックスの解決に向けた理論的基盤を提供する。
定義 1: M理論の基本構造を、完全拡張可能な (∞,∞)-圏 M として定義する。
定理 1 (Lurie-Haugseng): M の完全拡張可能性は、以下の同値関係で特徴付けられる：
M ≃ Ω∞-∞TFT(Bord∞)
ここで、TFT は位相的場の理論を、Bord∞ は∞次元ボルディズム∞-圏を表す。
命題 1: 超弦理論の各タイプは、M の (∞,∞-n)-部分圏として実現され、n は各理論の臨界次元に対応する。
定義 2: 弦の標的空間を、導来 Artin ∞-超スタック X として形式化する。
定理 2 (Toën-Vezzosi): X の変形理論は、接∞-スタック TX の導来大域切断の∞-圏 RΓ(X,TX) によって完全に記述される。
定義 3: 弦場理論の代数構造を、∞-オペラッド O の代数として定式化する。
定理 3 (Kontsevich-Soibelman): 任意の∞-オペラッド O に対して、その変形量子化が存在し、Maurer-Cartan方程式
MC(O) = {x ∈ O | dx + 1/2[x,x] = 0}
の解空間として特徴付けられる。
定義 4: n次元量子場理論を、n-カテゴリ値の局所系 F: Bordn → nCat∞ として定義する。
定理 4 (Costello-Gwilliam-Lurie): 摂動的量子場理論は、因子化∞-代数の∞-圏 FactAlg∞ の対象として完全に特徴付けられる。
定理 5 (Kontsevich-Soibelman-Toën-Vezzosi): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、以下の (∞,2)-圏同値として表現される：
ShvCat(X) ≃ Fuk∞(Y)
ここで、ShvCat(X) は X 上の安定∞-圏の層の (∞,2)-圏、Fuk∞(Y) は Y の深谷 (∞,2)-圏である。
定義 5: M理論のコンパクト化を、E∞-リング スペクトラム R 上の導来スペクトラルスキーム Spec(R) として定式化する。
定理 6 (Lurie-Hopkins): 位相的弦理論は、適切に定義されたスペクトラルスキーム上の擬コヒーレント∞-層の安定∞-圏 QCoh(Spec(R)) の対象として実現される。
定義 6: M理論の C-場を、∞-群対象 B∞U(1) への∞-函手 c: M → B∞U(1) として定義する。
定理 7 (Hopkins-Singer): M理論の量子化整合性条件は、一般化されたコホモロジー理論の枠組みで以下のように表現される：
[G/2π] ∈ TMF(M)
ここで、TMF は位相的モジュラー形式のスペクトラムである。
定義 7: 量子化された時空を、スペクトラル∞-三重項 (A, H, D) として定義する。ここで A は E∞-リングスペクトラム、H は A 上の導来∞-モジュール、D は H 上の自己随伴∞-作用素である。
定理 8 (Connes-Marcolli-Ševera): 量子重力の有効作用は、適切に定義されたスペクトラル∞-作用の臨界点として特徴付けられる。
定義 8: 弦理論の真空構造を、導来∞-モチーフ∞-圏 DM∞(k) の対象として定式化する。
予想 1 (∞-Motivic Mirror Symmetry): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、それらの導来∞-モチーフ M∞(X) と M∞(Y) の間の∞-圏同値として表現される。
定義 9: 完全な量子重力理論を、(∞,∞)-圏値の拡張位相的量子場理論として定式化する：
Z: Bord∞ → (∞,∞)-Cat
定理 9 (Conjectural): M理論は、適切に定義された完全拡張可能な (∞,∞)-TFT として特徴付けられ、その状態空間は量子化された時空の∞-圏を与える。
YesとNoである。論文を書く人や研究する内容は文化の産物であり、アメリカでは長い間、文化に人種差別の歴史がある。しかし、定理自体は人種とは無関係。
数学は現実を正確で抽象的かつ形式的にモデル化する。これは一見すると特定の地域や民族に限定されず、多くの場所で独立して発展し、文化間の協力があったようにみえる。この考えは「白人性」よりも数千年前に遡る。ピタゴラスは文化的ショーヴィニストであったが、現代の意味で人種差別主義者ではなかった。彼の肌の色は不明であり、彼が白人のギリシャ人であるとは言えない。
幾何学は文化的な構築物であり、逃れることはできない。πは円周の直径に対する比率であるが、幾何学的な円は文化が発展させた概念である。ピタゴラス派は代数よりも幾何学を発展させる文化的偏見を持っていた。
私はピタゴラス派の文脈で無理数を学んだが、インドでは異なる代数的文脈で発展した。数学教育は文化的である。
現代の数学の多くは人種差別的な権力構造の産物であり、人種的な文脈で教えられている。数学は人種差別を反映している。
