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はてなキーワード: 素数とは

2020-07-08

anond:20200708161009

もし、X-8が素数だとして、ある程度大きい数だとするとX-8は奇数じゃないといけない。

ということで

a b どちらかが偶数 (じゃないと奇数にならんし)

b c どちらかが偶数

偶数素数って2しかないやん

からどれかが2でしょ

でもaやbが2だとすると、負の数になっちゃ


じゃあ、X-8が奇数じゃなきゃいけないって前提がおかしいのよ。偶数なんよ!

a - b - 8か、b - c -8のどちらかが「偶数素数」つまり2にならないといけない

仮に a - b - 8 == 2 , b - c - 8 == M(Mは素数)として、両辺を足すと

a - c == 18 + X

とすると、aは少なくとも23以上だろう

a - b - 8 == 2 -> a-b == 10から、 bは13以上の素数

ところで、じゅうぶん大きい場合素数基本的奇数だ。bは13以上だから絶対奇数だ。

b - c - 8 == M で、 Mが仮に奇数だとすると

奇数 - c - (偶数) == (奇数) だから、 cは偶数じゃないとおかしい。

偶数素数は2だ。

cが2だとすると、 b -10 == Xになる。

とすると (a, b, M)について、 (23, 13, 3) 以外になくなる、 だってX基準で考えたら、 M + 20, M + 10, 00 + Mだろ。 どれかが3の倍数になるから

まり a , b, c は (23, 13, 2)やな

b - c - 8 == 2の場合も考えれば答え出ると思うで

ただわしは暇じゃないんや

うんこ

追記

ちょっと暇あったから別のアプローチで考えると

 奇数 - 奇数 - 8 ==  偶数

 奇数 - 偶数  - 8 == 奇数

から絶対にcが2じゃないといけないんやな

ってことで、考えるまでもなく(23, 13 ,2)で決まり

anond:20200708161009

a、b、c、(a-b-8)、(b-c-8)、のすべてが素数になるってこと?

おいはてなーども、これが解けるか。数学力チェックのお時間

a - b - 8 と b - c - 8 が素数となるような素数の組(a, b, c)をすべて求めよ。

2020-07-05

【2000件突破記念】これまでに投稿された「今日知った言葉」の一覧 (2/2)

