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はてなキーワード: 加法とは

2021-10-02

三角関数加法定理ってなんなん

これなんに使うの?

これがあると何がうれしいの?

2021-03-30

うちのこどもの引き算がオリジナル

13-7=

我が家小学1年生(4月から2年生)にこの計算をさせたのだが、

このような解法を説明してきた。

まず、7から、13の一の位の3を引く、すなわち、7-3=4として、4をだす。

そして、この4を10から引いて、10-4=6と計算をして、6の答えを出すというものだった。

普通、繰り下がりのある引き算は、減減法と減加法のいずれかを学校で教わるらしいのだが、うちのこどもは、このトリッキー方法自分で考え付いたと言っていた。

初めこの解法を説明されても、私は何を言っているのか分からなかったが、方程式を使って解いてみると、確かに正しい結果が導き出せることが分かった。

ちょっと勉強になった。

2021-02-12

もはや流言飛語レベルだな

共産党による恐怖煽りのまとめ年表

1951年、旧日米安保戦争する国になるぞ!

1960年、60年安保戦争する国になるぞ!

1970年、70年安保戦争する国になるぞ!

1987年防衛費制限撤廃戦争する国になるぞ!

1992年PKO活動加法戦争する国になるぞ!

1999年周辺事態法戦争する国になるぞ!

2001年印度洋給油←戦争する国になるぞ!

2003年有事法制化←戦争する国になるぞ!

2003年イラク派遣戦争する国になるぞ!

2007年防衛省昇格←戦争する国になるぞ!

2009年海賊対処法←戦争する国になるぞ!

2013年特定秘密法←戦争する国になるぞ!

2014年集団的自衛権戦争する国になるぞ!

2016年安全保障法制戦争する国になるぞ!

2016年オスプレイ導入←戦争する国になるぞ!

2016年安保法案徴兵制になるぞ!

2017年テロ等準備罪←投獄されるぞ!

2019年イージス・アショア導入←先制攻撃されるぞ!

2020年新型インフルエンザ等特措法改正軍事独裁政権になるぞ!

2020年コロナ流行欧米を見習え!

2020年コロナ流行欧米みたいになるぞ!

2020年検察庁法改正独裁国家になるぞ!

2020-11-08

70歳になる八百屋の親父(高卒)が三角関数知ってて驚いた

何十年も使う機会なかっただろうに加法定理覚えてた

2020-09-03

数学夏祭り 問3

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問3


エクセル計算させたい衝動を抑えつつ、出題者に指示されるがままにTn(x)について考えてみる。


T1(x)=x

T2(x)=2x^2-1

T3(x)=4x^3-3x

T4(x)=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1


法則が見えてくるだろうか。自信がなければ気が済むまで計算すればよいのだろうが、

・Tn(x)の次数はnに等しい

・最高次数の係数は2^(n-1)

・nと偶奇が一致しない次数の係数は0(項は1次飛ばしで登場する)

くらいは言えそう。必要ものは後で示すこととしよう。


Πに慣れていないとKの式にビビるかもしれないが、下の説明の通りにk=1~40を代入すると

K=cos(π/79)cos(3π/79)cos(5π/79)…cos(77π/79)cos(79π/79)とわかる。 …①


さてTn(x)を利用するとして、右辺はT1(x)T3(x)T5(x)…T77(x)T79(x)にx=cos(π/79)を代入したものに等しいけれど、さすがに厳しそう。1+3+…+77+79=1600次の整式を取り扱うのは狂気だし、xもよくわからない値だし。


nを一つだけ選ぶとしていくつにすればよさそうか。まず思いつくのは79だろう。

上で推測した性質からT79(x)=2^78x^79+?x^77+…+?x^3+?xとなりそう。 …②

x=cos(π/79)を代入すると左辺はT79(cos(π/79))=cos(79π/79)=-1となる。


もしや…


x=cos(3π/79)を代入すると左辺はT79(cos(3π/79))=cos(79*3π/79)=-1となる。

x=cos(5π/79)を代入すると左辺はT79(cos(5π/79))=cos(79*5π/79)=-1となる。

x=cos(79π/79)を代入すると左辺はT79(cos(79π/79))=cos(79*79π/79)=-1となる。


まりT79(x)=-1の解がx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79), cos(79π/79)となることがわかる。解の個数は40個。

y=T79(x)は-1≤x≤1の範囲で極大値1と極小値-1を交互に取っていくので、これとy=-1の交点を考えるとx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79)は二重解となることがわかる。x=cos(79π/79)だけは一重解。


