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はてなキーワード: 代数幾何学とは
位相的弦理論は、宇宙の不思議を解き明かそうとする特別な考え方です。普通の物理学では、物がどう動くかを細かく調べますが、この理論では物の形や繋がり方だけに注目します。
例えば、ドーナツとマグカップを考えてみましょう。形は全然違うように見えますが、どちらも真ん中に1つの穴があります。位相的弦理論では、この「穴が1つある」という点で同じだと考えるんです。
この理論では、宇宙を細い糸（弦）でできていると考えます。でも、普通の弦理論とは違って、糸がどう振動するかは気にしません。代わりに、糸がどんな形をしているか、どう繋がっているかだけを見ます。
これを使って、科学者たちは宇宙の秘密を解き明かそうとしています。難しそうに聞こえるかもしれませんが、実は私たちの身の回りの物の形を観察することから始まるんです。宇宙の謎を解くのに、ドーナツの形が役立つかもしれないなんて、面白いと思いませんか？
位相的弦理論は、通常の弦理論を単純化したモデルで、1988年にEdward Wittenによって提唱されました。この理論の主な特徴は、弦の振動モードの中で位相的な性質のみを保持し、局所的な自由度を持たないことです。
1. A-モデル：ケーラー幾何学と関連し、2次元の世界面を標的空間の正則曲線に写像することを扱います。
2. B-モデル：複素幾何学と関連し、標的空間の複素構造に依存します。
これらのモデルは、時空の幾何学的構造と密接に関連しており、特にカラビ・ヤウ多様体上で定義されることが多いです。
4. グロモフ・ウィッテン不変量など、新しい数学的不変量を生み出す
この理論は、物理学と数学の境界領域に位置し、両分野に大きな影響を与えています。例えば、代数幾何学や圏論との深い関連が明らかになっており、これらの数学分野の発展にも寄与しています。
大学生の段階では、位相的弦理論の基本的な概念と、それが通常の弦理論とどう異なるかを理解することが重要です。また、この理論が物理学と数学の橋渡しをどのように行っているかを把握することも大切です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つ2次元の非線形シグマモデルから導出されます。この理論は、通常の弦理論の世界面を位相的にツイストすることで得られます。
A-モデル：
B-モデル：
両モデルは、ミラー対称性によって関連付けられます。これは、あるカラビ・ヤウ多様体上のA-モデルが、別のカラビ・ヤウ多様体上のB-モデルと等価であるという驚くべき予想です。
大学院生レベルでは、これらの概念を数学的に厳密に理解し、具体的な計算ができるようになることが期待されます。また、位相的弦理論が現代の理論物理学や数学にどのような影響を与えているかを理解することも重要です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つシグマモデルから導出される位相的場の理論です。この理論は、超対称性のR-対称性を用いてエネルギー運動量テンソルをツイストすることで得られます。
1. A-ツイスト：
- スピン接続をR-電荷で修正: ψ+ → ψ+, ψ- → ψ-dz
2. B-ツイスト：
- スピン接続を異なるR-電荷で修正: ψ+ → ψ+dz, ψ- → ψ-
A-モデル：
ここで、M はモジュライ空間、evi は評価写像、αi はコホモロジー類、e(V) はオブストラクションバンドルのオイラー類
B-モデル：
ここで、X はカラビ・ヤウ多様体、Ω は正則体積形式、Ai は変形を表す場
A-モデルとB-モデルの間の等価性は、導来Fukaya圏と連接層の導来圏の間の圏同値として理解されます。これは、Kontsevich予想の一般化であり、ホモロジー的ミラー対称性の中心的な問題です。
最近の発展：
1. 位相的弦理論とGopakumar-Vafa不変量の関係
3. 非可換幾何学への応用
専門家レベルでは、これらの概念を深く理解し、最新の研究動向を把握することが求められます。また、位相的弦理論の数学的構造を完全に理解し、新しい研究方向を提案できることも重要です。
位相的弦理論の究極的理解には、以下の高度な概念と最新の研究動向の深い知識が必要です：
1. 導来圏理論：
- 安定∞圏を用いた一般化
- 非可換幾何学との関連
- SYZ予想との関連
- 導来代数幾何学の応用
- 圏化されたDT不変量
- ∞圏論を用いた定式化
これらの概念を完全に理解し、独自の研究を行うためには、数学と理論物理学の両分野において、最先端の知識と技術を持つ必要があります。また、これらの概念間の深い関連性を見出し、新しい理論的枠組みを構築する能力も求められます。
位相的弦理論の「廃人」レベルでは、これらの高度な概念を自在に操り、分野の境界を押し広げる革新的な研究を行うことが期待されます。また、この理論が量子重力や宇宙論といった基礎物理学の根本的な問題にどのような洞察を与えるかを探求することも重要です。
楕円曲線暗号（Elliptic Curve Cryptography, ECC）は、数論と代数幾何学に基づく公開鍵暗号方式である。
特に有限体上の楕円曲線の構造を利用して安全性を確保する手法として知られ、RSA暗号に比べて少ないビット数で同等の安全性を実現できる。
楕円曲線とは、一般的に次の形で表される三次方程式により定義される：
y² = x³ + ax + b
ここで、係数 a, b は、定義する体 F 上の元である。特に、上記の式が体 F 上で非退化（特異点が存在しない）であるためには、判別式がゼロでないこと、すなわち
4a³ + 27b² ≠ 0
楕円曲線上の点の集合 E(F) は、無限遠点 O を加えた集合として群構造を持ち、加法演算が定義できる。加法演算は、点の「和」を取る操作であり、次の規則に従う：
このように、楕円曲線上の点の集合はアーベル群となる。この群の構造を活用し、暗号方式が構築される。
実際の暗号応用では、有限体 Fₚ（p は素数）や拡大体 F₂ᵐ 上の楕円曲線を使用する。有限体上の楕円曲線 E(Fₚ) は有限個の点から構成され、その数は次のようにハッセの定理によって評価される：
|E(Fₚ)| = p + 1 - t,
ただし、トレース t は |t| ≤ 2√p を満たす。
ECCの代表的な応用として、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン鍵共有（ECDH）がある。これを次のように構成する：
1. 楕円曲線 E と基点 G ∈ E(Fₚ) を公開する。
2. ユーザーAは秘密鍵 a を選び、公開鍵として P_A = aG を計算して送信する。
3. ユーザーBは秘密鍵 b を選び、公開鍵として P_B = bG を計算して送信する。
4. 双方は共通鍵として K = aP_B = bP_A = abG を計算する。
この手法の安全性は、離散対数問題、特に「楕円曲線離散対数問題（ECDLP）」に依存している。楕円曲線上の点 P と Q = nP が与えられたとき、係数 n を求めるのは計算的に難しいため、敵対者が秘密鍵を推測するのが困難である。
