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はてなキーワード: 数学書とは
私は図書館を愛用しており、よく通っていた。
ある日の休日いつものように本を借りに行くと目当ての本はなく、貸出中だった。仕方がないので予約しようと司書さんに話しかけると「あれ？」と首を傾げた。なんでも確認するとその本は貸出中にはなっていなかったらしい。お互い怪訝に思いながらも仕方なく、確認しておくとのことでその日は別の本を借りて帰ることにした。
あくる日、同様のことが再びあった。貸出中ではないはずの本が無かったのだ。私はその本に限ってはどうしても目を通したかったので、なんとかならないものかと詰め寄った。しかしそうした本は不思議にも数日後には戻っていることが常だったらしく、数日後には戻ってきますよと軽い態度で対応された。私は憤り、運営の仕方を非難すると図書館側もなるほどと頷き、こうした事態が何度も続くようでは困るとのことで、対策を取りましょうと言ってくれた。私が借りようとしていた本のジャンルには偏りがあり(そのとき借りようとしていたのはリー群に関するものだった)、以前に借りようとして無くなっていた本も同じジャンルの本といえた。
そこで図書館側は数学書をマークすることにし、自然な形で司書さんがその棚を監視することになった。その後、確か三日後だったと思う。高校生が犯人だったことがわかり、彼は万引きのようにして本を借りていた。
そう、万引きではなく、借りていたのだ。
彼は図書カードがないため、借りたい本がある場合には本を鞄へ入れて持ち帰り、後日こっそり元の場所へと戻していたのだという。
確かに無くなっていた本はいつの間にか戻っており、盗まれたわけではなかった。
それでも図書館側は事態を重く受け止め、少年の高校へと連絡することになった。少年は必死に自己弁護し、本は盗んだわけではなくちゃんと返しているじゃないかと言い迫った。しかしそれでも万引きには違いないとして、結局高校へと連絡をしたそうだ。
後日その少年が捕まったことを聞いた。彼は高校を退学となり、それで何もかもが嫌になり、犯行に及んだそうだ。
それを聞いたとき、私は良心の呵責を感じた。直接的でないにしろ彼を退学に追いやったのは私だ。
無くなっていた本が数日後には戻っていることには私も気が付いていたのだ。だからあのとき、私が「どうにかしてくれ」と強く願いでなければ、おそらくあの少年は本を借り続けることができ、そして退学になることはなかっただろう。
そうした自責の念が今でも脳裏を過ぎり、もう遠い昔のことだが、それでも今となっては昨日のことのように思い出す。
私はあの時、どうすればよかったのだろうか。
しかし、こういった商品は運びやすいように組み立て式になっており、しかもDIYしている気分になれるので一石二鳥なのです。
本棚を組み立て終わると、デスクの上に積んであった本の山をすっぽりと収めることができました。
というのも、私は数学愛好家なので、リファレンスとして数学書を大人買いしたいのです。
仕事柄、特に線形代数や離散最適化のような数学は使いますが、私が興味のあるのはそういった実用志向のアルゴリズムではありません。
むしろ取り組みたいのは、フェルマーの最終定理やラングランズ予想のような、一見すると実用からは遠いけれど、数学の本質を突くような深淵です。
数学には二種類の文化があり、アルゴリズム的な問題解決者と、深淵な理論を目指す者がいます。
プログラマーであればほぼ例外なく前者の立場になりますが、後者というのは「理論Aの理解のためにはBの理解が必要で、その理解にはCの理解が必要で、その理解のためには...」という階層が非常に深いものを表します。
私はいまだに、コホモロジーとはなんであるのかについてよくわからないのです。
コホモロジーをGPTに対し「小学生にもわかるように説明せよ」とやったものが以下です。
コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかりやすく説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。
まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなたが宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示しています。しかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体は地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。
コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学の世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定のパターンや形、構造などを指します。
しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから、小学生のあなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのは、コホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね！。
これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵を理解するためには地道な努力が必要です。
理論構築者の観点からみると、数学は登山に似ていると思います。
コホモロジーにたどり着くためには、集合論、群論、位相幾何学、ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。
これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位で物事を理解してきました。
アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのはIQです。
ところが、ラングランズプログラムや超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力や時間が必須になります。
しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマーの仕事としてなんの役にも立たないのです。
深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力を必要とするので、職業的な数学者でない限り努力の誘因が失われてしまいます。
深淵な登山をして、誰にも認められることなく自己満足して、何が楽しいのでしょうか。
結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。
20歳の時、暇つぶしでマッチングアプリに登録した。真剣に出会いを求めていなかったから、プロフィール画像に、東南アジアの売店で買ったお面をつけた自分の写真を選んだ。そんな写真だから、いいね数はものすごーく少なかったけど、ありきたりな写真が多い中、面白そうな人が居たので、メッセージ送ってみました! なんて言ってくれる人もちらほらといた。
友人は最低3週間はメッセージしてから、会った方が良いと言っていたけど、開始３日で飽きてきたので、1週間後、やり取りしていた数学科在籍の人とバッティングセンターで遊ぶことになった。
彼のプロフィールの写真から、見た目に関しては全く期待していなかったが、実際に会ってみて、それ以下だったのは驚いた。目は虚ろだし、髪はボサボサで姿勢も悪い。
池袋をウロウロしながら、なぜプロフィール画像が、奇妙な私にメッセージを送ったのか聞いたら、最近読んだホラー漫画に似たようなキャラが出てきたからって言っていた。訳がわからない。
喋っていたら、バッティングセンターへ着いた。彼が打つ時、鞄を持ってあげようとしたら、やけに重い。チラッと中身をみたら、数学書が4冊入っていた。今いるか、数学書。それに、彼はボールは全て当たるけど、残念ながら、一回も前へ飛んでいかなかった。
バッティングセンターを出て、夕食まで時間があったので、近くのゲームセンターへ立ち寄った。彼は私の後ろをふわふわと着いて来ていたが、急に居なくなった。探していたら、あるプリクラ機の前に彼がいた。どうしたのかと聞けば、√meと書いてあったのが、気になったらしい。
そろそろ辺りが暗くなってきたので、夕食にすることにした。どこにしようかと2人で歩きながら考えていたら、目の前に、バニーガールが思いっきり見えるガラス張りのガールズバーがあった。気まずくなった私は思わず、そういうお店に行くのか聞いたら、お金がもったいないから、その分数学書に使いたいと言っていた。
そうこうしているうちに、彼があそこに赤毛の女の子がいる!って指差すから、見てみるとウェンディーズがあった。じわじわと面白さが込み上げてきたので、そこにした。
ハンバーガーを食べながら、彼がさっき書いてあった√meについての考察を教えてくれた。意味わからんかったけど。
それから、電池が切れたように喋らなくなって、ただぬるい感じの笑みで私を見つめていたのを覚えている。
次いつ会うか決めて、その日は終わった。
結局、次会った時、彼と付き合う事になった。
私が読みたいのは、大きな物語というか、今までに見たことのない驚きのある結論を持つ物語であり、
SFというジャンルが好きなのも、物語のフレームとして、そうした驚きある結論へのシラバスとなりやすいからというだけ。
だから、そこに登場する仰々しいギミックには、そうした結論への素材以上の興味が持てない。
それは、大きな定理を導く一過程にしか過ぎず、その導出の自然さに納得したら、あとは忘れてしまうようなもの。
だから、数学書はなるべく短い方が読みやすいように、SFも「オッカムの剃刀」的に、ギミックは少ない方がむしろ好み。
同じ結論をもたらす物語なら、ギミックが少ない物語の方が読みやすいわけであり、個人的には素晴らしいSFだと感じる。
あと、キャラクターについてもそう。
大きな物語のためなら、別にキャラクターはどんな目に合っても構わないと思っている。
（それは逆に、物語にコミットしないキャラクターの悲哀は描かない方がよいと個人的には思っている、ということでもある。）
