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はてなキーワード: ラプラシアンとは
超弦理論を数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏（∞-圏）の関手として定式化する。
𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ
ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏（例：鎖複体の圏、導来圏など）。
超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。
BV形式はゲージ対称性と量子化を扱うためにホモトピー代数を使用する。
Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0
ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。
𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
以上の数学的構造を用いて、超弦理論における重要な定理である「ホモロジカル・ミラー対称性の定理」を証明する。
ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である。
𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
1. フクヤ圏の構築：
- 対象：𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件（例えば、スピン構造やマスロフ指数の消失）を満たすもの。
- 射：ラグランジアン間のフロアーコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。
2. 導来圏の構築：
- 射：Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。
- 合成：連接層の射の合成。
- ファンクターの構成：ラグランジアン部分多様体から連接層への対応を定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。
- 構造の保存：この関手が 𝐴∞ 構造や三角圏の構造を保存することを示す。
- 物理的対応：𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデルの物理的計算が一致することを利用。
- Gromov–Witten 不変量と周期：𝑋 の種数ゼロのグロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算と対応する。
5. 数学的厳密性：
- シンプレクティック幾何学の結果：ラグランジアン部分多様体のフロアーコホモロジーの性質を利用。
- 代数幾何学の結果：連接層の導来圏の性質、特にセール双対性やベクトル束の完全性を利用。
結論：
以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカル・ミラー対称性の定理が証明される。
ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロアー境界演算子 ∂ を用いてコホモロジーを定義：
∂² = 0
𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im ∂
∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0
Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)
完備確率空間 (Ω, ℱ, ℙ) 上で、右連続増大フィルトレーション {ℱₜ}ₜ≥₀ を考える。
状態空間として、実可分ヒルベルト空間 ℋ を導入し、その上のトレース類作用素のなす空間を 𝓛₁(ℋ) とする。
システムダイナミクスを以下の無限次元確率微分方程式で記述する：
dXₜ = [AXₜ + F(Xₜ, uₜ)]dt + G(Xₜ)dWₜ
ここで、Xₜ ∈ ℋ は状態変数、A は無限次元線形作用素、F, G は非線形作用素、uₜ は制御変数、Wₜ は Q-Wiener プロセスである。
経済主体の最適化問題を、以下の抽象的な確率最適制御問題として定式化する：
ここで、𝓤 は許容制御の集合、L: ℋ × 𝓤 → ℝ は汎関数である。
価値汎関数 V: ℋ → ℝ に対する無限次元Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：
ρV(x) = sup{L(x, u) + ⟨AX + F(x, u), DV(x)⟩ℋ + ½Tr[G(x)QG*(x)D²V(x)]}
ここで、DV と D²V はそれぞれFréchet微分と2次Fréchet微分を表す。
システムの確率分布の時間発展を記述する無限次元Fokker-Planck方程式：
