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はてなキーワード: トポロジーとは
Chern-Simons理論は、特に3次元のトポロジカル量子場理論（TQFT）における中心的な役割を果たす理論でござって、その定式化は主に接続（connection）と曲率（curvature）という微分幾何学の概念に基づいておるのでござる。この理論は、特にゲージ理論とトポロジーの交差点で深い意味を持ち、リー群上の接続のトポロジー的性質を探るものでござる。以下では、厳密な数学的枠組みのもとで、Chern-Simons理論を詳細に説明いたすでござる。
Chern-Simons理論は、主束上で定義される接続から構築されるのでござる。ここで、P(E) を G 群の主束とし、G をリー群、𝔤 をそのリー代数といたすでござる。主束は次のように定義されるのでござる：
P(E) → M,
ここで M は3次元の多様体で、E はファイバー空間を表すのでござる。接続 A ∈ Ω¹(M, 𝔤) はこの主束上の1-形式でござって、各点でリー代数 𝔤 の値を取るのでござる。
接続 A は、接続を持つファイバー上の接続のトランスポートを表現し、リー群の基準を用いて測地線のようにデータを運ぶのでござる。接続 A によって定義される曲率は、外微分 dA と二次の項 A ∧ A を含む、次の形で表現されるのでござる：
F_A = dA + A ∧ A.
ここで、F_A は接続 A の曲率2-形式でござって、ゲージ群 G の接続が示す物理的な局所的な場を表すのでござる。
Chern-Simons形式は、主に接続の曲率を用いて定義されるのでござる。3次元多様体 M 上でのChern-Simons形式 CS(A) は、接続 A の曲率 F_A に基づいて次のように表されるのでござる：
CS(A) = ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A),
ここで、Tr はリー代数 𝔤 のトレースを取る演算子でござって、各項は外積（wedge product）によって形成されるのでござる。具体的には、A ∧ dA は接続 A とその外微分 dA の外積を、A ∧ A ∧ A は接続の3重積を意味するのでござる。
Chern-Simons形式は、ゲージ変換に対して不変であることが重要な特徴でござる。ゲージ変換は、接続 A に対して次のように作用するのでござる：
A → g⁻¹Ag + g⁻¹dg,
ここで g ∈ G はゲージ群の元でござる。この変換によって、Chern-Simons形式がどのように振る舞うかを調べると、次のように変換することがわかるのでござる：
CS(A) → CS(A) + ∫_M Tr(g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg).
これは、Chern-Simons形式がゲージ変換の下でトポロジカル不変量として振る舞うことを示しておるのでござる。すなわち、Chern-Simons形式の値は、ゲージ変換による局所的な変更には依存せず、主に多様体のトポロジーに依存することが分かるのでござる。
Chern-Simons理論の量子化は、パスインテグラルを用いた量子場理論の枠組みで行われるのでござる。具体的には、Chern-Simons作用を用いた量子化は次のように記述されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この積分は、接続 A に関するパスインテグラルでござって、Chern-Simons理論における量子場理論の構築に用いられるのでござる。ここで 𝒟A は接続 A の変分に関する積分を示すのでござる。
Chern-Simons形式は、特に3次元多様体に対するトポロジカル不変量としての性質が重要でござる。3次元多様体 M に対して、Chern-Simons不変量は以下のように定義され、計算されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この不変量は、3次元の量子ホール効果やトポロジカル絶縁体などの物理的現象を記述するのに重要でござる。具体的には、Chern-Simons形式によって、3次元多様体のトポロジーを示す不変量が得られ、量子化されたゲージ理論における位相的な特性を理解するために利用されるのでござる。
