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はてなキーワード: 微分とは
小学校時代、算数が嫌いだった、低レベルだし田舎にいた学校の算数先生もクソだし中学になっても、黒板に初等整数論の象形文字を書いていた
ハゲ水泳数学教師がいたが、当時の生徒のみんなからバカにされていたしまじで昭和の化石だった。まだ生きているのだろうか。
私は中学３年まで数学の勉強はせず、成績は常に悪かったが、高校に入ってから思い付きで勝手に勉強するようになり、２００１年に全国的に流行した
予備校にいたときは、「大学への数学」の日々演習とかチャレンジ添削問題も解いていたし、書店で買った全国大学数学入試問題なども解いて解いて解きまくった。
文系だが数学３Ｃの問題もやっていたし、東京大理系数学入試問題も相当に解いた。
東京大に入ってからは教養レベルの微分積分と行列をやっていて、数学検定協会の数検１級の過去問題を、コーヒーを買いまくって自宅で解きまくっていた平成１６年。
東京拘置所に入っていたときは東大後期数学試験の問題を自作していたし、黒羽刑務所に入っていたときは数学オリンピック本選問題を相当分解いた。
わたくしは平成１５年に東京大学の教養学部で、教養の微分積分と行列を学びましたが、その時代の駒場の数理科学研究科には
実数論の公理について日本人の学生に十分に教えられるだけの教授がいなかったし、わたくしどもは実数論に関する黄色い教科書を
買うように指導されただけで、その黄色い教科書も、日本人の学生に対し、実数論の公理に関し、十分に感銘を与えるような教材ではなかった
コーシー列とか、デデキント切断などのほか、イプシロンデルタ論法なども一応書いてあったが、当時の日本人からすると直截に言えばつまらなかったし
東大本郷の図書館には、昭和時代の数学者が書いた色々な書籍があったけれども、それらを書いた時代の背景がやばすぎて平成の女学生には
数学が嫌い、とかいう人間が大学数学が必修になるような学科に来ているのが間違いだろ……。
そしてお前の考えるような対策も、高校生のときにやることだし、だから対策内容ももっと直接的なものになるよ。
例えば数学を好きになってもらう方法として代表的な方策は、三角関数や微分積分の実用性を知るために、実際に用地測量作業を行ってみる、などがあるわな。
そういうことはいずれは、（数学科なら）いざとなったら分かるレベルにならないといかんが、大学一年生がやって実りあるものとは思えない。
理学系にいくにせよ工学系にいくにせよ、教養の数学でやるべきなのは、高校の微分積分の復習をしつつ、
のような基本的な結果をしっかり理解して使えるようになることじゃないだろうか。
こういうものを示すのには実数の連続性を厳密に定式化しなければいけないが、一年生相手にわざわざ「デデキント切断に順序構造を導入して」などとやらずとも、
というワイエルシュトラスの定理を認めれば十分である。これはデテキント切断による実数の特徴付けと同値であり、他の命題を示す際にも扱いやすく、直感的にも理解できる。
思うに、あらゆることを厳密にやるのが大学数学の「伝統」や「洗礼」などと言った価値観を持っている人が多い気がする。もちろん、それは一面では正しいし、高校数学までは曖昧だった部分がはっきりすることに喜びを感じる学生もいるだろう。しかし、たいていの学生は、数学が嫌いになるんじゃないだろうか。
中学高校の数学から、いわゆるユークリッド幾何学は廃止してよい。理由は単純明快で、何の役にも立たないからだ。
大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウスの定理を高校卒業以降（高校数学の指導以外で）使ったことのある現代人はいないだろう。こういうことは、別に高等数学の知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器が必要になったとして、補助線パズルが適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代の数学および科学技術を支えているのは、三角関数やベクトルや微分積分などを基礎とする解析的な手法である。
もちろん、たとえば三角比を定義するには「三角形の内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学の定理が必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学の手法はお役御免でよい。
これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。