anond:20200705020553 の続きから

カドショ, シンデレラフィット, 会計年度任用職員, すり混ぜる, 闇営業, ごちロス, カショーホケンチ, くもわ, FIRST, 蟻浴, 光営業, ソカタ, ファーストバイト, 会話泥棒, ビニ傘の「APO」, あまえんぼ言, ヴァンプ女優, 雲上御三家, サンダーストームムーン, シリーシーズン, エアプランツ, ライトヴィラン, ビハインド・ザ・シート, ドラゴンボールAF, ガキ犯, ロナルド・オーパス, ビトウィーン・ザ・シーツ, 殯, ウガリ, ワンワンライス, Nullius in verba, 獅子狗巻, セクシータイム, Joy-Conドリフト, 拝承, 寄り弁, 瀑布, バチャ豚, 羊毛党, タウマゼイン, ディーラーダッシュ, 血迷い言, ちんちんかく, 念仏講, 釘宮三連, ビルピット臭気, ビザンチン将軍問題, KP, 石女, ウェット&メッシー, ヤバタイ, TL, パニックハンドル, ラ米, cuckold, Nagasakied, ブロ解, 冷蔵庫の女, ビーストモード, ソルトランプ, 推しマ, へそ天, セルラン, マダックス, ナーロッパ, 推しごと, バールストンギャンビット, ギロチンマンション, 醜態成, シャークトレード, 箱推し, スピン報道, LINE@, #なちゅぞら, ラプンツェル症候群, 絵畜生, 天然独, 9152バイトの男, ガクチカ, プレグナンツの法則, スト高, awsl, ドグソとSPA, すみれコード, トリプルクラウナー, エコラリア, モレホイ, フリーグスキャム, アンドを取る, ニュル, 太郎系, 石鹸枠, シーステッド構想, クライシスアクター, 3T, ASMR, マミフィケーション, おかる, センテナリアン, カスイチ, ケンチャナヨ, テガイチ, 事后诸葛亮(事後諸葛亮), ディープフリガナ, WWⅠ(Web War Ⅰ), パンダ声優, ヨーヨークラブ, イカリング, ルーターシューター, TMD, Nattou, ロリカ・セグメンタタ, ケイジャン料理ホーリートリニティ, satoshi, フードホール, マラネロ, ブルペンデー, woke, エコサイド, グローサラント, Shipfu, リブラ, グッドイナフ, オドメトリ, スピュー, レシートマシュマロ, ピルピル, プルキニェ現象, マクンバ, マンハッタンヘンジ, マックロード, 万歳三唱令, アグレット, おねガキ, おもちゃワード, ジェネリック, ビーフケーキ, タンバリン, ジクロフェナク, ノンバイナリー, 知恵多ければ憤り多し, メイプルソープ事件, ポトラッチ, ジェンダーフルイド, カーディストリー, カワイイメタル, かみなり汁, 奈良漬, 爆アド, 増上慢, ショッパー, 鞣す, ゼッペケ, ローターアクトクラブ, ピンズド, 裏巻き寿司, 三角様, 定食パッチ, ケトション, リープフロッグ現象, 吉川線, CGDCT, ストリートネイム, キモオタブルー, 置き配, CSF, 尻馬サーファー, 夫源病, ペタロイド形状, イカニモ系, ネロナンブル, ヒットエンドラン, UI, ヒンメリ, 産婆術, グルーチョ眼鏡, 麻薬覚せい剤乱用防止運動, ちんちんもがもが, 山の神, 高見え, チョンガー, プッシャー, プラー, チュンカ, 偸盗, 空気録音, マイオナ, オンライン抑制効果, アストロターフィング/人工芝運動, 太平洋ごぼうを洗う, 背中関数, サーフェスウェブ, 絶望ステップ, フロスダンス, 承知しました, ジギリ, 反社会的勢力, トニー!トニー!トニー!, タラノア, AAタイトル, 七福丼, ビビビ婚, チェリー・ピッキング, でんでん現象, アンビャ・フアンビャ, ファーリー, MEP, MEPs, 瞬瞬必生, るるぶ, ポカホンタス女, ルルブ, ルドルフ, ファントム・バイブレーション・シンドローム, ショールーミング, インポスターシンドローム, 回転窓, デジタルツイン, アンタ, T9(ティーナイン), シス, 時渡り, パフィーニップル, ウィンドラス現象, 推死(おし), ぺごくん, ヒカセン, フェアリージャパン, スクリーンドア効果, 巴板額, 温顔, いっちょかみ, 肉盗み, 桃色筋肉, ペイペイ痴漢, バニラ(ゲーム用語), メリバ, しわしわネーム, 紙しばく, RTFM, YY, ててご, カース・マルツゥ, バイロニック・ヒーロー, デンタルダム, スーパーコンパニオン, サグパニール, トレモ, スノピ, Hindsight is 20/20, DARVO, ヤカ車, 五毛ちゃんねる, マジックラウンドアバウト, レモン市場, パイスー, 