(Ω, ℱ, (ℱ_t)_t≥0, ℙ) を完備確率空間とし、ℋ = L²(Ω, ℱ, ℙ) をヒルベルト空間とする。
状態変数を無限次元ヒルベルト空間 𝒳 の要素 x_t ∈ 𝒳 とする。
dx_t = A(x_t)dt + B(x_t)dW_t
ここで、A: 𝒳 → 𝒳 は非線形作用素、B: 𝒳 → ℒ₂(𝒰, 𝒳) はヒルベルト空間値作用素、W_t は 𝒰-値のシリンドリカルウィーナー過程である。
代表的主体の価値汎関数 V: 𝒳 → ℝ を以下のように定義する：
V(x) = sup_α∈𝒜 𝔼[∫₀^∞ e⁻ᵖᵗ ⟨U(c_t, l_t), μ⟩ dt | x₀ = x]
ここで、𝒜 は許容制御の集合、ρ > 0 は割引率、U: 𝒳 × 𝒳 → 𝒳 は効用作用素、μ は 𝒳 上の測度、⟨·, ·⟩ は内積を表す。
最適性の必要条件として、以下の無限次元 HJB 方程式が成立する：
ρV(x) = sup_{c,l} {⟨U(c,l), μ⟩ + ⟨A(x), DV(x)⟩ + ½tr(B(x)B*(x)D²V(x))}
ここで、DV と D²V はそれぞれ V のフレシェ微分と二階フレシェ微分、B* は B の共役作用素である。
ρV(x) = sup_{c,l} {⟨U(c,l), μ⟩ + ⟨A(x), DV(x)⟩ + ½tr(B(x)B*(x)D²V(x))}
Y(x) = F(K(x), L(x))
C(x) + I(x) = Y(x)
DU_c(C(x), L(x)) = DV(x)
DU_l(C(x), L(x)) = DV(x)F_L(K(x), L(x))
ここで、F, K, L, C, I はすべて 𝒳 上の非線形作用素である。
N(dt, dm) = ∑_i δ_{(T_i, M_i)}(dt, dm)
ここで、(T_i, M_i) は価格改定のタイミングと大きさを表す二重確率点列、δ はディラックのデルタ測度である。
dπ_t = (𝒜π_t + 𝒦y_t)dt + 𝒮dW_t^π
ここで、𝒜 は線形作用素、𝒦 は非線形作用素、𝒮 はヒルベルト空間値作用素、W_t^π は 𝒳-値のシリンドリカルウィーナー過程である。
di_t = Θ(ī - i_t)dt + Φ_π dπ_t + Φ_y dy_t + Σ dW_t^i
ここで、Θ, Φ_π, Φ_y, Σ はすべてヒルベルト空間上の線形作用素である。
ケインズ派モデルの一般均衡は、以下の確率偏微分方程式系の解として特徴付けられる：
dx_t = 𝒜(x_t, π_t, i_t)dt + ℬ(x_t, π_t, i_t)dW_t
dπ_t = (𝒜π_t + 𝒦y_t)dt + 𝒮dW_t^π
di_t = Θ(ī - i_t)dt + Φ_π dπ_t + Φ_y dy_t + Σ dW_t^i
N(dt, dm) = ∑_i δ_{(T_i, M_i)}(dt, dm)
y_t = 𝒴(x_t) - 𝒴*
𝔼[dV(x_t, π_t, i_t)] = ρV(x_t, π_t, i_t)dt - ⟨U(C(x_t), L(x_t)), μ⟩dt
1. 状態空間: 新古典派モデルでは実物変数のみで状態を記述するが、ケインズ派モデルでは名目変数（インフレ率、名目金利）も含む無限次元空間を考慮する。
2. 確率過程: 新古典派モデルは主に無限次元拡散過程を用いるが、ケインズ派モデルではマーク付きポアソン点過程も導入し、不連続な価格調整を表現する。
3. 均衡の特徴づけ: 新古典派モデルでは無限次元HJB方程式を用いるが、ケインズ派モデルでは確率偏微分方程式系を用いる。
4. 作用素の性質: 新古典派モデルでは主に非線形作用素を扱うが、ケインズ派モデルでは線形作用素と非線形作用素の組み合わせを扱う。
5. トポロジー: 新古典派モデルは主にヒルベルト空間のトポロジーを用いるが、ケインズ派モデルではより一般的なバナッハ空間やフレシェ空間のトポロジーを考慮する必要がある。
計算機科学は、情報の理論的基盤から実用的な応用まで、広範な領域をカバーする学問です。以下に、計算機科学の主要な分野と、特にネットワークに関連するトピックを体系的にまとめます。
プログラミングパラダイム: 手続き型、オブジェクト指向、関数型、論理型など。
プロセス管理: CPUのスケジューリングとマルチタスキング。
機械学習アルゴリズム: 教師あり学習、教師なし学習、強化学習。
深層学習: ニューラルネットワークによる高度なパターン認識。
ネットワークは、情報の共有と通信を可能にする計算機科学の核心的な分野です。