参考:y=T5(x)のグラフ。これとy=-1はx=cos(π/5), cos(3π/5)で接してx=cos(5π/5)で交わる。

https://twitter.com/totsuration/status/1301359506748633089


まり二重解を解2つとカウントすると解の個数は79個。②が正しいとすればT79(x)は79次式なのでT79(x)+1=k(x-cos(π/79))^2(x-cos(3π/79))^2(x-cos(5π/79))^2…(x-cos(77π/79))^2(x-cos(79π/79))と因数分解できる。x^79の係数を比較してk=2^78。


①の形が現れたことに気づいただろうか。そう、定数項を比較すればよい。1=-2^78cos^2(π/79)cos^2(3π/79)cos^2(5π/79)…cos^2(77π/79)cos(79π/79)である

右辺はK^2/cos(79π/79)=-Kに等しいので1=2^78 K^2よりK=-2^(-39)とわかった。


[|log2|K||]=39


終了!…ではない。②で使用した冒頭のTn(x)の性質3項目(補題)を示す必要がある。漸化式→帰納法に持ち込めれば楽そう。加法定理公式を考えると2項間の漸化式は難しそうなので3項間の漸化式を求める。


cos(n+2)θ+cos(nθ)=2cos(n+1cosθなので

T(n+2)(x)+Tn(x)=2xT(n+1)(x)

T(n+2)(x)=2xT(n+1)(x)-Tn(x)


T1(x)=x

T2(x)=2x^2-1

でありn=1,2で

・Tn(x)の次数はnに等しい

・最高次数の係数は2^(n-1)

・nと偶奇が一致しない次数の係数は0

は満たされる。


n=k, k+1上記条件を満たすとき

n=k+2においてT(k+2)(x)=2xT(k+1)(x)-Tk(x)も

・次数はk+2に等しい

・最高次数の係数は2^(k+1)

・k+2と偶奇が一致しない次数の係数は0

が言える。


よってすべての自然数nについて補題は示された。


[|log2|K||]=39

2020-08-27

中学高校数学にいわゆるユークリッド幾何学不要

ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在高校数学カリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。

ユークリッド幾何学不要だと思う理由単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って~」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズル適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの手法一般的現象記述する上で必ず必要になります

もちろん、たとえば三角比定義するには、「三角形内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学性質必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:

OABに対して、|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|cos∠AOB

証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。

現状、少なくない時間ユークリッド幾何学に費やされています数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています

高校数学では以下のような事項が重要だと思いますユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。

これらの分野は数学手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的問題数学物理問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベル重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか?

ユークリッド幾何学初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います

  1. ユークリッド幾何学では証明の考え方を学ぶことができる
  2. 図形問題代数や解析の問題よりも直感的で親しみやす
  3. ユークリッド幾何学問題を解くことで「地頭」「数学直観」などが鍛えられる
  4. ユークリッド幾何学歴史的重要である

しかし、これらはいずれも正鵠を射ていません。

まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題証明されるべきものからです。高校教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離公式三角関数加法定理微分ライプニッツ則や部分積分公式など、どれも証明されていますそもそも数学問題はすべて証明問題です。たとえば、関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないか定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学けが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。

②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトル微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理メネラウス定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学手法問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法一般方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学手法にこだわる理由はありません。

③は単なる個人思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要数学素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学特別視する理由になっていません。

④もおかしいです。そもそも歴史的重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的重要ならば教えるというなら、古代バビロニアインド中国などの数学特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や+-×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わず数学記述するべき理由があるでしょうか。

数学重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学擁護する論者は、「(表面的に)計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います

大昔は代数計算方程式の解法(に対応するもの)は作図問題帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法重要な結果を導きやす方法を用いればよいに決まっています数学史家は別として)。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。

たとえば、放物線は直線と点から距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育重要なのは明らかに2次関数グラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから最初から2次関数グラフとして導入するのは理にかなっています数学教育の題材は「計算問題証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。

三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学連立方程式を学ぶのに小学生鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います

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(*1)

現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに

(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーデルタ)

内積定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間ベクトル微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています

(*2)

数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題ガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識必要」というわけではありません。

2020-06-10

anond:20200610173619

覚える必要のあることなんて何一つない。ただ、覚えると便利だから覚えているだけ

そんなことは言っていない。

もちろん導出に数十分かかる公式なんかは現実的には覚えないとしょうがないんだけどね。

少なくとも高校数学でそんな公式あるの?