例えば、リーマン予想の特別な場合であるヴェイユ予想は、有限体上の楕円曲線の点の数に対する評価を与え、暗号設計の基礎となっている。
さらに、現代の暗号学では楕円曲線とモジュラー形式の関係やガロア表現といった高度な数論的構造が研究されており、これらが量子耐性を持つ新たな暗号方式の研究に貢献している。
楕円曲線暗号はこのようにして、抽象代数学、数論、代数幾何学の融合によって成り立ち、安全性と効率を両立させた暗号技術として広く利用されている。
超弦理論は、2次元の共形場理論を基礎としている。この理論は、以下の数学的要素で構成される：
1. 共形対称性: 2次元の世界面上で定義される場の理論で、局所的なスケール不変性を持つ。これは無限次元のビラソロ代数によって記述される。
[Lₘ, Lₙ] = (m - n)Lₘ₊ₙ + c/12 m(m² - 1)δₘ₊ₙ,₀
2. モジュライ空間: 弦の運動を記述する際、リーマン面のモジュライ空間が重要な役割を果たす。これは複素多様体の変形理論と密接に関連している。
3. カラビ・ヤウ多様体: 超対称性を保つためには、6次元の余剰次元がカラビ・ヤウ多様体の形をしている必要がある。これは複素3次元のケーラー多様体で、リッチ曲率テンソルが消えるという特徴を持つ。
Rᵢⱼ̄ = 0
M理論は11次元の超重力理論を基礎としており、以下の数学的要素が重要である：
1. 超多様体: 11次元の時空は超多様体として記述され、通常の座標に加えてグラスマン数値の座標を持つ。
2. E₈ × E₈ ゲージ群: ヘテロ型E₈理論との関連で、E₈ × E₈という例外型リー群が重要な役割を果たす。
3. G₂ホロノミー: M理論のコンパクト化において、7次元の内部空間がG₂ホロノミーを持つ多様体である必要がある。これは、7次元多様体上の3-形式ωが以下の条件を満たす場合である：
dω = d*ω = 0
数学的宇宙仮説の観点から、M理論と超弦理論は以下のように解釈できる：
1. 圏論的視点: これらの理論は、物理的実在を圏論的な言語で記述しようとする試みと見なせる。例えば、弦の世界面のカテゴリーと、それに対応する共形場理論のカテゴリーの間の対応関係が重要である。
2. 代数幾何学的構造: カラビ・ヤウ多様体や例外型リー群などの登場は、宇宙の根本的構造が代数幾何学的な性質を持つ可能性を示唆している。
3. 双対性: 様々な双対性（例：T双対性、S双対性、ミラー対称性）の存在は、異なる数学的記述が同じ物理的実在を表現可能であることを示唆し、プラトン的数学構造の多様性を示唆している。
4. 高次圏論: ブレーンの階層構造は、高次圏論的な記述と自然に対応する。n-カテゴリーの概念が、p-ブレーンの理論と密接に関連している。
5. 無限次元リー代数: 弦理論における無限次元対称性（例：カッツ・ムーディ代数）の出現は、宇宙の基本法則が無限次元の数学的構造に基づいている可能性を示唆している。
これらの理論が示唆する数学的構造の豊かさと複雑さは、数学的宇宙仮説が主張するような、宇宙の根本的な数学的性質を支持する証拠と解釈できる。
定義 1: M理論の基本構造を、完全拡張可能な (∞,∞)-圏 M として定義する。
定理 1 (Lurie-Haugseng): M の完全拡張可能性は、以下の同値関係で特徴付けられる：
M ≃ Ω∞-∞TFT(Bord∞)
ここで、TFT は位相的場の理論を、Bord∞ は∞次元ボルディズム∞-圏を表す。
命題 1: 超弦理論の各タイプは、M の (∞,∞-n)-部分圏として実現され、n は各理論の臨界次元に対応する。
定義 2: 弦の標的空間を、導来 Artin ∞-超スタック X として形式化する。
定理 2 (Toën-Vezzosi): X の変形理論は、接∞-スタック TX の導来大域切断の∞-圏 RΓ(X,TX) によって完全に記述される。
定義 3: 弦場理論の代数構造を、∞-オペラッド O の代数として定式化する。
定理 3 (Kontsevich-Soibelman): 任意の∞-オペラッド O に対して、その変形量子化が存在し、Maurer-Cartan方程式
MC(O) = {x ∈ O | dx + 1/2[x,x] = 0}
の解空間として特徴付けられる。
定義 4: n次元量子場理論を、n-カテゴリ値の局所系 F: Bordn → nCat∞ として定義する。
定理 4 (Costello-Gwilliam-Lurie): 摂動的量子場理論は、因子化∞-代数の∞-圏 FactAlg∞ の対象として完全に特徴付けられる。
定理 5 (Kontsevich-Soibelman-Toën-Vezzosi): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、以下の (∞,2)-圏同値として表現される：
ShvCat(X) ≃ Fuk∞(Y)
ここで、ShvCat(X) は X 上の安定∞-圏の層の (∞,2)-圏、Fuk∞(Y) は Y の深谷 (∞,2)-圏である。
定義 5: M理論のコンパクト化を、E∞-リング スペクトラム R 上の導来スペクトラルスキーム Spec(R) として定式化する。
定理 6 (Lurie-Hopkins): 位相的弦理論は、適切に定義されたスペクトラルスキーム上の擬コヒーレント∞-層の安定∞-圏 QCoh(Spec(R)) の対象として実現される。
定義 6: M理論の C-場を、∞-群対象 B∞U(1) への∞-函手 c: M → B∞U(1) として定義する。
定理 7 (Hopkins-Singer): M理論の量子化整合性条件は、一般化されたコホモロジー理論の枠組みで以下のように表現される：
[G/2π] ∈ TMF(M)
ここで、TMF は位相的モジュラー形式のスペクトラムである。
定義 7: 量子化された時空を、スペクトラル∞-三重項 (A, H, D) として定義する。ここで A は E∞-リングスペクトラム、H は A 上の導来∞-モジュール、D は H 上の自己随伴∞-作用素である。
定理 8 (Connes-Marcolli-Ševera): 量子重力の有効作用は、適切に定義されたスペクトラル∞-作用の臨界点として特徴付けられる。
定義 8: 弦理論の真空構造を、導来∞-モチーフ∞-圏 DM∞(k) の対象として定式化する。
予想 1 (∞-Motivic Mirror Symmetry): カラビ・ヤウ∞-スタック X と Y のミラー対称性は、それらの導来∞-モチーフ M∞(X) と M∞(Y) の間の∞-圏同値として表現される。
定義 9: 完全な量子重力理論を、(∞,∞)-圏値の拡張位相的量子場理論として定式化する：
Z: Bord∞ → (∞,∞)-Cat
定理 9 (Conjectural): M理論は、適切に定義された完全拡張可能な (∞,∞)-TFT として特徴付けられ、その状態空間は量子化された時空の∞-圏を与える。
超弦理論を数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏（∞-圏）の関手として定式化する。
𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ
ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏（例：鎖複体の圏、導来圏など）。
超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。
BV形式はゲージ対称性と量子化を扱うためにホモトピー代数を使用する。
Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0
ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。
𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
以上の数学的構造を用いて、超弦理論における重要な定理である「ホモロジカル・ミラー対称性の定理」を証明する。
ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である。
𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
1. フクヤ圏の構築：
- 対象：𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件（例えば、スピン構造やマスロフ指数の消失）を満たすもの。
- 射：ラグランジアン間のフロアーコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。
2. 導来圏の構築：
- 射：Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。
- 合成：連接層の射の合成。
- ファンクターの構成：ラグランジアン部分多様体から連接層への対応を定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。
- 構造の保存：この関手が 𝐴∞ 構造や三角圏の構造を保存することを示す。
- 物理的対応：𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデルの物理的計算が一致することを利用。
- Gromov–Witten 不変量と周期：𝑋 の種数ゼロのグロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算と対応する。
5. 数学的厳密性：
- シンプレクティック幾何学の結果：ラグランジアン部分多様体のフロアーコホモロジーの性質を利用。
- 代数幾何学の結果：連接層の導来圏の性質、特にセール双対性やベクトル束の完全性を利用。
結論：
以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカル・ミラー対称性の定理が証明される。
ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロアー境界演算子 ∂ を用いてコホモロジーを定義：
∂² = 0
𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im ∂
∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0
Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。
まず、以下のデータを考える。
- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。
- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。
- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。
幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。
𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
ここで、
この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。
核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手
Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)
ここで、
𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)
問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。
ヒッチン写像を導入する。
ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)
ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。
完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。
Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。
𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))
ここで、
- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。
- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。
この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。
𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))
ここで、
- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。
- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。
作用素:
M 理論におけるブレーンの配置:
- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。
- Σ は曲線 𝑋。
Lurie の高次圏論:
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。
これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。
以下は、M理論と超弦理論の幾何学を抽象化した数学的枠組みでのモデル化について述べる。
まず、物理的対象である弦や膜を高次の抽象的構造としてモデル化するために、∞-圏論を用いる。ここでは、物理的プロセスを高次の射や2-射などで表現する。
∞-圏 𝒞 は、以下を持つ：
これらの射は、合成や恒等射、そして高次の相互作用を満たす。
次に、デリーブド代数幾何学を用いて、空間や場の理論をモデル化する。ここでは、デリーブドスタックを使用する。