世界四大ミュージカル, 医産複合体, 2019-nCoVSARS-CoV-2, 新コロ, リキッドバイオプシー, ワッパ, アテンションシーカー, ニボラー, スーパーアプリ, レポーティングバイアス, 盤寿, シーライオニング, インフォデミック, シーライオニング, シャウティング効果, バシがけ, ことりベージュ, 2.5Dカラー, ファンチ, 純ジャパ, 人差し指シフト, 切り抜き, five eyes, ピークハント, chimney, bean-to-barチョコレート, ゴーレム効果, 赤文字系青文字系, ハーフアニバーサリー, チョンセ, キャンセルカルチャー, おしがま, テンプラ, トモアスキップ, 実力の若林, モザイク破壊, 横浜三塔, FSC, ミソる, グロタンディーク素数, イネイブラー, こする, カーニズム, ミートパラドックス, 違法マイク, 見て!○○が踊っているよ, ベターハーフ, 引く手あまった, ピーナッツ母子, ヴィブラスラップ, シャクティン, コロンブス交換, ミングる, ミングル, ソーバーキュリアス, マッドプライド, AK朝ドラ/BK朝ドラ, コロハラ, ドアマットヒロイン, インペ, 光落ち, コネティングルーム, 血管迷走神経反射, ロゴスリー, グレイ・リノ, オキラ, ココセ, パンデモニアム, コヨーテタイム, エダ, チャンピオンシップチョーク, ハイジ男子, マルーン, ANTA, 百目蝋燭, ワンカベリカ, チー牛, バウムクーヘンエンド, メザリアンス, ロックタウン, ノー3密, ひんがら目, コビディオット, 天爵、人爵, アラン・メリル, スナイプ, 集・近・閉(シュウキンペイ), タレット, レジャシ, Avoid the "Three Cs"!, 金華糖, 〇〇line, スキール音, 監視資本主義, フェムドム, 卒花, ピンコロ, セーフワード, 花筏, プロシージャ, コンジット, おっぱい, 景照, かみかみ, エライオソーム, 白鷴, 女牆, 徙崖, アンツーカー, ガブ, 梨割, シーヤ派/スンナ派, Tofu on fire, moetron, クルル, 隠亡, 細引, 筆先, 和讃, はらたいらに3000点, 赤新聞, スペニット, ドロ系ラーメン, しぶり腹, 猫毛雨, 紫の州, くくり猿, お染の七役, 天勝, 技癢, アクキー, ションベン, ライスワーク, 蝋型電胎法, タイポリセミア, 育フェ, ココ電, トピアリー, ムッシュムラムラ, バカ、アホ, vegetative state, テンセグリティ, ギグワーカー, 横紙破り, とせがら, あのね商法、あのねされる, クロスモーダル現象, bf大学, "moxibustion, moxa", NL, ヒロイックエンジニアストーリー, ガンブー, 法論味噌, ギドラ入り, Windows2000, カリン (マメ科), シャコアゲ, 最終回発情期, 自粛テロ, ブリーチパラドックス, 闊葉樹(かつようじゅ), 更紗模様, 椋鳥, 雲母紙, ケンジントン・セキュリティー・スロット, りひか, 待合茶屋, 昼間線, スネークウッド, いちご世代, エア炎上, イシモチ, ヒロピン, 羅宇屋, イロチ, オイモスポイ, CC, ままごと, ゴルディロックス原理, ペンギン夫婦, ディオプトリ, コロナハイ, アンジャッシュ, I HATEBU, 日の神論争, 要介護ハンター, 端綱, ヘレクスル、鹿石, [Linux]コマンドラインインターフェイス, チャフ, 換地、替地, 新都市基盤整備法, 剔抉, フレア兵器の), トゥキディデスの罠, 代位弁済、代価弁済, 大規模修繕、大規模の修繕, ブッチホン, 生存放棄症候群あきら症候群), その他、その他の, フィルハーモニー, cowgirl, コメデザ, コンフォートフード, どんこ, アガベ, フィジオセラピー, マクラメ, マリーシア, テイラー柱, ムカデ砲, クルクルチャーン, photoshopping, パーレイ, オーバーロット, べったー, 青焼き, Dolcett, 地雷メイク, オバタリアン, シルヘル, ピチューン(ピチュン), バタ男, 暑さ忘れて陰忘る, トランジスタグラマー, ミステロイド, YMYL, ファントムセンス, ぴえんアイ, A.C.A.B., ウェビナー, クッキードゥ, 肉トロ, ツイ盛り, 推ししか勝たん, vore, トーストサンドイッチ, アネクドータル, tldr, フトモモ科, ツェーマン, ナーロッパ, 不夜城, トレモロバイバイ, ホッブズ問題, ワンレングス, 退蔵益, 事実陳列罪, TT, サンクション, ズンパス