あと、「導出に時間がかかるから覚える」なんてことも言っていない。

文中で挙げた例では、加法定理証明などはそこそこ長いが、こいつは回転が1次変換であることと、(1, 0), (0, 1)が平面の基底であるという当たり前の事実が分かっていれば、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)の値だけから決まるということが分かる。

でもそれは本質的ではなく、「理論上は解ける」ことの方が重要増田はそういう話をしているんだろう。

そんな話はしていない。

もちろん例外はいくらでもある。例えば積分の(基本的な)公式は覚えるしかない。

積分基本的公式って何?

置換積分や部分積分公式は、合成関数や積の微分対応するんだから、覚える必要ないよね。

log(x)の積分なんかはテクニカルかも知れんが、部分積分適用できる好例だし、そもそもこんな単純な初等関数微分積分なんか、習得して当たり前。そんなもんを「覚えなければいけない」なんて感じるのは、意識問題

まあ結果を覚えるというより導出を覚えるべきなんだけど、

そんなことも言っていない。

テクニカルアイデアが大量に詰まっているので「容易に自分で思いつける」類のものではない。

そもそも、「覚えなければいけない」の対義語は「自分でおもいつく」じゃない。

日本語理解おかしいんだよ。

結局覚えるべきものはいくらでもある。でも増田はそういう専門的な話はしていないと思う。

一貫して覚える必要のあるものほとんどないと言っている。

また、定理などを覚えるべきかどうかについて、高校数学大学数学で違いがあるとも言っていない。

基本的数学で覚えなければいけないことは無い

たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは(もちろん厳密に証明することはできるが)自然感覚であり、これも覚える必要はない。

こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。

また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないか無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。

定義は覚える必要があるか

無い。

定義公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。

それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えている問題に対してそのように概念定義すべき理由存在するからだ。

たとえば、複素数実数係数の2次方程式の解として生じるからi^2=-1と導入するのは自然であるし、三角形は2角と1辺の長さが決まれば決定されるから三角比定義自然ものである

そもそも、どのような経緯でそのような概念が導入されるのか理解することは、別に数学に限らず重要である

定理公式は覚える必要があるか

無い。

数学公式はすべて論理的に導出できるのだから、覚える必要はない。特に高校数学程度の定理公式などに大して証明が難しいものは無いのだから、瞬時に正しく導けなければいけない。

また、大抵の公式は、その意味理解できていればいくつかの具体例で試せば分かる。たとえば、三角関数加法定理は、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)さえ分かれば求められる。

用語を覚える必要があるか

無い。

用語などはどうでもいい。

たとえば、平方完成という名前を知らなくても、二次方程式の解の公式の導出や、二次関数極値問題が解ければ全く問題ない。

問題の解き方は覚える必要があるか

無い。

そもそも数学理解度を確かめるために具体的な問題があるのであって、問題の解き方を覚えるのは完全に本末転倒である

その問題で使われている概念定理、解答の論理展開などをしっかり理解することが本質的である

2020-06-09

掛け算の順番指導元凶たる小学校学習指導要領(平成29年告示)解説

あの愚かしい「掛け算の順番」論を小学校2年生で教えるように文部科学省からの「解説」が出たのは,平成29年7月のことであった。学習指導要領平成28年12月の中央教育審議会答申を踏まえて平成29年3月31日に改訂され,文部省による「解説」が平成29年7月に公開されたのである

https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387017_004.pdf

「掛け算の順番」は,中央教育審議会答申で加わったものなのか,それとも「解説」で加わったものなのか。後者である

中央教育審議会や,その初等中等教育分科会さらにその中の教育課程部会小学校部会教育課程部会算数数学ワーキンググループ議事録は,国立国会図書館が保存している。

中央教育審議会https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo0/index.htm

初等中等教育分科会https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/index.htm

議事録をそれぞれ開いて検索しても,「乗法」「かける数」の順番についての言及は無い。

ところが,学習指導要領の「解説」113頁以下で突如として,「被乗数と乗数の順序が…本質的役割果たしている」などという言葉が出てくるのである

 

