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はてなキーワード: 加法とは
1. 完備性: ∀x,y ∈ X, x ≿ y ∨ y ≿ x
2. 推移性: ∀x,y,z ∈ X, (x ≿ y ∧ y ≿ z) ⇒ x ≿ z
3. 連続性: ∀x ∈ X, {y ∈ X | y ≿ x} と {y ∈ X | x ≿ y} は閉集合
定理: 上記の公理を満たす選好関係 ≿ に対して、連続効用関数 u: X → ℝ が存在し、∀x,y ∈ X, x ≿ y ⇔ u(x) ≥ u(y)
ワルラス需要対応 x: ℝ_++^n × ℝ_+ ⇒ ℝ_+^n を以下で定義:
x(p,w) = {x ∈ X | p·x ≤ w ∧ ∀y ∈ X, p·y ≤ w ⇒ x ≿ y}
選好関係が連続かつ局所非飽和であれば、ワルラス需要対応は上半連続
1. 閉凸性: Y は閉凸集合
3. 非reversibility: Y ∩ (-Y) ⊆ {0} (無償の生産は不可能)
4. 無限の利潤機会の不在: Y ∩ ℝ_+^n = {0}
多重生産技術を表現する変換関数 T: ℝ_+^m × ℝ_+^n → ℝ を導入:
T(y,x) ≤ 0 ⇔ 投入 x で産出 y が技術的に可能
仮定:
証明の概略:
1. 超過需要関数 z: Δ → ℝ^n を定義 (Δは価格単体)
2. z の連続性を示す
3. Walras' law: p·z(p) = 0 を証明
4. Kakutani の不動点定理を適用: ∃p* ∈ Δ s.t. z(p*) ≤ 0
von Neumann-Morgenstern 効用関数の公理:
1. 完備性
2. 推移性
3. 連続性
4. 独立性: ∀L,M,N ∈ L, ∀α ∈ (0,1], L ≿ M ⇔ αL + (1-α)N ≿ αM + (1-α)N
定理: 上記の公理を満たす選好関係に対して、期待効用表現 V(L) = ∑_s π_s u(x_s) が存在
Choquet 期待効用:
V(f) = ∫ u(f(s)) dν(s)
定義 (相関均衡):
確率分布 μ ∈ Δ(A) が相関均衡であるとは、∀i, ∀a_i, a'_i ∈ A_i,
∑_{a_{-i}} μ(a_i, a_{-i})[u_i(a_i, a_{-i}) - u_i(a'_i, a_{-i})] ≥ 0
夕食前 84.1キロ 夕食+腐りそうなので残りサニーレタスとプチトマト一パック+ベビーチーズ1本 実就寝時間：01:00
実起床時間：07:00 朝食前 84キロ 朝食は納豆、油揚げ、ごはん、味噌汁、胡麻和え、しゃけ
午前中は尿のみ。うんこはなし。
昼食 水漬けパスタに半額お惣菜のエビの素揚げとホタテと半額だったスイートバジルを追加してオイルで和える
（水漬け10時間+3分茹でだと柔らかすぎだったので今後はもう少し短めに茹でること）
15:30 寝不足で頭がぼんやりしていて重力方向が変。今日は21時までに寝ること。→仕事の残りがあるので変更。
夕食は芋とキノコと玉ねぎと鶏の焼いたやつ と もやしとラディッシュの酢漬け
うんこはまだ出ていない
読書：
測度・確率・ルベーグ積分：40～59Pを行き来。具体的な証明とかは全然わからないのでどっかで手書き必要そう。「そもそも積分する対象といったものを有限加法性を持つかどうかなどで正しく構成しないと色んな不整合が生じるので自分がどんな対象に対して積分したいのかをよく認識してね」といったメッセージは読み取れたが、有限加法性やσ加法族、完備化やルベーグ可測、ルベーグ可測でないといったことがまだ頭の中で宙ぶらりんな状態で正しく事例と結びつかないのでその辺が要確認。
気になった言葉：相落手形、アイオロス（風の操縦者）、アイオワシティー（アイオワ州の州都ではない。州都はデモイン）、愛語摂→四摂事
視聴動画：
https://www.youtube.com/watch?v=DaDxCx2-hDc
https://www.youtube.com/watch?v=jfk42-0meJQ
