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はてなキーワード: ホモロジーとは
しかし、こういった商品は運びやすいように組み立て式になっており、しかもDIYしている気分になれるので一石二鳥なのです。
本棚を組み立て終わると、デスクの上に積んであった本の山をすっぽりと収めることができました。
というのも、私は数学愛好家なので、リファレンスとして数学書を大人買いしたいのです。
仕事柄、特に線形代数や離散最適化のような数学は使いますが、私が興味のあるのはそういった実用志向のアルゴリズムではありません。
むしろ取り組みたいのは、フェルマーの最終定理やラングランズ予想のような、一見すると実用からは遠いけれど、数学の本質を突くような深淵です。
数学には二種類の文化があり、アルゴリズム的な問題解決者と、深淵な理論を目指す者がいます。
プログラマーであればほぼ例外なく前者の立場になりますが、後者というのは「理論Aの理解のためにはBの理解が必要で、その理解にはCの理解が必要で、その理解のためには...」という階層が非常に深いものを表します。
私はいまだに、コホモロジーとはなんであるのかについてよくわからないのです。
コホモロジーをGPTに対し「小学生にもわかるように説明せよ」とやったものが以下です。
コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかりやすく説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。
まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなたが宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示しています。しかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体は地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。
コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学の世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定のパターンや形、構造などを指します。
しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから、小学生のあなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのは、コホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね！。
これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵を理解するためには地道な努力が必要です。
理論構築者の観点からみると、数学は登山に似ていると思います。
コホモロジーにたどり着くためには、集合論、群論、位相幾何学、ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。
これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位で物事を理解してきました。
アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのはIQです。
ところが、ラングランズプログラムや超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力や時間が必須になります。
しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマーの仕事としてなんの役にも立たないのです。
深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力を必要とするので、職業的な数学者でない限り努力の誘因が失われてしまいます。
深淵な登山をして、誰にも認められることなく自己満足して、何が楽しいのでしょうか。
結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。
数学の分科のうち数論幾何は研究にあたって必要な知識が最も多いと言われていますが、必要な知識量がこれに匹敵してするものはありますか？ある場合はその中でももっとも数論幾何の場合とは研究に要する前提知識において重複が少ない分科をあげてください。
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数論幾何に匹敵すると言われている学問としては、代数学や解析学があります。また、数論幾何とは別の枠組みで研究されている分科としては、トポロジーや微積分学などがあります。数論幾何とは研究に要する前提知識において重複が少ないと言われている分科としては代数学やトポロジーが挙げられます。
…
いや数論幾何にはトポロジーどころかホモロジーとか普通に必要じゃん何言ってんのこのクソアホAiは。
俺は数論幾何とは結構研究対象が食い違ってる中でそれを研究してたら天才と言われる数論幾何とタメを張れる数学の学問領域はあるかって聞いてるんだよ
解析学も、代数学も、トポロジーも、数論幾何という高みから見たらそれを理解するための踏み台たたき台でしかねえ。下位互換の学問を勉強等の最終目標にしたって仕方ねえんだよ。大は小を兼ねるってやつだ。
同じような知識を必要とする学問だと多少異なってても現に天才と言われてるやつに実績で敵う可能性は低いからな。毛色の異なる分野で対抗する方が賢明だし、それを探すには前提知識の重複具合を基準に考えるのが手っ取り早い。
Amazonのレビューなどに書くと過去のレビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます。
初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生の人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文の査読体制に問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想でしかありません。
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加藤文元先生の「宇宙と宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、
「ほとんど内容がない」
本書は、RIMS（京都大学数理解析研究所）の望月新一教授が発表した数学の理論である、IUT理論（宇宙際タイヒミューラー理論）の一般向けの解説書です。
1～3章では、数学の研究活動一般の説明や、著者と望月教授の交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論が画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています。
4～7章では、IUT理論の基本理念（だと著者が考えているアイデア）を説明しています。技術的な詳細には立ち入らず、アイデアを象徴する用語やフレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています。
まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1～7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論と本質的に関係ない」ということです。これについては後述します。
1～3章は、論文が受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。
などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学者コミュニティの中でIUT理論に懐疑的な人達に説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思います。もっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論に懐疑的であると認識して本書を書いたのなら話は別ですが。
4～7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的に説明されていません。
のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません（これに関して何が問題なのかは後述します）。そもそも、本書を手に取るような人、特に1～3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6～7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1～2ページ程度の内容しか無く（誇張ではなく）、極めて退屈でした。
8章はIUT理論の解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、
複数の数学の舞台で対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。
今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要があります。しかし、これ以上は技術的になるので説明できません。
のような調子で話が進みます。いくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学の解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います。
本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論と本質的に関係ない」ということです（少なくとも、私にはそうとしか思えません）。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。
たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば
奇素数pに対して、√pは三角関数の特殊値の和で表される。（たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7)）
4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。（たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2）
のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論の典型的で重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論の一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論の一般的な定理の証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論の理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的な現象」は説明できるわけです。
もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能な実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)
このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から
1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| ＜ 1)
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば
dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)
のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、
よって、
a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、
- a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)
「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります。
上の計算を正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数が収束するかどうか、または項別に微分や積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になります。しかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的な現象」を説明することはできるわけです。
一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的な現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的な現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語の注釈でしかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的に関係のない解説しかないようなものです。
もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。
繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙と宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるものが数学的に正しい命題・意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうものと区別が付きません。
ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitterで加藤先生のツイートを拝見したり、東工大や京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます。
まず、私は加藤先生のファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます。
まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的な現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。
そして、IUT理論と既存の数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。
論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存の重要な定理、およびIUT理論から導かれる重要な定理を、正式なステートメントで証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。
直感的な側面は、既存の数学からのアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論が位相空間における被覆空間の理論の類似になっているとか、そういう類のものです。
以上です。
加藤文元先生、望月新一先生、およびIUT理論の研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心からお祈り申し上げます。
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
タイトルにリンクを張った増田さんのコメントは、「君」という言葉がコメントに出てくることから、書き手が元増田の私一人を相手に書いているように推測されるので、返答してみます。
http://anond.hatelabo.jp/20081031114504
http://anond.hatelabo.jp/20081031121513
http://anond.hatelabo.jp/20081031160755
以上を書いた元増田です。とりあえず、今の学年を言っておくと修士２年です。
他の専攻の内容知らないし、勉強しなかったの反省しているから、他分野の専攻の人の感情を害さないように気をつけて発言しているつもりなのですが・・・
結論から言うと、俺は物理をはじめ、他専攻を舐めていないし、むしろ、知らないから怖がってすらいます。
これだけだと思います。
これは、理系全般に話を持っていこうとした人がいたので、「数学をどれぐらい使うかは専攻や研究室によって違うから、勝手に理系全般に話を広げないでくれ」っていう背景で書きました。
別に、「情報は数学使うけど、物理や化学は実験で成果が出るから数学使わなくていいなぁ」って言っているわけじゃなかったのですが、もう一回読み直してみましたが、どう見ても、そう読めますね。
ただ、物理・化学をはじめ、どの分野でも、科学である以上、「数学をそこまで使わなくても実験結果がおもしろければ評価される研究がある」ことは事実だと思います。
これは、何がいいたかったのかというと、「数学が全てってわけじゃないよね。実験やっている人は実験やっている人で、毎日深夜まで残って大変だよね」というように、実験やっている人に配慮したつもりだったのですが、今見ると、どう見てもそうは読めませんね。すみません。
数値解析も確率過程も物理で使いまくる（というか物理がルーツとさえ言える）し、情報幾何で出てくる幾何学の知識なんてたとえば一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れてるんだけど。
数値解析や確率過程を物理で使わない、と発言した覚えはありません。
「情報幾何で出てくる幾何学の知識が、一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れている」
というのは、情報幾何も一般相対論もやったことがないので知りませんでした。
たとえば君、ホモロジー論わかる？ガロア理論わかる？関数解析わかる？この辺は数学科の3年後期レベルだけど、たぶん勉強したことないんじゃないの？
端的に言えば、あなたから見れば、「何もやっていないに等しい」ということだと思います。
一応、群の定義ぐらいはわかります。ホモロジーはやったことありません。
関数解析は、授業は一応聞いていましたが、理解してないし切ってしまったので、問題が解ける気がしません。
プラスで物理や生物や化学やなどが必要になってくるけど，基本的に数学科並みに数学が必要。情報科学って一応応用数学だからね。
これを発言したのは私ではありません。
あんまり「俺は偉い」みたいなこと言わない方がいい。第一線の研究者は学問の垣根なんて平気で踏み越えていくらでも勉強してる。はっきり言って君は並の量しか勉強してないし、それで「俺は数学科並に数学ができる」なんて言ったら馬鹿にされるだけだよ。
「俺は偉い」とか、「数学科並に数学ができる」なんて思ったことも言ったこともありません。
むしろ、「僕は数学ができない」と回りに言いまくってます。最初の書き込みを見ていただければ、「数学ができる人はいいなぁ、自分は数学ができなくて損をしているなぁ」というニュアンスで発言しているのが分かっていただけると思います。「君は並の量しか勉強してないし」は、そうだと思います。
どの本にも、大抵、理解したかどうかをチェックするために、演習問題がついていますよね。あれが、解けないんです。
言っていることはわかるし、解答を見れば理解した気にはなれるのですが、演習問題が解けないんです。
「解けないってことは、本当に理解していないのだ」といわれてしまったら、それは、その通りだと思います。
結局、最終的に自分の専門にどう生かせるのかが、問題に出会った時に思い浮かばないと、学ぶ意味がないですよね。
学部のうちは、「この知識は、本当に将来使うのか？」ということに拘って知識を取捨選別してしまいました。
授業もそうやって選んでいたわけですし。当時は、なんとなく、「将来、時間があって必要なときに覚えればいい」みたいに思っていたのです。
実際に修士になってみて、激しく後悔しました。本当に専門以外のことを勉強する余裕がない。数学は、演習問題ぐらい解けるようにならないと、理解したことにはならないし、自分の専門にも応用できなくて勉強した甲斐がなくなってしまうのに、演習問題を解く時間がない。
学部のうちは、専門以外の勉強をちゃんとやっておくべきだったのだなぁ、と思っています。
応用数学屋から情報屋に転向した者だけど、やっぱり物理舐めすぎ。
数値解析も確率過程も物理で使いまくる（というか物理がルーツとさえ言える）し、情報幾何で出てくる幾何学の知識なんてたとえば一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れてるんだけど。
プラスで物理や生物や化学やなどが必要になってくるけど，基本的に数学科並みに数学が必要。情報科学って一応応用数学だからね。
数学科も舐めすぎ。はっきり言って情報関係で必要な数学は数学科の3年前期レベルまでで事足りる。要するに他の理系と変わらない。
たとえば君、ホモロジー論わかる？ガロア理論わかる？関数解析わかる？この辺は数学科の3年後期レベルだけど、たぶん勉強したことないんじゃないの？
あんまり「俺は偉い」みたいなこと言わない方がいい。第一線の研究者は学問の垣根なんて平気で踏み越えていくらでも勉強してる。はっきり言って君は並の量しか勉強してないし、それで「俺は数学科並に数学ができる」なんて言ったら馬鹿にされるだけだよ。
