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はてなキーワード: 乗法とは
掛算の順序と学習指導要領の話おもしろかったです。
「りんごが5つ載った皿が4枚ある場合にりんごがいくつになるか」という問題を立式するときは、
という話だと思いました。
4✕5は4[個/枚] * 5[枚]に変換されるので、正解にならない。
✕は乗算の演算子と思ってしがいがちだけど、被乗数と乗数の順序を考慮するときは、その順序を含めた乗算のシンタックスシュガーになっている。
なんか、このシンタックスシュガーいけてないなと思うのは、計算するときは交換法則適用していいよと言われているところと、乗法を習うこの単元以外では立式の際もシンタックスシュガーではなく乗算の演算子として取り扱われているところ。
でも、いけてないシンタックスシュガーは世に溢れているので、まあいいや。
被乗数と乗数の関係を考えていて思い出したのが、消費税が導入されたとき、大学生協の書籍代はどうなるのかという話。
乗算は交換法則が成り立つから1000*0.9*1.03でも1000*1.03*0.9でも良いです。
✕も計算のときは交換法則を適用して良いから1000✕0.9✕1.03でも1000✕1.03✕0.9でも良いです。
でも✕で立式するときはどうなるのか。
1000[円/冊]✕1[冊]✕0.9✕1.03と1000[円/冊]✕1[冊]✕1.03✕0.9のどちらが正しいのか。
0.9と1.03は単位がないから乗数、被乗数の順序を考慮しなくて良いのかな。
僕が小学生の頃は乗数、被乗数は「かける数」「かけられる数」と言われてました。
「この式の４は『かける数』でしょうか『かけられる数』でしょうか」みたいなテストの問題があったけど、「この話は、ここでしか出てこないので、気にしなくて良いです」と先生が言って、採点対象外になってました。
その仕組みは家族の収入を全員分足して、家族の人数で割った値で税率を計算するもの。
例えば収入が父500万・母300万・子0円の3人家族なら全収入は800万。
一人当たりは800万/3 = 266万になるので、266万への所得税である約17万を3人分、つまり約51万を納める。
このときN=3なわけだけど、やってることは
① 総収入をNで割る（N分）
いやこれN分N倍方式だろ！！
N=3を代入してみろよ！3分3倍方式なら正しいけど、3分3乗方式だと 17万の3乗=約5000兆 じゃねーか！
そもそもNなんて変数を意味するアルファベットが含まれる単語が、いまや新聞にまで載ってるのが気持ち悪い。
どうせ最近の理系大学生が考えた言葉なんだろ！って思って調べてみた。
こういうやり方というのは、現に日本でもあるわけでありますが、それを全体にまとめてみると大きく２つの方法がありまして、１つは手当を出す方法と、もう一つはどちらかというと税制上の措置のようなかたちをとる方法があると思います。例えば税制上の措置で有名なのはフランスでありまして。フランスの所得税というのは、ご存知ないかもしれませんが、ＯＥＣＤ諸国の中でも最もウエイトの低い国であります。なぜフランスの所得税のウエイトが低いかというと、有名なＮ分Ｎ乗法というやり方をとっておりまして、要するに子どもを含めた家族の数で所得を割ってしまいまして、累進税率のもとで所得を割ってしまいますので、所得税額が非常に低くなるというやり方をとっています。これはたしかフランスがドイツとの対抗上、第一次世界大戦以降導入した人口政策であります。
厚生省・第６８回人口問題審議会総会議事録 (1997年5月30日 !!)より引用。強調は引用者によるもの。
四半世紀前にすでに使われていて、「有名な」とまで言われていたなんて......
皆さんはじめまして。私は、「レンタル数学教える人」というTwitterアカウントで、数学にまつわる情報を発信しています。つい今年始めに、算数のかけ算順について述べた所多数の意見をいただきました。一人ひとり返信してもラチがあかないため、論旨を整理してTwitterに投稿することにしました。
どうしてかけ算において順番が大切なのか。それは、
「かけ算(乗法)の意味を理解する」→「乗法の場面を式に表す」→「乗法の交換法則」
という順にかけ算を学んでいくカリキュラムにあります。よく、かけ算の項の順番が逆で答えが合っているのにバツになることがありますが、これは、「乗法の意味を理解する」と「乗法の場面を式に表す」が出来ていないとみなされるからです。
答えが合っているのにこの段階をねちっこく行うのは、かけ算の後に割り算が控えているからです。かけ算は「かけ算(乗法)の意味を理解する」「乗法の場面を式に表す」の二つが曖昧でも正しい答えを出せますが、割り算ではそうはいきません。「□×○＝△」の場合、□と◯にいい加減に数を当てはめても正しい答えを導けますが、「□÷○＝△」の場合、□と◯にどんな数が入るのかを理解していなければ、正しい解答ができないのです。さらに、割り算の先には割合が控えています。「場面を式に表す」技能が不十分だと、ここでつまづいて地獄を見ることになります。
つまり、後に控えた難しい単元を学習するにあたり、「場面を式に表す」部分の理解が非常に重要で、その取っ掛かりがかけ算の順番なのです。「面積の問題で縦×横と横×縦は違うんですか？」みたいな指摘をもらうことがありますが、それは交換法則を用いれば同じになるという話。交換法則をやる前に、まずは「場面を式に表す」を丁寧にやっていくことが重要なのです。
で、ここからは余談というか愚痴なんですが、かけ算順序問題にまつわる批判は攻撃的な文体のものがまあ多い。Twitter内をずーっと警備してかけ算順に対し攻撃的な批判や誹謗中傷を繰り返す「超算数警察」みないた輩がいるんですが、何のために戦っているんでしょうね？
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大体こんな感じかな？
俺も暇なもんだなぁ(本当はやらなきゃいけない課題がある)
掛け算は「掛け算(乗法)の意味を理解する」「乗法の場面を式に表す」の二つが曖昧でも正しい答えを出せますが、(×掛け算→◯割り算)ではそうはいきません。
皆さんはじめまして。Twitterで「レンタル数学教える人」を名乗っている者です。つい今月の初めに、「そうか！だから小学校の算数においてはかけ算順が大切なんだ」と目からうろこが落ち、そのことを夜中のうちにTwitterに書いたところ、朝になったら見たこともない数のリプや引用がついて驚いた。その内ほとんどが「バカ」とか「アホ」とか「クズ」とかの類の言葉でした。それで怖くなりました。「この程度」とか「周回遅れ」とか誹謗中傷まで酷いものでした。
その中でいくつかやり取りするうちに、これは一人一人返信してもらちが明かないから、カリキュラムの順番含めて整理してTwitter内に投稿しよう、と思いつきました。
何でかけ算導入時において順番が大切なのかを教えてやる
2年で「乗法の意味」→「乗法の場面を式に表す」→「乗法の交換法則」
と段階を踏んで学ぶ。ポイントは「乗法の場面を式に表す」だ。この単元を学習中に式の順番が問われるわけだろ。その後に交換法則。計算しやすければ交換してもよいという話
勝手に交換法則使って計算しろよ。ただし場面に合った式を書きなさいと言われている所に、一つ分×いくつ分の順番を無視した式を書くんじゃねえ！という話。途中式間違ってるけど答えはマルもらえるって中高生でも普通によくある話じゃない？
「場面を式に表す」が課題なのよ。段階的ってこと考えよう。
3年で「整数の乗法」だ。数を抽象的なものとして計算するわな。結合法則・分配法則も習うから計算の工夫をしてスマートに解いてみやがれ！かけ算に慣れてきた頃に「除法の場面を式で表す」をやる。何を何で割るかよく考えろ。割られる数、割る数っていう区別(順番)が理解をスムーズにしてくれる。
ここでワケも分からず前から数字を順番に入れて式を立てる奴がいたらどうなる。解答欄の「□÷○＝△」穴ポコに順番に入れたらどうなる。かけ算だったら答え合ってて良かったね。