デリーブドスタック 𝒳 は、デリーブド環付き空間の圏 𝐝𝐀𝐟𝐟 上の関手として定義される：
𝒳 : 𝐝𝐀𝐟𝐟ᵒᵖ → 𝐒
ここで、𝐒 は∞-グルーポイドの∞-圏（例えば、単体集合のホモトピー圏）である。
物理的なフィールドやパーティクルのモジュライ空間は、これらのデリーブドスタックとして表現され、コホモロジーやデリーブドファンクターを通じてその特性を捉える。
非可換幾何学では、空間を非可換代数 𝒜 としてモデル化する。ここで、スペクトラルトリプル (𝒜, ℋ, D) は以下から構成される：
作用素 D のスペクトルは、物理的なエネルギーレベルや粒子状態に対応する。幾何学的な距離や曲率は、𝒜 と D を用いて以下のように定義される：
∞-トポス論は、∞-圏論とホモトピー論を統合する枠組みである。∞-トポス ℰ では、物理的な対象やフィールドは内部のオブジェクトとして扱われる。
フィールド φ のグローバルセクション（物理的な状態空間）は、次のように表される：
Γ(φ) = Homℰ(1, φ)
ここで、1 は終対象である。物理的な相互作用は、これらのオブジェクト間の射としてモデル化される。
ゲージ対称性やその高次構造を表現するために、L∞-代数を用いる。L∞-代数 (L, {lₖ}) は次元付きベクトル空間 L = ⊕ₙ Lₙ と多重線形写像の族 lₖ からなる：
lₖ : L⊗ᵏ → L, deg(lₖ) = 2 - k
∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ₊₁ ∑ₛᵢgₘₐ∈Sh(i,n-i) (-1)ᵉ⁽ˢⁱᵍᵐᵃ⁾ lⱼ ( lᵢ(xₛᵢgₘₐ₍₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₎), xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₊₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ₙ₎) = 0
ここで、Sh(i,n-i) は (i, n - i)-シャッフル、ε(sigma) は符号関数である。
これにより、高次のゲージ対称性や非可換性を持つ物理理論をモデル化できる。
安定ホモトピー理論では、スペクトラムを基本的な対象として扱う。スペクトラム E は、位相空間やスペースの系列 {Eₙ} と構造写像 Σ Eₙ → Eₙ₊₁ からなる。
πₙˢ = colimₖ→∞ πₙ₊ₖ(Sᵏ)
ここで、Sᵏ は k-次元球面である。これらの群は、物理理論における安定な位相的特性を捉える。
物理的な相関関数は、コホモロジー類を用いて以下のように表現される：
⟨𝒪₁ … 𝒪ₙ⟩ = ∫ₘ ω𝒪₁ ∧ … ∧ ω𝒪ₙ
ここで、ℳ はモジュライ空間、ω𝒪ᵢ は観測量 𝒪ᵢ に対応する微分形式またはコホモロジー類である。
先に述べた抽象数学的枠組みを用いて、M理論の重要な定理であるM理論とIIA型超弦理論の双対性を導出する。この双対性は、M理論が11次元での理論であり、円 S¹ に沿ってコンパクト化するとIIA型超弦理論と等価になることを示している。
時空間の設定：
H•(ℳ₁₁, ℤ) ≅ H•(ℳ₁₀, ℤ) ⊗ H•(S¹, ℤ)
これにより、11次元のコホモロジーが10次元のコホモロジーと円のコホモロジーのテンソル積として表される。
C-場の量子化条件：
M理論の3形式ゲージ場 C の場の強度 G = dC は、整数係数のコホモロジー類に属する。
[G] ∈ H⁴(ℳ₁₁, ℤ)
デリーブド代数幾何学では、フィールド C はデリーブドスタック上のコホモロジー類として扱われる。
非可換トーラスの導入：
円 S¹ のコンパクト化を非可換トーラス 𝕋θ としてモデル化する。非可換トーラス上の座標 U, V は以下の交換関係を満たす。
UV = e²ᵖⁱθ VU
非可換トーラス上のK-理論群 K•(𝕋θ) は、Dブレーンのチャージを分類する。
K•(ℳ₁₁) ≅ K•(ℳ₁₀)
𝕊ₘ ≃ Σ𝕊ᵢᵢₐ
ここで、Σ はスペクトラムの懸垂（suspension）函手である。
デリーブド代数幾何学、非可換幾何学、および安定ホモトピー理論の枠組みを用いると、11次元のM理論を円 S¹ 上でコンパクト化した極限は、IIA型超弦理論と数学的に等価である。
(b) 非可換性の考慮
最初期宇宙の基本構造を記述するために、位相的弦理論の圏論的定式化を用いる。
定義: 位相的A模型の圏論的記述として、Fukaya圏 ℱ(X) を考える。ここで X は Calabi-Yau 多様体である。
対象: (L, E, ∇)
射: Floer コホモロジー群 HF((L₁, E₁, ∇₁), (L₂, E₂, ∇₂))
この圏の導来圏 Dᵇ(ℱ(X)) が、A模型の D-ブレーンの圏を与える。
最初期宇宙の量子構造をより精密に記述するために、導来代数幾何学を用いる。
𝔛: (cdga⁰)ᵒᵖ → sSet
ここで cdga⁰ は次数が非正の可換微分次数付き代数の圏、sSet は単体的集合の圏である。
𝔛 上の準コヒーレント層の ∞-圏を QCoh(𝔛) と表記する。
宇宙の大規模構造の位相的性質を記述するために、モチーフ理論を適用する。
定義: スキーム X に対して、モチーフ的コホモロジー Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) を定義する。
これは、Voevodsky の三角圏 DM(k, ℚ) 内での Hom として表現される：
Hⁱₘₒₜ(X, ℚ(j)) = Hom_DM(k, ℚ)(M(X), ℚ(j)[i])
最初期宇宙の高次ゲージ構造を記述するために、∞-Lie 代数を用いる。
定義: L∞ 代数 L は、次数付きベクトル空間 V と、n 項ブラケット lₙ: V⊗ⁿ → V の集合 (n ≥ 1) で構成され、一般化されたヤコビ恒等式を満たすものである。
Σₙ₌₁^∞ (1/n!) lₙ(x, ..., x) = 0
最初期宇宙の量子重力効果を記述するために、圏値場の理論を用いる。
定義: n-圏値の位相的量子場の理論 Z を、コボルディズム n-圏 Cob(n) から n-圏 𝒞 への対称モノイダル函手として定義する：
Z: Cob(n) → 𝒞
特に、完全拡張場の理論は、Lurie の分類定理によって特徴づけられる。
最初期宇宙の量子情報理論的側面を記述するために、von Neumann 代数を用いる。
定義: von Neumann 代数 M 上の状態 ω に対して、相対エントロピー S(ω || φ) を以下のように定義する：
S(ω || φ) = {
tr(ρω (log ρω - log ρφ)) if ω ≪ φ
+∞ otherwise
}
ここで ρω, ρφ はそれぞれ ω, φ に対応する密度作用素である。
最初期宇宙の量子時空構造を記述するために、非可換幾何学を用いる。
∫_X f ds = Tr_ω(f|D|⁻ᵈ)
量子力学の観測問題を、高次圏論、導来代数幾何学、および量子位相場の理論を統合した枠組みで定式化する。