OSI参照モデル: ネットワーク通信を7つのレイヤーに分割し、それぞれの機能を定義。
プレゼンテーション層: データ形式の変換。
アプリケーション層: ユーザーアプリケーションが使用するプロトコル。
TCP/IPモデル: 現実のインターネットで使用される4層モデル。
リング型: 各ノードが一方向または双方向に隣接ノードと接続。
IP（Internet Protocol）: データのパケット化とアドレッシング。
TCP（Transmission Control Protocol）: 信頼性のある通信を提供。
UDP（User Datagram Protocol）: 信頼性よりも速度を重視した通信。
ルーター: 異なるネットワーク間のパケット転送とルーティング。
IDS/IPS（侵入検知/防止システム）: ネットワーク攻撃の検出と防御。
VPN（仮想プライベートネットワーク）: 安全なリモートアクセスを提供。
SDN（Software-Defined Networking）: ネットワークの柔軟な管理と制御。
IoTプロトコル: MQTT、CoAPなどの軽量プロトコル。
SNMP（Simple Network Management Protocol）: ネットワークデバイスの管理。
ネットワークトラフィック分析: パフォーマンスとセキュリティの最適化。
ネットワークオーケストレーション: 自動化された設定と管理。
AIによるトラフィック最適化: パフォーマンスの向上と障害予測。
マイクロセグメンテーション: ネットワーク内部の細かなアクセス制御。
『コンピュータネットワーク』 アンドリュー・S・タネンバウム著
『ネットワークはなぜつながるのか』 戸根勤著
Coursera: 「コンピュータネットワーク」、「ネットワークセキュリティ」コース
edX: 「Computer Networking」、「Cybersecurity Fundamentals」
IETF（Internet Engineering Task Force）: ietf.org
IEEE Communications Society: comsoc.org
W3C（World Wide Web Consortium）: w3.org
目標：与えられた高度な数学的概念（高次トポス理論、(∞,1)-カテゴリー、L∞-代数など）をフルに活用して、三平方の定理程度の簡単な定理を証明します。
定理：1次元トーラス上の閉曲線のホモトピー類は整数と一対一に対応する
背景：
高次トポス理論：ホモトピー論を高次元で一般化し、空間や位相的構造を抽象的に扱うための枠組み。
(∞,1)-カテゴリー：対象と射だけでなく、高次の同値（ホモトピー）を持つカテゴリー。
L∞-代数：リー代数の高次元一般化であり、物理学や微分幾何学で対称性や保存量を記述する。
証明：
トーラス
𝑇
1
T
1
は、円周
𝑆
1
S
1
[
,
1
]
[0,1] の両端を同一視して得られる。
𝑇
1
T
1
を高次トポス理論の枠組みで扱うために、位相空間のホモトピータイプとして考える。
これは、1つの0次元セルと1つの1次元セルを持つCW複体としてモデル化できる。
閉曲線のホモトピー類：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線は、連続写像
𝛾
:
𝑆
1
→
𝑇
1
γ:S
1
→T
1
で表される。
2つの閉曲線
𝛾
1
,
𝛾
2
γ
1
,γ
2
がホモトピックであるとは、ある連続変形（ホモトピー）によって互いに移り合うことを意味する。
基本群の計算：
トーラス
𝑇
1
T
1
の基本群
𝜋
1
(
𝑇
1
)
π
1
(T
1
𝑍
Z と同型である。
これは、高次トポス理論においても同様であり、(∞,1)-カテゴリーにおける自己同型射として解釈できる。
各閉曲線
𝛾
𝑛
この対応は、ホモトピータイプ理論（HoTT）の基礎に基づいて厳密に定式化できる。
円周
𝑆
1
S
1
のループ空間のL∞-代数構造を考えると、ホモトピー類の加法的性質を代数的に記述できる。
つまり、2つの曲線の合成に対応するホモトピー類は、それらの巻数の和に対応する。
結論：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線のホモトピー類が整数と一対一に対応することを証明した。
解説：
この証明では、与えられた高度な数学的概念を用いて、基本的なトポロジーの結果を導き出しました。具体的には、トーラス上の閉曲線の分類というシンプルな問題を、高次トポス理論とL∞-代数を使って厳密に定式化し、証明しました。
