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はてなキーワード: ガロアとは
楕円曲線暗号（Elliptic Curve Cryptography, ECC）は、数論と代数幾何学に基づく公開鍵暗号方式である。
特に有限体上の楕円曲線の構造を利用して安全性を確保する手法として知られ、RSA暗号に比べて少ないビット数で同等の安全性を実現できる。
楕円曲線とは、一般的に次の形で表される三次方程式により定義される：
y² = x³ + ax + b
ここで、係数 a, b は、定義する体 F 上の元である。特に、上記の式が体 F 上で非退化（特異点が存在しない）であるためには、判別式がゼロでないこと、すなわち
4a³ + 27b² ≠ 0
楕円曲線上の点の集合 E(F) は、無限遠点 O を加えた集合として群構造を持ち、加法演算が定義できる。加法演算は、点の「和」を取る操作であり、次の規則に従う：
このように、楕円曲線上の点の集合はアーベル群となる。この群の構造を活用し、暗号方式が構築される。
実際の暗号応用では、有限体 Fₚ（p は素数）や拡大体 F₂ᵐ 上の楕円曲線を使用する。有限体上の楕円曲線 E(Fₚ) は有限個の点から構成され、その数は次のようにハッセの定理によって評価される：
|E(Fₚ)| = p + 1 - t,
ただし、トレース t は |t| ≤ 2√p を満たす。
ECCの代表的な応用として、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン鍵共有（ECDH）がある。これを次のように構成する：
1. 楕円曲線 E と基点 G ∈ E(Fₚ) を公開する。
2. ユーザーAは秘密鍵 a を選び、公開鍵として P_A = aG を計算して送信する。
3. ユーザーBは秘密鍵 b を選び、公開鍵として P_B = bG を計算して送信する。
4. 双方は共通鍵として K = aP_B = bP_A = abG を計算する。
この手法の安全性は、離散対数問題、特に「楕円曲線離散対数問題（ECDLP）」に依存している。楕円曲線上の点 P と Q = nP が与えられたとき、係数 n を求めるのは計算的に難しいため、敵対者が秘密鍵を推測するのが困難である。
例えば、リーマン予想の特別な場合であるヴェイユ予想は、有限体上の楕円曲線の点の数に対する評価を与え、暗号設計の基礎となっている。
さらに、現代の暗号学では楕円曲線とモジュラー形式の関係やガロア表現といった高度な数論的構造が研究されており、これらが量子耐性を持つ新たな暗号方式の研究に貢献している。
楕円曲線暗号はこのようにして、抽象代数学、数論、代数幾何学の融合によって成り立ち、安全性と効率を両立させた暗号技術として広く利用されている。
深夜の翳りに身を晒し、今やっと眼を覚ました。これは魂の夜ふかし、そう呼ぶべきでしょう。
さて、私は時折、American Mathematical Society（以下、AMS）の書籍を求める運命にある。特にStudent Mathematical Libraryというシリーズは、その薄っぺらい体裁ながら、研究の奥深さを体感できるとても理想的なものであり、よく手に取ることとなる。しかし、その紙一重の薄さの背後に隠された内容は、従って、大学院の学生にのみ耐えうるものとなっている。昔、あまりの熱意から何冊か買い求め、積読の山を築いたこともあるが。
その山に埋もれる中、一つの書を読み尽くしたことがある。それは、数理モデリングの書であった。数理モデリング、これは往々にして、ラグランジュの未定乗数法などのよく知られた方法論に頼る傾向がある。しかしながら、AMSの書籍はそのくだらない枠組みにとらわれず、多彩な事例を探求していた。とはいえ、フレンケル教授が言うように、数理モデリングと言っても、ついには「ペンキ塗りの数学」である。
私は数学の最前線を垣間見るようになり、調和解析と数論の奇跡的な交差、フェルマーの最終定理、ガロア群、保型関数など、その深遠さに驚嘆する日々である。最近は、経済学に数学を結びつけることに強い興味を抱いており、mean fieldのような奥深い謎が私を惹きつける。
