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はてなキーワード: 外積とは
Chern-Simons理論は、特に3次元のトポロジカル量子場理論（TQFT）における中心的な役割を果たす理論でござって、その定式化は主に接続（connection）と曲率（curvature）という微分幾何学の概念に基づいておるのでござる。この理論は、特にゲージ理論とトポロジーの交差点で深い意味を持ち、リー群上の接続のトポロジー的性質を探るものでござる。以下では、厳密な数学的枠組みのもとで、Chern-Simons理論を詳細に説明いたすでござる。
Chern-Simons理論は、主束上で定義される接続から構築されるのでござる。ここで、P(E) を G 群の主束とし、G をリー群、𝔤 をそのリー代数といたすでござる。主束は次のように定義されるのでござる：
P(E) → M,
ここで M は3次元の多様体で、E はファイバー空間を表すのでござる。接続 A ∈ Ω¹(M, 𝔤) はこの主束上の1-形式でござって、各点でリー代数 𝔤 の値を取るのでござる。
接続 A は、接続を持つファイバー上の接続のトランスポートを表現し、リー群の基準を用いて測地線のようにデータを運ぶのでござる。接続 A によって定義される曲率は、外微分 dA と二次の項 A ∧ A を含む、次の形で表現されるのでござる：
F_A = dA + A ∧ A.
ここで、F_A は接続 A の曲率2-形式でござって、ゲージ群 G の接続が示す物理的な局所的な場を表すのでござる。
Chern-Simons形式は、主に接続の曲率を用いて定義されるのでござる。3次元多様体 M 上でのChern-Simons形式 CS(A) は、接続 A の曲率 F_A に基づいて次のように表されるのでござる：
CS(A) = ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A),
ここで、Tr はリー代数 𝔤 のトレースを取る演算子でござって、各項は外積（wedge product）によって形成されるのでござる。具体的には、A ∧ dA は接続 A とその外微分 dA の外積を、A ∧ A ∧ A は接続の3重積を意味するのでござる。
Chern-Simons形式は、ゲージ変換に対して不変であることが重要な特徴でござる。ゲージ変換は、接続 A に対して次のように作用するのでござる：
A → g⁻¹Ag + g⁻¹dg,
ここで g ∈ G はゲージ群の元でござる。この変換によって、Chern-Simons形式がどのように振る舞うかを調べると、次のように変換することがわかるのでござる：
CS(A) → CS(A) + ∫_M Tr(g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg ∧ g⁻¹dg).
これは、Chern-Simons形式がゲージ変換の下でトポロジカル不変量として振る舞うことを示しておるのでござる。すなわち、Chern-Simons形式の値は、ゲージ変換による局所的な変更には依存せず、主に多様体のトポロジーに依存することが分かるのでござる。
Chern-Simons理論の量子化は、パスインテグラルを用いた量子場理論の枠組みで行われるのでござる。具体的には、Chern-Simons作用を用いた量子化は次のように記述されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この積分は、接続 A に関するパスインテグラルでござって、Chern-Simons理論における量子場理論の構築に用いられるのでござる。ここで 𝒟A は接続 A の変分に関する積分を示すのでござる。
Chern-Simons形式は、特に3次元多様体に対するトポロジカル不変量としての性質が重要でござる。3次元多様体 M に対して、Chern-Simons不変量は以下のように定義され、計算されるのでござる：
Z_CS(M) = ∫ 𝒟A exp(i ∫_M Tr(A ∧ dA + ⅔ A ∧ A ∧ A)).
