■幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係

幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。

1. 基本設定

まず、以下のデータを考える。

• 曲線 𝑋: 代数的閉体上の滑らかな射影代数曲線。通常、複素数体 𝐶 上で考える。
• 簡約代数群 𝐺: 連結簡約代数群であり、そのラングランズ双対群を ᴸ𝐺 とする。

2. モジュライスタック

• 主 𝐺-束のモジュライスタック 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋):

- 𝑋 上の主 𝐺-束の同型類全体からなる代数スタック。

- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。

• ᴸ𝐺-局所系のモジュライスタック 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋):

- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。

- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。

3. 幾何学的ラングランズ対応

幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。

𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))

ここで、

• 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) は 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) 上のホロノミック 𝐷-加群の有界導来圏。
• 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)) は 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の連接層の有界導来圏。

この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。

4. 核関手とフーリエ–ムカイ変換

核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手

Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))

を定義する。この関手は、以下のように具体的に与えられる。

Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)

ここで、

• 𝑝₁ と 𝑝₂ はそれぞれ射影

𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)

• 𝑅𝑝₂ₓ は高次直像関手の導来関手。
• ⊗ᴸ は導来テンソル積。

問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。

5. ヒッチンファイブレーションと可積分系

ヒッチン写像を導入する。

• ヒッグス束: 𝐸 を 𝑋 上のベクトル束とし、φ: 𝐸 → 𝐸 ⊗ Ωₓ¹ をヒッグス場とする。対として (𝐸, φ) をヒッグス束と呼ぶ。

• ヒッチン写像:

ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)

ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。

完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。

6. ミラー対称性とホモロジカルミラー対称性

Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。

• 予想:

𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))

ここで、

- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。

- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。

この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。

7. 非可換ホッジ理論

ドリーニュの非可換ホッジ対応を考える。

• ドリーニュの定理: 正確には、複素代数多様体上の正則平坦束の導来圏と、その対応するヒッグス束の導来圏の間にエクイバレンスが存在する。

• 導来圏の同値:

𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))

ここで、

- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。

- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。

作用素:

• ドナルドソン–コルボ–ハッチンソン接続を用いて、ヒッグス束と平坦束の間の対応を構成する。

8. M 理論と物理的対応

M 理論におけるブレーンの配置:

• M5 ブレーンを考える。

• 配置: 11 次元の時空 ℝ¹,¹⁰ において、M5 ブレーンを ℝ¹,³ × Σ × 𝒞 に配置する。ここで、

- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。

- Σ は曲線 𝑋。

- 𝒞 はさらにコンパクト化された空間。

物理的な効果:

• コンパクト化により、4 次元の 𝒩=4 超対称ヤン–ミルズ理論が得られる。

• S-双対性: この理論における電磁双対性であり、ゲージ群 𝐺 とそのラングランズ双対群 ᴸ𝐺 の間の双対性を示す。

9. 高次圏論と ∞-カテゴリー

∞-カテゴリーの枠組みで圏の同値を考える。

• (∞,1)-カテゴリー: 1-射は 2-同値まで考え、2-射以上はホモトピー的に扱う。

• 圏の同値: 導来圏やスタックの圏は ∞-カテゴリーとして扱われ、同値性は ∞-関手によって定式化される。

Lurie の高次圏論:

• 派生代数幾何やトポスの理論を用いて、スタックやモジュライ空間上の構造を高次圏論的に理解する。

10. 総合的な数学的モデル

圏論的アプローチ:

• モノイダル圏: テンソル積を持つ圏であり、ブレーンの合成や相互作用をモデル化する。

• ファイバー函手: モジュライスタックのファイバーを取り出す函手を用いて、物理的な境界条件や場の理論を数学的に定式化する。

関手の合成と双対性:

• 双対性関手: 圏の自己同型としての双対性を考え、S-双対性やミラー対称性を圏論的に表現する。

• エンリッチされた圏: 圏の Hom 集合が他の圏の対象になるような構造を持つ圏を用いて、高度な相互作用をモデル化する。

11. 結論

幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。

• モジュライスタック: 主束や局所系、ヒッグス束のモジュライスタックを用いて、物理的な場の理論の状態空間を表現。

• 導来圏と高次圏論: 導来圏や ∞-カテゴリーを用いて、物理的な双対性やブレーンの相互作用を数学的にモデル化。

• 核関手とフーリエ–ムカイ変換: 圏の同値を具体的に構成するための道具として、物理的な対応関係を数学的に記述。

• ミラー対称性とホモロジカルミラー対称性: シンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を通じて、物理的な理論の双対性を数学的に解釈。

• 非可換ホッジ理論: ヒッグス束と平坦束の間の対応を通じて、場の理論のモジュライ空間の異なる表現を結び付ける。

これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。

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