キャラクターは、驚きある結論に仕える舞台装置としか思えないので、先の仰々しいギミックと同じ意味で、興味が持てない。
ギミックもキャラクターも、面白い物語を成立させるための具材でしかないと、個人的には思ってしまう。
それゆえ、自分でもこうして、増田などに自分で考えた文章を多々投じているのだが、毎回、ギミックやキャラクターが無い文章を書いているなぁと思う。
ただ、それでもある程度はブックマークしてもらえるので、そこを見直そうという意欲は薄いのだが、
そこを押さえたら、もっと幅広い人に読んでもらえる文章になるんだろうなとは思う。
なので、今年はギミックやキャラクターに舞台装置以上の興味（好奇心や愛情というのか）を持って、文章を読んでいきたい今日このごろ。
いつかは、こういう散文でなく、流れある小説を書いてみたいと思うので、そういうところも押さえいくようにしたい。
zlibraryっていうのは本を違法で共有するサイト。英語の本は割となんでもある感じだったけど、日本語の本はkindle unlimitedのとか、数少ない数学書が違法投稿されているだけだったから、日本で話題にならないのもわかる。
そんなzlibraryが死んで（ドメインが停止されただけ？）、tiktokが叩かれてる。tiktokで無知なやつが無料で本を読めるサイトとして紹介してバズったせいて警察に目をつけられたと言う。ほんまかいなと思うけど、「tiktok zlibrary」をtwitterで検索するとtiktokへの憎悪がすごい。嫌われてんね、tiktok。
それはそうと、日本では違法アップロードされた漫画はそこかしこにあるけど、それ以外はほぼ皆無なのはなんでなんだろう。zlibraryは違法投稿者が利益を受けれる仕組みではなかったと思うのに、なんで英語の本は投稿されてたんだろう。
小説だって何巻というのを無視して途中の巻から読めば作中特有の概念や人物を示す固有名詞でつまづくのは普通で、そうならないように何巻とか上下巻みたいな目印がある。
しかし数学書はそういうのがなく仕方なく手に取ってみても行単位で見知らぬ固有名詞がぼんぼん出て来る。予備知識を手に入れようにも「前の巻」という概念自体がどうにもならない。
岩波基礎(!?)数学叢書だかいうのに微分多様体の本があったと思うけどはしがきには基本的な解析数学と代数学と微積分学を既知のものとして扱っていると書いてあったと思う。
しかしたとえばお前の言う基本的な代数学とは具体的にどこまでの範囲を指しているんだ？ていうか何の本を読めばいい？てかお前が大学生時代読んできた本のなかでその範囲に属するものを列挙すりゃそれで済むし確実なのになぜそうしない？という言葉がつい漏れる。
だって同じ岩波基礎の本でもアフィン代数みたいな本があってこれが大学数学に代数のスタートラインにあたるものなのは確実だろうがそこのはしがきにはその応用は標準形は別の本にまとめられてると書いてあって確かにジョルダン標準形とか二次形式は別の本になっている。
しかしこれらもそれなりのボリュームがあるわけで読んでやっとのことで理解した後に「実はそこまで代数を掘り下げて学ぶ必要はなかった」と言われたんじゃ遅いわけ。
興味ある分野へ最短経路で学べるようになりたい人も当然多いわけで、実は不必要なのに無駄な学習に時間注ぎたくないわな。そわそわしてもこれは必要な学習だということだから頑張れるわけで。
高校みたいに数１とか数２とかなってて高校行ってなくて道筋が明瞭でどうとでも独学できるのとはわけが違う。しかも全てのはしがきに予備知識として学ぶべきものが書いてあるわけじゃなくこのはしがきを頼りとした芋づる式で学ぶべき順番に見当をつける方法をもってしても袋小路に入ることもあるという…。んでどうでもいいことだが俺の学びたいものにベクトル解析が必要なのかいまだに判断がつかない。
日本語に一家言ある人や政治的な思想がある人は検索してるうち日本語学や法律学の論文に当たることもあるだろうけど、そもそも興味があるのもあって字面は難しそうでもじっくり読めば理解できなかったということはなかったはず。でも数学は知識が無い人を門前払いです…。
ドラクエだかでファルスでコクーンなんていうスラングに象徴されてる現象もプレイすればゲーム展開に沿って難なく解消されるわけで要するにそんなのよりずっとタチが悪いのが大学数学の現状
まずこの主張がたとえ正しかったとしても間違ってたとしても、文章のお約束を習得するのに才能が必要か不要かという話とは独立してるんだよね。
お約束を習得するのに必要な才能の比重が、面白い・人に刺さる内容を書くことよりも相対的に低いということであれば俺も同意するけど、決してそのような譲歩をする気はないんだろう。
いろいろ文章読本とか700ページ以上あるレトリック辞典なんかも熟読したが、俺にはお約束をものにするほどの才能もないから諦めたいというだけの話なのに、それすら認めてくれないのが謎。もちろん面白い文章を書く才能も同様に俺にはないと思ってるよ。比重に関する単純な程度問題なのだから、型を身に着ける才能がない、いわんや面白い文章を書く才能をや、ということは自明に導けることだよね。
数式がひいひいじいちゃんとかの代からあったものだから写経しろってのも意味不明。論理が飛躍してる。
