■位相的M理論について

1. トポロジカルM理論の概要

• トポロジカルM理論は、7次元空間におけるG₂ホロノミーを持つ計量の研究です。
• この計量は、ヒッチンの3-フォームを使用して構築されます。具体的には、特定の3-フォーム（Φ）を用いて記述されます。
• 7次元の理論を縮約すると、以下のようなモデルが得られます：

- 6次元のAモデルとBモデル（トポロジカルストリング理論）。

- 4次元の自己双対ループ量子重力。

- 3次元のチェルン・サイモンズ重力。

2. G₂ホロノミーと特別な形式

• G₂ホロノミーは、7次元のリーマン計量で特定の対称性を保つものです。これは特定の3-フォーム Φ によって定義されます。
• この3-フォーム Φ は、次の条件を満たす必要があります：

- dΦ = 0（閉形式、形式が外微分でゼロ）

- d *Φ = 0（共閉形式、*はホッジ双対を表す）

• これにより、G₂ホロノミーを持つ計量が得られます。

3. 6次元のフォーム理論と複素構造

• 6次元では、3-フォーム ρ と4-フォーム σ を使用して幾何学的構造を定義します。
• 3-フォーム ρ は、次のようにしてホロモルフィックな3-形式 Ω を生成します：

- Ω = ρ + i · ŕ

- ここで、ŕ は ρ から派生する補完的な形式です。

• 4-フォーム σ は、次のようなシンプレクティック構造を提供します：

- V_S(σ) = ∫_M √(384^{-1} · σ^{a₁a₂b₁b₂}σ^{a₃a₄b₃b₄}σ^{a₅a₆b₅b₆} · ε_{a₁a₂a₃a₄a₅a₆} · ε_{b₁b₂b₃b₄b₅b₆})

- ここで、ε_{a₁...a₆} は6次元のレヴィ・チヴィタテンソルです。

4. トポロジカルストリングとS双対性

• AモデルとBモデルは、S双対性によって関連しています。これにより、6次元理論では、AモデルとBモデルの自由度が7次元理論の共役変数として現れます。
• トポロジカルストリングの分配関数は、特定の境界条件に依存する「波動関数」として解釈されます。この波動関数的性質は、7次元理論での理解を助けます。

5. 安定な形式と体積汎関数

• 7次元空間では、3-フォーム Φ および 4-フォーム G を用いて、体積汎関数を定義します。これにより、次の数学的構造が得られます：

- 3-フォーム Φ に基づく体積汎関数：

- V₇(Φ) = ∫_X √(det(B))

- ここで、計量 g は次のように3-フォーム Φ から導かれます：

- g_{ij} = B_{ij} · det(B)^{-1/9}

- B_{jk} = - (1/144) Φ^{ji₁i₂} Φ^{ki₃i₄} Φ^{i₅i₆i₇} ε_{i₁...i₇}

- 4-フォーム G に基づく体積汎関数：

- V₇(G) = ∫_X G ∧ *G

6. ブラックホール物理学とアトラクタメカニズム

• フォーム理論は、BPSブラックホールのエントロピー計算に適用されます。
• アトラクタメカニズムは、ブラックホールの電荷と特定の内部空間の計量を関連付けるもので、形式を用いた計量構築の特別なケースです。

Permalink | 記事への反応(1) | 12:52

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