この不変量は、3次元の量子ホール効果やトポロジカル絶縁体などの物理的現象を記述するのに重要でござる。具体的には、Chern-Simons形式によって、3次元多様体のトポロジーを示す不変量が得られ、量子化されたゲージ理論における位相的な特性を理解するために利用されるのでござる。
定義 1: M理論の基礎空間を (M, g) とする。ここで M は 11 次元 C∞ 多様体、g は符号 (-,+,...,+) のローレンツ計量とする。
定義 2: M 上の主束 P(M, Spin(1,10)) をスピン構造とし、関連するスピノール束を S とする。
定義 3: M 上の外積代数を Λ*(M) とし、特に Λ³(M) と Λ⁴(M) に注目する。
C = {(g, C, ψ) | g ∈ Met(M), C ∈ Γ(Λ³(M)), ψ ∈ Γ(S)}
ここで Met(M) は M 上のローレンツ計量全体、Γ は滑らかな切断を表す。
定理 1 (作用汎関数): M理論の作用 S: C → ℝ は以下で与えられる：
S[g, C, ψ] = ∫_M (R * 1 - 1/2 dC ∧ *dC - 1/6 C ∧ dC ∧ dC - ψ̄D̸ψ) vol_g
ここで R はスカラー曲率、D̸ はディラック作用素、vol_g は g による体積要素である。
定理 2 (場の方程式): δS = 0 から以下の Euler-Lagrange 方程式が導かれる：
1. Einstein 方程式： Ric(g) - 1/2 R g = T[C, ψ]
2. C-場の方程式： d*dC + 1/2 dC ∧ dC = 0
ここで Ric(g) は Ricci テンソル、T[C, ψ] はエネルギー運動量テンソルである。
定義 5: M の 7 次元コンパクト化を X とし、M = R^(1,3) × X と分解する。
定義 6: X 上の G₂ 構造を φ ∈ Ω³(X) とし、以下を満たすものとする：
1. dφ = 0
2. d*φ = 0
3. (x ↦ i_x φ ∧ i_y φ ∧ φ) は X 上の Riemann 計量を定める。
定理 3 (Holonomy reduction):X が G₂ 構造を持つとき、X の holonomy 群は G₂ の部分群に含まれる。
定義 7: X 上の接束の構造群を G₂ に制限する縮約を σ: P → X とする。ここで P は主 G₂ 束である。
定義 8: M の K 理論群を K(M) とし、その Chern 指標を ch: K(M) → H^even(M; ℚ) とする。
定理 4 (Anomaly cancellation): M理論の量子異常が相殺されるための必要十分条件は以下である：
I₈ = 1/48 [p₂(M) - (p₁(M)/2)²] = 0
ここで p₁(M), p₂(M) は M の Pontryagin 類である。
定理 5 (Index theorem): M 上の Dirac 作用素 D̸ の指数は以下で与えられる：
ind(D̸) = ∫_M Â(M) ch(S)
ここで Â(M) は M の Â-genus、ch(S) は S の Chern 指標である。
定義 9: 位相的 CW 複体の圏を Top、アーベル群の圏を Ab とする。
定理 6 (T-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
K(X × S¹) ≅ K(X × S¹)
定理 7 (S-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する：
H^k(M; ℤ) ≅ H_{11-k}(M; ℤ)
道具の使い方とは何かという話である。
ChatGPTは想像とは異なる仮説を作って最初にぶん投げるとよい。増田なら帰無仮説は得意のはず（偏見）
掛け算の交換法則について教えてください
掛け算の交換法則とは、数の掛け算において、数の順序を変えても掛け算の結果が変わらないという法則です。具体的には、任意の実数ａとｂに対して、以下の式が成り立ちます。
ａ×ｂ =ｂ×ａ
...