学びたいことが山ほどあり、私の能力と時間には限りがある。何を学ぶべきか、と悩むのはやむを得ない。しかし、コスパを重視し過ぎると、ついにはペンキ塗りの典型に陥ってしまうだろう。複数の数学の領域を結びつけることは、即座に実用性が見えるものと、その応用が果たしてどこに行くのか見当もつかないものがある。伊藤清が指摘するように、「実用を考慮しなければ、数学で遊ぶことは限りない」。この観点から見れば、私が探求すべき分野は、確率論の領域にあるのは明らかだろう。確率微分方程式とゲーム理論の交わる地点は、実用性との調和によって成り立つ、その方向へと進む決意を固める。
hash: c94da2af8ee4dd6e6ead4da0676b2b97
屋根裏を整理してたら古いパソコン（といっても2006年頃）が出てきたのでブラウザの検索履歴をサルベージしてみた。
当時自分が何にハマっていたのか思い出されていろいろ懐かしい…
パラ様 生え際
ホケマクイ
ブッチーン 灯花
ぶっこぉすぞー
るくしおん しびれるぜ、鋼の
ティプトリー・ショック
「デストロイがいいね」と君が言ったから六月二十四日はＵＦＯの日
わたるが死んじゃう
琵琶湖タワー
猫いらず 口の周り 光る
尸条書
立方晶窒化炭素
ドーマン法
ひだまりスケッホ
空飛ぶ冷し中華
セーラー戦士が全員ブルマーだったら、アニメ史を変えていたと思うね
34歳児
実はまだ２階に
アリオク
緑はいらない子
そうです。あのコが僕の畏敬する天使様なのです
おかしとか食べる
Ｔ－３４が倒せない
さあ牛だ
セノバイト
omegaの視界
ぽこにゃん
だぞなもし
倒福マーク
ボッキアウト
フムン
ユープケッチャ
目なき顔のジールバ
やったー＋１ シヴィライゼーション
ルロス ロルス
玉音盤奪取
ハレとケ
もえたん 06話
路肩のピクニック
白楽電の詩
ガッシボカ
聖なんとか女学園
クートニアン
お脱ぎなさい
グンニョキ
強さ激しく変動
南斗聖拳108派一覧
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比留間 京之介
この娘、最後死んじゃうんだよね
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ちびくろサンボ 枚数
俺のケツをなめろ
大胖女人
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菊屋橋101号
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舟に棲む
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マライア 多摩
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みなみおねいさん
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きみはホエホエむすめ
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蟹工船 光線
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パラシュート部隊 突然に
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唸るコカトリス亭
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ガロアの郡論
ルルスの術
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宇津田さんの死
レムコレクション
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ころがる石のような俺の生き様
はしれぐずども
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新藤幸司 CV
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ウイグルのジェノサイドについて中国の内部資料が流出、公開された件については毎日新聞の特設ページが入った。
お役立ち系の増田が4件もランクインした。ここ1,2年は増田のホットエントリ入り件数も減少傾向で推移してきたけれど今月は急に増えた。
ユークリッドからガウスの手前くらいまでの数学は、我々の感覚から自然に延長された世界の把握の仕方である。
一方、１９世紀初頭、リーマン、ガロアあたりから登場した現代数学の基底となったアイディアは、一見、実世界では観察されえないものの、人間のもつアプリオリな思考からは確実に真相を表していると考えられる世界・宇宙のとらえ方である。前者は「悟性」、後者は「理性」に相当するのではないか、と解釈しながら読んだ。