実起床：7:35、84.3キロ（朝食前）。うんこなし。朝食はにんじん、ソーセージ、ブレッドプディング
11時8分 うんこが出る。少し柔らかそうだったが割合健康的な長うんこ。うんこ後体重は84.4
基本的にはリーマン積分のこれまでの過程をルベーグ積分でやり直してみようの回
最後の条件付き確率については加法族での確率空間の再構成という新しい概念が出ていて新鮮だった
実起床：6:30、84.2（朝食前）。朝食はごはん、納豆、味噌汁
海底二万マイルを少し読み進める。海底の森→潜水艇の日常風景→座礁→パプアの島という感じで冒険のステージが切り替わった感じ
海底二万マイルという言葉自体はまだ全く出ていない。下巻になってから？ 不明。
12:30 ニンジン1/2本、蒸しじゃがいものちっちゃいの五個、半額総菜のサバのしょうゆ？煮みたいなやつ
COMIC DAYSとgoogle playの課金機能が動かなくなる。原因不明。
海底二万マイルをパプアで人食い人種が出てくるところまで読了。
0:30就寝
7:00実起床 朝食：ピーナッツバタートーストとソーセージとレタス
18:30 のりまき
読書はキングキラー・クロニクル 風の名前 宿屋の主人との会話まで完了。
腰の痛みで何度も起きてしまった。ポケモンスリープ1日目は1時間半しか寝ていないことに。
10:30に耳鼻咽喉科へ聴力健診。風邪で混んでいたので11:40まで待つ。ルベーグ積分を読み終えてしまったが、内容として読み終えただけで関数などの証明には至っていないのでまだまだ読めそう。内容としては中心極限定理や大数の法則についてを数学的に積分論の言葉を使って書き表す、というもの。一点気になったのは作者は大数の法則について「経験的な法則というだけでなく＜しっかりと数学的な証明を持った考え方～」という話をしていたが、どちらかというと経験の方が大事なのではないかと思った。
また食と文化の本についてアジア編とインド編が読了し、アジアは米と魚、インドは（麦と米と）豆とミルク、遊牧文化圏以西は麦とミルク、みたいなまとめまで読んだ。納得できる。
12:30に中華弁当。中身はごはん、味玉、メンチカツ、じゃがいもとえびのあんかけ炒めみたいなもの。最後の料理は食べたことがある気がするが名前は思い出せない。炒土豆絲？
19:00までジム
ルワンダ銀行総裁日記を読了。改めてこれを読んでからルワンダ内戦について確認すると、服部も当時の政権側なのでその色眼鏡が入っているが、RPF側が勝利したので残念な結果だったのかもしれない。特に服部は当時の政権で仲のいい人たちがたくさんいただろうからやはりそれには心を痛めていたのかなという感じ。一方で調べてみるとRPF側が開戦した（ハビャリマナが殺された事件の犯人）というのも正しくはなさそう。
実際その後の難民の挙動はどうだっただろうというのは気になる。
15:00 うんこ
楕円曲線暗号（Elliptic Curve Cryptography, ECC）は、数論と代数幾何学に基づく公開鍵暗号方式である。
特に有限体上の楕円曲線の構造を利用して安全性を確保する手法として知られ、RSA暗号に比べて少ないビット数で同等の安全性を実現できる。
楕円曲線とは、一般的に次の形で表される三次方程式により定義される：
y² = x³ + ax + b
ここで、係数 a, b は、定義する体 F 上の元である。特に、上記の式が体 F 上で非退化（特異点が存在しない）であるためには、判別式がゼロでないこと、すなわち
4a³ + 27b² ≠ 0
楕円曲線上の点の集合 E(F) は、無限遠点 O を加えた集合として群構造を持ち、加法演算が定義できる。加法演算は、点の「和」を取る操作であり、次の規則に従う：
このように、楕円曲線上の点の集合はアーベル群となる。この群の構造を活用し、暗号方式が構築される。
実際の暗号応用では、有限体 Fₚ（p は素数）や拡大体 F₂ᵐ 上の楕円曲線を使用する。有限体上の楕円曲線 E(Fₚ) は有限個の点から構成され、その数は次のようにハッセの定理によって評価される：