掛け算の交換法則は、算数や数学の基本的な計算において非常に役立ちます。これを知っていることで、計算がシンプルになったり、計算の手順を変更できることがあります。
では、かけ算の順序には意味がありますか？
掛け算自体の結果には順序が影響を与えないため（交換法則により）、数値のみを単純に掛け合わせる場合、順序に意味はありません。
しかし、数学や実世界の問題の文脈においては、順序が意味を持つことがあります。
ベクトルにおいては、外積（またはクロス積）の順序は重要です。ベクトル ａ と ｂ に対して、ａ × ｂ と ｂ×ａ は方向が逆のベクトルになります。
2. 行列の掛け算：
行列の乗算では、掛ける順序が非常に重要です。2つの行列 Ａ と Ｂ に対して、ＡＢ と ＢＡ は一般的に異なる結果をもたらします。
3. 実世界の状況：
例えば、ある商品の元の価格に対して10%の割引を受けた後に8%の消費税がかかる場合と、消費税をかけた後に10%の割引を受ける場合では、最終的な価格が異なります。このような状況では、計算の順序が結果に影響を与えます。
これらの例を考慮すると、数値だけの単純な掛け算では順序は意味を持たないものの、特定の文脈や状況においては掛け算の順序が重要となることがあります。
まあ、「かけ算」としか表現しないほうも悪い。「小学校で習う整数のかけ算で」とかきちんと条件を付けるべきである
https://comic-days.com/episode/4856001361249018766
（＊入れ込むってのは競馬用語でウマが畜生特有の脈絡のない興奮で空回りして自滅へ向かっちゃう状態のこと）
その上で、俺この主人公の黒い女の子みたいなのがすげー納得いかんのな。
この子とそれを取り巻くすべての状況が不条理かつ低能過ぎて呆れちゃうというか。
ここまでで何言いたいかピンと来たって人が居たら教えて欲しい。あんたは俺の仲間だ。
まずさあ、
大事件か？NO。
そもそも文化祭のクラスの出し物なんて初期状態では誰もコミットしてないわけじゃん。
頑張りましょうねなんて誰も思ってないし責任もない。
誰もそんなたまたま選ばれた人に期待してないし、と言うことはその人の責任もねーのよ。
やる気なく流したっていいし、凄いビジョンを持って取り組んだっていい。
LINEでボケーっと何の足場も提示せずにアイデア募集しました、そりゃなんもこんわ。
無能なのはいいけど感情的なのはやめて欲しい。意味わからんから。
「クラスの出し物が一定の成果を出せなければ全員死にます」なんていう
マガジンのクソ漫画みたいな状況にあるならまだわかるよキレるの。
みんな自分の命がかかってるのに人任せにするなよ！ってことだよね。
でもそうじゃないじゃん。
そのことで責めてくる奴もいない（もし責められたらLINE見せて「お前もなんもしてへんやろボケェ！」ってキレ返せばいい）。
どういう感情で「実行委員という役割」や「文化祭というイベント」に臨んでるわけ？
「有能な自分がやる以上は何らかの成果を必ず出すのだ」っていう自負があるならそれはいいと思うよ。
そういう自負で取り組んだのに上手く行きませんでした、自分の能力の低さに涙が出ました。
でもこの子ってなんか周りへの恨みみたいなものが見えるじゃん？
いやいやいや、別にクラスメートは文化祭のクラスの出し物にコミットするなんて約束してねえじゃん。
そんな意思表示は一度もしてないわけじゃん。
だから実行委員としてはやるもやらないも自分のコントロールで勝手にやってよって話じゃね？
みんなに合わせて適当に流すのはわかる。
我がこととして主体的に取り組んで失敗して涙もわかる。
でもこの子は変な風に当事者意識は強いのにイベントの行方についてはクラスメートに任せてるんだよね。
でもこういう奴マジでいたよな。
ありもしない責任を捏造して他人を糾弾したがる人間がウザくてたまらん。
実行委員にあるのは（人間にあるのは）自分がやると決めて主体的に取り組んだ時の成功や失敗だけだろ。
実行委員は流すことも出来るしすげー頑張ることも出来る。
だからこの子だけじゃなくて終盤の「いい子になった」描写らしいクラスメートも意味わからん。
黒い子が仮にあんま参加してなかったとして、たぬきちゃんに詫びを入れなきゃいけない理由なんかあるか？
