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はてなキーワード: 無理数とは

2021-11-21

なんで女は平方根しないの?

 そういうルート無理数なの?

2021-08-11

円周率無限に続くことと、正確な円を描けないことは何の関係も無い

チコちゃんに叱られる

円周率無限に続くのは、正確な円を描けないから」

と言ってたが、これは間違っている。

これは重箱の隅をつつくような話ではない。

NHKで嘘を放送するのはやめよう。

円周率無限に続くのは無理数からである

正確な円が作図できるかどうかとか、測定が有限回の操作で終わるかどうかとは何の関係も無い。

これは重箱の隅をつつくような話ではない。

番組の解答は「厳密ではないが非専門家向けにわかやす説明している」とかではなく、単純に間違っているのである

「100かける100が10000になるのはなぜ?」という質問に「掛け算は足し算より大きいから」とか言ってるのと同じくらい的が外れている。

そもそも

  • 正確な図が描けない ⇒ 長さが無理数
  • 測定が有限回の操作で終わらない ⇒ 長さが無理数

という議論はどちらも間違っている。

たとえば、長さ1の線分の半分の長さは当然0.5であるが、線の太さとかインクの滲みなどまで考慮したら現実世界で正確な等分点を作図することは不可能である

また、半径aの円周上に点Pを取り円を1周転がしたときのPの軌跡をサイクロイドと呼ぶ。a = 1のときサイクロイドの長さは8であるしかし、サイクロイドの長さを有限回の操作で測ることはできない。

2021-07-01

anond:20210701171348

数学では特に真を通じて美に至ることが要求されている。

それは必然ではなくて偶然の要素が大きいでしょ。

ある真である式が、形式的対称性が高かったり、

互いに無関係に見える無理数を簡潔に統合していて

形式として美しいことは現象としてはあるだろうけど、

それは必ずしも、その数式が数学的な真実として

より高位にあることの結果というわけではない。

オイラーの多面体公式オイラー公式

どっちも「美しい」と言われてるけど、

数学的な含意や価値全然違うでしょ。

宇宙際タイヒミュラー理論がもし真だと

証明されたら、そこからは計り知れない数学示唆

まれるだろうけど、あれを美しいと言う人は

たぶんいないでしょ。

2021-05-30

anond:20210530045935

数直線って隙間空いてる?

無理数があるから空いているって答えだった気がするけど、無理数は数直線では表せないって理屈がよくわからない。

そもそもが俺の勘違いかもしれない。

2021-05-25

anond:20210525172543

でもn/n=1の証明なら無理数が変化しても分子分母同じじゃないの?

anond:20210525172009

整数の個数を無限大

無理数の個数を無限大

こう考えると無限大でも大きさ一定じゃないみたいな話なかったっけ?

明らかに無理数の方が多いし

2021-05-06

フェミニストにとって弱者男性なんかいないということの理由を考えた

フェミニズム特にラディカル・フェミニズムにおいては、社会的弱者たる女性社会的強者たる男性に家父長制の名のもとに不当に支配されていた、そしてそれは今も制度こそなくなったが人々の心に根強く残っている、というストーリーを基盤にしている。

まり、「全女性<<<<<<<超えられない壁<<<<<<<<<全男性」という社会でないとこの思想は成立しない(そしてそもそも成立しないことは明らかだ)。

最近弱者男性というものが盛り上がっているが、コレの示すところは、現代社会というのは「性別に限らず強者弱者ミルフィーユのように折り重なった形態を持っているし時と場合によっていくらでもその序列は変化する」ということだし、程度の差こそあれ社会というのは歴史を通して一貫してそういうものだったということでもある。

弱者女性が上を見たら強者が、横を見たら同じ程度に弱者属性の異なる人々がいて、下を見たら更に弱者の人々がいる。何かの拍子に上にいた人々がいつの間にか下にいるし、遥か下にいた人が上の方に移動することもある。

フェミニズムが徹底的に知らんぷりしていたこリアルな構図を見るべきだ、と弱者男性は訴えていると俺は理解している。フェミニストたちが大騒ぎしている問題は、もっと深くて難しいものだと理解してほしいと訴えていると理解している。

かつて共産主義ブルジョワジープロレタリアート世界を二分して捉えたが、結局実際はそんな単純な二層構造じゃないってことが明らかになったように、フェミニズムも同じようなネタバレが起きつつある。社会単純化しすぎているしその単純化は間違っているというネタバレだ。