|E(Fₚ)| = p + 1 - t,
ただし、トレース t は |t| ≤ 2√p を満たす。
ECCの代表的な応用として、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン鍵共有（ECDH）がある。これを次のように構成する：
1. 楕円曲線 E と基点 G ∈ E(Fₚ) を公開する。
2. ユーザーAは秘密鍵 a を選び、公開鍵として P_A = aG を計算して送信する。
3. ユーザーBは秘密鍵 b を選び、公開鍵として P_B = bG を計算して送信する。
4. 双方は共通鍵として K = aP_B = bP_A = abG を計算する。
この手法の安全性は、離散対数問題、特に「楕円曲線離散対数問題（ECDLP）」に依存している。楕円曲線上の点 P と Q = nP が与えられたとき、係数 n を求めるのは計算的に難しいため、敵対者が秘密鍵を推測するのが困難である。
例えば、リーマン予想の特別な場合であるヴェイユ予想は、有限体上の楕円曲線の点の数に対する評価を与え、暗号設計の基礎となっている。
さらに、現代の暗号学では楕円曲線とモジュラー形式の関係やガロア表現といった高度な数論的構造が研究されており、これらが量子耐性を持つ新たな暗号方式の研究に貢献している。
楕円曲線暗号はこのようにして、抽象代数学、数論、代数幾何学の融合によって成り立ち、安全性と効率を両立させた暗号技術として広く利用されている。
目標：与えられた高度な数学的概念（高次トポス理論、(∞,1)-カテゴリー、L∞-代数など）をフルに活用して、三平方の定理程度の簡単な定理を証明します。
定理：1次元トーラス上の閉曲線のホモトピー類は整数と一対一に対応する
背景：
高次トポス理論：ホモトピー論を高次元で一般化し、空間や位相的構造を抽象的に扱うための枠組み。
(∞,1)-カテゴリー：対象と射だけでなく、高次の同値（ホモトピー）を持つカテゴリー。
L∞-代数：リー代数の高次元一般化であり、物理学や微分幾何学で対称性や保存量を記述する。
証明：
トーラス
𝑇
1
T
1
は、円周
𝑆
1
S
1
[
,
1
]
[0,1] の両端を同一視して得られる。
𝑇
1
T
1
を高次トポス理論の枠組みで扱うために、位相空間のホモトピータイプとして考える。
これは、1つの0次元セルと1つの1次元セルを持つCW複体としてモデル化できる。
閉曲線のホモトピー類：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線は、連続写像
𝛾
:
𝑆
1
→
𝑇
1
γ:S
1
→T
1
で表される。
2つの閉曲線
𝛾
1
,
𝛾
2
γ
1
,γ
2
がホモトピックであるとは、ある連続変形（ホモトピー）によって互いに移り合うことを意味する。
基本群の計算：
トーラス
𝑇
1
T
1
の基本群
𝜋
1
(
𝑇
1
)
π
1
(T
1
𝑍
Z と同型である。
これは、高次トポス理論においても同様であり、(∞,1)-カテゴリーにおける自己同型射として解釈できる。
各閉曲線
𝛾
𝑛
この対応は、ホモトピータイプ理論（HoTT）の基礎に基づいて厳密に定式化できる。
円周
𝑆
1
S
1
のループ空間のL∞-代数構造を考えると、ホモトピー類の加法的性質を代数的に記述できる。
つまり、2つの曲線の合成に対応するホモトピー類は、それらの巻数の和に対応する。
結論：
𝑇
1
T
1
上の閉曲線のホモトピー類が整数と一対一に対応することを証明した。
解説：
この証明では、与えられた高度な数学的概念を用いて、基本的なトポロジーの結果を導き出しました。具体的には、トーラス上の閉曲線の分類というシンプルな問題を、高次トポス理論とL∞-代数を使って厳密に定式化し、証明しました。
高次トポス理論は、空間のホモトピー的性質を扱うのに適しており、基本群の概念を一般化できます。
(∞,1)-カテゴリーの言葉で基本群を考えると、対象の自己同型射のホモトピー類として理解できます。
L∞-代数を使うことで、ホモトピー類の代数的構造を詳細に記述できます。