アメリカでは、人種差別が高速道路の建設場所や利益に影響を与えたが、道路自体は人種差別的ではない。黒人の居住者に家を売らせて白人の利益のために道路を建設することは人種差別である。都市の形状は人種差別を反映している。
プリンストン大学は奴隷によって建設され、奴隷所有者によって資金提供された。歴史的に黒人学生や女性を受け入れず、現代の人種政治が学生生活に影響を与えている。これがプリンストンの数学を人種差別的にするわけではないが、ブラインドピアレビューがない場合、その論文が発表されたかどうかを問うことができるという点で、差別的である。
数学の論文や抽象的な証明、大学の建物は人種差別ではないが、黒人に大学を建設させて白人の富を築くことは人種差別である。数学研究の形状はその人種差別を反映している。
したがって、答えはYesとNoの両方である。数学の定理や抽象的な考えは人種差別とは関係がないが、数学的試みは人種差別の文化的文脈で行われている。つまり、誰が認められるかとかそういった話になると一気に政治的になる。
超弦理論を数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏（∞-圏）の関手として定式化する。
𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ
ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏（例：鎖複体の圏、導来圏など）。
超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。
BV形式はゲージ対称性と量子化を扱うためにホモトピー代数を使用する。
Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0
ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。
𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
以上の数学的構造を用いて、超弦理論における重要な定理である「ホモロジカル・ミラー対称性の定理」を証明する。
ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である。
𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
1. フクヤ圏の構築：
- 対象：𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件（例えば、スピン構造やマスロフ指数の消失）を満たすもの。
- 射：ラグランジアン間のフロアーコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。
2. 導来圏の構築：
- 射：Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。
- 合成：連接層の射の合成。
- ファンクターの構成：ラグランジアン部分多様体から連接層への対応を定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。
- 構造の保存：この関手が 𝐴∞ 構造や三角圏の構造を保存することを示す。
- 物理的対応：𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデルの物理的計算が一致することを利用。
- Gromov–Witten 不変量と周期：𝑋 の種数ゼロのグロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算と対応する。
5. 数学的厳密性：
- シンプレクティック幾何学の結果：ラグランジアン部分多様体のフロアーコホモロジーの性質を利用。
- 代数幾何学の結果：連接層の導来圏の性質、特にセール双対性やベクトル束の完全性を利用。
結論：
以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカル・ミラー対称性の定理が証明される。
ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロアー境界演算子 ∂ を用いてコホモロジーを定義：
∂² = 0
𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im ∂
∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0
Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。
まず、以下のデータを考える。
- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。
- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。
- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。
幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。
𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
ここで、
この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。
核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手
Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)
ここで、
𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)
問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。
ヒッチン写像を導入する。
ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)
ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。
完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。
Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。
𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))
ここで、
- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。
- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。
この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。
𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))
ここで、
- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。
- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。
作用素:
M 理論におけるブレーンの配置:
- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。
- Σ は曲線 𝑋。
Lurie の高次圏論:
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。
これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。
以下は、M理論と超弦理論の幾何学を抽象化した数学的枠組みでのモデル化について述べる。
まず、物理的対象である弦や膜を高次の抽象的構造としてモデル化するために、∞-圏論を用いる。ここでは、物理的プロセスを高次の射や2-射などで表現する。
∞-圏 𝒞 は、以下を持つ：
これらの射は、合成や恒等射、そして高次の相互作用を満たす。
次に、デリーブド代数幾何学を用いて、空間や場の理論をモデル化する。ここでは、デリーブドスタックを使用する。
デリーブドスタック 𝒳 は、デリーブド環付き空間の圏 𝐝𝐀𝐟𝐟 上の関手として定義される：
𝒳 : 𝐝𝐀𝐟𝐟ᵒᵖ → 𝐒
ここで、𝐒 は∞-グルーポイドの∞-圏（例えば、単体集合のホモトピー圏）である。
物理的なフィールドやパーティクルのモジュライ空間は、これらのデリーブドスタックとして表現され、コホモロジーやデリーブドファンクターを通じてその特性を捉える。
非可換幾何学では、空間を非可換代数 𝒜 としてモデル化する。ここで、スペクトラルトリプル (𝒜, ℋ, D) は以下から構成される：
作用素 D のスペクトルは、物理的なエネルギーレベルや粒子状態に対応する。幾何学的な距離や曲率は、𝒜 と D を用いて以下のように定義される：
∞-トポス論は、∞-圏論とホモトピー論を統合する枠組みである。∞-トポス ℰ では、物理的な対象やフィールドは内部のオブジェクトとして扱われる。
フィールド φ のグローバルセクション（物理的な状態空間）は、次のように表される：
Γ(φ) = Homℰ(1, φ)
ここで、1 は終対象である。物理的な相互作用は、これらのオブジェクト間の射としてモデル化される。
ゲージ対称性やその高次構造を表現するために、L∞-代数を用いる。L∞-代数 (L, {lₖ}) は次元付きベクトル空間 L = ⊕ₙ Lₙ と多重線形写像の族 lₖ からなる：
lₖ : L⊗ᵏ → L, deg(lₖ) = 2 - k
∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ₊₁ ∑ₛᵢgₘₐ∈Sh(i,n-i) (-1)ᵉ⁽ˢⁱᵍᵐᵃ⁾ lⱼ ( lᵢ(xₛᵢgₘₐ₍₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₎), xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₊₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ₙ₎) = 0
ここで、Sh(i,n-i) は (i, n - i)-シャッフル、ε(sigma) は符号関数である。
これにより、高次のゲージ対称性や非可換性を持つ物理理論をモデル化できる。
安定ホモトピー理論では、スペクトラムを基本的な対象として扱う。スペクトラム E は、位相空間やスペースの系列 {Eₙ} と構造写像 Σ Eₙ → Eₙ₊₁ からなる。
πₙˢ = colimₖ→∞ πₙ₊ₖ(Sᵏ)
ここで、Sᵏ は k-次元球面である。これらの群は、物理理論における安定な位相的特性を捉える。
物理的な相関関数は、コホモロジー類を用いて以下のように表現される：
⟨𝒪₁ … 𝒪ₙ⟩ = ∫ₘ ω𝒪₁ ∧ … ∧ ω𝒪ₙ
ここで、ℳ はモジュライ空間、ω𝒪ᵢ は観測量 𝒪ᵢ に対応する微分形式またはコホモロジー類である。
先に述べた抽象数学的枠組みを用いて、M理論の重要な定理であるM理論とIIA型超弦理論の双対性を導出する。この双対性は、M理論が11次元での理論であり、円 S¹ に沿ってコンパクト化するとIIA型超弦理論と等価になることを示している。
時空間の設定：
H•(ℳ₁₁, ℤ) ≅ H•(ℳ₁₀, ℤ) ⊗ H•(S¹, ℤ)
これにより、11次元のコホモロジーが10次元のコホモロジーと円のコホモロジーのテンソル積として表される。
C-場の量子化条件：
M理論の3形式ゲージ場 C の場の強度 G = dC は、整数係数のコホモロジー類に属する。
[G] ∈ H⁴(ℳ₁₁, ℤ)
デリーブド代数幾何学では、フィールド C はデリーブドスタック上のコホモロジー類として扱われる。
非可換トーラスの導入：
円 S¹ のコンパクト化を非可換トーラス 𝕋θ としてモデル化する。非可換トーラス上の座標 U, V は以下の交換関係を満たす。
UV = e²ᵖⁱθ VU
非可換トーラス上のK-理論群 K•(𝕋θ) は、Dブレーンのチャージを分類する。
K•(ℳ₁₁) ≅ K•(ℳ₁₀)
𝕊ₘ ≃ Σ𝕊ᵢᵢₐ
ここで、Σ はスペクトラムの懸垂（suspension）函手である。
デリーブド代数幾何学、非可換幾何学、および安定ホモトピー理論の枠組みを用いると、11次元のM理論を円 S¹ 上でコンパクト化した極限は、IIA型超弦理論と数学的に等価である。
(b) 非可換性の考慮
最初期宇宙の基本構造を記述するために、位相的弦理論の圏論的定式化を用いる。
定義: 位相的A模型の圏論的記述として、Fukaya圏 ℱ(X) を考える。ここで X は Calabi-Yau 多様体である。
対象: (L, E, ∇)
射: Floer コホモロジー群 HF((L₁, E₁, ∇₁), (L₂, E₂, ∇₂))
この圏の導来圏 Dᵇ(ℱ(X)) が、A模型の D-ブレーンの圏を与える。
最初期宇宙の量子構造をより精密に記述するために、導来代数幾何学を用いる。
𝔛: (cdga⁰)ᵒᵖ → sSet
ここで cdga⁰ は次数が非正の可換微分次数付き代数の圏、sSet は単体的集合の圏である。
𝔛 上の準コヒーレント層の ∞-圏を QCoh(𝔛) と表記する。
宇宙の大規模構造の位相的性質を記述するために、モチーフ理論を適用する。
定義: スキーム X に対して、モチーフ的コホモロジー Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) を定義する。
これは、Voevodsky の三角圏 DM(k, ℚ) 内での Hom として表現される：
Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) = Hom_DM(k, ℚ)(M(X), ℚ(j)[i])
最初期宇宙の高次ゲージ構造を記述するために、∞-Lie 代数を用いる。
定義: L∞ 代数 L は、次数付きベクトル空間 V と、n 項ブラケット lₙ: V⊗ⁿ → V の集合 (n ≥ 1) で構成され、一般化されたヤコビ恒等式を満たすものである。
Σₙ₌₁^∞ (1/n!) lₙ(x, ..., x) = 0
最初期宇宙の量子重力効果を記述するために、圏値場の理論を用いる。
定義: n-圏値の位相的量子場の理論 Z を、コボルディズム n-圏 Cob(n) から n-圏 𝒞 への対称モノイダル函手として定義する：
Z: Cob(n) → 𝒞
特に、完全拡張場の理論は、Lurie の分類定理によって特徴づけられる。
