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はてなキーワード: 多項式環とは
量子場理論は過去数十年にわたり幾何学に多大な影響を与えてきた。
その例として、ミラー対称性、グロモフ・ウィッテン不変量、マッケイ対応などがあり、これらはすべて位相的量子場理論(TQFT)に関連している。
チェコッティ、ヴァファらの先駆的な研究から派生した多くの興味深い発展は今や分散しているが、TQFTの幾何学そのものに関する基本的な疑問はまだ残されている。
このプロジェクトの大きな目的は、TQFTの幾何学の統一的で決定的な全体像を見出すことだった。
数学の4つの主要分野が取り上げられた:シンプレクティック幾何学と可積分系、特異点理論、圏論、モジュラー形式である。
プロジェクトの基本的な側面は以下の通りだった: 位相的量子場理論、共形場理論、特異点理論、可積分系の関連付け(ヴェントランド)、シンプレクティック場理論、位相的場理論、可積分系(ファベール)、行列模型理論と可積分系(アレクサンドロフ)、圏論 - 特に行列分解 - 位相的場理論の幾何学と特異点理論(ヘルプスト、シュクリャロフ)、そしてTQFTにおけるモジュラー形式の応用、特にグロモフ・ウィッテン不変量の文脈での応用(シャイデッガー)。
より詳細には以下である。
抽象数学を用いて、宇宙人レベルで難しい暗号の問題を作成します。
有限体 F₁₀₁（素数 q = 101）上の多項式環を考えます。具体的には、R = F₁₀₁[x]/(x² + 1) とします。ここで、x² + 1 は F₁₀₁ 上で既約なので、R は 101² 個の元を持つ有限体になります。
公開された要素 a ∈ R が与えられています。
エラー項 e ∈ R は小さな係数を持つ多項式で、ここでは計算を簡単にするため e = 0 とします。
次の式が成り立ちます：
b = a · s + e mod 101
公開情報として a と b が与えられているとき、秘密の要素 s を求めなさい。
b = a · s mod 101
となります。したがって、
s = b · a⁻¹ mod 101
ステップ1: a の逆元 a⁻¹ を求める
まず、a = x + 2 の逆元 a⁻¹ を計算します。これは次の等式を満たす u ∈ R を見つけることと同じです：
a · u ≡ 1 mod x² + 1
u を一般的な形 u = u₀ + u₁x（u₀, u₁ ∈ F₁₀₁）とします。
乗算を展開します：
a · u = (x + 2)(u₀ + u₁x)
= xu₀ + x²u₁ + 2u₀ + 2u₁x
x² を置き換えます： x² ≡ -1 mod x² + 1 なので、
x²u₁ ≡ -u₁
式を整理します：
a · u ≡ xu₀ - u₁ + 2u₀ + 2u₁x mod x² + 1
≡ (2u₁x + xu₀) + (2u₀ - u₁)
≡ x(u₀ + 2u₁) + (2u₀ - u₁)
等式を設定します：
u₀ + 2u₁ ≡ 0 mod 101 （x の係数が 0 であるため）
2u₀ - u₁ ≡ 1 mod 101 （定数項が 1 であるため）
u₀ ≡ -2u₁ mod 101
2(-2u₁) - u₁ ≡ 1 mod 101
-5u₁ ≡ 1 mod 101
3. 両辺に -1 を掛けます：
5u₁ ≡ -1 mod 101
4. 5 の逆元を F₁₀₁ で求めます。つまり、5 · 81 ≡ 1 mod 101 なので、5⁻¹ ≡ 81 mod 101。
5. したがって、
u₁ ≡ -81 mod 101
u₁ ≡ 20 mod 101 （なぜなら -81 + 101 × 1 = 20）
6. u₀ を求めます：
u₀ ≡ -2u₁ mod 101
u₀ ≡ -40 mod 101
u₀ ≡ 61 mod 101 （なぜなら -40 + 101 = 61）
したがって、a⁻¹ は：
a⁻¹ = u = u₀ + u₁x = 61 + 20x
ステップ2: s = b · a⁻¹ mod 101 を計算する
b = 45 + 67x と a⁻¹ = 61 + 20x なので、
s = b · a⁻¹ = (45 + 67x)(61 + 20x) mod x² + 1, 係数は mod 101
乗算を展開します：
s = (45)(61) + (45)(20x) + (67x)(61) + (67x)(20x)
= 2745 + 900x + 4087x + 1340x²
1340x² ≡ -1340
項をまとめます：
2745 - 1340 = 1405
900x + 4087x = 4987x
1405 ÷ 101 = 13 余り 92
4987 ÷ 101 = 49 余り 38
∴ 4987 mod 101 = 38
したがって、秘密の要素 s は：
s = 92 + 38x