詳細はこちからhttps://anond.hatelabo.jp/c/%E4%BB%8A%E6%97%A5%E7%9F%A5%E3%81%A3%E3%81%9F%E8%A8%80%E8%91%89

2020-06-19

落ち着け落ち着け素数を数えて落ち着くんだ

2、3、5、7、11、13、17、19、23..........................................(中略).........................................はっ、24,862,048桁の次の素数が分かったぞ!

2020-06-16

素数(2, 3, 5, 7, 11, ...)が先か、自然数(1, 2, 3, 4, ...)が先か

というと、多くの人は「自然数が先だ」と答えるだろう

一方、空間Xが先か、関数{f:X→○}が先かと問われると、「Xが先だ」と答える人が多いだろう

ここで実は、素数空間の各点に対応し、自然数関数対応している

そして、空間場合関数が先だと考えても良いのである

2020-06-14

「こいつプログラミングセンス無いな」と思う奴の特徴

頼むからセンスのない奴はプログラマにならないでくれ。迷惑から

不要機能を作りたがる

これが最もプログラマになってはいけないタイプ犯罪行為などの言うまでもないことを除けば)。

たとえば

等。

組織で開発する上で、こういう人がいるメリットは無い。

不要機能を作ることで、プログラムは複雑になり、メンテナンスの手間は増え、バグは発生しやすくなる。

一定レベル以上のプログラマが最も自然だと同意するような実装(「実装しない」という選択肢もふくめて)をパッと思い付けない奴は、センスが足りていない。

将棋で言えば、駒がぶつかったら先ず取る手を考えるといった基本的な手筋が思い浮かばないようなもので、現実的に使い物にならない。

基本的コードなんて書かないに越したことはない。

これは、「Code Complete」「The Pragmatic Programmer」等の著名なプログラミングの本に共通する結論である

DRY原則を守らない

すべての知識は、システム内において単一の、曖昧さのない、そして信頼できる表現を有していなければならない。

これが「The Pragmatic Programmer」にあるDRY原則である

要するに、すべての情報単一ソースから決定されるべきということだ。情報が二重化すると、それらの間で不整合が生じバグの原因になる。また、二重化した情報は、修正の手間が二倍になる。

たとえば、ユーザープロフィール管理するレコードクラスに「生年月日」と「年齢」を同時に保持する必要はない。年齢は生年月日から計算できるからだ。

世の中には、「xxxFlag」みたいな不要変数を作ったり、共通ロジック抽出せずにコピペコード濫造するダメプログラマーが多すぎる。

もちろん、合理的理由があって、この原則適用されない場合もある。

たとえば、多くの言語組み込み配列文字列は、その要素と長さを二重に管理している。配列の長さは要素を数え上げることで求まるが、それには要素数に比例した計算時間がかかるためだ。

ただし、こういう場合でも、公開されたメソッドによる操作では、必ず内部の変数は同期されるように作ることが可能である。それをしないのは、怠慢でしかない。

変数命名が雑

文字変数とか連番とかは論外だが、「ary」とか「setData()」みたいな何の情報も伝えないような変数名・関数名を付けるやつ。

正直、コードの読みやすさなんて6〜7割くらいは変数名の付け方で決まると思っている。

名著「The Art of Readable Code」も、半分以上が変数名の付け方に関連する内容だ。

なぜ変数名が曖昧になるのかと言えば、怠慢を除けば理由は2つある。

1つは、コードを書いた奴自身が、そのコード機能を明確に言語化できないということ。

もう1つは、1つの関数で多くのことをやりすぎたりしていて、その変数役割曖昧になっているということ。

スコープを広げたがる

変数関数を参照できる範囲のことをスコープという。

たとえば、関数の内部で宣言した変数は、多くの言語では関数の外からは参照できない。

スコープは狭い方が良い。これはほとんど全ての状況に適用できるプログラミング大原則だ。

スコープが広いということは、ソースコードの多くの場所からその情報を参照・変更できることを意味する。

たとえば、クラスのメンバ変数は各々のインスタンス内でしか参照できないが、静的な変数はすべてのインスタンス共通に持つ。このため、静的な変数を変更すると、すべてのインスタンスに影響を及ぼし、影響範囲の把握やテストが困難になる。

スコープを広げるか狭めるか、2つの選択肢があったとして、広げる方に心が傾く奴は、プログラマをやめた方がいい。

結果的メンテナンス困難なコードを生むというのも勿論だが、単に書くだけでも、スコープが広い方が書きづらいのだ。つまり必要もないのにわざわざ変数スコープを広げようとする奴は頭のおかしい奴しかいないということになる。