最初期宇宙の量子情報理論的側面を記述するために、von Neumann 代数を用いる。
定義: von Neumann 代数 M 上の状態 ω に対して、相対エントロピー S(ω || φ) を以下のように定義する：
S(ω || φ) = {
tr(ρω (log ρω - log ρφ)) if ω ≪ φ
+∞ otherwise
}
ここで ρω, ρφ はそれぞれ ω, φ に対応する密度作用素である。
最初期宇宙の量子時空構造を記述するために、非可換幾何学を用いる。
∫_X f ds = Tr_ω(f|D|⁻ᵈ)
非行少年だけじゃなくてそこいらで普通に働いてる人の中にもケーキを切れない人っているかもよ。
はんじょうってゲーマーがケーキを切る問題に挑戦したらできなくてリスナーに衝撃が走ってたけど、そのゲーマーは口が回るしオレより地頭は良さそうな感じ。
「まぁ、ピタゴラスの定理なんて、あれはもう初歩の話よね。確かに、a² + b² = c² は中学生レベルでも理解できるけれど、そこに潜む深い代数的構造や、ユークリッド幾何学との関連性を本当に理解しているのかしら？あの定理の背後には、単なる平面上の直角三角形の話じゃなくて、リーマン幾何学や複素数平面を通じたさらに高度な次元の世界が見えてくるのよ。それに、ピタゴラスの定理を特別な場合とする円錐曲線や、楕円関数論まで考え始めると、幾何学の美しさっていうものがもっと深く見えてくるわけ。」
「それと、黄金比ね。もちろん、あのφ（ファイ）がどれだけ重要か、理解してる？単に無理数というだけじゃなく、数論的にも代数的にも特異な数なのよ。フィボナッチ数列との関係も美しいけど、そもそもあの比が自然界で頻繁に現れるのは、単なる偶然じゃないわ。代数的無理数としての特性と、対数螺旋やアファイン変換を通じた変換不変性が絡んでいるのよね。そういった数学的背景を理解せずに、ただ黄金比が「美しい」ってだけで済ませるのはちょっと浅はかだと思うわ。」
「あと、パルテノン神殿の話だけど、そもそも古代の建築家たちが黄金比だけでなく、より複雑なフラクタル幾何学や対称群に基づいた設計をしていたってことは、あまり知られてないのよね。建築の対称性は、単なる視覚的な美しさじゃなくて、群論や代数的トポロジーに深く結びついているわ。あなたが好きな絵画も、ただの黄金比じゃなく、もっと深い数学的な構造に従っているのよ。わかるかしら？」
平面だと正三角形の一つの角度は60度だけど、球面上だと90度になるよ、みたいなのあるじゃん。
球面上だと60度より大きい角度になるのはなんとなくわかるんだけど、逆に60度よりも小さい角度になるのってどんな面？そういうのってないのかな？
街コンに行くと、いつも何を話すべきか迷う。
人が集まる場だし、みんな軽い話題で盛り上がってるんだろうけど、俺はいつも違う。
女性たちは不思議そうな顔をしていたけど、そんなのはお構いなしだ。
だって、これは美の根本に関わる話なんだから。誰でも分かるだろう。いや、分からなきゃおかしい。
「たとえば、ピタゴラスの定理。a² + b² = c² なんて、中学生でも知ってるでしょ？でも、あの定理が持つ幾何学的な美しさ、理解してます？ただの数式じゃないんですよ、これは宇宙の秩序そのものを象徴してるんです。直角三角形の辺の比が、どうしてあんなに完璧に収まるのか、その背後にあるシンメトリーとバランス、これはただの計算じゃ説明できないんです。幾何学は、自然界に隠された美を可視化する手段なんです。あなたの顔のすべてのパーツはそれを示しています。もしかしてお気づきになっていませんか？」
女性たちは相変わらずポカンとしていたが、そんなことは全く気にしない。
「それに、円と黄金比ですよ。黄金比の美しさって聞いたことありますよね？ φ（ファイ）という無理数、1:1.618...っていうあの比率は、自然界でも至るところに現れるんです。貝殻の螺旋や、ヒマワリの種の配置、果てはギリシャのパルテノン神殿まで。これらすべてが、幾何学的な美しさの証明なんですよ。建築家や芸術家たちは、何千年も前からこの黄金比に魅せられてきたんです。それが美の基準なんです。たとえば、あなたが好きな絵画も、おそらく黄金比に従って構図が決まっているはずですよ。あなたのお顔もまさにそのとおりで、僕はあなたが数学的に美しいことを証明できます。」
ここまで来ると、女性の一人が「えぇ〜？本当ですかぁ〜？」と、曖昧な笑みを浮かべているのが目に入る。
だが、その目に理解の色はない。いや、むしろ遠ざかっているかもしれない。
それでも俺は一歩も引かない。だって、幾何学は俺の人生そのものなのだから。
「次はもっと複雑な話をしましょうか？ユークリッドの『原論』はご存知ですか？あれは古代ギリシャで書かれた数学書で、数千年の間、数学の基礎として使われてきたんです。『原論』の最初の定義は、点は幅を持たないもの、線は幅を持たず長さを持つもの。これをもとに、無限に広がる空間の中で幾何学的な図形を描くんです。そして、その空間の中に、あらゆる美が存在するんです。アポロニウスの円錐曲線における楕円の美しさなんか、誰でも感動するはずです。見てください！ほらあなたの腕はアポロニウスと言えるし、あなたの全身は原論の誕生にすら資するべき存在と言えるでしょう」