∂p/∂t = -divℋ[(Ax + F(x, u))p] + ½Tr[G(x)QG*(x)D²p]
ここで、p: ℋ × [0, ∞) → ℝ は確率密度汎関数、divℋ はヒルベルト空間上の発散作用素である。
dλₜ = -[A*λₜ + DₓF*(Xₜ, uₜ)λₜ + DₓL(Xₜ, uₜ)]dt + νₜ dWₜ
ここで、λₜ は無限次元随伴過程、A* は A の共役作用素である。
価格過程の一般的な表現を、以下の無限次元マルチンゲール問題として定式化する：
Mₜ = 𝔼[M_T | ℱₜ] = M₀ + ∫₀ᵗ Φₛ dWₛ
ここで、Mₜ は ℋ 値マルチンゲール、Φₜ は予測可能な 𝓛₂(ℋ) 値過程である。
Girsanovの定理の無限次元拡張を用いて、以下の測度変換を考える：
dℚ/dℙ|ℱₜ = exp(∫₀ᵗ ⟨θₛ, dWₛ⟩ℋ - ½∫₀ᵗ ‖θₛ‖²ℋ ds)
インフレーション動学を、以下の無限次元確率偏微分方程式で記述する：
dπₜ = [Δπₜ + f(πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + σ(πₜ)dWₜ
ここで、Δ はラプラシアン、f と σ は非線形作用素、iₜ は金利、Yₜ は総産出である。
小さなパラメータ ε に関して、解を以下のように関数空間上で展開する：
Xₜ = X₀ + εX₁ + ε²X₂ + O(ε³)
dwₜ = [Bwₜ + H(wₜ, πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + K(wₜ)dWₜ
ここで、B は線形作用素、H と K は非線形作用素である。
金利上昇の実質賃金への影響は、以下の汎関数微分で評価できる：
δ𝔼[wₜ]/δiₜ = lim(ε→0) (𝔼[wₜ(iₜ + εh) - wₜ(iₜ)]/ε)
1. 非可換確率論：
量子確率論の枠組みを導入し、不確実性のより一般的な記述を行う。
経済均衡の位相的構造を分析し、均衡の安定性を高次ホモトピー群で特徴付ける。
4. 超準解析：
無限次元確率動的一般均衡モデルは、金利、インフレーション、実質賃金の相互作用を一般的な形で記述している。
モデルの複雑性により、具体的な解を得ることは不可能に近いが、この理論的枠組みは経済現象の本質的な構造を捉えることを目指している。
このアプローチは、金利上昇がインフレ抑制を通じて実質賃金に与える影響を、無限次元確率過程の観点から分析することを可能にする。
しかし、モデルの抽象性と現実経済の複雑性を考慮すると、具体的な政策提言への直接的な適用は不適切である。
このモデルは、経済学の理論的基礎を数学的に提供するものであり、実際の経済分析や政策決定には、この抽象的枠組みから導かれる洞察を、より具体的なモデルや実証研究と慎重に組み合わせて解釈する必要がある。
このレベルの抽象化は、現代の経済学研究の最前線をはるかに超えており、純粋に理論的な探求としての意義を持つものであることを付記する。
某乙女ゲーム会社の制作する乙女ゲームとBLゲームが大好きだった。戦闘ゲーも作業ゲーも苦手な自分からすると数回の選択肢で結末が決定するノベルゲー方式はプレイしやすかった。ストーリーに魅せられて、キャラクターを好きになり、サントラもキャラソンCDもドラマCDも買い揃えた。ファンブックを読み込んでゲーム本編の考察をしたり、グッズを揃えたり、夢中だったあの頃は毎日楽しかった。
その会社の新作ゲームが発売されたのは昨年のこと。ソシャゲに注力している乙女ゲーム会社の久々のソフト発売である。
正確に言うと18禁ゲの全年齢移植版なのだが、大好きな18禁ゲの新規展開ということで、楽しみにしていたし、数回の発売延期にも耐えることができた。
移植にあたっての追加要素は新作スチル3枚。久し振りに描かれたキャラクターの顔は格好良く、ゲームも目一杯楽しんだ。
発売からしばらくして公式ムービーを見るために動画サイトでタイトルを検索したところ、この新作ゲームの実況プレイ動画シリーズを発見した。投稿日時を見ると発売から三ヶ月後に実況動画を投稿し始めているようだ。実況主は全ルートのハッピーエンド、バッドエンドまであますことなく実況しており、さらに全ルート攻略後に解放される隠しシナリオも実況。貴重な新作スチルもサムネイルに使用し、がっつりネタバレしている。
一購入者としては、全ルートネタバレ実況は歓迎できない。購入者だけが鑑賞できる新作スチルが誰でも見られる状況にあるのも残念だ。
乙女ゲーム会社の公式ホームページを確認すると、「プレイ映像は体験版/一章の範囲まで。上記範囲であれば作品の大きなネタバレにならず、初プレイ時の楽しみを十分に確保できるものと判断いたします。上記以外の配信は一切許可しておりません」（要約）とガイドラインが示されている。つまり全ルート実況は乙女ゲーム会社の定めたルールに違反しているのだ。
実況主には申し訳ないが、ファンの心情としては看過できず、乙女ゲーム会社に問い合わせメールを送った。長らくファンをしていたけれど、作品アンケート以外で乙女ゲーム会社にメールを送ったのは初めてだった。
問い合わせメールへの返信はなかったものの、しばらくして実況主は乙女ゲーム会社から削除依頼を受けたとして結末部分と隠しシナリオの実況動画を削除した。