ひいひいじいちゃんとかそれぐらい前の代からあるものなら、写経することで身につくものだ、という論理がただちに成り立つはずないじゃないか。
だってそうやって遥か昔から数式や数学的観念が次世代へ継承されていくために全ての人間が才能を持ってる必要はないわけだから。
一部の才能を持つ人によって数学もまた発展してきただけの話。
たしかにそうやって発展させてきた人には数学書を穴が空くまで読んだり写経のようなことをした人も中にはいるかもしれない。
でもみんながみんな写経することで数式の意味が理解できたりするようになるわけじゃない、ということぐらい考えればわかることじゃないのだろうか。
たとえば方程式を見ても、その答えを出せないという場合は、数式に沿った思考ができていないことを示唆しているだろう。
もちろん答えが当たっていたしても単なるまぐれ当たりかもしれず数式の理解を反映した結果とは限らないし、答えを出せない場合でも数式の意味を部分的には理解できている場合もあるだろう。
とにかく位相幾何学でも微分方程式でもいいけど、そういうものの教科書を写経させればみんながみんなその範囲内で初見の類題を出されても100％解けるようになっているだろうか。バカげている。
ましてやその領域上のことを発展させて新しい数学的概念を発見(発明ともいわれる)、つまりより一般的にいえば言えば今よりも対象化可能な概念、君が言う「中身」というものを増やすことが出来るような人は、さらに根本的に理解を極められたごく一部だろう。写経という努力でなんとかなる？才能など不要？ありえない。
数式以外の自然言語についても写経で哲学者並みに概念を扱ったりできるとは限らない。前にも書いたように「論語読みの論語知らず(現代風にいうならいわゆるチャットbotのようなものでしかない)」になってしまうことがありえるわけだよ。偉人の言葉いくら覚えても丸暗記の域を出なけりゃ間違った文脈(見当違いな場面で)でそういった言葉を引用しかねないしその言葉が言わんとすることをさらに発展させること(たとえば素朴な記号論から生成文法へと発展させるようなことなど)は出来ない。
なのにそういうことわざを挙げてる箇所には言及してくれない。結局なんというか都合の悪い部分を意図的にスルーして同じことをずっと強弁してる感じなんだよね。
自分で参考書を書いてみれば分かりますが、数学の検定教科書はおそろしく完成度が高いです。そのことを具体的な実感をともなって理解できれば、あなたの学力は入試レベルなど優に超えています。
数学の本の出来は、理論の構成で決まります。数学の理論の構成とは、かんたんに言えば定義や定理をどう配置するかと言うことです。どのトピックを載せるか、ある定理を述べるために事前にどのような概念を定義しておく必要があるのか、その定理を証明するために事前にどのような命題を示しておく必要があるのか。トピックの選定が的確で、理論の道筋が明快であるほど、数学書の完成度は高いです。たとえば、余弦定理は重要ですから当然載せます。余弦定理を述べるには三角比を定義する必要があります（鋭角だけではなく鈍角に対しても）。そして、証明には通常、三平方の定理と有名な等式
が必要になります（これも三平方の定理のcorollaryです）。さらに三平方の定理を示すには、ふつうは三角形の相似を使用します。この道筋をいかに最適化できるかに、著者の力量が現れます。もちろん、余弦定理を要領良く示すために他の定理に至る過程が鈍臭くなってはいけません。全体の最適化を考えなければいけないのです。
証明の最適化を図るには、定義から再考しなければいけません。同じ概念であっても、それを特徴づける性質が複数あるなら、どれを定義として採用しても良いですが、それによって効率は違って来るからです。たとえば、ベクトルの内積は
のどちらを定義としても良いですが、後者の場合は別の座標（たとえば、45°回転した座標など）で考えたときに値が同じになるのか疑問が残ります。前者は座標の取り方によらずに定義できています。
この場合はどちらを採用してもそれほど変わりはありませんが、指数関数などは定義の仕方で必要な議論の量はまるで変わってきます。多くの教科書では、自然対数の底
e = lim (1 + 1/n)n -- (☆)
を定義し、そのべき乗として指数関数exを定義します。もちろん結果だけ知っていれば、微分方程式
df/dx = f
を満たすf(x)で、f(0) = 1となる関数としても指数関数を定義することはできます。しかし、このようなfが存在することを、(☆)を使わずに示すのは高校レベルを遥かに超えます。そのようなfが一意的であることも明らかではありません。
以上のようなことを考えるだけでも相当大変ですが、これに加えて検定教科書では、直感的な理解を損ねないことも考慮しなければなりません。高校生が読んで理解できなければならないからです。理論の整合性・効率と教育的配慮の間でバランスを取るという難しいことを、数学の専門家たちが苦心して行い、作成されたのが検定教科書です。このような本は他の参考書にはありません。場当たり的に問題の解き方を解説するだけの本とは格が違います。
数学の検定教科書は極めて洗練されています。教科書の理論構成を把握し、その流れや証明手法に合理性や必然性を見出だせる水準まで理解できれば、入試などは余裕で通過できます。