基礎構造として、(∞,n)-圏 C を導入し、その導来スタック Spec(C) を考える。観測過程を表現するために、Spec(C) 上の導来量子群スタック G を定義する。G の余代数構造を (Δ: O(G) → O(G) ⊗L O(G), ε: O(G) → O(Spec(C))) とする。ここで ⊗L は導来テンソル積を表す。
観測を ω: O(G) → O(Spec(C)) とし、観測後の状態を (id ⊗L ω) ∘ Δ: O(G) → O(G) で表す。エントロピーを高次von Neumannエントロピーの一般化として、S: RMap(O(G), O(G)) → Sp^n として定義する。ここで RMap は導来写像空間、Sp^n は n-fold loop space のスペクトラム対象である。観測によるエントロピー減少は S((id ⊗L ω) ∘ Δ) < S(id) で表現される。
デコヒーレンスを表す完全正(∞,n)-関手 D: RMap(O(G), O(G)) → RMap(O(G), O(G)) を導入し、S(D(f)) > S(f) for f ∈ RMap(O(G), O(G)) とする。
観測者の知識状態を表現するために、G-余加群スタック M を導入する。観測過程における知識状態の変化を (ω ⊗L id) ∘ ρ: M → M で表す。ここで ρ: M → O(G) ⊗L M は余作用である。
分岐を表現するために、O(G) の余イデアルの(∞,n)-族 {Ii}i∈I を導入する。各分岐に対応する射影を πi: O(G) → O(G)/LIi とする。観測者の知識による分岐の選択は、自然(∞,n)-変換 η: id → ∏i∈I ((O(G)/LIi) ⊗L -) として表現される。
知識状態の重ね合わせは、M の余積構造 δ: M → M ⊗L M を用いて表現される。
さらに、量子位相場の理論との統合のために、Lurie の圏化された量子場の理論の枠組みを採用する。n次元ボルディズム(∞,n)-圏 Bord_n に対し、量子場理論を表す対称モノイダル(∞,n)-関手 Z: Bord_n → C と定義する。
観測過程は、この関手の値域における状態の制限として記述される。具体的には、閉じたn-1次元多様体 Σ に対する状態 φ: Z(Σ) → O(Spec(C)) を考え、ボルディズム W: Σ → Σ' に対する制限 φ|W: Z(W) → O(Spec(C)) を観測過程として解釈する。
M理論の幾何学を最も抽象的かつ厳密に記述するには、圏論的アプローチが不可欠でござる。
M理論の幾何学的構造は、三角圏の枠組みで捉えることができるのでござる。特に、カラビ・ヤウ多様体 X の導来圏 D⁰(Coh(X)) が中心的役割を果たすのでござる。
定義：D⁰(Coh(X)) は連接層の有界導来圏であり、以下の性質を持つのでござる：
1. 対象：連接層の複体
この圏上で、Fourier-向井変換 Φ: D⁰(Coh(X)) → D⁰(Coh(X̂)) が定義され、これがミラー対称性の数学的基礎となるのでござる。
2. 各対の対象 X,Y に対する次数付きベクトル空間 hom𝒜(X,Y)
3. 次数 2-n の演算 mₙ: hom𝒜(Xₙ₋₁,Xₙ) ⊗ ⋯ ⊗ hom𝒜(X₀,X₁) → hom𝒜(X₀,Xₙ)
これらは以下のA∞関係式を満たすのでござる：
∑ᵣ₊ₛ₊ₜ₌ₙ (-1)ʳ⁺ˢᵗ mᵣ₊₁₊ₜ(1⊗ʳ ⊗ mₛ ⊗ 1⊗ᵗ) = 0
この構造は、Fukaya圏の基礎となり、シンプレクティック幾何学とM理論を結びつけるのでござる。
M理論の完全な幾何学的記述には、高次圏論、特に(∞,1)-圏が必要でござる。
定義：(∞,1)-圏 C は以下の要素で構成されるのでござる：
2. 各対の対象 x,y に対する写像空間 MapC(x,y)（これも∞-グルーポイド）
3. 合成則 MapC(y,z) × MapC(x,y) → MapC(x,z)（これはホモトピー整合的）
この構造により、M理論における高次ゲージ変換や高次対称性を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学は、導来代数幾何学の枠組みでより深く理解できるのでござる。
定義：導来スタック X は、以下の関手として定義されるのでござる：
X: CAlg𝔻 → sSet
ここで、CAlg𝔻 は単体的可換環の∞-圏、sSet は単体的集合の∞-圏でござる。
この枠組みにおいて、M理論のモジュライ空間は導来スタックとして記述され、その特異性や高次構造を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学的側面は、量子コホモロジー環 QH*(X) を通じて深く理解されるのでござる。
定義：QH*(X) = H*(X) ⊗ ℂ[[q]] で、積構造は以下で与えられるのでござる：
α *q β = ∑A∈H₂(X,ℤ) (α *A β) qᴬ
ここで、*A はGromov-Witten不変量によって定義される積でござる：
α *A β = ∑γ ⟨α, β, γ∨⟩₀,₃,A γ
M理論を用いたビッグバンの数理的解明は、現代理論物理学の最前線に位置する課題である。以下に、より厳密な数学的枠組みを用いてこの問題にアプローチする。
(M¹¹, g) ≅ (R¹,³ × X⁷, η ⊕ h)
ここで、M¹¹は11次元多様体、gはその上の計量、R¹,³はミンコフスキー時空、X⁷はコンパクトな7次元多様体、ηはミンコフスキー計量、hはX⁷上のリッチ平坦計量である。
M理論の超対称性は、以下のスピノール方程式で特徴づけられる：
D_μ ε = 0
ここで、D_μはスピン接続、εは11次元のMajorana-Weylスピノールである。
M2-ブレーンの動力学は、以下のNambu-Goto型作用で記述される：
S[X] = -T_2 ∫_Σ d³σ √(-det(g_αβ))
ここで、T_2はブレーン張力、g_αβ = ∂_αX^μ ∂_βX^ν G_μνはブレーンの誘導計量、G_μνは背景時空の計量である。
ビッグバンを膜の衝突として捉える場合、以下の位相的遷移を考える：
M¹¹ ⊃ M₁ ∪ M₂ → M'
ここで、M₁とM₂は衝突前の膜宇宙、M'は衝突後の統合された宇宙を表す。この遷移は、コボルディズム理論の枠組みで厳密に定式化される。
11次元重力定数G₁₁と4次元重力定数G₄の関係は、以下の積分方程式で表される：
1/G₄ = Vol(X⁷)/G₁₁
ここで、Vol(X⁷) = ∫_X⁷ √det(h) d⁷y はX⁷の体積である。
M理論の無矛盾性は、以下のBianchi恒等式とアノマリー相殺条件によって保証される：
dH = 1/(2π)² [p₁(R) - 1/2 tr F² + tr R²]
ここで、Hは3形式場、p₁(R)は第一ポントリャーギン類、FとRはそれぞれゲージ場と重力場の曲率である。
Multiverse ≅ lim→ (M_i, φ_ij)
ここで、M_iは個々の宇宙、φ_ijは宇宙間の遷移を表す射である。
これらの数学的構造は、M理論を用いたビッグバンの理解に対して厳密な基礎を提供する。しかしながら、完全な証明には至っておらず、特に量子重力効果の非摂動的取り扱いや、実験的検証可能性の問題が残されている。今後、代数幾何学や位相的場の理論などの高度な数学的手法を用いた更なる研究が期待される。