高次トポス理論は、空間のホモトピー的性質を扱うのに適しており、基本群の概念を一般化できます。
(∞,1)-カテゴリーの言葉で基本群を考えると、対象の自己同型射のホモトピー類として理解できます。
L∞-代数を使うことで、ホモトピー類の代数的構造を詳細に記述できます。
まとめ：
このように、高度な数学的枠組みを用いて、基本的な定理を新たな視点から証明することができます。これにより、既存の数学的知見を深めるだけでなく、新たな一般化や応用の可能性も見えてきます。
超弦理論の時間依存背景とド・ジッター空間における量子論のモデルについて述べる。
基本的な設定として、(M, g)なる時空を考慮する。ここでMは(d+1)次元多様体、gはその上の計量である。dは超弦理論では9、標準的なド・ジッター空間では3となる。
統一的モデルの作用積分は S = Sstring + SdS + Sint と定義される。Sstringは超弦理論の作用、SdSはド・ジッター空間の作用、Sintは相互作用項を表す。
超弦理論部分はPolyakov作用を基にし、以下のように表される:
Sstring = -1/(4πα') ∫ d²σ √(-h) hᵃᵇ ∂ₐXᵘ ∂ᵇXᵛ Gμν(X) + フェルミオン項
ここでα'は弦の張力、hₐᵇはワールドシート計量、Xᵘは標的空間座標、Gμνは標的空間計量である。
SdS = 1/(16πG) ∫ d^(d+1)x √(-g) (R - 2Λ)
ここでGはニュートン定数、Rはリッチスカラー、Λは正の宇宙定数である。
相互作用項は Sint = ∫ d^(d+1)x √(-g) Lint(Xᵘ, φ) と定義される。φはド・ジッター空間上の場、Lintは相互作用ラグランジアンである。
系の量子化は経路積分形式で Z = ∫ DXDGDΦ exp(iS[X,g,φ]) と表される。
Seff = 1/(16πGeff) ∫ d⁴x √(-g) (R - 2Λeff) + 高次項
ここでGeffとΛeffは量子補正を含む有効的なニュートン定数と宇宙定数である。
AdS/CFT対応の拡張として、Zstring[J] = ZCFT[J] なる関係を仮定する。
ド・ジッター空間の状態方程式 p = wρ, w = -1 を考慮する。pは圧力、ρはエネルギー密度、wは状態方程式パラメータである。
非摂動的効果を含めるため、Z = Zpert + Σn Cn exp(-Sinst,n) なるインスタントン寄与を考慮する。
時空のトポロジー変化を記述するため、コボルディズム理論を用い、∂M = Σ1 ∪ (-Σ2) なる関係を考える。
量子ゆらぎを考慮するため、gμν = g⁽⁰⁾μν + hμν なる計量の揺らぎを導入する。
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
「まぁ、ピタゴラスの定理なんて、あれはもう初歩の話よね。確かに、a² + b² = c² は中学生レベルでも理解できるけれど、そこに潜む深い代数的構造や、ユークリッド幾何学との関連性を本当に理解しているのかしら？あの定理の背後には、単なる平面上の直角三角形の話じゃなくて、リーマン幾何学や複素数平面を通じたさらに高度な次元の世界が見えてくるのよ。それに、ピタゴラスの定理を特別な場合とする円錐曲線や、楕円関数論まで考え始めると、幾何学の美しさっていうものがもっと深く見えてくるわけ。」
「それと、黄金比ね。もちろん、あのφ（ファイ）がどれだけ重要か、理解してる？単に無理数というだけじゃなく、数論的にも代数的にも特異な数なのよ。フィボナッチ数列との関係も美しいけど、そもそもあの比が自然界で頻繁に現れるのは、単なる偶然じゃないわ。代数的無理数としての特性と、対数螺旋やアファイン変換を通じた変換不変性が絡んでいるのよね。そういった数学的背景を理解せずに、ただ黄金比が「美しい」ってだけで済ませるのはちょっと浅はかだと思うわ。」
「あと、パルテノン神殿の話だけど、そもそも古代の建築家たちが黄金比だけでなく、より複雑なフラクタル幾何学や対称群に基づいた設計をしていたってことは、あまり知られてないのよね。建築の対称性は、単なる視覚的な美しさじゃなくて、群論や代数的トポロジーに深く結びついているわ。あなたが好きな絵画も、ただの黄金比じゃなく、もっと深い数学的な構造に従っているのよ。わかるかしら？」
溜まるよね？