「AはBである」という命題には「分析的命題」と「総合的命題」の２種類あることが示されている。
「分析的命題」は、言い換えのようなもので、Aをよく吟味すれば、Bであることがわかる。「総合的命題」は、「理性」を必要とし、思考の飛躍が必要である。つまりAをいくら眺めたところで、Bはなかなか出てこない。BはAの世界の外にある。
昔、大学初年のころ「数学は単なる式変形や定義のトートロジー（言い換え）であるからつまらない」と言っていた友人がいた。彼はその後数学科から哲学科に転向した。
中学生のころ、速く動くと時間が遅れるとか、空間が曲がっているとか、そういう相対性理論の話を聞きかじったときに、なぜそういうことが人間にわかったのか不思議に思った。
「悟性」の単なる延長上で、数学を進めていっても、数学がトートロジーであったならば、現代物理でわかっている宇宙や素粒子の構造は理解できなかったに違いない。つまり、現代の数学や理論物理は「分析的命題」によるのではなく、「総合的命題」の積み重ねによっている。
この本は、なぜ、このような理解が可能であるか、を説明しようとしている本なのではないか。本書のすごいところは、現代数学や現代物理学が誕生する以前に書かれたにもかかわらず、現代数学の諸概念を考えるきっかけを作ったのではないかと思えるところだ。実際、リーマンやガロアが出現した時代は、この本が出た直ぐ後であり、本書が、まるでその後の現代数学の誕生を予見していたかのように見える。さらに、現実の宇宙がまさに、それらの現代数学によってしか記述てきないものであることを発見したアインシュタインや、物質の状態に不確定性を見たハイゼンベルクなどドイツ系の理論物理学者は、若い頃にカントを読んでいた節がある。
現在では、宇宙が量子場の曲がった多次元空間であり、群の対称性から素粒子とはまさにその多次元空間の変換の規約表現そのものであることが発見され、物質の質量は後天的に獲得されたものであることがわかり、人間の思考と実験によって、「理性」による「総合的命題」が積み重なり、驚くべき宇宙の理解が進んできている。
この現代の数学、物理学の飛躍的発展に、本書が間接的に果たした役割は、かなり大きいのではないか。人類の残した書物の金字塔の一つであろう。
https://anond.hatelabo.jp/20210728111035
上記のエントリでヒルベルトやガロアに並ぶ数学者について質問されたので例示するけど
その前に何故ヒルベルト・ガロアを挙げたかについても説明します。
まずヒルベルトは集合論に基づく20世紀前半の様々な数学理論の構築に重大な貢献をした人として挙げた。
その中でヒルベルトみたいな貢献をしている人としてジェイコブ・ルーリーという数学者がいる。
現在の代数理論の根本的な部分から新しい基礎を作り位相的場の理論や代数幾何学の理論の構築まで行ってるのは
次にガロアは方程式が解ける解けないという性質の裏に隠れた対称性を見事に発見した発想力の凄い人として挙げたけど
この隠れた対称性を見つけるという発想は現在の様々な数学理論に影響が及んでいる。
現在ガロアのような発想をした人としてエドワード・ウィッテンという数学者がいる。
彼は物理学者という意見も多いが数学者としても凄いのは間違いないと思う。
ウィッテンは様々な幾何的な不変量に対して物理的なモデルを考える事で別の求め方が出来る事を発見した。
こうして今まで重要と考えられてきた様々な幾何的な対象について物理的なモデルを用いて
今まで分かって無かった性質を見つけるという方法は現在の幾何において重要なやり方として大きく発展している。
この多大な影響を及ぼした発想をしたウィッテンはメチャクチャ凄い数学者だと思う。
以上現代の数学者でヒルベルトくらい凄い数学者の一人としてジェイコブ・ルーリーと
| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 143 | 14804 | 103.5 | 47 |
| 01 | 70 | 9451 | 135.0 | 40.5 |
| 02 | 69 | 13973 | 202.5 | 73 |
| 03 | 33 | 6289 | 190.6 | 28 |
| 04 | 16 | 1809 | 113.1 | 62.5 |
| 05 | 14 | 659 | 47.1 | 37 |
| 06 | 36 | 1823 | 50.6 | 31.5 |