彼女たちは完全に引いていたが、そんなことはもう気にしない。
「俺にとって幾何学は、ただの学問じゃないんです。これは美を追求する哲学であり、生き方なんです。人々がモナ・リザやアフロディーテ像に美を見出すように、俺はピタゴラスやユークリッドにその美を見出しているんです」
幾何学の美しさを語り終えた頃、ようやくふと我に返り、周囲の反応を確認してみた。
皆、頬に赤みを浮かべているが、目は明らかに遠く、何か別の世界に意識を飛ばしているかのようだった。
ひとりは下半身をチラッと確認し、もうひとりは、首元の鎖骨の付け根あたりをいじっている。
こちらを見ている女性もいたが、彼女の表情はどう見ても「本当にこの人何を言っているの…」という困惑そのものだった。
「ええ、そうですね……幾何学って、すごいですね……」と、一人がようやく口を開いたが、その声には熱意も、理解も、ましてや感銘など微塵も感じられない。
表面的に場を繋ごうとするその言葉は、俺が夢中で語っていた美の真髄が、まるで真空の中に吸い込まれたかのように、何も響いていないのをはっきりと感じさせた。
もう一人が、さらに微妙な笑みを浮かべ、「あ、そうなんですか……それで、その定理って、なんでしたっけ……？」と、曖昧に質問してくる。
しかし、それは好奇心ではなく、ただ適当に話を引き延ばすための、無理やりな興味に過ぎないことは明白だった。
俺はその瞬間、すべてを理解した。
ああ、やっぱりこうなるのか、と。彼女たちの心を動かすことは簡単でも、幾何学的美しさを彼女たちに理解してもらうことはできないんだと。
俺の語るピタゴラスの定理も、黄金比の神秘も、彼女たちにとってはただの退屈な講義に過ぎない。
彼女たちは、たぶん俺の年収や、俺の背景、俺の地位の話を楽しみにしていたのだろう。それが街コンで求められる「会話」なのだ。
「まあ、こういう話、ちょっと難しいですかね……」と自分から話を切り上げるが、内心、虚しさと諦念がこみ上げてくる。
俺は分かっているんだ。結局、幾何学の美を理解できる人間は、ここにはいない。
諦めが胸に染み渡り、俺はふと目の前のグラスを手に取る。
冷たい水が喉を通り、ほんの一瞬だけ現実感を取り戻すが、同時に心の中でつぶやいた。
俺は幾何学を愛している。それだけで十分だ。理解されなくてもいい。これが俺の誇りなのだから。
女性たちがどれだけ俺に興味を持ったかなんて、もうどうでもよかった。
最終的に、女性たちがどれだけ幾何学に興味を持ったかは知らない。
だが、俺の中では確信がある。
幾何学こそが、真の美であり、それを理解しない者は本当の美を知らないのだと。
彼女たちには理解できない美が、俺の中にある。それだけで、俺は満たされているんだ。
俺は腰を振りながらそう思った。
街コンに行くと、いつも何を話すべきか迷う。
人が集まる場だし、みんな軽い話題で盛り上がってるんだろうけど、俺はいつも違う。
女性たちは不思議そうな顔をしていたけど、そんなのはお構いなしだ。
だって、これは美の根本に関わる話なんだから。誰でも分かるだろう。いや、分からなきゃおかしい。
「たとえば、ピタゴラスの定理。a² + b² = c² なんて、中学生でも知ってるでしょ？でも、あの定理が持つ幾何学的な美しさ、理解してます？ただの数式じゃないんですよ、これは宇宙の秩序そのものを象徴してるんです。直角三角形の辺の比が、どうしてあんなに完璧に収まるのか、その背後にあるシンメトリーとバランス、これはただの計算じゃ説明できないんです。幾何学は、自然界に隠された美を可視化する手段なんです」
女性たちは相変わらずポカンとしていたが、そんなことは全く気にしない。
「それに、円と黄金比ですよ。黄金比の美しさって聞いたことありますよね？ φ（ファイ）という無理数、1:1.618...っていうあの比率は、自然界でも至るところに現れるんです。貝殻の螺旋や、ヒマワリの種の配置、果てはギリシャのパルテノン神殿まで。これらすべてが、幾何学的な美しさの証明なんですよ。建築家や芸術家たちは、何千年も前からこの黄金比に魅せられてきたんです。それが美の基準なんです。たとえば、あなたが好きな絵画も、おそらく黄金比に従って構図が決まっているはずですよ」
ここまで来ると、女性の一人が「へぇ〜、すごいですね…」と、曖昧な笑みを浮かべているのが目に入る。
だが、その目に理解の色はない。いや、むしろ遠ざかっているかもしれない。
それでも俺は一歩も引かない。だって、幾何学は俺の人生そのものなのだから。
「次はもっと複雑な話をしましょうか？ユークリッドの『原論』はご存知ですか？あれは古代ギリシャで書かれた数学書で、数千年の間、数学の基礎として使われてきたんです。『原論』の最初の定義は、点は幅を持たないもの、線は幅を持たず長さを持つもの。これをもとに、無限に広がる空間の中で幾何学的な図形を描くんです。そして、その空間の中に、あらゆる美が存在するんです。アポロニウスの円錐曲線における楕円の美しさなんか、誰でも感動するはずです」