自分には持病があって毎日飲まなきゃいけないお薬が何種類もあるんだけど、薬局がそれぞれの薬を輪ゴムで束ねて出してくれる。
うちの薬箱の中は、薬を束ねていた輪ゴムですぐにいっぱいになってしまう。
いただいた輪ゴムだから私的流用するのも申し訳ないと思って最初のうちは使わずにとっておくようにしてたんだけど、すぐに６畳の和室が輪ゴムで一杯になってしまった。これじゃ和室じゃなくて輪室だ。
なので溜まった輪ゴムは処分していくことにしたんだけど、そのままゴミに出すのはちょっとよろしくない。
なぜなら、うちから出るゴミは公安が毎日全部チェックしているのだ。
彼らは私が気づいていることにまだ気づいていないだろうが、私が気づいていることに彼らが気づいていないことを私は気づいているのだ。ともかく、この輪ゴムをそのままゴミに出すと公安に要らぬ疑念を抱かせてしまいかねない。
ちなみに我が家の自治体の分別ルールでは、輪ゴムは「燃やせそうで燃やせない、少し燃やせるゴミ」に分類されている。
ともあれ、公安の目をかいくぐりながら輪ゴムを処分する方法を考えなくてはいけないが、私はリカちゃん人形のアクセサリーの材料として売りさばくことを思いついた。
ネックレスやブレスレット、ベルトなどの軸紐として輪ゴムを使うのだ。ビーズなどの飾りを輪ゴムに通してオシャレなアクセサリーに仕立てる。
輪ゴムとビーズはいずれもトポロジー的にはトーラス（円環）であるので、輪ゴムにビーズを通すのは物理学上は長い間不可能だと思われてきたが、実は輪ゴムに通す時に一度空間を反転させることでこれを可能にできる。ご家庭の台所でも簡単にできるので一度ためしてみてほしい。
こうして作ったアクセサリーは一部で高い人気を呼び、売れに売れた。
予想外の臨時収入に口座を監視していた公安も首をひねっただろうが、おかげで私は８畳の和室をもうひとつ増築することができたのである。
非可換幾何学は、空間の幾何学的性質を非可換代数を通じて記述する理論である。ここでは、空間を古典的な点集合としてではなく、代数的な対象として扱う。
∥ab∥ ≤ ∥a∥ ∙ ∥b∥, ∥a*a∥ = ∥a∥²
ここで、∥·∥ はノルムを表す。この代数のスペクトル理論を通じて、空間の幾何学的性質を解析する。
量子群は、リー群の代数的構造を量子化したもので、非可換幾何学や統計力学において重要な役割を果たす。
(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ, (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ
トポロジカル量子場理論は、トポロジーと量子物理を結びつける理論であり、コボルディズムの圏における関手として定義される。
量子コホモロジーは、シンプレクティック多様体のコホモロジー環を量子化したもので、フロアホモロジーを用いて定義される。
a *_q b = a ∪ b + Σ_{d>0} q^d ⟨a, b, γ⟩_d
円筒の片方の端をひっくり返して反対側に接続することで構成される。
クラインの壺のホモロジー群とコホモロジー群は、その代数的特性を理解するための手段である。
クラインの壺のホモロジー群の計算には、マイヤー・ヴィートリス完全系列が使用されることがある。
量子論の幾何学的側面は、数学的な抽象化を通じて物理現象を記述する試みである。
物理的には、SO(3)は角運動量の保存則や回転対称性に関連している。
SU(2)は、2×2の複素行列で行列式が1である特殊ユニタリ群である。
SU(2)はSO(3)の二重被覆群であり、スピン1/2の系における基本的な対称性を記述する。
SU(2)のリー代数は、パウリ行列を基底とする3次元の実ベクトル空間である。
この群は、SU(2)×SU(2)として表現され、四次元の回転が二つの独立したSU(2)の作用として記述できることを示している。
これは、特にヤン・ミルズ理論や一般相対性理論において重要な役割を果たす。
ファイバー束は、基底空間とファイバー空間の組み合わせで構成され、局所的に直積空間として表現される。
ファイバー束の構造は、場の理論におけるゲージ対称性を記述するために用いられる。
ゲージ理論は、ファイバー束の対称性を利用して物理的な場の不変性を保証する。
例えば、電磁場はU(1)ゲージ群で記述され、弱い相互作用はSU(2)ゲージ群、強い相互作用はSU(3)ゲージ群で記述される。
具体的には、SU(2)ゲージ理論では、ファイバー束のファイバーがSU(2)群であり、ゲージ場はSU(2)のリー代数に値を持つ接続形式として表現される。