もっとも,この「解説」が,中央教育審議会での検討結果を適切に踏まえて作成された可能性もある。

したがって,掛け算の順番を指導すべきか否かについて,確認すべき点が2点ある。

第一に,中央教育審議会教育課程部会算数数学ワーキンググループ委員ら( https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/meibo/1370594.htm )は,掛け算の順番を指導することを意図していたか。第二に,「解説」113頁以下の執筆過程である

 

もっとも,「解説」が中央教育審議会真意を反映していないと推認させる事情がある。「解説対象としているはずの表現が,指導要領の文言と異なっているのだ。以下は「解説」113頁以下の抜粋である(二重引用は,解説中で引用されている指導要領である。)。

A(3)乗法

(3)乗法に関わる数学活動を通して,次の事項を身に付けることができるよう指導する。

 ア 次のような知識及び技能を身に付けること。

  (ア) 乗法意味について理解し,それが用いられる場合について知ること。

  (イ) 乗法が用いられる場面を式に表したり,式を読み取ったりすること。

  (ウ) 乗法に関して成り立つ簡単性質について理解すること。

  (エ) 乗法九九について知り,1位数と1位数との乗法計算が確実にできること。

  (オ) 簡単場合について,2位数と1位数との乗法計算の仕方を知ること。

 イ 次のような思考力,判断力表現力等を身に付けること。

  (ア) 数量の関係に着目し,計算意味計算の仕方を考えたり計算に関して成り立つ性質を見いだしたりするとともに,その性質活用して,計算を工夫したり計算の確かめをしたりすること。

  (イ) 数量の関係に着目し,計算日常生活に生かすこと。

用語記号〕 ×

(内容の取扱い)

(4) 内容の「A数と計算」の(3)のアの(ウ)については,主に乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする。

 第1学年では,加法意味について理解することや,その計算の仕方を考えることを指導してきた。また,第2学年では,数のまとまりに着目し,数を2ずつ,5 ずつなどの同じ大きさの集まりにまとめて数えることを指導してきている。

 第2学年では,乗法が用いられる実際の場面を通して,乗法意味について理解できるようにする。また,この意味に基づいて乗法九九を構成したり,その過程乗法九九について成り立つ性質に着目したりするなどして,乗法九九を身に付け,1位数と1位数との乗法計算が確実にできるようにするとともに,計算生活学習活用する態度を養うことをねらいとしている。

 なお,ここでの学習の内容は,第3学年の多数桁の乗法や除法の学習の素地となるものである

ア 知識及び技能

 (ア) 乗法が用いられる場合とその意味

 乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。

 例えば,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。

「5個のまとまり」の4皿分を加法表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。また,各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えるこ とができ,全てのみかんを数えるために5回の操作必要であることから,4+4 +4+4+4という表現可能ではある。しかし,5個のまとまりをそのまま書き 表す方が自然である。そこで,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を 乗法を用いて表そうとして,一つ分の大きさである5を先に書く場合5× 4と表 す。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現と も捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ 分かに当たる大きさ)と捉えることができる。

 また乗法は,幾つ分といったことを何倍とみて,一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も,併せて指導する。このときも,一つ分 に当たる大きさを先に,倍を表す数を後に表す場合,「2mのテープの3倍の長さ」 であれば2× 3と表す。

 なお,海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては,「4×100 mリレー」 のように,表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。

 ここで述べた被乗数と乗数の順序は,「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大き さを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方,乗法計算の結果を求める場合には,交換法則必要に応じて活用し,被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。

 乗法による表現は,単に表現として簡潔性があるばかりでなく,我が国で古くか ら伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって,その結果 を容易に求めることができるという特徴がある。

「(ア) 乗法が用いられる場合とその意味」という見出しが付されていることから,「解説」を執筆した文部科学省初等中等教育局長髙橋道和およびその部下たちは,学習指導要領における「乗法意味について理解し,それが用いられる場合について知ること」を「乗法が用いられる場合とその意味」と読み替えた上で,後者について解説してることが分かる。

そして文科省初等中等部教育局は,「用いられる場合」のあり方について縷々説明をする。「その意味」が「乗法意味」ではなく「乗法が用いられる場合意味」を指すように,意味が変更されたことの現れである。順序が本質的役割を果たすとして交換を拒む彼らが,表現の順序を交換しているのは皮肉であるが,そこでは交換法則が成立していない。

学習指導要領は,「乗法意味」には「理解」を求め,「それが用いられる場合」は「知ること」を求めている。後者は知るだけで良いのであって,深い分析の如きは求められていない。そこには,文科省官僚が言うような「被乗数と乗数の順序に関する約束必要であることやそのよさを児童理解することが重要である」というような視点はなかったのである

2020-06-03

有限体って何?