現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在（2020年5月）のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトルは文系の範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。
ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠の代表的なものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり、代数や解析は計算が主体であるが、ユークリッド幾何学は証明が主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。
しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題は証明されなければならないからだ。実際、高校数学の教科書を読めば、三角関数の加法定理や、微分のライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも、数学の問題は全て証明問題である。関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学的思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。
和田秀樹らによるいわゆる「暗記数学」の要点をまとめると、以下のようになるだろう。
これは従来、数学の入試問題を解くのに必要なのが曖昧模糊とした「ひらめき」や「才能」だと思われていたことへのアンチテーゼである。「暗記」という語はその対比であり、特別な才能がなくとも、基礎事項を確実に習得することで、入試を通過できる程度の数学力は身に付くことを主張している。
そもそも、大学入試は大学で研究をする上で重要な知識や考え方の理解度を問うているわけであって、徒な難問を出して受験生を試しているわけではない。したがって、そのような重要事項（つまり、教科書の基礎事項や、数学を活用する上で頻繁に出てくるような考え方）を身に付けるのが正攻法である。
そのための教材としては、エレガントな別解や難問に拘ったものよりも、基礎事項や入試頻出の問題を網羅したスタンダードなものが良いとされる。
これはいわゆる解法暗記である。なぜ、具体的な実例を学ぶのかと言えば。数学に限らず、具体的な経験と関連付けられていない知識は理解できないためである。
実際、教科書を読んだばかりの人の多くは、自身の知識と入試問題との間にギャップを感じる。たとえば、ベクトルの内積の定義や線形性等の性質を知っただけでは、それを幾何学の問題に応用するのは難しいだろう。教科書を読んだばかりの段階というのは、将棋で喩えれば駒の動かし方を覚えただけのようなもので、実戦で勝つのは難しい。実戦で勝つには、定跡や手筋のような、ルールだけからは直ちに明らかではない、駒の活用法を身に着ける必要がある。
将棋の定跡を初心者が独自に発見するのが難しいのと同様に、数学の自明でない実例を見出すことも難しい。そのほとんどは歴代の数学者が生涯をかけて究明してきたものなのだから、当然である。しかし、現代の高校生には既に教科書や入試問題がある。特に入試問題は、数学の専門家が選りすぐった、良質な実例の宝庫である。受験生はこれを通じて数学概念の活用のされ方や、論理の展開等を深く理解するべきである。
そしてこれは、大学以降で数学や工学を学ぶ際も同様である。特に、大学以降の数学では、抽象的な概念が中心になるため、ほとんどの大学教員は、具体的な実例を通じて理解しているかを非常に重んじる。たとえば、セミナーや大学院入試等では、以下のような質問が頻繁になされる。
教科書の記述や、解いた問題は完全に理解すべきである。つまり、
といったことを徹底的に自問するべきである。自分の理解が絶対に正しいと確信し、それに関して何を聞かれても答えられる状態にならなければいけない。「微分で極値が求まる理屈は分からない（或いは、分からないという自覚さえない）が、極値問題だからとりあえず微分してみる」というような勉強は良くない。
そして、理解できたと思ったら、教科書の一節や問題の解答を何も見ずに再現してみる。これはもちろん、一字一句を暗記するということではなく、上に書いたような知識が有機的な繋がりを持って理解できているのかを確認することである。ある事実が、どのような性質を前提としていて、どのように示されるのかという数学のストーリーを理解していれば、何も見ずともスラスラ書けるはずだ。