フェミニズムの軸である男性女性」という区分はまぁ、当面崩れることはない(将来的に技術が発達して男性女性に、女性男性に本当にできる日が来るかは知らん)のだが、支配、被支配強者弱者と言った二層構造の単純な世界観は結局共産主義と同じ宿命をたどることだろう。と言うよりほぼ同時期に始まったこ思想は、男女を軸においたぶん共産主義より長持ちしたと言うだけのものしかない。

今起きている弱者男性に対するいろんな理屈は詰まるところ「男性女性と違ってそもそも社会的強者、つまり自分解決できる問題解決しようともしないでぶつくさ言っている」というところに固執してどうにか論破しようとしているようにしか見えない。そしてそれが結局全世界に対する差別意識をむき出しにしていることに気づいているんだろうか。やっているのは問題解決じゃなくて自分のしがみついている根本あやふや思想をどうにか倒されまいとあがいているに過ぎない。

フェミニズムはいい加減ネタバレの時期に入っている。そろそろフェミニストたちは戦場を買えて新たな闘争を開始するか、やめるか選んだほうがいい。未だに革命闘争やっている老人たちはは見ていて痛々しい。

フェミニズムが最終的にやることは、この弱者男性を切り捨てる、一切合切無視を決め込む、そして自分たちの思想は正しいと言い続ける、ということだろう。「女性よりも弱い男性存在」などというのは絶対に受け入れられない。ピタゴラス無理数存在を受け入れられなかったように。

2021-05-04

次元」は整数値だけではない。無理数次元だって有り得る

世の中ではあまり知られていないようだけど、「次元」というもの整数値だけじゃないんだよ。

すなわち、1次元(直線)、2次元(平面)、3次元(立体)、4次元(時空間)…のような整数次元以外の図形も有り得るんだ。

いや別に、これは私が勝手に構築した妄想内での話じゃない。ちゃんとした数学での話だ。

一般フラクタルと呼ばれる図形では、無理数次元というものが考えられるんだ。

まず、フラクタルとは何か。

それは、図形全体がその一部分から再帰的に定義される図形のことだ。

まあ、これじゃ何言ってるかわからないよね。でも、具体例を見ればピンと来るだろう。

有名なのはシェルピンスキーのギャスケットというやつだ。

こいつは三角形なんだけど、その中身が細かくくりぬかれた図形であり、そのくりぬき方に規則性がある。

まず最初に、三角形中央をくりぬく。くりぬく形は元の三角形上下反転させて、半分の大きさにしたもの

すると、上、左下、右下に3つの三角形が残る。

これらも同じように、さらに半分の大きさの三角形中央をくりぬいていく。

これを無限に繰り返したものが「シェルピンスキーのギャスケットのギャスケット」というわけだ。

無限に繰り返すため、最終的にはそれこそ「骨しか残らない」ような図形になる。元々は三角形だったのに、線みたいな図形になるわけだ。

また、この図形は、例えば真ん中より上側を見るとわかるんだけど、図形の一部分と元の図形が同じ形になっている。

例えば、元の図形は、中央に逆にした三角形のくりぬきがあるが、その上側でも同様に、中央三角形のくりぬきがある。

また、そのくりぬきの左側をそれぞれ見てみよう。

元の図形でも、その上側でも、やはり小さい逆向きの三角形でたくさんくりぬかれた三角形が、全く同じように存在するだろう。

というふうに、「シェルピンスキーのギャスケット」は、その図形全体がある一部分の繰り返しで形成されるわけで、

先の定義のとおり、同図形はフラクタルの仲間というわけだ。

ここまで、「シェルピンスキーのギャスケット」は同じ形の繰り返しということを述べたが、この後、無理数次元の話をするために、もうひとつだけ注意しておく。

それは、同図形は大きさを2倍にすると、同じ図形が3つに増えることだ。

先に述べたとおり、同図形はその上半分と同じ形をしている。そして、同じ形が上半分、左下、右下に現れる。

まり、辺の長さを2倍にした「シェルピンスキーのギャスケット」を描こうとすると、

元の図形を真ん中以外の、上半分、左下、右下に3つ配置した図形になるわけだ。

もう一度繰り返すが、「シェルピンスキーのギャスケット」は辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる(★)。