SVD (特異値分解) について、異なる難易度で説明します。
SVDは、大きな絵を小さなパーツに分ける魔法のようなものです。この魔法を使うと、複雑な絵をシンプルな形に分けることができます。例えば、虹色の絵を赤、青、黄色の3つの基本的な色に分けるようなものです。
SVD (Singular Value Decomposition) は、行列を3つの特別な行列の積に分解する線形代数の手法です。
A = UΣV^T
ここで:
SVDは次元削減、ノイズ除去、データ圧縮などの応用があります。主成分分析 (PCA) とも密接な関係があり、多変量解析や機械学習で広く使用されています。
SVDは任意の複素数体上の m×n 行列 A に対して以下の分解を提供します：
A = UΣV*
ここで:
1. A の階数 r は、非ゼロ特異値の数に等しい
2. A の核空間は V の r+1 列目から n 列目によってスパンされる
3. A の値域は U の最初の r 列によってスパンされる
5. ||A||_2 = σ_1, ||A||_F = √(Σσ_i^2)
応用:
1. 低ランク行列近似 (Eckart–Young–Mirsky の定理)
高度な話題:
6. 量子アルゴリズム:
7. 非線形SVD:
- SVDを用いた固有値問題の解法 (Sturm-Liouville問題等)
その核心は、具体的な数や図形から離れ、演算の性質そのものに着目することにある。
群論を例に取ると、群とは集合G上の二項演算・が結合法則を満たし、単位元が存在し、各元に逆元が存在するという公理を満たす代数的構造である。
この抽象的な定義により、整数の加法群(Z,+)や置換群S_nなど、一見異なる対象を統一的に扱うことが可能となる。
群論の発展は、ガロア理論を生み出し、5次以上の代数方程式の代数的解法が存在しないことの証明につながった。
環論では、可換環を中心に、イデアルや素イデアルの概念が導入され、代数幾何学との深い関連が明らかになった。
体論は、代数的閉体や有限体の理論を通じて、ガロア理論や暗号理論の基礎を提供している。
これらの理論は、単に抽象的な概念の探求にとどまらず、数論や代数幾何学、さらには理論物理学や量子情報理論など、広範な分野に応用されている。
例えば、リー群論は素粒子物理学の基礎理論となっており、SU(3) × SU(2) × U(1)という群構造が標準模型の対称性を記述している。
また、抽象代数学の概念は圏論によってさらに一般化され、函手や自然変換といった概念を通じて、数学の異なる分野間の深い関連性が明らかにされている。
圏論的視点は、代数的位相幾何学や代数的K理論などの現代数学の発展に不可欠な役割を果たしている。
単純な公理から出発し、複雑な数学的構造を解明していく過程は、純粋数学の醍醐味であり、同時に自然界の根本法則を理解する上で重要な洞察を与えてくれるのである。
ヒルベルト空間は無限次元の線形空間だが、射影ヒルベルト空間として有限次元多様体のように扱うことができる。射影ヒルベルト空間 P(H) は、ヒルベルト空間 H の単位球面上のベクトルをスカラー倍による同値類で割った空間であり、量子状態の集合を位相的に解析するための空間だ。局所座標系は、例えば、正規直交基底を用いてチャートとして定義され、局所的にユークリッド空間に似た構造を持つ。この構造により、量子状態の位相的特性を解析することが可能となる。
スキーム理論は代数幾何学の概念であり、ヒルベルト空間においては作用素環を通じて状態空間を解析するために用いる。特に、自己共役作用素のスペクトル分解を考慮し、各点を極大イデアルに対応させる。このアプローチにより、量子状態の観測可能量を代数的にモデル化することができる。例えば、観測可能量としての作用素 A のスペクトルは、A = ∫ λ dE(λ) という形で表され、ここで E(λ) は射影値測度である。これにより、量子状態の代数的特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間における射は、線形作用素として表現される。特に、ユニタリ作用素 U: H → H は、U*U = UU* = I を満たし、量子力学における対称変換を表す。これにより、系の時間発展や対称性を解析することができる。射影作用素は、量子状態の測定を表現し、観測可能量の期待値や測定結果の確率を計算する際に用いられる。これにより、量子状態の射影的性質を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間のコホモロジーは、量子系のトポロジカル不変量を解析するための手段を提供する。例えば、ベリー接続 A = ⟨ψ(R) | ∇ | ψ(R)⟩ やベリー曲率 F = ∇ × A は、量子状態のパラメータ空間における幾何学的位相的性質を記述する。チャーン数は、∫ F により計算され、トポロジカル不変量として系のトポロジカル相を特徴付ける。これにより、量子系のトポロジカル特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間の基底を用いて、空間を再構築する。直交基底 { |e_i⟩ } は、量子状態の展開に用いられ、|ψ⟩ = Σ_i c_i |e_i⟩ と表現される。これにより、状態の表現を簡素化し、特定の物理的状況に応じた解析を行う際に有用である。例えば、フーリエ変換は、状態を異なる基底で表現するための手法であり、量子状態の解析において重要な役割を果たす。
ヒルベルト空間における構造を保つ変換は、ユニタリ群 U(H) として表現される。これらの群は、量子系の対称性を記述し、保存量や選択則の解析に利用される。例えば、回転対称性は角運動量保存に対応し、ユニタリ変換は系の時間発展や対称性変換を記述する。これにより、量子系の対称性特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間は、内積により誘導される距離を持つ完備距離空間である。具体的には、任意の状態ベクトル |ψ⟩ と |φ⟩ の間の距離は、||ψ - φ|| = √⟨ψ - φ, ψ - φ⟩ で定義される。この距離は、量子状態の類似性を測る指標として用いられ、状態間の遷移確率やフィデリティの計算に利用される。これにより、量子状態の距離的特性を解析することが可能となる。
エドワード・ウィッテンは、幾何学的なラングランズ・プログラムの一部とアイデアとの関係について「電気・磁気の二重性と幾何学的なラングランズ・プログラム」を執筆した。
ラングランズ プログラムに関する背景: 1967 年、ロバート ラングランズは、当時同研究所の教授だったアンドレ ヴェイユに17ページの手書きの手紙を書き、その中で大統一理論を提案した。それは、数論、代数幾何学、保型形式の理論における一見無関係な概念を関連付ける。読みやすくするためにヴェイユの要望で作成されたこの手紙のタイプされたコピーは、1960 年代後半から 1970 年代にかけて数学者の間で広く流通し、数学者たちは 40 年以上にわたり、ラングランズ プログラムとして総称されるその予想に取り組んできた。