幾何学的量子化は、シンプレクティック多様体を量子力学的なヒルベルト空間に関連付ける方法である。
これは、古典的な位相空間上の物理量を量子化するための枠組みを提供する。
例えば、調和振動子の位相空間を量子化する際には、シンプレクティック形式を用いてヒルベルト空間を構成し、古典的な物理量を量子演算子として具体的に表現する。
コホモロジーは、場の理論におけるトポロジー的性質を記述する。
特に、トポロジカルな場の理論では、コホモロジー群を用いて物理的な不変量を特徴づける。
例えば、チャーン・サイモンズ理論は、3次元多様体上のゲージ場のコホモロジー類を用いて記述される。
チャーン・サイモンズ理論は、3次元多様体上のゲージ場を用いて構成され、そのトポロジカル不変量を計算する。
今日はな、記憶っちゅうもんについて考えてみたんやけど、ほんま大した話やで、ほんまに。
まずな、エントロピーっちゅうのは、情報幾何学っちゅう視点で見ると、確率分布の集合における距離の概念と関連があるんやわ。
ほんで、確率分布間の距離を測るのに使われるんが、情報利得っちゅうやつやねん。
これ使うとやな、ある状態から別の状態への情報の「距離」っちゅうもんを測れるんやで。
ほんで、記憶の形成っちゅうのは、脳内の神経ネットワークでのトポロジカルな変化として捉えられるんや。
トポロジーではな、空間の連結性やら穴の数を考えることで、系の安定性を評価できるっちゅうわけや。
記憶が安定してる状態は、トポロジカルに「閉じた」状態としてモデル化できるんやで。
脳の構造はな、微分幾何学っちゅうのを使って、曲率や接続性を考えることで、情報の流れを表せるんやわ。
リーマン多様体の概念を使うとやな、脳内の情報の流れを曲面上の最短経路（測地線）として表現できるんやで。
これで、情報がどないに効率的に伝達されるかを理解できるっちゅう話や。
ほんで、脳が情報を処理する過程は、作用素代数っちゅうのを使えばええんちゃうかな。
ヒルベルト空間上の作用素を考えることで、情報の操作や変換がどないに行われるかを数学的に記述できるんや。
そんで、記憶の形成や情報の統合がどないに行われるかを理解できるって話やで。
要するにやな、記憶を作るっちゅうのは、エネルギーを効率的に使うて、エントロピーを下げて脳内の秩序を保つプロセスやっちゅうことや。
これを意識して、毎日楽しいことを覚えておくと、心の中のエントロピーが下がって、より豊かな人生が送れるんちゃうかな。
今日はこの辺にしとくけど、明日もエネルギー使うて、楽しい思い出をいっぱい作るで！
ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice) の哲学は、数学基礎論における中心的な位置を占め、その含意は数理論理学、モデル理論、証明論にまで及ぶ。
ZFCの存在論的基盤は、von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) 集合論との比較において明確になる。NBGがクラスの概念を導入するのに対し、ZFCは純粋に集合のみを扱う。この違いは、大規模基数の存在に関する議論において重要な意味を持つ。例えば、到達不能基数の存在は、ZFCでは公理として追加する必要があるが、NBGではより自然に扱える。
ZFCの哲学的重要性は、その一階述語論理に基づく形式化にある。これにより、完全性定理が適用可能となり、モデル理論的手法を用いた相対的無矛盾性証明が可能になる。特に、ゲーデルのL構造（構成可能全体）とコーエンの強制法は、ZFCの独立性結果を示す上で本質的な役割を果たす。
ZFCの公理系、特に置換図式の導入は、フレーゲの論理主義の崩壊後の数学基礎論の再構築において重要な役割を果たした。置換図式は、ラッセルのパラドックスを回避しつつ、十分な数学的対象の存在を保証する。
選択公理 (AC) の哲学的含意は特に深い。ACは、トポロジー的ベクトル空間におけるハーン・バナッハの定理や、測度論におけるバナッハ・タルスキのパラドックスなど、数学の広範な領域に影響を及ぼす。ACの非構成的性質は、直観主義数学や構成的数学との緊張関係を生む。
ZFCの哲学は、大規模基数公理の研究と密接に関連する。イナクセシブル基数、マーロ基数、超コンパクト基数などの大規模基数の存在は、ZFCの無矛盾性を強化し、数学的宇宙の階層構造を示唆する。これらの基数の存在は、プラトニズム的な数学観を支持するように見えるが、形式主義的解釈も可能である。