位数が有限な体のことです。

定義

集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Fに対して、ある元-a∈Fが存在して、a + (-a) = a + (-a) = 0

Fの元の個数をFの位数という。

上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。

  • 任意のa, b∈Fに対して、a + b = b + a

Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである

  1. Fは、+を演算としてabel群になる
  2. 任意のa, b, c∈Fに対して、(ab)c = a(bc)
  3. 任意のa, b, c∈Fに対して、a(b + c) = ab + bx
  4. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b)c = ac + bc
  5. ある元1∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、1a = a1 = a

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。

  • 任意のa∈F\{0}に対して、あるa^(-1)が存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1

Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。

基本的定理

位数有限な斜体は、可換体である。(Wedderburn)

有限体の位数は、pを素数として、p^nの形である

逆に、任意素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。


  • pを素数として、整数をpで割った余りに、自然加法乗法を入れたものは、有限体F_pになる。
  • F_pに、F_p上既約な多項式の根を添加した体は有限体になる。逆にq=p^nとなる有限体F_qはすべてこのようにして得られる。
  • F_pの代数閉包Fを固定すると、F_q (q=p^n)はFの元のうちx^q=xを満たす元全体である

有限体の代数拡大

有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。

これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型

φ_q: x→x^q

で生成される位数mの巡回群である

2020-05-25

anond:20200523091515

根本から理解することは重要だと思われます

しかしながら、どのレベルまで理解を追求すれば腑に落ちるのかは人によるので、よほどダメ勉強法でもない限り、理解にいたる過程個人個人に合った方法でよいと思います

たとえば初学者にとって、三角関数加法定理、点と平面の距離公式、2変数関数の陰関数定理、2次曲線の離心率による分類などの証明は、いきなり読むのは体力が持たないかも知れません。

こういうものは、一旦認めてしまい、具体的な例にあてはめて状況を観察してみたり、それを用いる演習問題を解いてみるのも、大いに結構なことではないかと思います

2020-05-22

中学高校数学ユークリッド幾何学不要である

中学高校数学から、いわゆるユークリッド幾何学廃止してよい。理由単純明快で、何の役にも立たないからだ。

大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウス定理高校卒業以降(高校数学指導以外で)使ったことのある現代はいないだろう。こういうことは、別に高等数学知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器必要になったとして、補助線パズル適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代数学および科学技術を支えているのは、三角関数ベクトル微分積分などを基礎とする解析的な手法である

もちろん、たとえば三角比定義するには「三角形内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学定理必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学手法はお役御免でよい。

高校数学では、以下の分野が特に重要だと思われる。

これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。

現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在2020年5月)のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトル文系範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。

ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠代表的ものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり代数や解析は計算主体であるが、ユークリッド幾何学証明主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。

しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題証明されなければならないからだ。実際、高校数学教科書を読めば、三角関数加法定理や、微分ライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも数学問題は全て証明問題である関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。

2020-02-08

和積の公式

30超えのおっさんになって和積の公式使うことになるとは思わなんだ。

加法定理から導出できるんかな。

シンコスコスシン、コスコスシンシン。

2019-08-17

加法定理の覚え方

死ね(α+β)は死ねα殺すβ+殺すα死ねβ

殺す(α+β)は殺すα殺すβ-死ねα死ねβ

って覚えててうっかり口に出してしまときがあるんやが

2019-01-18

anond:20190117174807

ウィンドウズのロゴはこういうコンセプトらしい。

https://enjoy.sso.biglobe.ne.jp/archives/windows_logo/

加法混色(色を加えるほど明るくなる)の三原色RGBレッドグリーンブルー

・減法混色(色を加えると暗くなる)の三原色がCMYシアンマゼンタイエロー(これにKブラックを足すと印刷の四原色)

から絵の具は「赤黄緑青」を四原色にして色を作り出していた。

から強いて言うなら元祖西洋美術なのかな。

ウィンドウズ以外も「新しい物を作り出す」(画家が絵の具から芸術を作るように)という意図を込めたいからこの色をみんな使いたがるんじゃないかと思う(多分)。

ポップな印象を与えつつ、納まりもいいし。

また、うろ覚えから間違ってたら申し訳ないけど、少し歴史的な話をすると、

原色を使った有名な作品としては、ピエト・モンドリアン抽象画がある(ピンこなくても見ればわかるはず)。

https://99designs.jp/blog/design-history-movements-ja/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%94%E3%82%A2%E3%82%92%E7%9B%AE%E6%8C%87%E3%81%97%E3%81%9F%E3%83%87%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%AB%E9%80%A0%E5%BD%A2%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E3%83%93/