これは、後で無理数次元の話をするときに、もう一度出てくるから、よく理解しておいてほしい。

さて、この増田無理数次元について述べるものだった。

それでは、次元とはなんだろう。

突然だが、ここで、正方形立方体を頭に思い浮かべてほしい。

その1辺を2倍にすると、正方形の面積、立方体の体積はどうなるか。

正方形は、縦の長さと横の長さが2倍になるので、面積が4倍になる。

立方体は、縦の長さと横の長さと高さが2倍になるので、体積が8倍になる。

さて、面積や体積は1辺を2回または3回かけ算すれば求められるので、

この4倍や8倍という値も、2の2乗から4倍、2の3乗から8倍として求めてもよいことがわかるだろう。

これをまとめると、

2を次元乗すれば、図形が何倍になるかがわかる(☆)

というわけだ。

例えば、立方体場合は、立体なので次元が3で、図形は8倍になるだった。

一方で(☆)の考え方でも、2を次元乗、つまり3乗することで、図形が8倍になることがわかる。正方形場合も同様だ。

すなわち、わざわざ正方形立方体を頭に思い浮かべたり、面積や体積の公式を思い出さなくても、

(☆)の関係を考えれば、辺を2倍にしたとき、図形が何倍になるかがわかるのである

そして、数学では(☆)を次元定義とするわけだ。

(これは「ハウスドル次元」と呼ばれる。なお、ここでは簡略化のため、単位長さを2倍にする場合だけ考える。)

すると、無理数次元についてようやく説明ができる。

ここでは、前述の「シェルピンスキーのギャスケット」の次元を考えてみよう。

(★)で述べたとおり、同図形では「辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる」のだった。

よって、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元をdとすると、(☆)から、2のd乗=3が成り立つはずだ。

d=1とすると、左辺は2の1乗なので、2となり、左辺の方が小さい。

d=2とすると、左辺は2の2乗なので、4となり、左辺の方が大きい。

から、dは1から2の間にあるだろうことがわかるだろう。

まり、「シェルピンスキーのギャスケット」は直線(1次元)と平面(2次元)の間にある存在だというわけだ!

これは、直感的には以下のような理解の仕方が可能だ。

同図形は三角形(平面)で構成されたものであるため、ベースとなるのは2次元である

しかし、先に述べたとおり、その中身は無限にくりぬかれていく。

まりほとんど中身はスカスカになっていく。「骨しか残らない」図形で、線みたいになっていく。

から、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元も、2次元よりは線(1次元)に近いのだから、少し小さい値になるだろう、というわけだ。

ちなみに、このdを実際に計算するには対数log)が必要だが、おおよそ1.58となる。

この場合log無理数となるので、一番最初に述べたとおり、無理数次元というものが本当に存在するというわけだ。

シェルピンスキーのギャスケット」は部分的には三角形の組み合わせなので、平面である2次元のように見えるが、

細かくしていくとさらにその中に空白があるため、2次元よりは少し小さいだろう…

その感覚を数式化したものが、先に挙げた無理数次元というわけだ。

2021-03-19

はてな人間性センター問題をまた解いた

毎回要求される。

何回全問正解してもすぐに問題出される。

そんで1問でも間違えると次できるようになるのは次の日とか。

それまでは「はてな人間性センターが混雑しています」的なエラーが出る。

もーなんなのよ。

これに気付いてから問題と正解をメモするようにしてるんだけどこれを公開したら怒られるやつかな?

イラぁただ同じように困ってる人たちを助けたいだけなんよ。

とりあえず間違ってまだ正解を確認してない問題はここに残しておこう。

正解を書いてるわけじゃないか大丈夫だよね?駄目だったら消してね、はてなさん。

2020-12-01

科学ってそういえばなんだ

最近はてラボ人間性センターなるところがやけにクイズを出してくるんだが、偉い難しい。知らねーよガガーリンが名付けた人工衛星に乗って地球一周した犬の名前なんか。

さて、閑話休題(これも人間性センタークイズ出された)

よくみんな科学的だ、非科学的だ、っていうじゃない。でもいろいろ読んでるとそもそも科学的だとか非科学的だとか物事を断定すること事態科学的じゃない、と言う人がいた気がする。「今見えてる範囲では非科学的と言ったほうが正解に近いようだ」みたいなふわっとした回答が科学的だ、って言ってたんじゃなかったかな。

一方で、数学については、答えは断言できる。てことは数学科学ではない?