| 07 | 74 | 5508 | 74.4 | 51 |
| 08 | 68 | 5943 | 87.4 | 47.5 |
| 09 | 123 | 12617 | 102.6 | 35 |
| 10 | 219 | 17421 | 79.5 | 42 |
| 11 | 193 | 18055 | 93.5 | 48 |
| 12 | 179 | 13671 | 76.4 | 36 |
| 13 | 141 | 14648 | 103.9 | 26 |
| 14 | 119 | 6892 | 57.9 | 32 |
| 15 | 184 | 20802 | 113.1 | 36 |
| 16 | 276 | 20305 | 73.6 | 24 |
| 17 | 218 | 13488 | 61.9 | 41 |
| 18 | 164 | 15050 | 91.8 | 36.5 |
| 19 | 163 | 11077 | 68.0 | 33 |
| 20 | 218 | 19264 | 88.4 | 37 |
| 21 | 173 | 13611 | 78.7 | 35 |
| 22 | 215 | 24606 | 114.4 | 32 |
| 23 | 170 | 15354 | 90.3 | 32 |
| 1日 | 3278 | 297120 | 90.6 | 36 |
ソシャゲガイジ(7), ヒルベルト(8), ガロア(8), shiba(4), EZ(3), ゲムスパ(3), Spark(3), 茶器(3), 相葉(4), エレクトロニカ(3), 死体遺棄(7), 資本(19), 開会式(20), 転売(25), 直近(12), 五輪(82), 無観客(11), 競技(24), 病床(10), 夏休み(13), 感染者数(19), オリンピック(134), 観客(13), アスリート(16), 死者数(10), 重症(26), 選手(39), 打っ(28), 接種(32), 中止(31), ワクチン(75), 感染者(36), スポーツ(29)
■ /20210728113443(20), ■真面目な話、男の多くは処女厨だと思うんだが /20210728165428(17), ■TOKYO2020を機に世界が激変しそうだ /20210728084208(16), ■庭でキャンプしたら、家族が溶けた。 /20210728150751(16), ■コロナの病床からこんばんは /20210727225048(14), ■「電車通勤をしてる奴らは人殺しの顔をしろ」とは言わない理由 /20210728193318(14), ■ブコメがつまらなくなった /20210727194501(13), ■今日は俺の誕生日だあああああああ！ /20210728100209(13), ■「沈黙は加担」ってマジで何だったの？ /20210727201328(12), ■駆け出しエンジニアってなんですぐ駆けるの止めるの？ /20210728124227(10), ■東京3000人超 /20210728154924(8), ■予約システムをバイトに作らせたい /20210728220819(7), ■サトシ「ポケモン税？」 /20210726160554(7), ■彼氏のおっぱいへのセレナーデ /20210728010131(7), ■今、コロナで若者が責められないのはなぜ？ /20210728100431(7), ■工作用アカウント(複垢等)をメモしていく /20200816073717(7), ■ /20210728122847(6), ■妻の正常性バイアスがひどい /20210728092337(6), ■選手村で絶対に交わされているであろう会話 /20210728082348(6), ■社会学とか経済学でトンデモ理論が平然と出てくるのは何でなの /20210727235502(6), ■増田でエクストリームな論を主張する人 /20210728163401(6), ■三角形の内角の和を180度以外にしたい /20210727221632(6), ■オリンピック女子ロードレースの奇跡を素人にも分かるよう解説する /20210727115101(6), ■女とかいうどんなに人生転落しても結婚すればいい性別 /20210728102158(6)
待て。サッカー選手で例えてくれよ。
| サッカー選手 | 数学者 |
|---|---|
| ペレ | ？ |
| マラドーナ | ？ |
| メッシ | ？ |
| クリロナ | ？ |
| ？ | ヒルベルト |
