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はてなキーワード: dzとは
Nukae wòfia be kansa le Naoki Momota ŋu?
Elabena kansa nye atikewɔmɔnu ƒe emetsonu.
Naoki Momota nye amesiwo tsi tre ɖe nyɔnyrɔ̃ ŋu, gake le nyateƒe me la, enɔ atikewo nam le megbe! ?
Ele be nàku kaba, ame tsitsi.
Meyi Russia eye metsɔ bɔmbwo yi na Ukraine-srafowo.
Ðeko wòle be nàwɔ ameɖokuiwuwu ƒe amedzidzedze.
r^2=x^2+y^2+z^2の全微分の右辺が2rdrになるのはなぜですか？drにならないのはなぜですか？
r^2 = x^2 + y^2 + z^2 は、3次元空間における球の方程式であり、rは球の半径を表します。
d(r^2) = d(x^2 + y^2 + z^2)
左辺は、r^2 の微小な変化量 dr に対応する微分を表します。右辺は、x, y, z が微小に変化する場合の変化量を表します。
右辺を展開すると、以下のようになります。
d(x^2 + y^2 + z^2) = 2x dx + 2y dy + 2z dz
ここで、x, y, z は球の中心を原点とした座標系であり、dx, dy, dz は微小な変化量です。この式を見ると、dx, dy, dz の係数が2倍になっていることがわかります。
したがって、r^2 = x^2 + y^2 + z^2 の全微分の右辺は、2rdr になります。drにならない理由は、微小変化の一つである微小変位(dx, dy, dz)が直交座標系で考えると、球体表面に沿っての変化ではなく、球体内部での変化として扱われるためです。
すみません。左辺の話でした。
それとr^2の微小な変化量はd(r^2)ですよね。つまりなぜd(r^2)=2rdrになるのか知りたいのです。
一変数関数における合成関数の微分の公式を使ったときの実行結果に形が似ているように見えますが、今回は全微分ですし、三変数なので合成関数の微分の公式を使って求められるものではないですよね。
申し訳ありません、回答が不十分でした。
d(r^2) = 2rdr となる理由は、r^2 = x^2 + y^2 + z^2 という式の両辺を微分すると、
d(r^2) = d(x^2 + y^2 + z^2) = 2x dx + 2y dy + 2z dz
となります。ここで、x, y, z はそれぞれ r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) によって求められる値であり、その微分は
dx = x/r dr, dy = y/r dr, dz = z/r dr
となります。これらを代入すると、
d(r^2) = d(x^2 + y^2 + z^2) = 2x dx + 2y dy + 2z dz
= 2x(x/r dr) + 2y(y/r dr) + 2z(z/r dr)
= 2(x^2 + y^2 + z^2)/r dr
= 2r^2/r dr
= 2r dr
となります。ここで、r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) を用いました。このようにして、d(r^2) = 2r dr となることが示されます。
dx/dr=x/rになることを途中式を添えて解説してください。私が計算したら
dr/dx=sqrt(x^2 + y^2 + z^2)/dx=2x/2sqrt(x^2 + y^2 + z^2)=x/rとなり、あなたの答えとは分子と分母が逆転しています。
申し訳ありません、間違えておりました。正しくは、
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) という式の両辺を微分すると、
dr/dx = x/sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = x/r
となります。これは、xを微小に変化させたときのrの変化量(dr)と、xの変化量(dx)の比率を表しています。したがって、
dx/dr = 1/(dr/dx) = r/x
となります。これは、rを微小に変化させたときのxの変化量(dx)と、rの変化量(dr)の比率を表しています。これより、
dx/dr = x/r
dx/dr = 1/(dr/dx) = r/xとdx/dr = x/rでは言ってることが食い違っているように見えますが
ご指摘ありがとうございます。私の回答に誤りがありました。正しくは、以下のようになります。
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) という式の両辺を微分すると、
dr/dx = x/sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = x/r
となります。これは、xを微小に変化させたときのrの変化量(dr)と、xの変化量(dx)の比率を表しています。
したがって、
dx/dr = 1/(dr/dx) = r/x
となります。これは、rを微小に変化させたときのxの変化量(dx)と、rの変化量(dr)の比率を表しています。
この式変形において、一つ目の等号は両辺の逆数を取ることで成り立ちます。二つ目の等号は、1/(r/x) = x/r という式変形によって得られます。
なんで一つ目も二つ目も左辺はdx/drなのに二つ目だけいきなり逆数とるんや…
教科書にそう書いてあったのが理解できなくてこちらも質問したんだからな。
大学物理の教科書では、ベクトル場を曲線lあるいは曲面Sに沿って積分する際に、「∫l F・dl」とか「∫S F・dS」といった表記が使われる。これは教育的に何のメリットも無いので、本当にやめて欲しい。
何が問題かと言えば、多くの教科書でこの表記が使われるにも関わらずその定義が書かれていないことだ。これは喩えるなら、実数a, bに対して「a ☆ b」という操作が行われているが、肝心の二項演算子「☆」の定義が無い、というようなものだ。
定義が書いていないなら、例題などからその計算方法を推測するしかない。しかし、よりにもよってその例題が、「Sが球面で、Fの大きさはSの中心からの距離にのみ依存する」といった積分が必要ないものしか載っていないのである。
このような教科書では、この計算が出てくる概念を正確に学ぶことはできない。
そもそも、この計算はこんな意味不明な表記を使わずとも書ける。
x, y, zを変数とする直交座標で、F = (Fx, Fy, Fz)とすれば、
である。ただし、lやSを適切な「向き」でパラメータ表示しないと符号が逆になることに注意。この表記は、同時期に数学で学ぶであろう微分積分の教科書に必ず書いてある。
上記のように微分形式を使うことには、単に曖昧さがなくなるというだけでなく、大きなメリットがある。
みたいなベクトル解析の定理を3つほど覚えている。微分形式を使うと、これらの定理を覚える必要がなくなる。
Dを境界がなめらかであるなどの十分によい性質を持った領域とする（2次元でも3次元でもいい）。∂DをDの境界とする。ωはDの内部および境界で定義された微分形式とする。このとき、上の一連の定理はすべて
∫D dω = ∫∂D ω
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