モンドリアンが主導した前衛運動デ・ステイルでも原色アイコン化されているので、直接の影響はモンドリアンデ・ステイルにあるのかも知れない。(緑はあまり使われていない気がするが)

また、同時代にはバウハウスロシア構成主義といった「近代的な、機能的で合理的な」表現を目指すモダニズム運動があり、これらも原色を使った表現が特徴。

表現におけるモダニズム」は合理性を重んじているため、ITゲーム界隈と相性がいいのかもしれない。

他に原色といえばデンマーク発祥の「レゴブロック」があるが、デンマークデザインの特徴もシンプルさと機能性。

他にはポップアートなども関連性がありそう。

専門ではないので、話半分に読んで

2019-01-10

anond:20190110142434

定理証明公式の導出は当然できるという前提で

sin(a)cos(b) = (sin(a+b) + sin(a-b))/2

かいちいち試験中に加法定理証明から出発して導出してたら時間が勿体無いし、途中で計算ミスする可能性も増えるので暗記しちゃいましょうってことですよ。

2018-10-24

群論

群論教科書数学所のコーナーから何気なく手をとった。あとでこれは全くの無駄(不効率)だと分かった。

群にも色々あり、馴染んでいるのは回転群とか並進群とかだけど、純粋群論カバー範囲もっと広い。加法群とかまである

目標を不変にする群って具体的な形は何?行列で表されないのか?

基底の対象化についてはなんとなく光明が見えてきた。射影だ!!!!!しかし射影演算子公式に具体的に何を代入して射影すればいいのか分からない

2018-09-02

anond:20180902103608

整数論専門院卒、非数学者です。

まずは

1. ガロア理論

2. 楕円曲線

の二つについて理解することを目標にされるといいと思います

この二つは19世紀以前の数学最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います

またIUTでは楕円曲線ガロア理論を用いて数の加法乗法構造を調べるというようなことをしています

以下では、上の二点についてもう少し詳しく説明してみます

1. ガロア理論

ガロア理論方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的問題解決されました。これを理解するためには代数学特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります

さら整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論勉強なさるのがよいと思います。p進体では(普通対数関数と同じように)log定義することができ、これはIUTでも重要役割を果たします。類体論特別場合として円分体のガロア理論理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います

2. 楕円曲線

楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります

さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要役割を果たします。

上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数研究をするのが数論幾何という分野です。

まとめると、まずはガロア理論目標として代数基本的なこと、楕円関数目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います

これは同時並行に進めることをお勧めします。

上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。

2018-08-17

もはやコミケにおいて版権者と二次創作界隈は共存・共栄のフェーズでは?

C94で仮面ライダーコスプレをしていた人物同士がコスチュームの一部を交換してはしゃいでいたところ、それが石森プロスタッフの目に留まりTwitterで強い批判を浴びていた。TBSがその様子を番組放送していたのを見たようだ。

詳しくはここにまとめられている。

「子供には本物なんだぞ」仮面ライダーはじめ実写ヒーローのコスプレ問題について - Togetter

スタッフによると『愛が無い』『仮面の交換はルール無視だ』という事のようだ。石森プロ仮面ライダーに関する権利のうち何割ぐらいを掌握しているのかは不明だが、いずれにせよ権利者として強い立場にあることは間違いない。

コミケってのは二次創作物が数多くを占めており、権利者のお目こぼしによって成り立っている。そんな人から苦言を呈されれば、すぐに行為を改めるのがコミケに参加する者としての当然の態度だ。もう何年も前から言われ続けてきた当たり前の不文律だ。

俺はそういう感覚を確かに持っていた。

だけど上記のまとめのコメント欄に気になる発言があった。

(https://togetter.com/li/1256561#c5304930 抜粋) 

もういい加減に巨大なIPホルダーですらが堂々とヤミ市の側面が極めて強かったイベント構成している現状があるのに未だに「黙認してる」と見るのは正しい分析ではないと思っています