| ？ | ガロア |
| ？ | エミー・ネーター |
| ネイマール | ？ |
| レバンドフスキ | ？ |
| ムバッペ | ？ |
「100年の間にヒルベルトやガロアに匹敵する数学者も現れた」って趣旨だよね
「１００年の間にエミーネータークラスは大量に表れて、ガロア並みの人も出てる」って言ってるのであって
https://anond.hatelabo.jp/20210729213640
数学科を卒業した人でこの人を知らない奴は数学をきちんと勉強していない…
数学は大体「代数・幾何・解析・その他」の4つに分けられるけど
代数分野のかなりの基礎はこの人が関わっていると言っても過言じゃない。
まぁエミー・ネーターという人の話はここまでにしておくとして
じゃあその後から今現在にいたるまでエミー・ネーターに近いってレベルか
それ以上に凄い女性数学者がいたのかと言うといないと言っていいと思う。
これに異議を唱える人も殆どいない気がする。
100年経ってもエミー・ネーターのような人が現れていないのは
もしかしたら女性が数学者に取り組む環境は100年前と大して変わってないからかもしれない。
今が違うというなら大量に女性数学者が現れて確率的に一人は並ぶような人が出てるんじゃないだろうか。
よくアニソンとかの歌詞で「解けない方程式」みたいなフレーズが出てくるが、代数方程式だって5次方程式（たった5次！）以上になったら一般には解けないし、微分方程式に至っては「ミレニアム懸賞問題」として100万ドルの懸賞金が懸かってたりする難しさなわけで、たいていの方程式は解けなくて当たり前なんだよ！って、聞くたびにツッコミたくなる。
つまり、「解ける方程式」なんてほとんど無いのだから、「解けない方程式」に悩むなんて、空が飛べる翼がないことに悩むくらい実現不可能な空想であり、そもそも悩み方として間違っている。
というかまずは、お前の歌詞で求める「解」は近似解ではダメなのか、どうしてダメなのか、歌詞はせいぜい10分も無いけど、小一時間膝を付き合わせて問い詰めたい。ゼミを開いてお前の意図を詳らかにしたい。
ガロア群が可解にならないからって諦める前に、最適化のための近似アルゴリズムを試せよ。ニュートン法でも最急降下法でもいいから、なんか試せよ。微分不可能か知らないが、それでもなんかアルゴリズム考えろよ。
色々試した結果がそれでもダメだったら、初めてそのことを歌詞に表せよ。方程式が「解けない」んじゃなく、近似さえもできなくなったら、その内容を個別具体的に歌詞に表せ。そうしたら、俺もそのためのアルゴリズムを一緒に悩んでやろうじゃねぇか。
というか、方程式として問題を数式に表すことはできたんだよな。しかも歌詞という万民に伝わる形で。そこは偉いな。尊敬する。問題は多くの人間に共有すべきだ。
問題を数学の手法で解く場合、一番重要なのは方程式を解くなどの計算手法じゃない。問題を数式に落とし込む「問題の定式化」の部分が一番重要なんだ。だって、そもそも数式にできなかったら、どんな立派な手法があろうと問題なんて解けやしないだろう？
だからこそ、お前の歌詞は本当に惜しいんだよ！「解けない」ながらも、方程式として問題を定式化できたんだろう？定式化できたら問題は8割解けたも同然なんだ。
だから、お前の悩むべきは方程式を「解けない」と思い込んでいるその姿勢だ。
解けないことが問題なのではなく、妥協できないお前のプライドこそ問題なんだ。もう少し妥協して、近似解としてのアプローチに悩んでみてもいいんじゃないか？「一番じゃなきゃダメなんですか」なんて、お前以外の誰も求めてないかもしれないじゃないか。
なに？一番であることはアニソンとしての、つまり物語としての要求だって？
それなら、常に一番として勝ち続けないと存在しえない主人公、そしてそれを称える曲なんてアルゴリズム的にもう古いと、作者か作詞家かに最新の論文ごと叩きつけてやれ！
十全な状態で戦えずに、ひねった手法でなんとかやり込める、そういう近似解法としての物語が今や手法のトレンドじゃないのか？真っ正面から物語を「解く」んじゃなく、端からだんだんとアルゴリズムで解を詰めていく、それ以上は妥協する、そういう姿勢がこれからの物語像だと思うんだよ。
とにかく、こんなに絡み合った現代は「解けない方程式」だらけなんだ。正面から方程式を解くなんて今日び流行らねぇよ。だから、「解けない」という悩みを脱し、近似アルゴリズムで必死に解を詰めようとするお前の歌詞こそ、論文として採択されうる価値を持つものだし、これからの物語としてのロールモデルにだってなるはずだ。