科学再現性重要だ、と言われる。

物理天文学とかそういった話では「許容範囲内の誤差で再現する」という感じで考えている(円周率とかそういう無理数使うからそもそも実際の数字にならないし)ようだし、同じに実験たらみんな同じ結果になる、というのが科学だ、というように聞こえる。

だけど、歴史的出来事なんかだと再現性はないじゃない?てことは歴史科学ではない?だけど、今の資料批判科学として行っていると聞いたことがある。

歴史資料をこうやって紐解けばみんな同じ結論にたどり着くだろう、というから科学なのだろうか?でも、例えば、「いやいやこの発言はこうとも取れますぞ」という風になった辺りで科学かどうかはなんだか怪しいし、鎌倉幕府の成立にしたって、「どのイベント鎌倉幕府の成立と言っていいか」という話になると、最終的には好き嫌いになりはしないかとか思ってしまう。1192年ではなくて1185年になった、って言うことは、鎌倉幕府成立を邪魔するものは1185年時点でいなくなった、なので鎌倉幕府確定、って言うことなんだろうか?

文系になってくると、論文査読がないという。だけど、あれ、人文系って科学なんだろうか?だけど、実際に社会に起きたことを分析して自分たち言葉にまとめ上げているという点において、発端は嘘ではないように見える。出来上がったもの論文の体をなしていないという人もいるかもしれないけど、そもそも論文にできるたぐいのものではないのかもしれない。

そう考えていったときにつまり科学ってなによ、と思うんだよね。科学的、非科学的、ってなによ。科学的に導かれたことは本当かもしれないし嘘かもしれない。非科学的に述べられたことも本当かもしれないし嘘かもしれない。

2020-06-05

Cauchy列って何?

収束先がどこかにある数列です。

定義

Xを距離空間、d: X×X→Rを距離関数とする。

Xの点列(x_n)は以下をみたすとき、Cauchy列であるという。

任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n, m ≧ Nならば、d(x_n, x_m) < ε。

収束する点列はCauchy列である。実際、lim[n→∞] x_n = x ならば、任意のε/2>0に対して、ある自然数Nが存在して、n>Nならば|x - x_n|<εとなるので、任意のε>0に対して、n, m>Nならば|x_n - x_m|≦|x - x_n| + |x -.x_m|<ε。

逆に、Xの任意のCachy列がXの点に収束するとき、Xは完備であるという。

実数場合

実数全体の集合は、絶対値から定まる距離について、完備である

(x_n)を実数のCauchy列とする。

まず、(x_n)は有界である。実際、ε>0に対して、Nが存在して、n>Nならば|x_n - x_N|<εなので、任意のiに対して、|x_i|≦max{|x_1|, |x_2|, ..., |x_N|, |x_N|+ε}である

Bolzano-Weierstrassの定理より、有界実数列は収束する部分列を含むので、自然数列n_1<n_2<...<n_i<...と実数xが存在して、lim[i→∞] x_(n_i) = xとなる。

xが(x_n)の極限である。lim[i→∞] x_(n_i) = xより、任意のε/2>0に対して、ある自然数Iが存在して、i>Iならば|x-x_(n_i)|<ε/2。(x_n)がCauchy列であることより、任意のε/2に対して、ある自然数Nが存在して、n, m>Nならば|x_n - x_m|<ε/2。この2つより、任意のε>0に対して、n>max{I, N}ならば、|x - x_n|≦|x - x_(n_n)| + |x_(n_n) - x_n|<ε。□

完備ではない例

√2に収束する数列(1, 1.4, 1.41, ...)はCauchy列だが、Qの元に収束しない。

f_n(x)を以下で定める。

xが有理数で、xを既約分数a/bに表したとき、bがn!の約数ならば、f_n(x) = 1。それ以外は、f_n(x) = 0。

各f_nは有限個の点で1になる以外0なので、Riemann積分可能で、∫|f_n(x)|dx = 0。

しかし、その(各点収束)極限は、xが有理数とき1、無理数とき0となる関数であり、これはRiemann積分不可能。(有理数稠密から区間の細分をどれだけ細かくとっても、各区間に1を取る点と0を取る点がそれぞれ存在するため、Riemann和が収束しない)

2020-04-23

24時間働かせても、給料の支払いをゼロにできる方法がある

ここに、時分秒だけでなく、秒の小数点以下も計測できる時計があるとする。

例えば、「1時23分45.6789秒」みたいな感じにだ。

その場合契約条件を

秒が有理数ときは働いてください。

秒が無理数ときは休んでください。

とすると、

有理数の集合の測度はゼロから、実働時間ゼロだ。

しかし、人間有理数秒だけ休むということができないので、実際には24時間働き続けないといけない。

2019-02-14

anond:20190213223538

無理数超越数も、だからといって各桁がランダムに出てくる数(正規数)であるという証明別に必要だし、円周率も、十進数表記で0~9の数字ランダムに出てくることは、まだ数学的に証明できていないよ。なので、実際、疑似乱数としては殆ど使われていない…擬似乱数ならMersenne Twister使えばいいでしょう。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0