それ習慣ついてたら割合の単元で地獄を見ることになる。ったゆうか現実としてすでに地獄だけどな。
4年で「長方形、正方形の面積」だ。お待たせしました。なんか知らんけどかけ算順番の話してるとすっ飛んでくる輩が「縦×横と横×縦は違うんですか？」ってドヤ顔で聞いてくる。うるせえ。交換法則しとけよ。場面を式で表すとは状況が違うんだから好きにしろ。こちとら「卵10個が3パック」の話してんだよ
この前spaceで聞いた知見を共有する。面積ってのは「1㎝×1㎝の□が何個分」ってところから考える。縦に3個、横に5個、なら一個ずつ数えてもいいが3×5で出してもいい。「1つ分はいかようにも取れるんですよ？」のドヤ顔勢が言いたいのはそれだろ。勝手に5×3やっとけよ。
あのさ、面積ってのはそうやって丁寧に学習していくんだよ。「そもそも面積とは〜積分の考え方を使っているのであり〜」とか言う自称理系人間。アタマおかしいと言わざるを得ない。お前小学生相手に何言ってんの？中学生ですら錐の体積や球の体積を厳密に理解できない。そうやって積み上げていくんだろ
僕がずっと違和感を持っているのは、なぜ掛け算順を認めない人はこのように必死にTwitter内を警備し、いきなり引用リツして人格否定的なことを繰り返してしまうのかということです。バカとか洗脳とか悪影響とか「理由を説明してください」という謎のエンドレス質問。そしてそのような人はいつも同じメンツで、仲間同士でコメントを付けあっている。「井超算数」というタグをつけるのが彼らの仲間を呼び寄せるシグナルのようです。以後、この一派のことを「超算数警察」と呼称します。
逆に、いつも虐められている（ように見える）人は言葉使いが丁寧で、明らかに教育現場にいる率が高い。誠実な教育者であることが見受けられた。懇切丁寧に掛け算順の必要性を説明しているのに、いくら必死に説明しても聞かないうえに暴言を吐かれる、謎のエンドレス質問返しで、いつの間にかダンマリになっていく。この誠実な教育者たちを「掛け順派」とします。
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恥ずかしい告白をします。僕は半年ほど前まで「掛け算順序否定派」でした。くだらねえ理由で減点して子供が可哀想と思っていました。「バカな慣習だ」と暴言を吐いたこともあります。ただし、ここからが重要。耳かっぽじってよく聞け。Twitterで「掛け順必要派」の人に対して凸撃とかしなかった。極めて一般的に、まともな大人は、フツーの人間は、Twitterで自分と反対な意見の人をわざわざ見つけて攻撃したりしない。時間的なヒマもない。
だってその人にリプを飛ばして考えを改めさせるなんてことができると思うか？まあ出来なくはないんだけど、現実的じゃない。しかし超算数警察は平気でやる。まあしつこい。相手がブロックするまでやめない。結局は見下してバカにしていい気分になりたいだけだろう。同調者が表れて良いキモチ。ちなみにこの人たちは「ブロックされたこと＝論破した」と定義している。世間一般的にはそうではないが、超算数警察の中ではそうなのだ。スクショ付きで「逃げやがった」「やっとブロックしたか」が決め台詞である。
実は僕がTwitterで意見を投下し始めて、あまりに暴言がひどいので反論の意味で多方面に暴言を吐いてしまったところ、ある方に批判された。対話を重ねていたら、その方はスマートな教育をされ、学校に期待しすぎないで家庭と学校で協力していけばいいという考えの持ち主だった。
「あなたがスマートな教育をされていることは分かった。学校の先生も必死でやっているんだ。掛け順間違いでバツされたことなど、学校ってそんなもんだよなと受け流してくれればいいのに」
と伝えたら、そこで衝撃の一言「とっくにそうしている。はじめから掛け算の話などしていない」と。僕は冷や汗をかいた。
そうなのだ。始めからそうだった。そしてそうやってある種諦めの境地でもって受け流し、家でも教育しておけば良いというバランス感覚こそ僕が求めているものだった。それこそ思想転向のずっと前から。
テストで不本意ながらバツをもらってきた子供に対して、親としてもし、その採点に納得がいかないのなら「これは学校のテストにおいてのみ守っておかなければならないルールで、数学的には答えが合ってるから、まあ気にするな」と教えてやればいいのだ。僕だったらそうする。
実際、社会に出たら本当にどちらでもいい問題だ。よくある例としては「個数×単価」のような書き方がある。英語圏では「〇倍した□」といった言い方が一般的だ。だから僕はあくまでも日本国内での「算数ルール」「小学校ルール」と言っても良いと思っている。
冒頭の固定ツイと内容が被るが、僕自身は掛け算の順序を丁寧に教えていくのは極めて有用だと思っている。それは日本語的な感覚という意味でもだ。「●個が〇セット」、割合の単元なら「▼の□倍」という語順がしっくりくる。まだ抽象理解や言語の運用がいまいちな低学年にとってはなおさらだ。
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超算数警察は厄介なことに、叩ける相手だと認定したらとにかく他のどんなことでもツッコめる穴は無いかと探し始める。たとえば僕は連ツイの最後に「面積の学習は丁寧にやっていく。そもそも面積は積分の考えを使っているので～とか言うな。中学生ですら錐の体積や球の体積を厳密には理解できない」と書いたら、まあそこに食いつく食いつく。一言言わずにいられない馬鹿どもが。
「中学生に球の体積の理屈くらい教えてあげないのは怠慢、講師失格」
などという酷い言われようだった。まったく現実を見ていない、好き勝手な意見だなと思うわけだが、一方でそんな教え方ができるのであればすごいことだ（たとえ受け手側に理解するポテンシャルがなかったとしても）と思って、全員に「中学生でも理解できる球の体積の考え方を教えてくれませんか？」と聞いた。
もう大半がヘンなリンク送ってきたり、有名な説明だから今さらする必要なしとか繰り返すだけで、何の益もなかった。30人くらいいたかな。そんな中で2人だけ実際に説明を書いて送ってよこしてきた。２，３分でササっとかける代物ではない。余裕で中学生で習う範囲を超えている。しかし素晴らしいと思った。
僕からするとそもそも僕が主張したいことと話がズレているし、それを活用できるほどの力量もないので、それをどうこうはできない。それは2人にとって肩透かしだったと思う。そもそもこちらは煽られてスタートしているのだ。「できるものならやってみろ」とは言ったが、本当にやってきたのならば敬意を表するほかない。そう。これなのだ。数学を愛し、数学を嗜んでいるのなら、自分の手を動かしてみろっていうんだ。超算数警察みたいに「数学は答えがあってればマル、ウソを教えるのは迷惑」とかいってTwitter内でクソリプ飛ばしてないでさ。んでマウンティング、グルーミング。それの繰り返し。
超算数警察は、小学生も学校の先生も、そもそも全部ひっくるめて公教育というものが人間社会のなかで行われているということを忘れている。自分の大好きな数学の美しさに惹かれて、極めて抽象的で、この世界中どころか宇宙全体に通用する法則をはやいとこ小学生にも教えてやれと言っている。んで「合ってるのにバツされるのは可哀想」という。だからもう一回思い出してくれ。こちとら小学校低学年を相手にしているし、そもそも「算数」の授業をしているんだって！教科名が「数学」じゃないことに注意。段階を踏むってことが彼らには理解できていない。
超算数警察は「美しさ」にこだわっているんだと思う。掛け算は順序を問わないのだから、式が逆なくらいでバツされている答案が目に入るのが耐えられないんだ。現実には日本中の小学校で丁寧に式の立て方から指導している。「一つ分×いくつ分」も「○○の□割（倍）」もとても重要視されている。だって最初に「３＋３＋３＋３＋３のことを３×５だって説明しているんだから。そりゃ５×３って書いたらバツでしょ。お前思いついた順に数字を書いてんじゃねえよ！って言いたくなるでしょ。「一つ分」を先に書けと言われているのだから。