げ、確かにそうだ。

俺は西館の企業ブースはいつも興味は無くて長年気が付かなかったのだが、ここ数年は完全にコンテンツホルダー王様みたいな会社が名を連ねているようなのだ

民間営利企業コミケに参加している時点でその参加法人はコミケのやってることに共感している立場である事は間違いなく、出版事業を営む法人例外じゃない。企業ブースが始まったのは1996年ごろみたいなので、当時既にコミケ歴史は十分にあったので企業がそこで何が行われてきたのかを知らないわけがない。

となると、コミケにおいて原作世界観から逸脱したコスプレは、「コミケにおいて」許される範囲だったのかどうかという点で良し悪しを判断するのが、同じコミケに参加する者としての誠実な態度だと俺は思う。

コミケでは長い刀剣のものを振り回したり局部露出したりというのは明白にアウトだから、それを『内輪』で批判するのは当然の流れだろうね。じゃあ集英社関係者原作に無いセリフを吐いていたコスプレイヤーさんに対して『飛影はそんな事言わない』とお説教した場合は、やめなきゃならないか

やめなきゃならないだろうし、下手すりゃ責任を取らなきゃいけないかもしれない。

だけどこの場合、俺は集英社は(コミケに参加する者としては)適性を欠く態度だと批判すると思う。「おめー、なんでコミケの一員になったの?」の一言ぐらいは言うだろうね。

コスプレ参加者にとってみれば、慣例から大きく逸脱したコスプレをしているわけでもなくコミケスタッフから注意を受けているわけでもないのに、コミケの一員から別の経路で怒られたら「なんで?」ってなると思う。この場合集英社コミックマーケット準備会に苦言を呈するのが順当だと思うんだよね。

60万人も集まるビッグイベントを彼らコンテンツホルダーだって存分に利用しているわけで、うまみを得ているわけである著作権大事だよ。だけど上述のような性格を持つコミケの一員になる以上は、もはやこれってバーターでしょ。もう黙認って時代じゃないよ。

そういう転換期に来ている事を一度考えてみるべきだ。

いずれにせよ株式会社石森プロについてはどの程度の権限を持っているのかが不明だし、今回の件についてはこの俺の見解は当てはまらいかもしれないが、今後同様の事例はあるかもしれないので興味深く観察したい。

あと別の人も指摘してるけど、あれだけのことを言っておいてプロフィールには「個人的意見であり、決して石森プロ代表する見解ではない」みたいなことが書かれてるの、端的に言ってアンフェアだと思うぞ。どっちやねん。