2018-10-17

√2が無理数であることの証明

が出来る人って国民の何%くらいいるんだろう。

2018-07-18

この「厳密には √3 が無理数であることも証明するべきでしょう。」ってとこ如何にも高校数学っぽくてたまらんよな

2018-06-12

anond:20180611100237

問題 以下の命題は真か偽か。

命題1.それぞれ異なる無理数無理数の和は無理数である

命題2.有理数無理数の積は無理数となる。

解答はすべて「偽」

中学生レベルだけど普段数学から離れていると難しかったんじゃないか

2018-06-11

頭の体操

どうもここ最近今までとは違った部類の人が押し寄せてきているようだ。

さて閑話休題で以下の2問ができるかな

命題1.それぞれ異なる無理数無理数の和は無理数である

命題2.有理数無理数の積は無理数となる。

以上2つの命題について真か偽か,答えのみ記せ。証明などは不要である

6時間後に解答を公表する。

増田くん できるよな¥

2018-03-17

anond:20180317122309

同じパターンを繰り返して無限に続く数(循環小数)があって、これは無理数ではない

例えば0.123123123...みたいに123を無限に繰り返す数は無理数ではなく有理数

無理数は、同じパターンの繰り返しにならずに無限に続く

anond:20180317120525

割り切れない、すなわち無理数であることは数学的に証明されてる

anond:20180317112042

いろんなレベルでそれぞれなりに面白い説明はできるけど。

小学校レベルだったら、まず、直径が1の円を描いて、その外側にピッタリはまる四角形を描く。この周の長さは明らかに円周よりも長い。そしてその長さは4。

次に、1辺が0.5の四角形を描く。これは円の内側に入るから、明らかに周の長さは円周よりも短い。そしてその長さは2。

から、円周の長さは直径の2倍よりも大きく4倍よりも小さい。

これだけの話だけれど、これを多角形について繰り返していけばやがて円周率に近づいていくというのを定性的に示してもいいのかな。無理数とか使って攻めていくのは中学生高校生になると数列の極限か微積でも使えば面白いかもな。

2017-05-30

情けない親父

自分の親父は超大手電機メーカー日立東芝ソニーパナソニック三菱電機SHARP、のどれか)で自称技術者をしている。

でも僕はそんな親父をすごく情けないと思う。

エンジニアを名乗るくせにまるで好奇心の欠片もないからだ。

技術トレンドには疎く、DIYなんかで自分で何か手を動かそうという気配もない。

最近はもっぱら中国語勉強しかしていない。

役職がついて人を動かすだけの仕事になっているのだろうか、

読む本と言えば部下を育てるだとかドラッカーだとかの名前の啓発本ばかり。

正直、本当に情けない。

まれてこの方、数学の楽しさだとか科学話題だとか語ってくれたことがない。

円周率がどうして無理数か、人工知能話題脆弱性を突いたウイルス話題レアメタル重要性と使われ方、電子工作の話、化学の話、

高校生くらいの時にこういう話をもっとしてほしかった。

たぶん親父はこういうことは全くわからない。知ろうともしない。

今まで何話したっけ。

酒に強くなれ、スーツウンチク発展途上国の成長やばいとかだっけ。

結果的飲み会多い会社嫌だ、スーツ着る仕事嫌だ、家電メーカーやばいってイメージだけ残った。


プログラミングは全く知らないという。知ろうという気配もない。

パソコンには疎く、スマホも使わない、ルーターの設定も人にやらせようとする。そもそもルーターって何って感じ。

唯一電球の交換だけは得意。

だぶん自ら何かを作ることはできないんじゃないかと思う。

でも冒頭にも言ったように超大手メーカー自称技術者しかもなにかしら部下を動かす立場エンジニアだ。

大企業で偉い立場になるとみんなこうなのか。本当に情けない。

きっと、中国語ができて部下を育てられればいいんだろう。

現在僕は社会的にも給料的にも父親会社の同世代より低い立場にあるが、上も下も技術的な話題貪欲な人たちに囲まれ楽しい

大企業に行って人を動かすだけの屍になるのを目指すよりましだと思う。

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