「文化祭のクラスの出し物が成功したらクラスメート全員の口座に１００万円ふりこまれます」みたいな
クラス全員、お前も利益を受け取るからにはちゃんと労力分担しろやって感情はわかる。
でもクラスの出し物なんてそうじゃないわけじゃん。
やった人間がまあなんか達成感とか良かったねっていう思い出とかの報酬を受け取るだけ。
どっちも自由であって、どっちかがどっかに怒るとか恨むとか詫びるとかマジで意味がわからん。
黒い子が反省すべき点があるとしたら
LINEで「アイデア募集ー！」ってのは到底コミットが集まるようなアプローチではねーよなとか
やりたそうなやつに目を付けて直で話しに行って折衝すべきだったなとか
全員無理矢理追い込むなら教師を動かして説教させてコミット圧を高める手もあったなとか
そういうことじゃねーの？
俺は学校の出し物のたびに思ってたわ。
ここには感情的にならんといけない要素なんかどこにもねーじゃんと。
楽しく自分の裁量でやったりやらなかったり成功したり挫折したりすりゃいいだけじゃんと。
例えば「私はここで結果出すと内申点よくなると睨んでて私の将来のために協力してほしいの！」ってキレるならそれはよくわかるわけ。
おもしれ―女だなってちょっと協力したくもなる。
でも実際はそんなおもしれ―女もいいなくて、ただぼんやりした他人任せの進捗と挫折があるだけで
なんでそこでいちいち感情を持ち込むの？
あの手の出し物で感情的になる女子を見てた時、或いは俺が直で吠えられた時、
「この低能な生物には何をどうしてあげたらいいのかなあ・・・」という感慨しか湧かなかった。
俺はいい奴だから現実的なアイデア出して付き添ったりしたことがある
最初「大喜利」とか言ってたからこいつらスゲーなどんなバカだよと。
世間にキャラを知られたプロの人気芸人がネタを仕込んで台本組んでようやく面白くなるものをお前等がやってどんな勝算が？
しかももちろんネタも出ないしろくに練習する予定もないうえにネタ候補ってのが内輪ネタばっかなの。
それを誰に見せる気なんですかウギャーと。お前等のことなんか何も知らない人達がくるんですよと。
なのに上手く行きそうにないことや狭い友達以外積極的でないことに感情的なの。
んでえーそれは難しいよーつって何で暴発するかわからん感情を刺激しないよーにやめさせて
元から高校生レベルじゃない芸を持ってるやつがいたのでそいつを頼ることにしてそいつ中心の指導で地獄大喜利改めお遊戯発表会くらいにはなって
高校生がみんなで努力した跡は見れるから結構評判が良くてみんな達成感出ましたねーみたいになった。
軌道に乗って以降のクラスには最後までこの漫画みたいな低能丸出しの感情が横溢してた。
いい人とか悪い人とかじゃなくてその低能さと混乱しきった感情を何とかしてくれってずっと思ってた。
最終的にその女子やそいつの友達から「増田くん有難う！」とか言われちゃったんだけど
この低能な生物達とは最後まで疎通が出来なかったなという挫折が俺の手にしたものだった。
俺にとっては自分のミッションとして頑張った結果の挫折っていう満足のいく成果だったからいいんだけど、
自分が一体何に対して感情的になってるのか、一度でいいからきちんと整理してみて欲しいんだけど
一生そういうこともせずにああいう感じに生きていくんだろうな。
俺の中にも黒い子のような他人への愚かな期待があるってことなんだろうか。
ステヴィンーッス
それを一気に拭い去る事ができる時ってのは割と結構なタイミングであったりしますが、それでもその小さな見逃しを積み重ねてしまって大きな事故につながることは多いです。
大きな事故に一回繋がるだけで一発で台無し、という思考は結局のところ契約の上で行われるものなので
実はバレてないところで何とかフォロー出来るレベルの失敗が発生して、それを何とかフォローしたことで何事もなく作業は終えられた、みたいなことも結構あります。
とはいえ、そこで次はこうならないようにという教訓を得られなければ、またフォローが発生しなきゃいけない作業をしていく訳で。
そして、それが常態化すれば「後で何とかしてくれるはずだったのに」と言いながら崩れていく建物と怪我をする人々を眺めることになる訳ですね。
そういう小数点以下の失敗を減らしていく、判断の遅さを減らしていくことで、仕事が上手くなっていくのかもしれません。