Twitterで見かけた例を拝借すると、二つの倉庫があって「右の倉庫にはボールを、左の倉庫にはバットを入れてな」と決めてそれを周知したのに、逆に入れるヤツがいたら説教したくなるでしょ。右がボール、左にバットなんていう必然性なんかない。ただそう決めただけなんだが、決めなきゃしょうがねえだろ。そのきめたルールが無くなることはないと思うぞ。調べたら100年近くやってるらしいじゃん。じゃあお前らは永遠に不満を持ってTwitterで吹き上がるだけの人生だぞ。超算数警察たちは、ごく普通の人間たちの営みを否定している。だってようやく数字という概念を学び始める準備段階の子供を相手にしているんだぞ。ムチャ言うな。
なあ、そんな理論通りの、全てが数式通りに記述された、超算数警察が理想とする美しい世界が実現するにはどうしたらいいか教えてやる。「この世界から人間がソックリいなくなる」しかないんだよ！
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今から30年ほど前に超絶ヤバ集団がいたことを覚えているな。「オウム真理教」っていうんだけど。ムチャクチャへんな主張をするカルト宗教でメディアは面白がって、バラエティ番組なんかにも出ていたな。あれのトップが何て言っていたか知っているか？
「近いうちに日本の人口が十分の一になる」って言ってたんだぞ。これが何を意味しているか分かるよな。それがどうだ。東京のど真ん中の地下鉄でサリンがまかれた。彼らの母数が大したことなかったから、同時多発的にってところまではいかなかったけどな。
そりゃ今だって「地球環境を壊さないためには」とか「埋蔵資源を枯渇させないためには」とか「海や山の生態系を守るためには」とか考えると、人間がいなくなるしかねえ！って結論になるよな。ま、それを言っちゃおしめえなので・・とスルーされるのが常識的な流れなんだけど。
しかし超算数警察よ！お前らがやっていることはそれに近い。すべての人間が「極めて忠実に数学の美しさを体現するためには」なんてことをやっている。無理だよ。この世界にはとんでもなく計算が苦手だったり、日本語が通じなかったり、中学生の半分が教科書を読めていなかったり、高校生で「数学を捨てる」なんて発言がまかり通っているんだから。中学を卒業したら数学というものから離れる人だって多い。そういう人がどれくらい数学が苦手か分かるか？そういう多くの人たちをとりあえず一斉に教えるために作られたカリキュラムだ。ちょっとやそっとじゃ揺るがねえよ。
掛け算を逆に書いてしまったものを慈悲深い心でマルにしてもらえたら、彼らは数学を好きになれただろうか。小学校のカラーテストで、本来だったらもらえてた（とおまいらが主張する）5点を取り返したところで、その後の人生に1ミリも役に立たねえよバカ。
んで超算数警察の口癖、「掛け順教」。数学的に正しくないウソを教えている宗教って言いたいんだろうけど。あのなあ。宗教って言葉が相手をバカにする言葉に使えると思っているところが人間のことを分かってねえっていうんだよ。もしかしてお前らって「もともと存在しない神とかいうものにすがって、科学を否定してきた宗教というもの信じてるヤツってバカ」ってシンプルに思ってない？でなきゃ「掛け順教」なんていう言葉が気軽に出てこないと思うんだけど。
それこそ人間社会のことを分かってないってことの証左なんだよ！人間はこの世界のよく分からないものに暫定的な解を与えるために宗教というものを生み出した。それがよりよく生きるための術だったからだ。もちろんそれが命の奪い合いを引き起こすこともあるがな。現代の日本だって神様にお願いしたり、クリスマスを祝ったり、葬式したり、全部宗教だろが！そのことを分かってないで「自分は無宗教なんで」とか言ってる。んでここ100年とかで明らかになってきた科学的な知見をかってに借用して、「今どき宗教にハマってるなんてプギャー」とか喚いてんだろ。お前たちは人類の先輩たちが大切にしてきた偉大な宗教というものもコケにしているんだよコラ！
この世界のことが科学的に説明できるようになっていることは事実だろう。それと、人間の認知機能が一気に進化するってことは話が違うだろが。お前らは数学の美しさ（数式は場面を捨象するからこそ美しい、程度の知識）を知ったからと言って強化人間にでもなったつもりなんだろう。んで科学の知識を得た我々は、次から次へとニュータイプが生まれてくるとでも思っているんだろう。そして、現行の算数教育はそのニュータイプの育成をジャマしていると。
バカ言ってんじゃねえよ。そんな簡単に人間が進化してたまるか。お前らなんか強化人間にすらなり切れていないし、だいたいジャレドダイアモンド先生が言う「認知革命」が起こって以来、人間なんか大して成長してねえわ。ホモサピエンスは昔も今も、ちょっとずつ日常の数的感覚（自然数）から、抽象的な理解に至っていくんだろうが。小学校6年間は、まず数学に入る前の準備段階だって決まってんの！それを数学的な知識を先取りしたうるさい大人たちがエラそうに・・・
俺たちは真っ当に義務教育の中で算数指導をしているだけなんだよ！
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お前らが何と戦っているか教えてやる。
僕は超算数警察を見ていると「進撃の巨人」11巻で「敵は何だ！」と喚いてユミルにたしなめられているエレンをいつも思い出すよ。
お前らには見えていない。お前らはお前らが言うところの「掛け順教」と戦ってんじゃねえ。Twitter内にいる「掛け順教」をやっつけて終わりだと思ってんのなら・・そりゃ・・大きな勘違いだ。
お前らは「敵は何だ！」と問うだろう。
そうして僕はこう答える。「そりゃ言っちまえば・・世界だ」と。
お前らが数学が得意で数学が好きでその魅力にヤラれちまっているのは認める。そしてそれは素晴らしいことだ。んでハッキリ言うとくけど、世の中の人はそんなに数学が好きじゃないし、数学に興味がない。
数学が好きならお前たちそれくらい分かんだろがよ。数学者列伝とか読めば明らかだろうがよ。数学を専攻する人間なんてのは奇人変人だと相場が決まってんだよ！
超算数警察は一般人相手に「それ数学的に間違ってますけど！」とか言ってないで、自分で数学的な真理を突き詰めたらどうだよ。ただしそれは生きるか死ぬかのイバラの道だと心得よ。フェルマーの最終定理を証明したアンドリューワイルズ先生は10年間誰とも連絡を取らずに、生きてるか死んでるかも分からないような状況に追い込んで偉業を成し遂げた。ワイルズ先生が必死こいてTwitterでクソリプ飛ばしてたらとか考えると笑えるよな。あ、コイツ生きてるなって安心できるよな。やってるわけねーよな。
つまり人のことを気にしてる暇があったら、自分のやるべきことやっとけってこった。だから僕に対して自筆の証明を送ってきた二人以外のお前らは、どっかからリンク引っ張ってきた以外になんか生み出したか？
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君たちは三重の壁の外に、バカも天才も秀才も凡人もひっくるめた人間社会が営まれているということを忘れちまってる。Twitterの中でお仲間を見つけて、自分たちだけが世界の真実に気づけていると思って正義感に燃えているんだろう。それをあの頃のエレンだって言ってんだよ。
エレンは壁の外にいる巨人をすべて駆逐すると誓った。そして裏切り者だった同期生を許さねえと言った。しかしやがて真実にたどり着いたエレンは全てを理解したよな。そしてそんな風に怒り狂っていた自分を恥じた。そうか、みんな同じだったんだって。それは壁の外に出たからだ。外に出るという強い意志を持ったからだ。
超算数警察よ。君たちはいつまでも三重の壁の中に閉じこもって、つかの間の楽園を享受しているんだ。とことんまで抽象世界にもぐりこむのも良い。ただそれは浮世離れした人生を歩むことを意味する。それがイヤだったら、人間たちの世界に戻ってこい。人と心を通わせることを選択しろ。三重の壁（心の壁）を壊して外の世界に出るんだ。
数学的ゾンビだとかなんとかで話題になってたけど、皆何の話をしているんだろうって感じ。