弦理論やゲージ理論の双対性の背景を持つ物理学者は、カプースチンとの幾何学的ラングランズに関する論文を理解できるが、ほとんどの物理学者にとって、このトピックは詳細すぎて興味をそそるものではない。
一方で、数学者にとっては興味深いテーマだが、場の量子論や弦理論の背景には馴染みのない部分が多すぎるため、理解するのは困難（厳密に定式化するのは困難）。
短期的にどのような進歩があれば、数学者にとって幾何学的なラングランズのゲージ理論解釈が利用できるようになるのかを見極めるのは、実際には非常に難しい。
ゲージ理論とホバノフホモロジーが数学者によって認識され評価されるのを見られるだろうか。
弦理論の研究者として取り組んでいる物理理論が数論として興味深いものであることを示す多くのことがわかっている。
ここ数年、4 次元の超対称ゲージ理論とその親戚である 6 次元に取り組んでいる物理学者は、臨界レベルでの共形場理論の役割に関わるいくつかの発見を行っているため、この点を解決する時期が来たのかもしれない。
過去20年間、数学と物理学の相互作用は非常に豊かであり続けただけでなく、その多様性が発展したが、私は恥ずかしいことにほとんど理解できていない。
これは今後も続くだろう、それが続く理由は場の量子論と弦理論がどういうわけか豊かな数学的秘密を持っているからだ。
これらの秘密の一部が表面化すると、物理学者にとってはしばしば驚きとなることがよくある。
なぜなら、超弦理論を物理学として正しく理解していないから。つまり、その背後にある核となる考え方を理解していない。
数学者は場の量子論を完全に理解することができていないため、そこから得られる事柄は驚くべきものである。
したがって、生み出される物理学と数学のアイデアは長い間驚くべきものになるだろう。
1990 年代に、さまざまな弦理論が非摂動双対性によって統合されており、弦理論はある意味で本質的に量子力学的なものであることが明らかになり、より広い視野を得ることができた。
関連ブクマ： https://b.hatena.ne.jp/entry/s/mainichi.jp/articles/20230822/k00/00m/040/214000c
アメリカと日本の大学における理系の研究で、盛んな分野のトップ５をそれぞれ箇条書きにしてお答えします。
一般的に言えば、アメリカの方が日本よりも大学の研究が経済に与える貢献度は高いと考えられます。その理由として、以下の点が挙げられます。
アメリカでは、大学の研究成果を産業界に移転する仕組みが整っており、特にベンチャー企業の創出や成長につながっています。例えば、スタンフォード大学やマサチューセッツ工科大学（MIT）などは、シリコンバレーやボストンエリアといったイノベーションの中心地に位置し、多くのハイテク企業やスタートアップ企業と連携しています。また、大学発ベンチャーの成功事例としては、グーグルやフェイスブックなどが有名です。
日本では、大学の研究成果を産業界に移転する仕組みが十分ではなく、特にベンチャー企業の創出や成長につながっていません。例えば、日本の大学発ベンチャーは、アメリカや欧州と比べて少なく、また規模も小さいです。その原因としては、日本の大学の知的財産管理やライセンス交渉の能力が低いことや、日本の産業界が新技術や新製品に対する需要が低いことなどが挙げられます。
以上のことから、アメリカでは大学の研究が経済に与える貢献度は高く、日本では低いと言えるでしょう。もちろん、これはあくまで一般的な傾向であり、日本でも優れた大学発ベンチャーは存在しますし、アメリカでも大学の研究が経済に貢献しない場合もあります。しかし、日本はアメリカから学ぶべき点が多いと思います。
アメリカと日本において、お金を生みやすい研究の分野は、それぞれ異なる傾向があります。
一般的に、アメリカでは、医学・生命科学、コンピュータ・情報科学、工学などの分野が研究開発費の多くを占めており、高い経済効果や社会的影響力を持っています1。
日本では、自動車やロボットなどの製造業に関連する分野が研究開発費の大部分を占めており、国際競争力を高めています。しかし、日本の研究開発費は、GDP比で3.3%と先進国の中で低い水準にとどまっており、基礎研究や新領域の研究に対する投資が不足しているという課題があります。そのため、日本では、エネルギー・環境、生命科学・医療、人工知能・ビッグデータなどの分野において、イノベーションを生み出すための研究開発費の拡充が必要とされています。
↓どこの大学よ
経済学部の文系の人でも、リーマン曲線の概念を理解することは可能です。ただし、リーマン曲線は数学的に高度な概念であり、複素解析幾何学や代数幾何学などの専門的な数学分野における概念であるため、学習には時間と努力が必要です。
リーマン曲線を学習するためには、まず複素数や複素平面などの基礎的な概念を理解する必要があります。その後、代数幾何学や複素解析幾何学の基礎的な知識を身につけることが望ましいです。これらの分野は、経済学部で必修科目として扱われることは稀であり、自己学習や別の学部や大学院での履修が必要となる場合があります。
しかし、経済学部の文系の人でも、リーマン曲線が経済学において重要な役割を果たしていることや、リーマン曲線を用いた代数幾何学的手法が経済学に応用されていることを理解することは可能です。また、経済学において重要な概念やモデルを理解するためには、数学的な知識を身につけることが役立つため、数学的な概念に対して理解を深めることは重要です。
おれ、chatGPT使えるようになって真っ先に望月新一のABC予想についての海外数学コミュニティでの受け止めについて聞いてみたんだけど、その時はまあまあちゃんとした内容（通り一遍ではあるが）が返ってきた。いま望月新一について尋ねてみたらこんなのが戻ってきた。
望月新一（もちづきしんいち）は、日本の漫画家であり、推理小説家でもあります。彼は、特に『名探偵コナン』の作者として知られています。
望月新一は、1965年6月4日に青森県青森市で生まれました。彼は若い頃から漫画や小説を書くことに情熱を持っており、高校生の頃から漫画家としてのキャリアをスタートさせました。
1994年に、望月新一は『名探偵コナン』を連載し始めました。この漫画は、高校生探偵の江戸川コナンが、毒を飲まされて小さくなってしまった身体を利用して、事件を解決するストーリーです。この作品は、世界中で大きな成功を収め、アニメ化や映画化など、さまざまなメディアで展開されました。
望月新一は、漫画だけでなく、小説でも才能を発揮しています。『名探偵コナン』の小説版をはじめ、数多くの推理小説を執筆しています。
また、望月新一は、漫画や小説以外にも、音楽にも興味を持っており、自ら作曲した楽曲を使用したアニメーション作品もあります。
いや数学者だろ、とツッコミを入れたら以下。もっともらしいがデタラメ多い、というか、望月拓郎とごた混ぜになっている。
望月新一（あきら・もちづき）は、日本の数学者であり、代数幾何学を専門としています。主に、モチヅキ理論やモチヅキ加群、モチヅキ因子などの研究で知られています。
代数幾何学は、代数学と幾何学の融合であり、代数方程式の幾何学的な対象である代数多様体を研究する数学の分野です。望月新一は、代数多様体の幾何学的性質を研究する際に、代数的手法を用いて新しい理論を発展させました。