「プレイ映像は体験版/一章まで」の範囲を超えた個別ルートの実況動画が残されていることにもやもやしたものの、対応に安堵。
しかしそれも束の間。
実況主は「（乙女ゲーム会社からゲームソフトを）ご好意でいただいてしまった」とSNSに投稿し、そのゲームの実況動画を動画サイトに投稿し始めた。動画内の説明によると、新作ゲームの実況を見た乙女ゲーム会社側は彼の実況を気に入って、実況するならこれを……ということで旧作のゲームソフトを好意で贈ったらしい。そのゲームは乙女ゲーム会社の代表作だった。
どうやらエンディングまでの実況も許可しているらしく、動画の説明文にもその旨が記されている。
……会社が定めたルールに違反した実況主にゲームソフトを贈った？？
公式ホームページ上の「体験版/一章上記範囲であれば作品の大きなネタバレにならず、初プレイ時の楽しみを十分に確保できるものと判断いたします。上記以外の配信は一切許可しておりません」の文言を公式自ら破るの？
もしかすると、公式ホームページのガイドラインにある「プレイ映像」が指す範疇に「ゲーム実況」は入らないということなのか。だからエンディングまでの実況を許可したのかもしれない。しかし、ゲーム実況がOKならば、新作ゲームの実況に削除依頼を出したのは何故？
考えれば考えるほど疑問が湧く。
ガイドラインへの疑問と実況主に対してゲームソフトを贈ったことについて乙女ゲーム会社に問い合わせメールを送った。しかし、待てど暮らせど返信はこない。
公式ホームページのガイドラインを確認しても改正されているわけでもない。乙女ゲーム会社の公式SNSやプロデューサーのSNS、公式ブログに目を通しても実況プレイについての言及は一切見当たらない。実況主を宣伝紹介しているわけでもない。
動画サイトでタイトルを検索すると、体験版/一章範囲を超えた実況動画は投稿され続けている。乙女ゲーム会社は公式上で実況プレイについて明言しないけれども、実況を許可している。一ヶ月以上乙女ゲーム会社の動向を見た結果、そのように結論づけるほかない。
権利者でも会社側でもない一ファンが実況に対して異議を唱えるのはおかしな話なのだから、会社側の対応に文句を言ってはいけないと頭ではわかっている。
それでも、感情面では納得できなかった。購入者だけが見られるはずのゲーム内容が動画サイトで垂れ流しされている。明示していたガイドラインは何だったのか。
「気に入ったから」という理由で実況主にゲームソフトを贈って全編ゲーム実況を許可する乙女ゲーム会社に、ガイドラインを破った乙女ゲーム会社に心の底から失望した。
失望すると、今まで溜めていた不満もふつふつと湧いていくる。
・新作ゲームの追加要素がスチル3枚だけというのは手抜きでは？
・ヒロインと攻略対象の恋愛模様を描いたSS集の中で、推し攻略対象のSSだけ恋愛ストーリーではなかった。
・推しキャラクターの誕生日にプレゼントを贈ったのにブログで取り上げられなかった（※この乙女ゲーム会社は、ファンからキャラクターにプレゼントが贈られると公式ブログ上でプレゼントを紹介する。場合によってはプレゼントが贈られたキャラクターのイラストも描き下ろしされる）。
失望しなければ、これまで通り目を逸し続けられた。
でもゲーム実況に対する失望と怒りが折り重なった現在、これまで見逃してきた些細な不満が許せなくなった。
まるで悪質クレーマーのようだけれど、もう無理なんだと思った。
潮が引くように、好きという気持ちが消えていった。
乙女ゲーム会社が作る乙女ゲームとBLゲームが一番好きな気持ちは変わらない。既存の作品はこれから先もずっと好きでいたい。
でも、新作ゲームが発売されても購入しないし、乙女ゲーム会社が倒産の危機に陥っても買い支えはしないだろう。定めたガイドラインを自ら破って全編ネタバレを許可する公式の商品なんて売れなくていいし、潰れても構わない。
・エロゲブランドはルール違反の動画に厳しいので(つい最近もラプラシアン代表が対応していた)、この乙女ゲーム会社にも毅然とした対応を期待していたのだと思う。各エロゲブランドの対応に感心していただけに、好きだった乙女ゲーム会社がエンディングまでのネタバレを許可するような企業だなんて思いもよらなかった。
・明示していたルールの例外を作るのならば、他の実況者やファンの見える場所に新しいルールを掲載してほしかった。
・ここのコメント欄を見てルールを破ることに頓着しない人が多いことに驚いた。エロゲやノベルゲームの違法アップロードが消えないのはこの程度の認識の人たちがいるからなんだろう。
・同じ実況者が別会社のBLゲームの実況を挙げていた。制作会社にガイドライン確認のメールをしたところ、「削除依頼の対応をした」と返信がきた。某社の対応とは雲泥の差である。
いまいちその分割のアルゴリズムがわかんないけど、三角形を無理矢理四角にするって感じなのかね。
点が増えるというのは結局のところグラフのノードが増えることなわけで、元々の形状(多様体)をなるべく正確に保つような点の置き方を考えればいいのか。
直感的にはグラフラプラシアンの固有ベクトルがどうとか言ってなんか記述できそうな気もするけどわかんない。適当こいてるだけかも。
計算量的に無理かも知らん。
しかし平面拘束つきで4点を生成するのってどうやるんだろう？3点生成してベクトルの線形結合の範囲で4点目を作る？
