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2024-09-21

幾何学ラングランズ・プログラムと M 理論超弦理論関係

幾何学ラングランズ・プログラムと M 理論超弦理論関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。

1. 基本設定

まず、以下のデータを考える。

2. モジュライスタック

- 𝑋 上の主 𝐺-束の同型類全体からなる代数スタック

- このスタックアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。

- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系(つまり、平坦 ᴸ𝐺-束)の同型類全体のスタック

- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。

3. 幾何学ラングランズ対応

幾何学ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。

𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))

ここで、

  • 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) は 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) 上のホロノミック 𝐷-加群有界導来圏。
  • 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)) は 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の連接層の有界導来圏。

この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。

4. 核関手フーリエ–ムカイ変換

関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手

Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))

定義する。この関手は、以下のように具体的に与えられる。

Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)

ここで、

  • 𝑝₁ と 𝑝₂ はそれぞれ射影

𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)

問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学ラングランズ予想の核心的な課題となっている。

5. ヒッチンファイブレーション可積分系

ヒッチン写像を導入する。

ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)

ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。

完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造関係する。

6. ミラー対称性ホモロジカルミラー対称性

Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。

  • 予想:

𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))

ここで、

- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。

- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。

この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。

7. 非可換ホッジ理論

リーニュの非可換ホッジ対応を考える。

𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))

ここで、

- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック

- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック

作用素:

8. M 理論物理対応

M 理論におけるブレーンの配置:

  • M5 ブレーンを考える。
  • 配置: 11 次元の時空 ℝ¹,¹⁰ において、M5 ブレーンを ℝ¹,³ × Σ × 𝒞 に配置する。ここで、

- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。

- Σ は曲線 𝑋。

- 𝒞 はさらコンパクト化された空間

物理的な効果:

9. 高次圏論と ∞-カテゴリー

∞-カテゴリーの枠組みで圏の同値を考える。

Lurie の高次圏論:

10. 総合的な数学モデル

圏論アプローチ:

関手の合成と双対性:

11. 結論

幾何学ラングランズ・プログラムと M 理論超弦理論関係は、以下の数学構造を通じてモデル化される。

これらの数学構造を組み合わせることで、幾何学ラングランズ・プログラムと M 理論超弦理論関係性をモデル化できる。

 
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