ゲーデルの不完全性定理のZFCへの適用は、数学的真理の本質に関する深遠な問いを提起する。特に、第二不完全性定理は、ZFCがその自身の無矛盾性を証明できないことを示し、ヒルベルトプログラムの限界を明らかにした。
ZFCの哲学的含意は、数学的構造主義との関連でも重要である。ブルバキ学派の構造主義的アプローチは、ZFCを基盤として数学的構造を定義し、分析する。一方、カテゴリー論的基礎づけは、ZFCに代わる代替的なアプローチを提供し、トポスの概念を通じて数学的宇宙の多様性を示唆する。
内部モデルの理論、特にゲーデルのL構造の研究は、ZFCの哲学に新たな視点をもたらす。V=L（すべての集合が構成可能である）という仮定は、連続体仮説や一般化連続体仮説を肯定するが、同時に多くの大規模基数の存在を否定する。これは、数学的宇宙の「薄さ」と「厚さ」の間の哲学的緊張を生む。
結論として、ZFCの哲学は、数学的存在論、認識論、真理論の交差点に位置し、現代数学の基礎に関する最も深遠な問題を提起する。その影響は、数学哲学にとどまらず、論理学、計算理論、量子力学の基礎にまで及ぶ。ZFCの哲学的探究は、数学的知識の本質と限界に関する我々の理解を深化させ、数学と哲学の境界を絶えず再定義しているのである。
といった式について、素粒子では後者が支配し、天体では前者が支配する。
近距離における強い力のために、電子は原子核に螺旋状に落ち込むが、明らかに事実と違う。
というハイゼンベルグの関係式に従う。このため、r=0となることはなくなり、問題は回避される。
多様体上の楕円型作用素の理論全体が、この物理理論に対する数学的対応物で、群の表現論も近い関係にある。
しかし特殊相対性理論を考慮に入れるとさらに難しくなる。ハイゼンベルグの公式と同様の不確定性関係が場に対して適用される必要がある。
電磁場の場合には、光子というように、新しい種類の粒子として観測される。
電子のような粒子もどうように場の量子であると再解釈されなければならない。電磁波も、量子を生成消滅できる。
数学的には、場の量子論は無限次元空間上の積分やその上の楕円型作用素と関係する。
量子力学は1/r^2に対する問題の解消のために考え出されたが、特殊相対性理論を組み込むと、この問題を自動解決するわけではないことがわかった。
といった発展をしてきたが、場の量子論と幾何学の間の関係性が認められるようになった。
では重力を考慮するとどうなるのか。一見すれば1/r^2の別な例を重力が提供しているように見える。
しかし、例えばマクスウェルの方程式は線型方程式だが、重力場に対するアインシュタインの方程式は非線形である。
また不確定性関係は重力における1/r^2を扱うには十分ではない。
物理学者は、点粒子を「弦」に置き換えることにより、量子重力の問題が克服できるのではないかと試した。
量子論の効果はプランク定数に比例するが、弦理論の効果は、弦の大きさを定めるα'という定数に比例する。
もし弦理論が正しいなら、α'という定数は、プランク定数と同じぐらい基本的定数ということになる。
ħやα'に関する変形は幾何学における新しいアイデアに関係する。ħに関する変形はよく知られているが、α'に関する変形はまだ未発展である。
これらの理論は、それぞれが重力を予言し、非可換ゲージ対称性を持ち、超対称性を持つとされる。
α'に関する変形に関連する新しい幾何学があるが、理解のために2次元の共形場理論を使うことができる。
ひとつは、ミラー対称性である。α'がゼロでない場合に同値となるような2つの時空の間の関係を表す。
まずt→∞という極限では、幾何学における古典的アイデアが良い近似となり、Xという時空が観測される。
t→-∞という極限でも同様に時空Yが観測される。
そして大きな正の値であるtと大きな負の値であるtのどこかで、古典幾何学が良い近似とはならない領域を通って補間が行われている。
α'とħが両方0でないときに起こり得ることがなんなのかについては、5つの弦理論が一つの理論の異なる極限である、と説明ができるかもしれないというのがM理論である。
「啓蒙思想」とは18世紀ヨーロッパで生まれた思想で、従来の封建主義・宗教的権威主義に悟性(理性)で対抗しようとする考えだ。
その思想を取り入れた統治者を「啓蒙専制君主」と呼ぶ。その初期の代表者がプロイセン王フリードリヒ2世だ。
そして、頂き女子りりちゃんとプロイセン王フリードリヒ2世の思想は同じトポロジーを持つ。
第一に、フリードリヒ2世は、「人民の支配のためなら何をしてもいい」というマキャベリ主義を批判し、悟性の使用による支配を肯定した。