具体的には、望月新一は、代数多様体上の「D加群」と呼ばれる特殊な加群を研究し、それを用いて、代数多様体の幾何学的性質を解明しました。また、望月新一は、代数多様体上の「モチヅキ因子」と呼ばれるものを定義し、これを用いて、代数多様体の双有理幾何学に関する新しい理論を構築しました。
はい、2022年3月3日にトルコで大地震が発生しました。この地震は、マグニチュードが7.4と非常に大きく、エーゲ海の沿岸部や首都アンカラなど広範囲に被害が及んでいます。この地震により、多数の死傷者や被災者が発生しており、現在も救助・復興活動が続いています。
はい、望月新一（もちづきしんいち）は日本の数学者であり、代数幾何学やモチーフ理論などの分野で業績を残した研究者です。代表的な業績としては、ミラー対称性予想の証明に向けた研究などが挙げられます。また、一般向けの著作や講演活動も積極的に行い、幅広い層からの支持を得ていました。望月新一氏は2018年に急逝されました。
死んでねーよ
https://anond.hatelabo.jp/20210728111035
上記のエントリでヒルベルトやガロアに並ぶ数学者について質問されたので例示するけど
その前に何故ヒルベルト・ガロアを挙げたかについても説明します。
まずヒルベルトは集合論に基づく20世紀前半の様々な数学理論の構築に重大な貢献をした人として挙げた。
その中でヒルベルトみたいな貢献をしている人としてジェイコブ・ルーリーという数学者がいる。
現在の代数理論の根本的な部分から新しい基礎を作り位相的場の理論や代数幾何学の理論の構築まで行ってるのは
次にガロアは方程式が解ける解けないという性質の裏に隠れた対称性を見事に発見した発想力の凄い人として挙げたけど
この隠れた対称性を見つけるという発想は現在の様々な数学理論に影響が及んでいる。
現在ガロアのような発想をした人としてエドワード・ウィッテンという数学者がいる。
彼は物理学者という意見も多いが数学者としても凄いのは間違いないと思う。
ウィッテンは様々な幾何的な不変量に対して物理的なモデルを考える事で別の求め方が出来る事を発見した。
こうして今まで重要と考えられてきた様々な幾何的な対象について物理的なモデルを用いて
今まで分かって無かった性質を見つけるという方法は現在の幾何において重要なやり方として大きく発展している。
この多大な影響を及ぼした発想をしたウィッテンはメチャクチャ凄い数学者だと思う。
以上現代の数学者でヒルベルトくらい凄い数学者の一人としてジェイコブ・ルーリーと
一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。
もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。
本稿を通して、kは代数閉体とする。
i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]
を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム
Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))
と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。
与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。
定義:
Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが
f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]
により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。
例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、
dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n
∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))
であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。
∴ dim(O_{E}(np)) = n
n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。
この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。
与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。
定理(Cartan-Serre-Grothendieck):
XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、
i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0
定理(Nakai-Moishezon):
Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、
D^dim(Y).Y＞0
kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は
E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...
と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。
このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、
・[Y] = [Q×Z] + [R]
・dim(R)＜dim(Z)
が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。
dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。
このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。
定理:
各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は
f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}
と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。
Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。
定理(Hilbert):
Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。
以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。
定理(Hilbert):
