■バナッハ＝タルスキーのパラドックスとブラックホール情報量

1. 数学的前提

以下の数学的構造を定義する：

• (M, g): 4次元ローレンツ多様体（時空）
• H: 事象の地平面を表す3次元部分多様体
• B(H): H上の有界線形作用素の集合

2. バナッハ＝タルスキー分割の形式化

H上にバナッハ＝タルスキー分割を以下のように定義する：

定義：Hの分割 {Ai}iεI が存在し、SO(3)の部分群 G が存在して、

1. H = ∪iεI Ai

2. Ai ∩ Aj = ∅ for i ≠ j

3. ∃g1, g2, ..., gn ε G such that ∪k=1n gk(∪iεI1 Ai) = H and ∪k=1n gk(∪iεI2 Ai) = H

ここで、I1 ∪ I2 = I かつ I1 ∩ I2 = ∅

3. 量子情報理論の導入

事象の地平面上の量子状態を密度作用素 ρ ε B(H) で表現する。

von Neumannエントロピーを以下のように定義する：

S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)

4. ホログラフィック原理の数学的表現

AdS/CFT対応に基づき、バルク空間の重力理論と境界のCFTの間の同型を考える：

Zgravity[φ0] = ZCFT[J]

ここで、φ0はバルクの場、Jは境界のソースである。

5. 情報量のモデル化

事象の地平面上の情報量を以下の汎関数で表現する：

I[H] = ∫H √h d³x I(x)

ここで、hはHの誘導計量、I(x)は局所的な情報密度である。

6. バナッハ＝タルスキー分割と情報量の関係

命題：バナッハ＝タルスキー分割の下で、

I[H] = I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai]

が成り立つ。

7. 量子効果の考慮

プランクスケールでの量子効果を考慮するため、非可換幾何学を導入する。

H上の座標演算子 X̂i に対して：

[X̂i, X̂j] = iθij

ここで、θijは非可換パラメータである。

8. 情報保存の定理

定理：量子効果を考慮した場合、以下が成り立つ：

limε→0 |I[H] - (I[∪iεI1 Ai] + I[∪iεI2 Ai])| ≤ Cε

ここで、εはプランク長に関連するカットオフパラメータ、Cは定数である。

結論

このモデルは、バナッハ＝タルスキーのパラドックスとブラックホールの情報量問題を統合している。

量子効果と非可換幾何学の導入により、情報の保存と量子重力理論との整合性を保ちつつ、事象の地平面上の情報量を記述することが可能となる。

このアプローチは、量子重力理論と情報理論の融合に新たな視座を提供し、ブラックホール情報パラドックスの解決に向けた理論的基盤を提供する。

Permalink | 記事への反応(0) | 08:35

ツイートシェア