俺はこの問題についてはサブカル界隈にはまるで予備知識を持たない人の声を聞いてみたいね。どう映っているんだろう。

2018-03-13

高校数学は訓練

高校数学ができるかできないかは訓練の問題、つまりいくら練習を積むかの問題だと思っている。

訓練というのは問題を解くトレーニングを想定していて、それは例えば次のような感じ。


教科書レベル問題から初めて、慣れてきたらチャートみたいな少し難しめの参考書を解いていく。

チャートレベルだと大体は初見では解けないかちょっと考えて分からなければ模範解答を読む。

つの単元をある程度解いたら一度戻って2週目に入る。2回めからは出来るだけ模範解答を見ないで頑張る。

それでもわからなければ模範解答を見る。これを3,4週やる。


これで大体できるようになる気がする。取り立てて特徴のない方法だし、結構な人が無意識のうちに行っている方法だと思うが、

高校時代に周りでこれぐらいの量をちゃんとやった人は程度の差はあるが皆成績上位だった。


自分より数学ができる人たちの存在に打ちのめされたようだが、何に対して打ちのめされたかが気になる。

それが「テストの成績の差を見て」なのか「そのような人たちの頭の回転の速さ、思考の深さに生で触れて」なのか。

推測になってしまうが恐らく前者なんじゃないのかと思う。塾で生徒が前に出て発表とかはあまり無さそうなので。


ここから仮定の話になってしまうが元増田が前者に打ちのめされたものだとして話を進める。


授業中寝てばかりいる奴が自分より良い点数をとっているのをみて絶望するのは分かる。

実際そいつは賢いのだろう。しかしそういうやつも全く勉強せずに解けるわけでは無い。

高校数学の内容は数学的にはものすごく古い内容ばかりだが、それでもそこらの秀才が独力で思いつけるような代物ではない。

高校生が2次方程式の解の公式や、三角関数加法定理を思いつくのはまず無理だ。

要はそういう奴もきっちり勉強はしている。もちろん人よりよっぽど少ない労力で深い理解をしているのだろうが。


ただ実のところ、そのような良くできる奴の存在は大した問題ではない。

高校で学ぶ数学範囲には明確な制限があり、理解の程度は筆記試験で測られる(最近はそうでない場合も増えてきたが)。

そのテストをある程度解けるようになればいいのであって、すごくできる奴より良い点数をとることは必ずしも要らない。

そしてある程度解けるようになるには訓練を積めばいい。

また筆記試験は満点という天井があるから凄いできる奴と差がつくにしても限界があって凡人には有利だ。


色々書いたが、進路選択がもう終わっているのなら言っても仕方のないことだな。

俺は学部から京大にいて数学研究をしている大学院生だが、京大に来て本当に良かったと思っている。

最近自由の学風にも陰りが見えるけれど、研究環境は本当に充実している。

数学けが理由で進路を狭めてしまうのは勿体ない。

今の試験がどうなっているかはあまり知らないし、高2にはまだ早いかもしれないけど

京大過去問を解いてみたり京大オープンとかの模試を受けてみるといいと思う。

最初から無理だと決めつけて見もしない人が多いけど京大問題は案外解ける。

私文コースから公立を受けてはいけないということはない。

高校にいるときは分かりにくいが、高校なんて卒業したら次の日からもうほぼ無縁の通過点。

必ずしも高校提示する枠組みで受験を考えることはない。

大学受験システムは単純なんだから自分がどうしたいか選択したらいい。


外野から焚きつけるようなことを言うようで申し訳ない。

もう心が決まっているのなら無視してくれ。

2017-04-01

○法少女界の人口分布

○法(読み:○ホウ)少女人口についてGoogle先生に聞いてみた

元祖

法曹

語学

仏門

理数

うまく分類できませんでした


修法(通常「しゅほう」だけど、「ずほう」とも読むらしい)という言葉今日知った

2015-07-11

憲法学者安倍首相感謝するべき

仮に憲法学学問の名に値し、科学的な態度を尊ぶならば、安保法制違憲と唱える憲法学者安倍首相感謝するべきだろう。

科学においては理論と観察された事実の二つが重要だ。

実験観測で得られた「観察された事実」を説明するのが「理論」。

現在、受け入れられている理論定説・通説)で説明できない事象が観察されたとき、それは学問が発展する大きな機会だ。

惑星の動きを説明するために天動説が唱えられていて長い間人々はそれに疑問を持たなかった。

ガリレオ地動説によればより簡単な理論惑星の運行は説明できたが、その精度は天動説の周転円による理論と同じだった。

だが、ティコ・ブラーエにより観測された火星の運行を天動説の周転円理論で説明するのは困難を極めた。

そしてケプラーは、惑星の運行は惑星太陽のまわりの楕円をたどるとする新たな世代地動説を唱えた。

さらニュートン万有引力法則を導入し、これに数学根拠を与えた。これが新たな世代理論となった。

さら時代を下ると、地球の自転する方向である東西方向と南北方向で光速度が同じになることが発見された。

これは物体の運動速度には加法(足し算)が成り立つとするニュートン力学の前提を揺るがす観察だった。

これを説明する新たな世代理論アインシュタイン特殊相対性理論だった。

さて、憲法学者たちが今日、持っている理論安保法制合憲性を証明できないとしよう。

しかし、安保法制自体現実政治のなかで必要であるし(そのことは民主党すらも類似の法案を対案として出さざるを得なかったことで分かる)、成立の暁に最高裁に100回持ち込まれても100回合憲判決が出るであろう。

これが「観測された事実である

今後、現実政治制度のなかで安保法制合憲合法のものとして扱われることになるのだが、それを現在憲法学理論は説明できないことになる。

すばらしいことではないか。

おめでとう。安保法制違憲論の憲法学者諸君

君らは今次の安保法制合憲性を説明する新理論構築という新たな大事業に取り組むことができる。

憲法学は現状を追認するだけのつまら学問もどきだという烙印世間から押されることになるかもしれない。

しかしそれは憲法とは何か、憲法がなんのためにあるかを考えるふりをして実は考えてこなかった報いだ。

甘んじて受けてほしい。

2014-07-16

http://anond.hatelabo.jp/20140716105956

それはおかしいよね。

加法定理って文系でも習うぐらい基礎的なこと。

そういう教科書レベル人間エリートとかちゃんちゃらおかしい。

嘘?日本学力低すぎ…!

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