まとめ：
このように、高度な数学的枠組みを用いて、基本的な定理を新たな視点から証明することができます。これにより、既存の数学的知見を深めるだけでなく、新たな一般化や応用の可能性も見えてきます。
その核心は、具体的な数や図形から離れ、演算の性質そのものに着目することにある。
群論を例に取ると、群とは集合G上の二項演算・が結合法則を満たし、単位元が存在し、各元に逆元が存在するという公理を満たす代数的構造である。
この抽象的な定義により、整数の加法群(Z,+)や置換群S_nなど、一見異なる対象を統一的に扱うことが可能となる。
群論の発展は、ガロア理論を生み出し、5次以上の代数方程式の代数的解法が存在しないことの証明につながった。
環論では、可換環を中心に、イデアルや素イデアルの概念が導入され、代数幾何学との深い関連が明らかになった。
体論は、代数的閉体や有限体の理論を通じて、ガロア理論や暗号理論の基礎を提供している。
これらの理論は、単に抽象的な概念の探求にとどまらず、数論や代数幾何学、さらには理論物理学や量子情報理論など、広範な分野に応用されている。
例えば、リー群論は素粒子物理学の基礎理論となっており、SU(3) × SU(2) × U(1)という群構造が標準模型の対称性を記述している。
また、抽象代数学の概念は圏論によってさらに一般化され、函手や自然変換といった概念を通じて、数学の異なる分野間の深い関連性が明らかにされている。
圏論的視点は、代数的位相幾何学や代数的K理論などの現代数学の発展に不可欠な役割を果たしている。
単純な公理から出発し、複雑な数学的構造を解明していく過程は、純粋数学の醍醐味であり、同時に自然界の根本法則を理解する上で重要な洞察を与えてくれるのである。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13293425613
みたいな主張、ようは「数学的に証明されたら感覚的なことではない。感覚じゃない事実なことを示すために証明するんだ」みたいな主張に対する違和感から始まってんだよね、元増田は。
いや、定義自体が、人間にインプットされた「同一/非同一」とか「書き換える」みたいな原始的な観念/身体感覚に依存してる部分が多少なりともあって、このプリセットが全人類で同一か確認する術が不可知なのだから、
「感覚をあいまいなもとみなし、そこから『全く』逃れるために証明するんだ」という考え方は、誤りだろって突っ込みたい動機から始まってるんだよね。全くじゃなく、程度問題だろ、全く感覚の影響を排除できてるというのは思い上がりだろっていう。もちろん厳密であろうと努力する態度は尊いと思うよ。
加法定理と内積の関係とか、和積公式がすなわちうなり現象に対応するとか、数ⅡBの範囲まででも数学的・物理的に面白い内容は色々あるぞ。
指導要領で数学Cが復活したから「数学IIIと数学C」と表記するけどまぁそれはともかく…
その範囲に入らない段階での三角関数について学んでもかなりつまんないとは正直思う
結局数学II・数学Bまでの三角関数はグラフを書いてどんな形になるか確かめたり、せいぜい加法定理を習うまでだからだ
これでは特定のxに対して sin x, cos x, tan x が幾つになるかばっかり考える事になる
三角測量という重要な応用があるにはあるが、それは結局実生活に役立ってる事が分かりはするが
これじゃ退屈に感じてしまう人がいても仕方ないよ
微積分と繋がる訳だ
これで様々な有理関数の不定積分が三角関数を用いて表す事が出来たりと
他の分野との有機的な繋がりが見えてくる
様々な平面図形や立体の面積・体積も求められるようになるし変種を含むサイクロイドもよく分からない曲線では無くなる
加法定理の応用範囲も色々と出てきて特定のxに対しての三角関数の値を求めやすくするためだけの定理ではなくなる訳だ
新学習指導要領の都合だと平面上の回転変換が三角関数を用いて表される事まで学ぶようになるかもしれないな
ゲームで言うとそれまで一部の地域でしか冒険してなかった主人公が急に世界全体を冒険出来るようになる滅茶苦茶面白い段階と言っていい