コードが長い

複雑なメトリクスなどを持ち出すまでもなく、たとえば1メソッドの行数が何百行もあるとか、1クラスのメンバ変数が何十個もあるとか言うの。

これは論外であるプログラマとしての能力云々以前に、明らかな怠慢であり、社会人としての常識が疑われる。

定期的にメンテナンスされ続けているOSSソースコードなどを見ると、関数メソッド)の行数は平均して5〜10行。20行を超えるものは稀である

長いものであっても、外部で定義した関数を順番に呼び出しているだけであったり、リクエストハンドリングして各々の処理に振り分けているだけのようなものほとんどである

それを超えているコードは、合理的理由があってそうなっていることよりは、単に悪い設計であることの方が多い。

結論

これらは実はプログラミング云々というより、内容の理解力国語力の問題なのである

ある情報を得るために必要十分な情報は何かが分かってないから、余計な変数を作ったり、無駄変数スコープを広げたりする。

そして、自分が作るものを正確に理解していないから、適切な名前がつけられないし、適切なモジュール分割ができない。

それがすべての原因。

こういう人がまず身につけるべきは、プログラミングテクニックではなく、日本語を正しく読む力。

低学歴が「プログラミングなら自分でもできるかも」なんて思っちゃいけないってこと。もちろん、下請けSIerとかで使い捨てコード書きとして働くことはできるが、上に書いたような最低限の力がないなら、それ以上を望んではいけない。

ちなみに、上に書いていることと反対のことを思っている人も世の中にはいる。

特に、昔からプログラミングをしてきた自称ベテランに多い。その人は、能力があるというよりも、単に現代の開発に際して必要知識がないだけなので、真に受けないように。

また、大学コンピュータサイエンスの基礎を学びたての学生なども、知識をひけらかしたくて上と反対のことを言う傾向がある。その程度のことは、良識のあるプログラマはみんな分かっているのだが。

2020-06-08

anond:20200608130409

3の倍数っぽくないっていうより素数っぽいってことじゃないのか?

3で終わってるからぱっと見割り切れない雰囲気が漂ってる

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-06-03

有限体って何?

位数が有限な体のことです。

定義

集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Fに対して、ある元-a∈Fが存在して、a + (-a) = a + (-a) = 0

Fの元の個数をFの位数という。

上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。

  • 任意のa, b∈Fに対して、a + b = b + a

Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである

  1. Fは、+を演算としてabel群になる
  2. 任意のa, b, c∈Fに対して、(ab)c = a(bc)
  3. 任意のa, b, c∈Fに対して、a(b + c) = ab + bx
  4. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b)c = ac + bc
  5. ある元1∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、1a = a1 = a

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。

  • 任意のa∈F\{0}に対して、あるa^(-1)が存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1

Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。

基本的定理

位数有限な斜体は、可換体である。(Wedderburn)

有限体の位数は、pを素数として、p^nの形である

逆に、任意素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。


  • pを素数として、整数をpで割った余りに、自然加法乗法を入れたものは、有限体F_pになる。
  • F_pに、F_p上既約な多項式の根を添加した体は有限体になる。逆にq=p^nとなる有限体F_qはすべてこのようにして得られる。
  • F_pの代数閉包Fを固定すると、F_q (q=p^n)はFの元のうちx^q=xを満たす元全体である

有限体の代数拡大

有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。

これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型

φ_q: x→x^q

で生成される位数mの巡回群である

2020-05-30

素数が先か、自然数が先か

2,3,5,7,11,...が先か

1,2,3,4,5,...が先か

これは宇宙の成り立ちに関わる重大な問題

(続く)

2020-05-21

anond:20200521175300

プログラミング自体を知ったのは中学校技術・家庭の授業。そのあと、初代プレイステーションゲームC言語で書かれていることを知って興味がわいた。

当時、家にパソコンはなかったけど、初心者向けのC言語本を読んで巻末の素数一覧出力プログラム理解した。

高校入学したあたりで祖父母からパソコンを買ってもらって、C言語プログラムパソコンに実際に入力して動かすようになった。

大学情報工学科に進んでから生業にすることを決めた。

2020-05-19

7以上の素数枚重ねたサランラップ大阪万博は開催できる

ただし前日の夜までに納豆を食べた人がいると失敗する。だから州兵(資本主義が許せば私兵でも構わない)を召集して海岸線を夜通し目視確認するしかない。小渕恵三も同じ考えだと思う。