彼女たちは完全に引いていたが、そんなことはもう気にしない。
「俺にとって幾何学は、ただの学問じゃないんです。これは美を追求する哲学であり、生き方なんです。人々がモナ・リザやアフロディーテ像に美を見出すように、俺はピタゴラスやユークリッドにその美を見出しているんです」
幾何学の美しさを語り終えた頃、ようやくふと我に返り、周囲の反応を確認してみた。
皆、頬に作り笑いを浮かべているが、目は明らかに遠く、何か別の世界に意識を飛ばしているかのようだった。
ひとりはスマホをチラッと確認し、もうひとりは、手元のグラスに注がれた水をいじっている。
こちらを見ている女性もいたが、彼女の表情はどう見ても「本当にこの人何を言っているの？」という困惑そのものだった。
「ええ、そうですね……幾何学って、すごいですね……」と、一人がようやく口を開いたが、その声には熱意も、理解も、ましてや感銘など微塵も感じられない。
表面的に場を繋ごうとするその言葉は、俺が夢中で語っていた美の真髄が、まるで真空の中に吸い込まれたかのように、何も響いていないのをはっきりと感じさせた。
もう一人が、さらに微妙な笑みを浮かべ、「あ、そうなんですか……それで、その定理って、なんでしたっけ……？」と、曖昧に質問してくる。
しかし、それは好奇心ではなく、ただ適当に話を引き延ばすための、無理やりな興味に過ぎないことは明白だった。
俺はその瞬間、すべてを理解した。
ああ、やっぱりこうなるのか、と。幾何学的美しさを解くことで、彼女たちの心を動かすことはできないんだと。
俺の語るピタゴラスの定理も、黄金比の神秘も、彼女たちにとってはただの退屈な講義に過ぎない。
彼女たちは、たぶん映画の話や、食べ物、旅行の話を楽しみにしていたのだろう。それが街コンで求められる「会話」なのだ。
「まあ、こういう話、ちょっと難しいですかね……」と自分から話を切り上げるが、内心、虚しさと諦念がこみ上げてくる。
俺は分かっているんだ。結局、幾何学の美を理解できる人間は、ここにはいない。
諦めが胸に染み渡り、俺はふと目の前のグラスを手に取る。
冷たい水が喉を通り、ほんの一瞬だけ現実感を取り戻すが、同時に心の中でつぶやいた。
俺は幾何学を愛している。それだけで十分だ。理解されなくてもいい。これが俺の誇りなのだから。
女性たちがどれだけ俺に興味を持ったかなんて、もうどうでもよかった。
最終的に、女性たちがどれだけ幾何学に興味を持ったかは知らない。
だが、俺の中では確信がある。
幾何学こそが、真の美であり、それを理解しない者は本当の美を知らないのだと。
M を11次元コンパクト多様体、G を複素簡約代数群、L(G) をそのラングランズ双対群とする。
D^b(M) を M 上のコヒーレント層の導来圏、D^b(Bun_G(M)) を M 上の G-主束のモジュライ空間 Bun_G(M) 上のコヒーレント層の導来圏とする。
以下の圏同値を構築する：
Φ: D^b(D_M) ≃ D^b(Coh(Bun_L(G)(M)))
M 上の Chern-Simons 理論の量子化を考える。その分配関数 Z(M,k) を以下のように定義する：
ここで、CS(A) は Chern-Simons 作用である。
F: D^b(Bun_G(M)) → Mod(MF_q)
を構築する。ここで、Mod(MF_q) は有限体 F_q 上のモチーフの圏である。
G の既約表現 ρ に対し、以下の等式を予想する：
L(s,ρ,M) = det(1 - q^(-s)F|H*(M,V_ρ))^(-1)
ここで、V_ρ は ρ に付随する M 上のローカル系である。
以下の図式が可換であることを示す：
D^b(D_M) --Φ--＞ D^b(Coh(Bun_L(G)(M))) | | | | F F | | V V Mod(MF_q) -----≃----＞ Mod(MF_q)
M の次元を一般の n に拡張し、Voevodsky のモチーフ理論を用いて、上記の構成を高次元化する。
以上の構成により、M理論の幾何学的構造とラングランズ・プログラムの数論的側面の関連を見た。このモデルは、導来圏論、量子場の理論、モチーフ理論を統一的に扱う枠組みを提供するものである。
今後の課題として、この理論的枠組みの厳密な数学的基礎付けと、具体的な計算可能な例の構築が挙げられる。特に、Langlands スペクトラル分解との関連や、Grothendieck の標準予想との整合性の検証が重要である。
その書中において述べられるところの名文とは、単に美的であるのみならず、情緒に満ち、描写が巧みであり、さらにその文章が臨場感を伴うことにより読者の心に深く響くものである。美しさとは、単に言葉の装飾ではなく、内在する構造の確かさに拠るものであろう。
澁澤龍彦が幻想小説において「幾何学的に書くべきである」と言ったと記憶している。幾何学的とは、感覚的に直感する美麗さと秩序を持ち、その形態は正確かつ普遍的である。正三角形が持つ完全性は、内角の和が常に180度であるという確固たる定理に支えられている。これは、いかなる変形にもかかわらず揺るがない事実である。その普遍性こそが美であり、幾何学的美しさの本質を成す。