ということで本日は【作業方法の見直しよいか】でいきたいと思います。
例えばベクトルの外積とか内積知らないとゲーム開発の最初の段階で困ると思う。というか、自分の時代は高校課程に外積が含まれてなかったので、学部一年で習ったのだけど。
今になってみると、高校受験の問題も大学受験の問題も、この問題解くのなんか意味あんの？食えんの？うまいの？みたいに思ってしまってモチベーションの段階で躓く。
高校受験のときは基礎的な問題は満点を叩き出すことに躍起だったし、大学受験になると全国レベルになったからか自分の学力が急に減少したように思えて焦ったり、
でもセンターレベルは教科書を所持していればできない方がおかしいわけで、基礎レベルだけは何とかクリアしようともがいてた気がする。
今からすると、受験というのは一種のスポーツとかゲームであって、受験勉強というスポーツに優れていればスポーツ特待で優遇されて入学できる、みたいな制度が日本の受験なのだろう。
受験勉強なんて何の役にも立たないだろ？という人は、野球みたいなスポーツも何の役に立つの？と思っているのだろうし、
野球ができることが何で社会で評価されるのか理解できない、くだらないとさえ思っているのだろうけど、そんなの香辛料やチューリップが高値で取引されるようなものである
社会的な価値観や評価は、自分の価値観やニーズとはまったく別のものだと考えるべきだ
なんであれが社会的に評価されるのか、シンゴジラや鬼滅が面白いと言っている人達が自分には理解できないわけだが、そりゃそうだ
逆に、数学だの受験勉強がなんで役に立つか分からない、みたいに言っている人達を私は理解できない
老人と若者とか価値観の違いでしかない、そこに大した意味なんてない
なんでこのスポーツをやらなければならないのか？
なんでこのゲームをやらなければいけないのか？
と疑問を思ってしまうとそこで手が止まってしまう。これは仕方がないだろう。
よく分からんが、このゲームができたら周囲とか親が褒めてくれるようになったとか、なんか将来の選択肢が増えるんじゃないかとか、
ゲーセンは不良のたまり場とか言われてたのにプロゲーマーだの言うような時代になった途端に世間の態度が変わるみたいな、そんなものを受験勉強には感じるんだよなあ。
勉強というスポーツ自体は根本的に好きなんだろうけど、それに世間の評価とか加わって、翻弄されて、みたいなのって世の常だと思うんだけど、でも、自分としては何も変わってない
ゲーム開発やるようになれば、受験ではないけど結局数式を読むし、場合によっては式を展開したり、原理からうだうだ考えたりするし、
というより物理学からの必要に駆られた要請によって新たな数学の概念が切り開かれてきた。
したがって当然、物理を学ぶ際には現象そのものの理解とその裏に潜む数学的内容の理解が両輪となるのだが、
なぜだか日本の学校教育においては、この前提が上手く機能していない。
物理分野においてある現象を習ったその翌年に、ようやく数学分野において必要な概念が登場するといった具合だ。
具体的には、以下のようなものがある。
まあ大学まで来ると履修順もある程度好きにできるのであくまで一般的な例だが、それでも通常のシラバスでは上記時期に学ぶとされることが多い。
なぜこのようなことになっているのだろう？
はっきり言って物理が「公式の暗記ゲー」になっているのはほとんどこのすれ違いが要因だ。根本的に理解するための道具がないから、その結果だけを公式として先回りに輸入しているのだ。
単純に小学校低学年の段階で理科の履修時期を１年後送りにすれば済むと思うのだが、何か問題があるのだろうか？
(Appendix)
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/1356249.htm
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1384661.htm
ブクマ返し
確かにそこで知識として触れることになっている。ちゃんとやるのは中1だが、そこは誤解を招く表現だった。申し訳ない。
大学のカリキュラムはさすがに学校ごと、個人ごとに差が大きく、必ず上記の通りと言うつもりはない。しかしベクトル解析は通常1年次の微分積分学ではやらないと思う。