また、問題を解く際は、いきなり答えを見るのではなく、一通り自分で解答を試みてから解答を見ることが好ましい。実際に手を動かすことにより、分かっている部分とそうでない部分が明確になるからである。
以上のことは、何も受験数学に限った話ではない。他の科目でも、社会に出て自分で調べたり考えたりしたことを他人に発表するときでも同様である。
要するに、数学の専門知識と社会的常識のある人は暗記数学に賛成しているようだ。
逆に、反対している人。
反対しているのは、金儲けが目的で目立つことを言っているか、何かをこじらせて勉強法に無駄な拘りを持っている人たちのようだ。
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思うに、アンチ暗記数学派というのは、精神の根底に以下のような考えを持っているのではないのだろうか？
一部の人は、大学入試では「ひらめき」「発想力」「頭の柔らかさ」「地頭の良さ」などを試すために敢えて典型的ではない問題を出しているとか、「天才」を発掘するために常人には解けないような難問を出題していると思っているのかも知れない。しかし、先にも述べたように、大学入試は、大学に入って研究するための基礎学力を測っており、入試問題は、そこで問われている知識や考え方が重要だから出題されるわけである。したがって、そういう重要な知識や考え方を十分に身に着けていれば受かる。ただそれだけの話である。そして、良識ある教育者は、数学で重要なところが分かっているから、それに基づいて教材や予想問題を作っている。そうでない人はもしかしたら、大学が普通の受験生には解けないように徒に問題を複雑にしていると思い込み、ひねくれた問題を教えているのかも知れない。
また、「数学自体は重要ではなく、数学を通じて思考力を鍛えることが重要」とか「受験勉強は社会に出て嫌な仕事を我慢するための訓練」等と思っている人もいるかも知れない。特に前者は、自称数学好きにもいるようだ。しかし、深く考えるまでもなく、大学受験に数学が課せられるのは、大学で研究するために（少なくとも、教員が望む水準で）絶対に必要だからである。そして何度も言うように、入試で問われるのは、研究のために必要な知識や考え方であり、「頭の柔らかさ」などではない。また、数学をそれほど使わない学部にも、受験に数学が課せられるのは、多くの大学には転部等の制度があり、文学部から経済学部とか、農学部から工学部に転部するような事例は珍しくないからである。
上記2つに共通するのは、「理解」よりも「ひらめき」等のオカルティックなものを重視することである。これは、上に述べた胡散臭い教育業者や、受験生に絡んでる学歴コンプが暗記数学に反対する理由と符合する。金儲けがしたい受験業者にとって、「基礎を確実に理解することが重要」と言うよりも「入試本番に典型問題は出ないから、ひらめきが大事（。そして、ウチの教材を使えば、それが鍛えられる）」などと言った方が、客は集まりやすいだろう。また、SNS等で受験生や教員などに絡んでる奴にしても、数学の本質が理解できず霊感的なものに価値を見出しておかしな勉強理論にかぶれてしまったと考えれば納得がいく。
射幸心、ギャンブル中毒でパチンコが止められないなら、せめてパチンコでスキルアップと金儲けができるように改善したら良いのではないか？
元々数学は苦手だった。小学校の算数はそれなりだったけど、中学生になってからつまづいた。
で、高校2年の頃、微分を最初に学ぶ時に数学の担任がこう言った。
「文系クラスへの進級を決めたやつは微分なんて理解しなくていいぞ。理系に進学するやつでも分からないやつがいるんだから」
これについイラっとした。なので、その日一日中数学2の教科書をずっと睨んだ。
それで、なんか分かった。限りなく小さくても0じゃない世界。そして積分はそれを無限に積み重ねていくこと。
予備校では変な数学の先生に当たって、ひたすら記述式の勉強をした。先生とした数学四方山話は結構楽しかった。
大学の数学はもっと難しかった。大学はいろいろあって勉強に身が入らず、フーリエ変換とか微分方程式とかよく分からないまま卒業してしまった。
で、卒業してから10年、数学には全くといいほど触れてこなかったけど（競技プログラミングの問題で式変形が必要な時に頑張るくらい）、昨日のニュースを聞いて数学の雑学本を買ってそれに載ってる証明とかを書き写したりしている。
久々の数学は楽しい。特に証明は、自分が直感的に思っていることを説明するのではなく、何も分かっていないイマジナリーな自分に段階を踏みつつなるべく短くものごとを納得させる作業だと思っていて、何を示したら疑い深いイマジナリーな自分がものごとを納得するのか考えるのが楽しい。