2020-05-17

anond:20200517202204

3は素数なので難しいが、1000はキリが良いので簡単

2020-04-24

anond:20200424021928

たぶん娘は暇か不安で、父は欲情しないか試して確かめゲーム状態なんだと思う

欲情させたら私の勝ちだし弱みも握れるっていう美味しいじょうたい

なのでこれは意地でも勃起させたら駄目な案件絶対

素数を数えろもしくは妻と一緒の部屋で寝るのもいい

娘の肉バイブにだけはなるなよ

2020-03-23

TOKYO2021は歴史に残る現代オリンピックになる

素数×素数(43×47)の年に開催する初めての現代オリンピックである

2020-03-12

素数ってなんだかよそよそしいよね

ぼっちっぽい雰囲気を醸し出してる気がする

団らんの場に居ても、こたつの隅のほうに入ってそう

2020-03-08

日曜日の朝だ

coffee

やっとこさ起床した。コーヒーを淹れた。飲んだ。十分な濃さ。録画してあったテレビ番組を見る。見たことある内容だった。高島礼子じゃないか?懐かしい。

wife's present condition

妻の体調が悪い。昨日は確定申告を一部分肩代わりしてあげた。今日妻の体調は回復するのだろうか?お出かけや家族サービスの予定は入ってないはずだ。

object-oriented programming?

ここ2,3日、たまたまUMLだのOOPだのについて調べた。そういうことに全く無関係に生きられる環境にあるのだ!数年前いよいよVB6から乗り換えなくてはならなくなって、ドットネット学習した。クラスだの承継だの・・・ああそんなもの使わなくても俺が必要としているプログラムなら書けるんだけど・・・って思いながら眺めていた。結局ドットネットに乗り換えたが、そのあたりの機能は使ってないはずだ。

listof

ドットネットらしい機能採用した記憶があるのは「ListOf」だけだ。こいつは後から後付けで取得値を追加できるので、便利。昔ながらのbasicだと「uboundで配列の要素数を取得→要素数を1つ増す→最後の要素に新しい取得値を代入」ってな感じで面倒だった。その点くらいだな。ご利益は。

inferring their impressions

最近部下に当該プログラム保守というか拡張変更を委嘱しているが、きっと「読みにくいコード書いてるなぁ」って思われているのか?部下もOOPなんて知らないだろうけど・・すでに一部の大学では設置済みなんだろうけど OOPにメインフォーカスした科目とか作ればいいのにね。

open-source softwarez

OSSだけしか使わないと誓い「総OSS化」を進めていたはずだが、ここ数日商ソフトに戻ってしまった( ^ω^)・・・

mail check result

メールチェックしたけどたいしたメール来てない。良かった。日曜の朝にメールがいっぱい来てて要即返とかだったら精神的にダメージ大だよな

2020-02-25

[]グロタンディーク素数

グロタンディーク素数とは、57のことである

概要

20世紀代表する数学者の1人であるアレクサンドル・グロタンディーク素数として有名にしてしまった数字。彼が素数についての一般論を話した際の以下のような逸話に由来する。

グロタンディーク先生先生の話は抽象的過ぎてわかりません」

「そうですか?」

「何か具体的な素数を例にして話をしてください」

「なるほど。ではこの素数を57として話をしましょう」

57=3×19であり、当然素数ではない。よりによって奇数で最小の素数である3の倍数なのだが、まあグロタンディーク素数っていうんだから素数なんじゃねえの、ということでグロタンディーク素数と呼ばれている。

具体的な数ではなく、抽象的な概念ベースとして一般化した論理を重んじたグロタンディークらしいエピソードである

2020-02-18

うんこwうんこwうんこwうんこw😆

💩🦠👈🤣ウンコロナウイルスwwwwwww

💩🚽👈😩はい失敗うんこ

💩💩💩💩💩👈😨素数うんこ………

💩💩💩💩💩💩💩😱また素数うんこ

💩👈😊素数ではないうんこ

💩🤝☺️仲直りうんこ

🔪💩👈🧐調理うんこ…?

🍫👈😄調理済みうんこ

💩☕️👈😉うんコーヒーだね

💩👈😏世界ひとつだけのうんこ

✨💩✨🤔光りだしたぞ…?まさか

🌞💨🌝💨👈😲うんこエネルギー時間が早まっている!?

💩💩💩💩💩👈😰またうんこ素数に!

👨🏻‍🦲→👨🏻‍🦳👈😭ジョンも老化してる…あっ!

💀………💀……

anond:20200218022323

ダンバイン素数の話だけ見ると全く違うストーリーが楽しめるって聞いた。先に全部見た人には楽しめないからぜひ。

2020-02-11

anond:20200211073412

幼少期の教育ですべて決まってる気がする

知り合いの理系東大生小学生のころから公文で先取りしてた、とかソロバンやってたとか言ってたな…

素数の美しさ語りだしたりとかするあたり先天性のものなのかとも思うけどよく分からない

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