三角関数というものが面白い部分がすっかり抜け落ちた存在に映っても仕方ないものがある
世間で「三角関数は文系で習わなくてもいい」みたいな事を言う人達はこんな退屈な状態で学ばされたから言ってるのかもしれない
そんな事を言った某議員とかも三角関数を微積分までは勉強していないのは個人的に知ってるから尚更思ってしまう
だからといって数学II・数学Bから三角関数を無くすべきではないとは思いたい
逆にどうだろう…数学IIで三角関数を学ぶのと同時に簡単な微積分も習うんだから
そこで実は三角関数が絡むと微積分はとても豊かになるんだって証明抜きで簡単に紹介してみるのはいいんじゃないかな
そうすると三角関数が嫌いな人が減るような気がするんだ
複素ウィグナー・エントロピーと呼ぶ量は、複素平面におけるウィグナー関数のシャノンの微分エントロピーの解析的継続によって定義される。複素ウィグナー・エントロピーの実部と虚部はガウス・ユニタリー（位相空間における変位、回転、スクイーズ）に対して不変である。実部はガウス畳み込みの下でのウィグナー関数の進化を考えるときに物理的に重要であり、虚部は単にウィグナー関数の負の体積に比例する。任意のウィグナー関数の複素数フィッシャー情報も定義できる。これは、（拡張されたde Bruijnの恒等式によって）状態がガウス加法性ノイズを受けたときの複素ウィグナーエントロピーの時間微分とリンクしている。複素平面が位相空間における準確率分布のエントロピー特性を分析するための適切な枠組みをもたらす可能性がある。
確率というのものは、数学的構造としては面積とほとんど全く同じなんですよね。
つまり、重なっていない土地の面積は足すことができるとか、重なっている土地を合わせるときは重複を差し引かないと合計面積にならないとか、そういうことです。
普通の意味での面積との違いは「全体の面積は1」ということだけです。
（これを測度論的確率論と言います。より詳しく言うと物理的な面積にとって意味のある測度はルベーグ測度ですが確率空間の場合はそれに限らないため、無限要素数や連続体濃度が関わってくるときに違いが出てくるわけですがまあそれは普通は考えなくていいことです。）
面積とほとんど同じ意味しか持たない確率という構造それ自体に「ある特定の家族の子供が女である確率」とか「家族を100組集めてきたときの頻度として子供が女である確率」とかいう意味を自然に持たせることは不可能です。
そこはユーザーが別途やるしかないわけです。具体的には、面積の切り方のパターンを全列挙してこの面積はこういう意味（ある特定の家族の子供が男であるという意味、など）、この面積はああいう意味、という感じで、面積の切れ端と表現したい意味の対応づけを逐一定義する必要があります。これをやって初めて意味を踏まえた確率の議論ができるようになるわけです。
（これがσ加法族および確率変数の定義ということになります。）
モンティホールや元増田の設定などで毎回毎回議論が紛糾するのは、議論している人それぞれが頭の中に浮かべている面積の切り方のパターンと意味づけが異なっているからです。違うσ加法族、違う確率変数についてあーでもないこーでもないと言っているわけです。違うものを議論しているので意見が一致することはありません。
確率という構造およびそれと現実との対応について、何を明記すれば同じものを考えていると思ってよいかを整理したのがコルモゴロフの測度論的確率論の偉大な成果です。これは現実における確率の議論において避けることが絶対にできないものですが、中学高校の教育課程ではこのことを巧妙に避けて教えようとしているのが問題ですね。結局失敗して確率を国民に理解させられないままになっているから毎度紛糾するわけです。
まともに議論をしたければ、自分が想定しているσ加法族（面積の切り方のパターン）と確率変数（標本空間から実数値への、想定したσ加法族に対して可測な写像）を明示しましょう。それ以外に解決法はありません。
43歳です。