りりちゃんは、「おぢの搾取のためなら何をしてもいい」というパパ活主義を批判し、信頼関係の構築による頂きを肯定した。
第二に、フリードリヒ2世の支配は、「君主の方がより悟性が高く、人民は幸せになれる」という理由で肯定された。
りりちゃんの頂きは、「頂き女子の方ががより意味のあるお金の使い方をでき、おぢは幸福になれる」という理由で肯定された。
第三に、フリードリヒ2世は、「良い国家は家族のようである」と述べ、「君主と人民の幸福は共通である」と主張した。
りりちゃんは、「お金を渡したことを後悔させないように力いっぱいの信頼関係構築コミットをしてあげて幸せを与えてあげてwin-winになるようにしましょう」と述べ、「頂き女子とおぢの幸福は共通である」と主張した。
啓蒙専制君主としてのフリードリヒ2世のふるまいは近代への過渡期として重要であったが、「より悟性が高い君主の支配によって、人民は幸せになれる」という考えに基づき、人種差別や植民市主義が横行した。
数学における自然数みたいなものの定義、が形成する概念を、たとえば数式の3という表記が指示する概念が、我々が日常見てる、３個のりんごやひもとその３倍のひもが並べられてる光景や、時計の長針と短針が三目盛り分ずれてるみたいなのから得られる共通の世間一般に3とよばれる性質と同じだと思うのは、すでに「解釈」なんだよな。
数学において3、「0の次の次の次の数」と自然言語では説明されるような概念はただの操作対象である記号列でしかない。
その記号列にどんな意味を持たせるかは、「物理現象の中に見いだされる3という性質」以外にもあるかもしれないし、ないかもしれない。
「直線と呼ばれるものの定義」についても、幾何的なイメージで解釈するのも、イデアル？だかで解釈するのも勝手。日常生活の個数や順番などとして見出される3の性質も、それと同程度に解釈でしかない。
トポロジーなんかが典型的だと思う。あれが示す証明が、幾何的なイメージとしての立法を内包する何かに対する性質を示してると考えるのは解釈でしかない。
そうすると自然言語で認識してる3や△というのは、たとえそのもっとも理想的なものを持ち出しても、数学の定義にとっては一段レイヤーの低いイデアということになるかもしれない。
数学の定義に対して、複数の3や三角形というイデアが解釈として結びつくなら、数学の定義はメタイデアか。
その前は、定義もまたイデアとするなら、３や三角形は物理的イデア、と物理的を冠して存在する領域を区別すればいいのかなとか思った。
パルワールドが3Dモデルをそのまま抽出しているという海外からの指摘
https://togetter.com/li/2300322
ポケモンとパルワールドのモデルを重ねると一致する部分があるので、パルワールドがポケモンの3Dモデルを流用しているに違いないというデマがばらまかれている。似たモチーフのモデルを拡大縮小して重ねたらある程度線が重なってしまうのは当然なんだよな。やってることがトレパク検証（）と同じ。専門家からはトポロジーが一致していないから流用はデマと指摘されているが、盲目的な任天堂信者のオタクくんたちには聞こえないみたいだね。
ちなみに絵師（笑）オタクくんたちが大好きなトレパク検証によるデマのバラマキは損害賠償が認められるケースがあり、今回のもアウトなんじゃないかな。馬鹿なオタクは学習しないね。
https://togetter.com/li/2253173
あとデータぶっこ抜くこと自体が法に触れる国もあるから、そちらの訴訟リスクもあるね。パルワールドアンチのオタクは訴訟リスクもいとわずパルワールドのデマバラマキに勤しんで見上げた忠誠心だね。
回答ありがとうございます。確認なのですが、「『C』を前提知識としているような本、に書かれている内容」の理解を前提した本をDと呼んでいるという理解で合っていますか？
Cまでの知識を前提としている、と、Cまでの知識を前提とした本に書かれた知識を前提としている、では全くレベルが違ってくると思うので。
結局理系は学者として極まると本ではなく論文を読むのが日常になってくるようですね。そしてそういう雑誌はいわゆる本、分厚い重厚そうな単行本という見た目はしてないんだと思います。
知識人だという人が「私は読書家で本をたくさん読んでいる」といったらむしろアカデミックな世界の人間としてはもぐりというか、中途半端ってことなんでしょうね。だって最先端の発見をし続けるためには「本」を読んでいる暇なんてないでしょうから（笑）
ちなみにこの質問はこの↓本のレビューを見て生まれたものです。
それと
葉層のトポロジー
これら二冊はそれぞれ