割り算（除法）の数学上の定義は、掛け算（乗法）の逆演算だ。それでしかない。
何々を何個ずつに分けるとか、何が何から何回引けるとか、そういうのは定義ではない。解釈（意味付け）のひとつだ。
ここはなぜ誰もはっきりさせないのだろう？
そして、数学は抽象を扱う学問だという言葉を敷衍しすぎて、二種類の勘違いをしている人がいる。
一種類目は、最終的には抽象化された世界での操作さえ熟達すればいいとして、意味付けどころか定義の理解すら不要とする勘違い。
抽象的な世界は抽象的な世界のまま、定義や定理などの言わんとすることを、身に染みて理解できるようにならなければいけない。
割り算の例で言えば、上で言う、掛け算の逆演算という部分をだ。
二種類目は、数学は抽象的な概念だけに興味があるという勘違いだ。
数学は抽象世界の学問でありながら、同時に、「抽象化」の学問である。
物理的な現象を記述するためのツールとして発達した数学が、数学それ自体の抽象的な世界を築き、その結果が経済学や情報工学などにも適用されうる。
このどれもが数学であり、そういう風に力を発揮できるのが、数学だけが唯一持っている力なのだ。
だから、抽象的な操作に事物的な意味付けをする、解釈・具体化をするというのも、立派な数学の一側面であり、不要と切り捨てるものではない。
これを踏まえて、元記事で「数学的ゾンビ」と称されている「意味が分からず問題だけが解ける状態」、つまり、
「抽象世界における定義の実感的な理解も、その事物世界への意味付けも習得しておらず、ただ記号的操作だけが習熟している状態」
どうせほとんどの読者は高校数学さえ理解していないのだから、何を解説したって数学の本質的な理解は無理なのかもしれない
彼らには、以下はどれも同じに見えている
虚二次体の有限次Abel拡大は、1のべき根と、楕円モジュラー函数の特殊値と、虚数乗法を持つ楕円曲線の等分点の座標で生成される。
Xを位数q=p^mの有限体F_q上のn次元非特異射影代数多様体、Y=X×_{F_q}(F_qの代数閉包)とすると、
#X(F_q) = ∑[i=0, 2n](-1)^i Tr(F_q, H^i(Y, Q_l))。
Cをダークマターの作用を持つN次元クリスタル、Xをそのアトラクターとすると、XからCへの次元変換Fは、固有なファクター方程式
F = F_1 ⊕ ... ⊕ F_N
を満たす。
「342. 代替モデルに切り替わると、推定される効率は、排気質量流量とSCR温度に応じた係数で低下する。 この効率補正は「乗法」である。 つまり、他の制約に基づく推定SCR効率が最初に80％で計算され、ソフトウェアの固定データ構造で60％の係数が定義されている場合、代替モデルの効率は80％の60％= 48％などと計算される。これを以下の表※に示す。したがって、ほとんどの動作条件下では期待される効率は60％を超えない。 その結果、他のすべての条件が完璧であっても、SCRシステムは、NOx排出量の60％以上を除去しようとすることはほぼない。 この表は、代替モデルが別の要因によってアクティブ化されたときにもシステムによって使用される。」
※排気ガス質量流量とSCR温度との各マトリックスで、適用される効率のテーブル。111頁参照。同頁には、ソフトウェア更新によって改訂されたテーブルも載っている。
「343.上記は、代替モデルがアクティブ化された後、ECUは、極端な場合を除き、NOxの量の60％を超えて中和できるようなAdBlueを決して供給しないことを意味している。」
347. 2番目の違法SCR操作ツールは、NOx質量流量に関連している。 過剰なNOxマスフローは、ある時点で、NOxを完全に還元する触媒の能力を妨げることとなる。 エンジンによって生成されるNOxは、車両の速度、加速やエンジンでのEGRの使用などの他の運転要因に大きく依存する。
348. 以下の図に示すように、この違法操作ツールは、NOx質量流量が15mg / s（図において緑色で強調表示されている）を超えると代替モデルに切り替わる。 緑の線が示すように、これは、伝統的な運転スタイルで、時速約80 kmの速度で発生する可能性がある。 ここでも、非常に重いヒステリシスが適用されているため、負荷モデルへの切り替えは、6.5 mg / s（赤い線）の下限を下回った場合にのみ可能である。 グラフからわかるように、これは一般的な運転シナリオでは非常に困難である。
349. いちど代替モデルがアクティブになると、ターゲット効率はNOx質量流量/ SCR温度テーブルに比例して減少ずる。 エンジンによる過剰なNOx生成は、SCRシステムのターゲット効率をさらに低下させ、NOx排出量をさらに増加させることとなろう。
350. この違法操作機器についても、緑色と赤色でマークされた上限と下限は、すでに上記で説明したSCRエージングファクターに依存する。 上限が最初に25 mg / sに設定され、下限が約16.5 mg / sに設定されていた場合、SCRエージングファクターのアクティブ化後、これらの値は上限が15 mg / s、下限が6.5 mg / sにタンブルする。 繰り返しになるが、この違法操作機器は下のグラフに示すように、エージングファクター99％という車両の寿命の非常に早い段階でもうアクティブになっている。この手法のため、NEDC検査の時点では、この不正改ざん機器は、オリジナルの高いしきい値でのみアクティブになるため、輸入検査で検出されない可能性がある。」
352. 3番目のSCR操作機器は、周囲の気温を参照する指。 原則として、周囲温度や吸気温度は、SCRの動作に大きな影響を与えないはずである。これは、物理的に必要ないためである。 にもかかわらず、本テスト車両においては、代替モデルに切り替えるための基準としてこれを使用する。 この操作ツールは、吸気温度が12°Cを下回ると代替モデルに切り替わる。 ヒステリシスが使用されているため、負荷モデルへの切り替えは、温度が再び15°C（ヒステリシス）を超えたときにのみ行われる。
353. 給気温度または他の基準のいずれかを使用して代替モデルに切り替えると、効率が低下する。 テスト車両で実行されたソフトウェアアップデートの結果、このスイッチメカニズムは、またしても完全に削除された。」
354. 本調査で発見された4番目の違法SCR操作ツールは、車両を再起動することでアクティベートされる。
355. 上記のように、他のさまざまな違法SCR操作機器でヒステリシスを頻繁に使用していることで、代替モデルがアクティブになると、ECUによってアンモニア負荷モデルに切り戻すのは非常に困難となる。
356. ただし、車両が頻繁に停止および再始動するシナリオ（たとえば、タクシーの運転手など）では、エンジンが停止するとこの機能が「リセット」されるため、ヒステリシスは有効にならない。
357. どうやら、プログラマーはこの状況を考慮に入れたようで、というのも、この状況はNEDC検査では発生しないからである。 再起動時にシステムがアンモニア負荷モデルに戻らないようにするために、最初の20秒間SCR温度を監視する追加の不正操作ツールが存在する。 SCR温度が50°Cを超える場合、代替モデルは開始後最初の240秒間（4分）適用される。 実際には、これは、車が停止して再起動した場合、最初の4分間はECUが代替モデルになることを意味している。
358. 明らかに、この違法操作ツールには正当な理由がない。他のほとんどの違法操作ツールと同様で、ソフトウェア更新の結果、完全に削除された。」
359. 本調査で明らかになった5番目の違法SCR操作ツールは、SCR温度に関連している。 つまり、この違法操作機器は、SCR触媒コンバーターの温度が300ºCを超えると作動する。これは通常の運転条件下で約120 km / hで発生するが、以下のグラフに示すように、現在の速度制限が時速130kmであることからして、高速道路では普通に超える閾値である。 違法操作機器はそれで代替モードに切り替わり、SCR効率は60％～80％に制限される。 ヒステリシスを使用するため、この不正操作機器は低速でのみスイッチバックされる。 この違法操作ツールは、ソフトウェア更新後も動作し続けたが、負荷モデルではSCR効率がわずかに高くなった。