このように、文章にも同様の美的秩序が存在するのではないかと考える。たとえば、三角形の定理を文章に適用するならば、各要素が一貫して調和する様は正三角形のごとくである。三角形の三つの頂点に当たる要素は、物語の構造、感情の動き、そして読者への影響であろう。この三者が均衡を保つとき、文章は完全な形となり、名文と称されるに値する。
恋愛においても、幾何学的な要素が見て取れる。愛する者、愛される者、そしてその間に存在する感情。この三つの要素が整ったとき、恋愛は完全な形を成す。しかし、その一部が欠けたとき、三角形は不完全となる。非モテであるという状況は、その三つの内角が揃わず、歪んだ三角形のような状態である。だが、その歪みの中にも、何らかの秩序と美しさが宿っていることを認めざるを得ない。
幾何学的な美しさは、完全性の中にのみ存在するのではない。むしろ、不完全な中にも美しさは潜んでいる。それは、欠けた部分があるからこそ生まれる緊張感であり、そこに宿る秩序の欠如が逆説的に美を生むのである。モテないという状況も、ある種の幾何学的な不完全さであり、その不完全さが一つの形を成し得る。
私は三角形になりたいと願う。完璧であり、無駄がなく、全ての要素が調和している。しかし、不完全なままであることもまた一つの形であり、その不完全さの中にこそ真の美が宿っているのではないか、とも思うのである。
幾何学的文章の美しさとは、表面上の整合性だけではなく、そこに潜む感情や臨場感をも含むものである。その幾何学的な秩序と情感の融合こそ、真に名文たる文章の本質であろう。
定義 1: M理論の基礎空間を (M, g) とする。ここで M は 11 次元 C∞ 多様体、g は符号 (-,+,...,+) のローレンツ計量とする。
定義 2: M 上の主束 P(M, Spin(1,10)) をスピン構造とし、関連するスピノール束を S とする。
定義 3: M 上の外積代数を Λ*(M) とし、特に Λ³(M) と Λ⁴(M) に注目する。
C = {(g, C, ψ) | g ∈ Met(M), C ∈ Γ(Λ³(M)), ψ ∈ Γ(S)}
ここで Met(M) は M 上のローレンツ計量全体、Γ は滑らかな切断を表す。
定理 1 (作用汎関数): M理論の作用 S: C → ℝ は以下で与えられる：
S[g, C, ψ] = ∫_M (R * 1 - 1/2 dC ∧ *dC - 1/6 C ∧ dC ∧ dC - ψ̄D̸ψ) vol_g
ここで R はスカラー曲率、D̸ はディラック作用素、vol_g は g による体積要素である。
定理 2 (場の方程式): δS = 0 から以下の Euler-Lagrange 方程式が導かれる：
1. Einstein 方程式： Ric(g) - 1/2 R g = T[C, ψ]
2. C-場の方程式： d*dC + 1/2 dC ∧ dC = 0
ここで Ric(g) は Ricci テンソル、T[C, ψ] はエネルギー運動量テンソルである。
定義 5: M の 7 次元コンパクト化を X とし、M = R^(1,3) × X と分解する。
定義 6: X 上の G₂ 構造を φ ∈ Ω³(X) とし、以下を満たすものとする：
1. dφ = 0
2. d*φ = 0
3. (x ↦ i_x φ ∧ i_y φ ∧ φ) は X 上の Riemann 計量を定める。
定理 3 (Holonomy reduction):X が G₂ 構造を持つとき、X の holonomy 群は G₂ の部分群に含まれる。
定義 7: X 上の接束の構造群を G₂ に制限する縮約を σ: P → X とする。ここで P は主 G₂ 束である。
定義 8: M の K 理論群を K(M) とし、その Chern 指標を ch: K(M) → H^even(M; ℚ) とする。
定理 4 (Anomaly cancellation): M理論の量子異常が相殺されるための必要十分条件は以下である：
I₈ = 1/48 [p₂(M) - (p₁(M)/2)²] = 0
ここで p₁(M), p₂(M) は M の Pontryagin 類である。
定理 5 (Index theorem): M 上の Dirac 作用素 D̸ の指数は以下で与えられる：
ind(D̸) = ∫_M Â(M) ch(S)
ここで Â(M) は M の Â-genus、ch(S) は S の Chern 指標である。
定義 9: 位相的 CW 複体の圏を Top、アーベル群の圏を Ab とする。
定理 6 (T-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
K(X × S¹) ≅ K(X × S¹)
定理 7 (S-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
H^k(M; ℤ) ≅ H_{11-k}(M; ℤ)