考えることを大事にすれば、暗記に頼らなくてもなどと考えていた記憶がありますが、あの頃に使っていた考え方のパターンはもうおおむね忘れてしまいました。
いろんなことがうろ覚えの彼方なのに、さらに時をさかのぼった子供のころに視聴した、NHK教育の番組のオープニングテーマなんかをやけにはっきり覚えていたりします。
「なりたいな、なれるかな、なりたいけれど足りないな、知恵も力も足りないな、でも今すぐなりたい！回れよ地球、はたらく人になりたいな」
自分のこういう記憶力の在り方が気持ち悪いと思いながら、だんだん愛せる年齢に差し掛かってきました。
はたらくふりはしているけれど、はたらけているかは定かじゃない。足りないものはずっと足りないまま。
そんな気持ちにはお構いなしに、それでも地球は回っていて、コペルニクス的驚きとかとくに伴いません。
一般化線形モデルは基本中の基本なので、「暗に仮定」も何も、知ってて当然現れたらスッと解釈できて当然の内容だと思うんだけど。
いや、だからy=aφ(x)+b型の回帰なんて一般化線形モデルに限らないのになんで「知ってて当然現れたらスッと解釈できて当然の内容だと思うんだけど」なの？
俺は一般化線形モデルを普通に勉強したことがあるし解釈できるが、俺のコメントはモデルが明示された後にそれを解釈できるかどうかを問うているのではなく「何も言及されていないのにφと書かれた関数だけをみて一般化線形モデルだと判断できないだろう」ということを言っている
なおあなたがそれしか知らないから「基本中の基本だしわかるだろ」って言ってるだけで基本中の基本でこの形の関数なんていくらでもあるからな
ガウス過程回帰かもしれないし、カーネル回帰かもしれないしスプライン回帰かもしれないし最近ならニューラルネットを使ってるかもしれない それこそどれも基本中の基本だ どれを想定しているかなんて神にしか分からんだろう
例えばX~Pって書かれたときに「Pは正規分布。これは基本中の基本なので、「暗に仮定」も何も、知ってて当然現れたらスッと解釈できて当然の内容だと思うんだけど。」とか言われたらあなた納得するの？
（書かれている文章のレベル感的に本当に納得しそうだから怖いんだよな・・・）
俺は一般化線形モデルの解説を求めているわけではなく断りなしに一般化線形モデルをいきなり持ち出してくるのがおかしいって言ってる。
上にも書いたけど、X~Pって書かれたときに何も言及なくPは正規分布を想定するって言われたらそりゃ文句を言うでしょ 候補は他にもいくらでもあるんだから
「相関を持ち出すなんて平均しか考慮していない！外れ値や分散を考慮していない！」とかご高説を垂れておきながらy=aφ(x)+bでは一般化線形モデル以外の候補は想定しなくてよい、みたいなこと言っちゃうのダブルスタンダードなんじゃないかぁ
一般化線形モデルの非線形部分は決定論的な項の話なので、加法的ガウスノイズを仮定しているならば非線形部分がどんな関数だろうと相関の強さは一意に定まる。
問題点がわかってないな・・・偉そうに上から目線でご高説を垂れてきた割にこのレベル感とか頼むよマジで
この人は専門ではないけど修論で一般化線形モデル周りだけ勉強して統計を使ってましたくらいのレベル感か？多分
リンク関数を一つ定めれば相関が定まるのはあなたがいうところの「当たり前」の話 その程度の話は問題にすらしていないことを文章から読み取れてほしい
読み取れてないならあなたの勉強不足だよもう 単語の使い方も雑だし
ただ一般化線形モデルでリンク関数にどれを使うかで相関が変わるの。線形相関を使う場合ならリンク関数はφ(x)=xで定まっていて特に議論なく終えることができるけど、非線形を許容し始めると「どのリンク関数を使うのか？」で相関が変わってしまうのにいったいどうやってリンク関数を定めて、そのうえで「相関が強い」ということを示すつもりなんだということを聞いている。リンク関数の選び方によっては同じデータでも非線形相関を0にもほぼ1にもできたりするんだけど。
夜遅くまで返信返してくれてありがたいことだけど返信されていない俺のコメントを再度貼っておこう
他の都合悪そうなコメントについても何一つ返信ないですよ？ 頼むでホンマ