360. オリジナルのファームウェアでは、他の違法操作機器（特にNOx質量流量または排気質量流量）は、ほとんどの場合、SCR温度よりはるかに早くアクティブになることに注意すべきである。
361. 違法なSCR温度操作計器は、上記のSCRのエージング比率にも依存する。 この違法操作機器では、下降ジャンプは99％ではなく80％に設定されている。これは、触媒の寿命の早い段階で変わることを意味します。 測定時の走行距離が70,000 kmの本テスト車両では、そのときのSCRエージング率は69％であり、システムはすでにアクティブ化されたエージングモードでのみテストできた。
362. ソフトウェアの更新後、この不正操作ツールは維持されたが、SCRブレーキ効率は70〜90％に向上した。これは、この不正操作ツールが物理上要求されている可能性があるとはいえ、やはり、しきい値が低くセットされすぎていたことを示している。」
「III.D.4.f）SCR操作ツール6：AdBlueの平均消費量
363. 他の違法SCR操作機器に加えて、6番目の違法SCR操作機器が本テスト車両に存在しており、SCRシステムがEuro 6基準を満たすために必要なよりも少ないAdBlueを消費する原因になっている。
364. この操作ツールは、AdBlueの平均消費量を追跡しており、AdBlueの平均消費量が820 ml / 1000 kmを超えると、代替モデルへの切り替えを行う。 これは、更新後の本テスト車両が消費する量の約半分であり、最適なNOx除去を確実にするための実際のAdBlue投与要件をかなり下回っている。」
「369. この場合も、本テスト車両のソフトウェアアップデートの結果、メカニズムが完全に削除され、違法性が証明された。 繰り返しになるが、この違法操作機器に考慮され得る正当性はない。」
370. 違法なSCR操作機器が多数あることに加えて、この車両にはEGRシステム関連の違法操作機器も2つ含まれている。 1つ目は、「サーマルウィンドウ」または温度ウィンドウで、ドライブサイクル中に観測されるエンジンの最高温度とエンジン始動温度に応じて、EGR比を低下させる。 EGR機能が開始温度を考慮することは有用であろうが、エンジンがすでに暖機されている場合には当てはまらない。
371. ただし、このサーマルウィンドウは、エンジンが18°C〜35°Cで始動し、エンジン温度が86°Cを超えない場合にのみ完全なEGR動作が可能になるように設計されている。 これらの条件は、NEDCテスト、特にエンジン出力が低くて済むECE-15コンポーネントの繰り返しにて生ずると予想される。 とはいえ、これらの条件は実際の運転条件と一致していない。
372. このテスト中に観察された相対EGRの減少を、以下の表に示す。 NEDCテストで予想される使用条件は、赤でマークされている。 概要でわかるように、この温度ウィンドウのEGR削減の度合いは、NEDCで予想される条件では0.0％に設定されているが、通常の運転条件のほとんどで100％に設定されている。
373. 繰り返しになるが、この違法操作機器に正当な理由は考えられない。調査の結果、これらの違法操作機器の影響は、ソフトウェアの更新後にテスト車両で完全に無効化された。 基になるアルゴリズムは保持されているが、結果の概要のすべての値は更新後にゼロに設定されていた。」
「III.D.4.h）2番目のEGR操作機器：「エンジンホット＆アイドル」
374. 最後に、エンジンが80/90°Cを超えて暖まった後に、アイドルが続くとEGRの動作を減らす違法EGR操作機器がある。 この状況は、都市環境でルートを続行する前に、高速道路などの中速から高速で運転しているときによく発生する。
375. ソフトウェアの更新前は、以下の表に示すように、ソフトウェアはこれらの条件下でEGRの使用量を80〜100％削減するようにプログラムされていた。 この概要は、エンジンの温度と速度に応じたEGRの相対的な減少を示している。 緑のゾーンは、EGRの汚染を防ぐためにおそらく実装された、温度に依存した減少を示している。 一方、赤い領域は、エンジンが動作温度に達してからアイドリングするときに、EGRの動作を減らすように設計された違法操作機器を示している。
376. 繰り返しになるが、この違法操作機器にはいかなる正当性もない。
377.ソフトウェア更新後も、このアルゴリズムは保持されているが、その帰結はまたしても大幅に変更された。 動作範囲が拡張され、低温（<35°C）でのEGRの動作制限が減らされた。 同様の改善が高温側でも行われた。 次の表に示すように、アイドル時にエンジンのEGRを低下させる値が削除された。 緑でマークされたセルは、改善のポイントを示している。 「使用後の定常」でEGRの使用を減らす値は完全に削除された。 温度スケールも積極的に調整されている。」
「パートIII.Dで、当財団は、ダイムラーが使用した違法操作機器の運用にかかる委託研究について説明する。 ••••••（以下：••••••）が実施したこの調査では、これまで他の利益団体や当局が使用していない根本的に異なる方法論を採用した。端的にいえば、当財団が購入したEuro 6 Test Vehicleでテスト走行を行い、エンジンと排気ガス管理を制御するECU（Electronical Control Unit）から走行中の情報を読み取ったのである。これにより当財団は、試験車両の違法操作機器の根本的なメカニズムと機能を初めて洞察する者となった。本調査により当財団が同定できる限り、少なくとも8つの違法（SCRおよびEGR）操作機器が配備された、驚異的に複雑で洗練された排出詐欺が明らかになった。これらの違法操作機器はそれぞれ、実際の運転条件でシステム全体の効率を大幅に低下させる。ダイムラーのトリックの結果として、これらの違法操作機器はNEDCテストサイクル外でのみ動作する。」
「III.B.1. 序文
255. このセクションでは、当財団は、排出規制および適用される判例法に基づいて、違法操作機器の特性について説明する。 前述のとおり、当財団はとりわけ、2020年4月30日の欧州司法裁判所 Eleanor Sharpston 法務官の意見※に特に注意を払っている。（図14を参照）。」
※「2020年4月30日の欧州司法裁判所 Eleanor Sharpston 法務官の意見」はこちら。↓
"Court of Justice of the European Union PRESS RELEASE No 52/20
Luxembourg, 30 April 2020
Advocate General’s Opinion in Case C-693/18CLCV and Others (defeat device on a diesel engine)
According to Advocate General Sharpston, a device that adjusts upwards the operation of the emission control system of diesel engine vehicles during the approval testing of those vehicles is a ‘defeat device’prohibited by EU law
The objective of slowing down the aging or the clogging-up of the enginedoes not justify the use of such a device"
https://curia.europa.eu/jcms/upload/docs/application/pdf/2020-04/cp200052en.pdf
III.D.1. イントロダクション、研究の関連性、および主要な調査結果