また一般的に、物理の履修が数学に先んじる傾向が大学でも続くという部分は、どの大学でもおおまかには認められると思う。
思ったより各校で工夫されているらしい。それ自体はとても好ましい。
だが基本は指導要領の通り教わっているものであり自分の教わり方が「例外的に素晴らしかった」ことは認識していただきたい。
必ずしも初学者が発見順に沿って学習する必要はないと思っている。
今の体系の中で、最もわかりやすい順番に並べ直すべき。
それ自体に反論はないが、であれば上記のように物理内で微積を導入するなどして必要な数学を身に付けさせなければ意味がない。
たとえば等加速度運動の二乗公式を暗記させる必要は一切ないはず。
また、個人的には数学はそれ自体完結する学問だと思っているので、常に物理のために数学があるような受取り方になるとしたらちょっと良くない（個人の美学だが）
「物理の要請で数学が切り開かれた」というのは、そういう一事実があると言いたかっただけで「全ての数学が」というように受け取らせるつもりはなかった。
ここも誤解を招く表現でしたね。
とか言う人はしょうがない
そもそも頭が悪いので数学で習った抽象化されたものを、具象化して現実に適用する能力が低いのだから
そういう俺も抽象化は得意だが、具象化は割りと苦手だ
有名な例で言うと、ビートたけしが因数分解を映画のシーンの構成に使えると説明した
銃を撃つシーンと撃たれて死ぬシーンを1組出せば、あとは銃を撃つシーンだけで撃たれた相手は死ぬことを表現できる
つまり
(銃を撃つシーン1+銃を撃つシーン2+…)撃たれて死ぬシーン
という風になる
これは逆でも成立する
銃で撃つシーン(撃たれた死ぬシーン1+撃たれて死ぬシーン2+…)
他の例で言うと、人と目が合うということも数学で表せる
簡単に言うと相手の視線ベクトルと自分の視線ベクトルの外積が0になることだ
人間の脳は素晴らしい
この記事は Competitive Programming （その2） Advent Calendar 2015の12月20日の分です．12月19日はhadroriさんの競技プログラマー入門者用単語集，12月21日はroiti46さんです．
皆さんこんばんは．Mです．Advent Calendarを書くのは初めてなのでドキドキしていますが，どうぞよろしくおねがいします．普段あまり記事を書かないので anond を使わせてもらっています．
ここでは，ちょっと役立つ小ネタとして，今年書いたコードを１つ紹介します．「ビット行列を高速に乗算するコード」です．ごく簡単なコードですが定数倍効率化効果が大きいので嘘解法に使えます．
要素がブール値（True/False）であるような行列をビット行列と呼ぶことにします．このような行列に対する演算（特に乗算）はアルゴリズム理論ではよく出てきます．最も有名な例はグラフの推移包閉（各点から行ける点を全部求める）です；行列 A をグラフの隣接行列とし，和をbit-or, 積をbit-and で定義すると，行列のべき乗和「A^0 + A^1 + ... + A^{n-1}」の (i,j) 要素が True であることと，j から i に到達可能であることが同値になります．なお，このべき乗和は (I + A)^{n-1} と等しいので，高速べき乗で一発で求めることが可能です．グラフの推移包閉を求める現在（理論的に）最速の手法はこのアプローチに基づいており，計算量 O(n^\omega / log n) を達成します．O(n^\omega) は行列乗算の計算量で，現時点では \omega = 2.3728639... が最良です（Francois 2014）．また，log n は Method of Four Russians と呼ばれるビット演算を高速化する一般的なテクニックで，サイズ log n までの演算結果を全部ハッシュに突っ込んでおくものです．
さて，この Method of Four Russian というテクニックは，実際に実装してもあまり早くないことが知られています（テーブル引きが遅い・単純なループが早い）．ただし「いくつかのビットをブロック単位で計算する」というアイデアは実用的にも有用です．ブロック単位の演算をビット演算で実装できるとき，そのアルゴリズムは「ビットパラレルアルゴリズム」と呼ばれています．編集距離などの例が有名です．
