2018-09-02

anond:20180902103608

整数論専門院卒、非数学者です。

まずは

1. ガロア理論

2. 楕円曲線

の二つについて理解することを目標にされるといいと思います

この二つは19世紀以前の数学最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います

またIUTでは楕円曲線ガロア理論を用いて数の加法乗法構造を調べるというようなことをしています

以下では、上の二点についてもう少し詳しく説明してみます

1. ガロア理論

ガロア理論方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的問題解決されました。これを理解するためには代数学特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります

さら整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論勉強なさるのがよいと思います。p進体では(普通対数関数と同じように)log定義することができ、これはIUTでも重要役割を果たします。類体論特別場合として円分体のガロア理論理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います

2. 楕円曲線

楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります

さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要役割を果たします。

上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数研究をするのが数論幾何という分野です。

まとめると、まずはガロア理論目標として代数基本的なこと、楕円関数目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います

これは同時並行に進めることをお勧めします。

上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。

記事への反応 -
  • 宇宙際タイヒミュラー理論(IUTeich)を理解したいんだけど、どこから手を付けてよいのかさっぱりわからんのです。 自分は工学系の修士卒。学生の頃、数学はあんまり得意じゃなかったで...

    • はてなの自称インテリを買いかぶりすぎてる気がするけど、これに回答が付くの? ダジャレや混ぜっ返し以外の回答が付いたらはてな民を見直す。

    • 数学まったく詳しくないけど、ニコニコのMath Powerで宇宙際タイヒミュラー理論の講義やってたよ。動画も残ってるんじゃない。

      • ニコ動のアカウントがあれば再生されるはず。 http://live.nicovideo.jp/watch/lv303564022#7:26:33

    • 京大の先生が書いてる入門のpdfを読めばいいんじゃないの?わからないテクニカルタームがあったらググれば。ていうか院出てるのに勉強の仕方がわからないとかどんだけ底辺なんだよ

    • 聞く場所を間違ってる 宇宙際タイヒミュラー理論に関連したブログ記事はまだありません。はてなブログで「宇宙際タイヒミュラー理論」について書くと、そのブログ記事がこの場所...

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    • 数理科学修士卒、非数学者の意見。 (数論が専門ではなかった。加藤和也先生の講義をとったことがあるくらい。 望月さんとは会ったことがあるが、専門的な話はしたことがない。) ...

    • 原始仏教を学べばヒントは腐るほどある

    • 数学専門の修士1年です。整数論を学ぶものの端くれとして助言させていただきます。とりあえず以下の分野について勉強なさることを薦めます。 (必要なら)微積分と線形代数の復習 微...

    • 増田で匿名の相手なんかに聞くよりも、実際の望月教授の研究室HP覗いた方が遥かに確実だし手っ取り早いぞ。 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/students-japanese.html

  • 楕円曲線と楕円関数はあんまり関係ないと思うが。両方とも数論には重要だけど。

    • 楕円関数は楕円曲線上の有理型関数で、関数体の生成元なんだけど、なぜあまり関係がないと思ったの?

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