295. このセクションでは、当財団の研究結果について論ずる。 この研究は、その方法論によって、上で説明した研究※とは区別される。 前述のように、この研究は、入力値（周囲温度や車速など）と出力値（PEMSで測定された排出量）を測定するのみならず、ECU自体の内部機能を測定することを目的とする。 テスト中にECUから直接情報を読み取ることにより、ECUの設計と操作を再構築可能である。」
※直前のIII.C で、第三者が公表した調査結果を挙げている。
「296.このアプローチは、概ねメーカーのソースコードがなければ違法操作機器の動作を検出および分析することは不可能であると考えられていることから、これまでどの型式承認当局・関連団体にも採用されていない。間違いなく可能であるとはいえ、費用と時間がかかり、専門知識を用いねばならない。この理由もあって、当財団はこれまでのところ、この研究を単一のテスト車両（本テスト車両）に限定している。本テスト車両は、第306項でさらに指定されているユーロ6対応型メルセデスE350である。モダンなユーロ6車両を選択する理由は、この車両タイプに、EGR（排気ガス再循環）とSCR（選択的触媒反応）の組み合わせからなる高度で複雑な排出制御システムが装備されているためである。このような複合システムでは、SCRシステムが処理の大半を引き継ぐため、EGRシステムはNOx排気負荷を減らすために「ハード」に動作しなくてもよくなる。 Euro 6モデルのECUソフトウェアはEuro 5ソフトウェアの拡張バージョンであるため、以前のバージョンの多くの機能がまだソフトウェアに存在している。調査が示すように、本テスト車両のECUには、機能しているEGR操作機器も多数含まれている。この点で、本研究結果は、EGR装置のみが装備されていた古いメルセデスベンツモデルにも関連している。
297. 要するに、この調査により、SCRとEGRの違法操作機器の範囲が特定された。これらはそれぞれ、特定の条件下でシステムの全体的な効率を大幅に低下させ、これによりSCR触媒コンバーターはほとんどの条件で動作容量のうち最大で60％に制限されることとなる。」
「300. 本調査の結果、違法なSCRおよびEGR操作機器は、NEDC検査下の状況では動作せず、通常の使用状況でのみ動作するようにプログラムされていることが判明した。 違法操作機器は、条件がNEDC検査条件から少しでも逸脱している場合にアクティブになることがわかっている。 さらに、SCR関連のいくつかの違法操作機器には、車両が数か月間使用された後にのみ違法操作機器を操作するように設定されたタイマー機能があり、NEDC検査を確実に通るようになっている。」
「302. 本調査はまた、これらの違法操作ツールのほとんどがソフトウェアの更新後にテスト車両から削除されたことを示している。これは、エンジンの損傷を防止したり、車両の安全な動作を確保したりするために違法操作ツールが必要ないことを意味している。このソフトウェアの更新によって、テスト車両のすべての違法操作機器が実際に削除されたかどうかは明らかではない。……」
III.D.2.a）はじめに
305. 本調査で使用されるメソドロジーは、データ収集、ソフトウェア分析、およびテスト車両から生れたテスト結果の解釈とを、組み合わせることである。306. 前述のように、本テスト車両は、メルセデスベンツ E 350 BlueTEC 4 MATIC Tであり、OM 642型 190 Kw、2987 ccm、6気筒エンジンを搭載している。本テスト車両の検査文書のコピーを別紙57に提示した。……
307. ECUの情報チャネルは複雑で量が多いため（ECUは内部で10,000を超える信号を処理）、イテラティブなプロセスを用いた。 最初のフェーズでは、通常使用中に車両のECUのプロファイルを作成するために、広範なデータ収集が行われた。 排出制御に関連するソフトウェアとデータは、ソフトウェア分析を使用して特定した。 その後、データ収集プロセスをさらに洗練し、より詳細なデータを得た。」
308. 調査中のデータ収集は、OBD-2ポートを使用して実行した。……」
「310.前述のように、ECUソフトウェアのソースコードや完全なドキュメントについては、ダイムラーがその情報を慎重に管理しているために、本調査者はこれらを得ていない。 ただし、ドキュメントやソースコードが利用できないソフトウェアの分析については多くの研究があり、そのような分析はIT業界で定期的に行われている。研究者は、「逆アセンブル」（ソフトウェアが人間が読める形式に変換される）やソフトウェアシミュレーションなどのいわゆるリバースエンジニアリング手法を使用している。 これらの手法により、ソースコードが利用できない文書化されていないソフトウェアの分析が可能になり、本テスト車両のECUソフトウェアの分析にも使用されている。」
315. 本SCRシステムでは、主な制御変数の1つはAdBlueまたはDEF（ディーゼル排気流体）の投与量である。本テスト車両のECU、Bosch EDC17CP57 は、システムに投与されたAdBlueの量を計算する。 SCR触媒コンバーター内で、AdBlueはアンモニアに変換され、次にアンモニアがNOxと酸素と反応して窒素と水に変換される。
316.有効性の尺度は、「SCR除去効率」または「変換効率」である。 SCRの潜在的な効率は、以下を含む多くの物理的条件によって制限される場合がある。
317. 以上のリストは完全なものではないが、適切に機能しているSCRシステムが物理的な制限を受けていることを示している。 これらの制限に対処するために、本ECUソフトウェアには、2つの異なる動作モードが含まれている。
318.最初のモードは、以下「アンモニア負荷モデル」と呼ぶもので、SCRシステムが完全に機能するモードである。 このモードは公的にアクセス可能なメディアでは説明されておらず、この用語自体は文献で使用されている標準ではないことに注意されたい。
319. 2番目のモードは「代替モデル」である。 これは、不正な操作ツールによってアクティブ化されるモードである。 代替モデルがいずれかの操作ツールによってアクティブ化されると、通常SCRは最大60％となる。 特にいくつかの違法操作ツールが同時にアクティブ化されている場合は、効率が大幅に低下する可能性もある。……」
330. 本調査による観察結果の要点は、代替モデルでは、実際の運転条件のほとんどで、SCRシステムのターゲット効率が比較的低い値に保たれるが、これは物理的な制限に基づいていない要因やポリシーの選択によって生じているため、 違法だということである。 言い換えると、SCR触媒でのNOxの還元に直接影響を与えることがない入力に応じて、効率目標が意図的に低い値に低減される。 したがって、これらの要素とポリシーの選択、およびそれらが有効にするメカニズムは、違法な操作手段と見なすことができる。
331. これらの違法なSCR関連の操作ツールは、以下の機能を共有する：
（i）それらは、温度、排気ガスの質量流量といった、極端な条件下で一般的に制御する必要がある物理的特性に応答する。
（ii）ただしそれらは、通常の「実際の」運転条件では、システマティックにアクティべートされる。
（iii）それらは、たとえば、正当化されないヒステリシスを使用することにより、アクティベート後に、ある効果が出るように設計されている。
簡単に言えば、ヒステリシスという用語は、新しい状態への切り替えを引き起こす値と元の状態への戻りを引き起こす値との間に特定の「範囲」がある状態を表す。一般的な例は、特定の温度で加熱がオンになるサーモスタットで、温度が初期値よりも数度低い場合にのみオフになることで、システムのオンとオフが連続して行われないようになっている。今回のケースでいうと、ヒステリシスは、元の状態（この場合は「アンモニア負荷モデル」）に切り替えるしきい値が「代替モデル」が動き出す状態に切り替えるレベルよりもかなり低い（または高い）場合に発生する; そして
（iv）それらはSCRシステムの目標効率を大幅に低下させ、AdBlueの投与を大幅に削減する。これにより、NOx排出量が大幅かつ大幅に増加する。