ここでは，ビット行列に対するビットパラレル行列乗算を実装してみました．
A^n を計算するプログラムを書きました．実測結果を以下に示します．MacBook Pro; 2.8GHz Intel Core i7; 16GB 1600 MHz DDR3; g++ -std=c++11 -O3．実装は http://ideone.com/8AsuI2 にあります．
| n | 提案手法[s] | 通常手法[s] |
|---|---|---|
| 16 | 0.000014 | 0.000082 |
| 32 | 0.000025 | 0.000602 |
| 64 | 0.000074 | 0.004485 |
| 128 | 0.000440 | 0.036760 |
| 256 | 0.002757 | 0.311192 |
| 512 | 0.020163 | 2.847787 |
| 1024 | 0.200556 | 24.648609 |
| 2048 | 1.567657 | 205.503351 |
| 4096 | 13.894987 | --- |
| 8196 | 124.414617 | --- |
それなりに大きな n について 120倍くらい高速化しました．これだけ差があると嘘解法が通るようになります．
ビット行列を 8×8 のブロックに分割し，それぞれを unsigned long long (64bit) 1つで保存します．64が平方数というのが美しいですね．全体の乗算は8×8ブロックの乗算を普通に行えばよいので，結局 unsigned long longで表現された２つの8×8行列の積を考えれば十分です．
ここでは8×8行列の積を外積形式で実装します．外積形式というのは C = A B という積を C = (Aの1列目×Bの1行目) + ... + (Aのn列目×Bのn行目) という外積の和の形で表現するものです．各外積は，すべての列がAのk列目と等しい8×8行列とすべての行がBのk行目と等しい8×8行列の bit andに等しいので，Aからすべての列がAのk列目と等しい行列を作る方法とBからすべての行がBのk行目に等しい行列を作る方法を考えれば十分ですが，これはビットマスクして定数乗算すれば実装できます．
このコードはとある問題に対する嘘解法用に作成したものですが，結局普通のほうでも通るようになってしまったので，オフィシャルにお披露目する機会がありませんでした．
まさかその組み合わせでその味、という奇跡を起こす。足し算を掛け算に、平面を立体に、ベクトルの内積を外積（雰囲気。よくわかってない）にするのがリプトンである。
葡萄はやたら甘いが、チーズケーキが全然甘くない。というか、葡萄が無かったらただただチーズを食べているかのようだ。
味のベクトルが明後日の方向を向いている。これでは外積どころか内積にもならない（意味はわかってない）。
しかし、注意深く葡萄とチーズを一緒に口に入れ、混ぜ合わせながら食べる。
すると、葡萄のジューシーさとチーズのクリーム感が、甘さと酸味がうまく絡み合い、お互いを補い合う。
その時、初めて、足し算が掛け算へ、平面が立体へ、内積が外積へ（意味不明）と飛躍し相転移が起こる（そう相転移！）
なるほど、これを狙っていたのか。
目的はわかるけど、これは難しすぎるよ。
そんなに都合良く混ざり合わない。
頑張ったけど、結局最後は葡萄が無くなって、ネットリしたチーズを飲み込むしかなかった。
でも、こういう挑戦をしてくるところ、失敗を恐れない姿勢。
嫌いじゃないね。
きみ数学あんま使ってないんでしょ。
可換性の話をするとき、普通は交換子[a,b]=ab-baを導入するが、
それに対するある種の双対として反交換子{a,b}=ab+baが自然に入る。
別に反交換関係{a,b}=0が成り立つものを可換であるとして議論してもいいわけ。
そういう発想からすると普通非可換の典型的な例として外積はでてこない。
ちょっと何を言いたいのか理解できない。
別にベクトルも行列も単なる代数構造であって本質は記法ではなくその上に定義された演算ルールだよ。
悪意に浸りすぎ。 内積っていわれて外積が出てこないのは、いくらなんでも連想能力なさすぎ。