332. 本調査の結果、8個以上の違法操作機器が発見されたが、そのうち6個はSCRシステム（およびAdBlueの投与量）に関連している。……」
「III.D.4.a）SCR操作ツール1：排気ガスの質量流量
335. 最初の違法SCR操作機器は、SCR触媒コンバーターを通過する排気ガスの体積（排気ガスの質量流量）を参照する。
336. 上述したように、排気ガスの質量流量がSCR触媒の処理能力よりも大きい場合、排気ガスはSCR触媒から逃げることができ、NOxチャージを減らす機会が与えられないこととなる。 これに対処しないと、SCR効率の過大評価につながり、AdBlueのオーバードーズにつながる可能性がある。 このことで、SCR触媒がアンモニアでオーバーフィルされ、アンモニアのスリップが発生する可能性がある。 したがって、質量流量を監視し、過剰なマスフローが通知されたときにSCRのターゲット効率の推定値を下げることは、原則として、有効なストラテジーになる可能性がある。
337. ただし、テスト車両では、フィルタ後の排気ガスの質量流量の制限は、時速170 kgに設定されており、これは、実際の運転状況では約100 km / hに相当する。 このしきい値は、技術的な観点から見て、言い訳けができないほど低くなっている。 このしきい値を超えるとすぐに、ECUは代替モデルに切り替える。 さらに、（-80 kg / hの）強いヒステリシスが適用されるため、負荷モデルに切り替える場合、質量流量は90 kg / h未満でなければならない。 60 km / h程度の低速でも、このしきい値は日常的に超過している。 さらに、エンジンが一定している場合、短時間では負荷モデルに戻らない。
338. この制限は、正確には、SCRシステムの「エージングファクター」によって決まることに注意せよ。この機能に関連して、ECUはSCR触媒コンバーターがその耐用期間中にさらされた温度を記録し、これに基づいて経年変化の影響をモデル化する。ただし、以下のグラフに示すように、この違法操作機器のエージングファクターは、完全な100％（完全に新しい状態）が1％～99％（すなわち実質的に新しい）まで減少するとすぐにアクティブになるように設定されている。すでにその時点で、上限は時速200 kgから時速170 kg へ削減され、下限（ヒステリシス）は時速120 kg / hから時速80 kg / hに削減されている。 NEDC検査は完全に新しい車両で行われるため、輸入検査でこの違法操作デバイスを検出できないと推定できるのである。これに対し、本テスト車両はこれらの観測の時点で70,000マイル走行しており、ソフトウェアは69％のSCRエージングファクターを示していた。」
あの愚かしい「掛け算の順番」論を小学校２年生で教えるように文部科学省からの「解説」が出たのは，平成２９年７月のことであった。学習指導要領は平成２８年１２月の中央教育審議会答申を踏まえて平成２９年３月３１日に改訂され，文部省による「解説」が平成２９年７月に公開されたのである。
「掛け算の順番」は，中央教育審議会の答申で加わったものなのか，それとも「解説」で加わったものなのか。後者である。
中央教育審議会や，その初等中等教育分科会，さらにその中の教育課程部会小学校部会や教育課程部会算数・数学ワーキンググループの議事録は，国立国会図書館が保存している。
中央教育審議会： https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo0/index.htm
初等中等教育分科会： https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/index.htm
議事録をそれぞれ開いて検索しても，「乗法」「かける数」の順番についての言及は無い。
ところが，学習指導要領の「解説」113頁以下で突如として，「被乗数と乗数の順序が…本質的な役割を果たしている」などという言葉が出てくるのである。
もっとも，この「解説」が，中央教育審議会での検討結果を適切に踏まえて作成された可能性もある。
したがって，掛け算の順番を指導すべきか否かについて，確認すべき点が２点ある。
第一に，中央教育審議会教育課程部会算数・数学ワーキンググループの委員ら（ https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/meibo/1370594.htm ）は，掛け算の順番を指導することを意図していたか。第二に，「解説」113頁以下の執筆過程である。
もっとも，「解説」が中央教育審議会の真意を反映していないと推認させる事情がある。「解説」対象としているはずの表現が，指導要領の文言と異なっているのだ。以下は「解説」113頁以下の抜粋である（二重引用は，解説中で引用されている指導要領である。）。
A(3)乗法
(3)乗法に関わる数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
(ア) 乗法の意味について理解し，それが用いられる場合について知ること。
(イ) 乗法が用いられる場面を式に表したり，式を読み取ったりすること。
(ウ) 乗法に関して成り立つ簡単な性質について理解すること。
(エ) 乗法九九について知り，1位数と1位数との乗法の計算が確実にできること。
(オ) 簡単な場合について，2位数と1位数との乗法の計算の仕方を知ること。
(ア) 数量の関係に着目し，計算の意味や計算の仕方を考えたり計算に関して成り立つ性質を見いだしたりするとともに，その性質を活用して，計算を工夫したり計算の確かめをしたりすること。
(内容の取扱い)
(4) 内容の「A数と計算」の(3)のアの(ウ)については，主に乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする。
第1学年では，加法の意味について理解することや，その計算の仕方を考えることを指導してきた。また，第2学年では，数のまとまりに着目し，数を2ずつ，5 ずつなどの同じ大きさの集まりにまとめて数えることを指導してきている。
第2学年では，乗法が用いられる実際の場面を通して，乗法の意味について理解できるようにする。また，この意味に基づいて乗法九九を構成したり，その過程で乗法九九について成り立つ性質に着目したりするなどして，乗法九九を身に付け，1位数と1位数との乗法の計算が確実にできるようにするとともに，計算を生活や学習に活用する態度を養うことをねらいとしている。
なお，ここでの学習の内容は，第3学年の多数桁の乗法や除法の学習の素地となるものである。
乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。
例えば，「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合，5+5+5+5と表現することができる。また，各々の皿から1個ずつ数えると，1回の操作で4個数えるこ とができ，全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから，4+4 +4+4+4という表現も可能ではある。しかし，5個のまとまりをそのまま書き 表す方が自然である。そこで，「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を 乗法を用いて表そうとして，一つ分の大きさである5を先に書く場合5× 4と表 す。このように乗法は，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現と も捉えることができる。言い換えると，(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ 分かに当たる大きさ)と捉えることができる。
また乗法は，幾つ分といったことを何倍とみて，一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も，併せて指導する。このときも，一つ分 に当たる大きさを先に，倍を表す数を後に表す場合，「2mのテープの3倍の長さ」 であれば2× 3と表す。
なお，海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては，「4×100 mリレー」 のように，表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。
ここで述べた被乗数と乗数の順序は，「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大き さを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方，乗法の計算の結果を求める場合には，交換法則を必要に応じて活用し，被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。
乗法による表現は，単に表現として簡潔性があるばかりでなく，我が国で古くか ら伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって，その結果 を容易に求めることができるという特徴がある。
「(ア) 乗法が用いられる場合とその意味」という見出しが付されていることから，「解説」を執筆した文部科学省初等中等教育局長髙橋道和およびその部下たちは，学習指導要領における「乗法の意味について理解し，それが用いられる場合について知ること」を「乗法が用いられる場合とその意味」と読み替えた上で，後者について解説してることが分かる。
そして文科省初等中等部教育局は，「用いられる場合」のあり方について縷々説明をする。「その意味」が「乗法の意味」ではなく「乗法が用いられる場合の意味」を指すように，意味が変更されたことの現れである。順序が本質的な役割を果たすとして交換を拒む彼らが，表現の順序を交換しているのは皮肉であるが，そこでは交換法則が成立していない。
学習指導要領は，「乗法の意味」には「理解」を求め，「それが用いられる場合」は「知ること」を求めている。後者は知るだけで良いのであって，深い分析の如きは求められていない。そこには，文科省の官僚が言うような「被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童が理解することが重要である」というような視点はなかったのである。
位数が有限な体のことです。
集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。
Fの元の個数をFの位数という。
上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。
Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。
Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。
位数有限な斜体は、可換体である。（Wedderburn）
逆に、任意の素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。
有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。
これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型
φ_q: x→x^q
が、そこに至るまでの結論はわりと複雑で、単純に論じられる問題ではない。
いちおう言っておくと、自分は旧帝大の数学科出身で、代数学・計算機科学的な議論はひととおりできるし、教育にも携わったことがある。
まず第一の論点として、少し厳密性に欠ける話なのだが、掛け算の左右は本質的には同じものではない。
つまり、（結果として交換可能かどうかではなく）意味的に交換可能か、というと、これは交換不可能である。
すなわち「掛け算の右と左は全く異なる意味を持つ」ということができると思う。
そもそも掛け算というのは、●を▲回足す、といった素朴な定義からスタートしている（現代的な数学基礎論の立場でもこのように掛け算を定義していると言ってよい）。
●を▲回足すことと、▲を●回足すことは、結果の同一性は置いておいて、少なくとも意味としては異なる話であろう。
実際、たとえば●を▲回掛けることと▲を●回掛けることを比べると、これは結果すら異なってくるわけだから、素朴に交換してよい、という話にはならない。
（数学では、非可換環だとかベクトルの作用だとかわけわからんものが山ほどあり、そこでは乗法やそれに類する演算が交換不可能なことは日常茶飯事である）
ところがこれが交換可能になってしまうというのが、「交換法則」の主張するところである。
これは掛け算そのものがその定義の中に「自明に」有している主張ではなく、定義から証明することによって主張される、いわゆる「定理」である。
するとここで「学校教育において、未だ習っていない定理をテストの解答に使用してもよいか」という第二の論点が現れる。
これに対する解答は、「よくない」である。
例えば大学入試においてロピタルの定理を使うことは、それが問題を解くために非常に役に立つにもかかわらず、許されていない。
どうしても使用する場合は、自らそれを解答用紙中で証明したうえであれば使うことができる、というルールだ。
さらにいえば、仮に交換法則を使ってもよいとして、「交換法則を使った」ことを明記せずに最初から定理適用後の姿で立式してしまうことにも疑問点が残る。
この論点でもやはり基本的には交換不能である側の意見に理があると考える。
と、言うのも、基本的に文章題においては日本語を数式に変換するための「解釈」は解き手に委ねられているからだ。
つまり、３個ずつのリンゴを５人に配りました、という日本語から「３個を５回足すんだな」と解釈することにも、「５人を３回足せばいい」と考えることにも一定の妥当さがあり、そこには読み取りの自由がある。
これは算数や数学の問題というより、日本語としての読み取り方の部分に交換可能性が潜んでいるのである。
したがって、この文章を数式にするにあたって５×３と書いても、それは何ら減点要素ではない。
まとめると、
掛け算は意味的には交換可能ではないよ→でも交換法則があるよ→でも習ってない定理は使えないよ→でも日本語の読み取りの部分に交換可能性があるよ
ってことで、左右逆に書いても丸になるというのが結論。
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
さいきんのゆとりは、と言われそうなので、三十代半ばと年齢を先に申告しておく。
試験にノートを持ち込めるわけでないし、教科書に書いてあることを黒板に写して、それをノートに写すなんてどうして？と思ってた。
流石に、大学では「データを残すために」紙に記録することにしたけれども、紙に書くことが理解の助けになるとか、記憶の助けになるとは思わない。
忘れてしまうことはノートやメモに残すけど、忘れてしまう前提だから残すのだ。
逆に、アウトプットのために、紙にかくことはとても有用だと思う。
文章を作る前、数式をたてる前、スライドを作る前、出来上がりのイメージを図にしてから始める。
あれをつくるためには、この順番で組み立てて、それぞれの部品はこうやって表現して、そのためにはあれが必要で、ということを考えるためには、紙とペンはとても有用だと思う。
学校教育では、アウトプットのための紙とペンの使い方をもう少し教えた方がいい。
と、ここまで書いておもったのだが、僕の思考は、まずはアウトラインを決めて、そこに合うように部品を嵌めこむ「トップダウン型」だ。
対して、学校教育は往々にして、知の積み重ね、「ボトムアップ型」だ。
たとえば、乗法の交換法則の証明を終えてはじめて、掛け算の順序問題から開放されるというように。
それはある意味では正しいと思うんだけどね。