外積なんて思いもしねえよ。符号が変わるだけで非可換性としても特殊すぎる。
あまりにも荒唐無稽なこと書いてあったら釣りだと思うだろ普通。
つーか元増田本人か？無理あるよいくらなんでも。
それなら、３手先を読んで お前が言いたいのは外積だといえばいいだろ。
話が長いよ。
勘違いを嘘つきというのは、悪意がすぎる。 脊髄反射か。 害悪は増田の方だ。
嘘つき＞＞どこが＞＞内積は＞＞内積と外積を間違えた だと ４レスもかかる。
数学ができるんだったら、先ぐらい読んでくれ。
A・BとB・Aは通常 別なものになる。つまり 順序が重要なのが
A・BとB・Aで
A・B !=B・A != は等しくない
a*b = b*a
言い方を変えれば 掛ける数、かけられる数があるのはベクター。 スカラーはない。
ちゃんと 順番が重要なものがあるんだから、順番があるものはコレ ないものはコレ って正しく教えろよ。
料理でいえば 煮物は さしすせそ だが ステーキなら 最後の 塩コショウ 順番が逆でも大丈夫
煮物にさしすせそ があるからって ステーキも 塩 コショウの順番でふりかけろ コショウ 塩 は 邪道 というのは 意味がわからないよ
× じゃなくて ・ を使え でFA
※ すまん 内積ではなく 外積だよ orz なので記号もXで OKだよ。
http://www.iwata-system-support.com/CAE_HomePage/vector/vector4/vector4.html
は、表現が良くなかったかもしれないけど、正しく数学を拡張していく過程で虚数という概念が出てきて、
開発された、との意味で。
もちろん、「値域を拡張する」というアイデアについて考える段階では、「虚数単位という1パラメータを考えればいい」かどうかも明らかでないわけで、その過程でクォータニオンや外積代数みたいな構造にまで思い至る奴もいるかもしれない。
コレ的な意味で、"i"を"便宜上開発した"と言いかった感じかな。
虚数的な概念は、数学を拡張していく上で"ロジカル"に必然として生まれたものなので、おっしゃることに全面的に同意します。
もしかしたら先の増田は実数の概念を完全に理解しており、この様に2乗したら"-1"となる数を考えることにより、この様な拡張の思想自体をロジカルに自分で考え出すことが出来たスーパーマンなのかもしれません。
「お手並み拝見」とかキモいこと言われた増田だけど、さすがに「虚数は便宜上開発された」というのはやや言い過ぎな気がする。
数学で重要なのは構造やルールそのものであって、「二乗して-1になる数」とかいう具体的な実像はそれらから必要不可欠的に導かれたものに過ぎない。
「二乗して-1になる数を考えてみよう！」なんて全く数学的にロジカルな思考とは言えないと思うね。
関数には定義域や値域というものがあって、それは集合である。sqrtという関数を考えると、普通の初等関数と同じように定義域と値域をRとするとどうもうまくいかなさそうである。
定義域をRとするとR-のときに少なくともR上には値を持たないようだからだ（全射とか単射とかの概念もやっとくといいかもな）。
でも多くの関数と同じように、sqrtもR上で定義できる方法はないのか？
このくらいまでは持っていってようやく考えさせるフェーズに入るべきだろう。
もちろん答えは「値域をRからCに拡張する」であるわけだが、ではCという構造をwell-definedに決めるためにはどういうものが必要か？という話に当然なるわけで、それを表記的にきれいに表現できるのが虚数単位iという数(Cの元)の導入なわけだ。
i自体はC上の普通の演算に対してゼロ元や単位元になっているわけでもなく、別に何ら特別な性質を持った値ではない。いきなり「二乗して-1になる数を考えよう！」とか言い出すことのセンスのなさはここにある。
もちろん、「値域を拡張する」というアイデアについて考える段階では、「虚数単位という1パラメータを考えればいい」かどうかも明らかでないわけで、その過程でクォータニオンや外積代数みたいな構造にまで思い至る奴もいるかもしれない。
それがロジカルってことだろ。「二乗して-1になる数があるぞー！それになんの意味があるのかとか考えるな！とにかくそれを探し出せ！」とかいうのは全然ロジカルじゃない。ただのクイズ。
