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はてなキーワード: 代数多様体とは
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。
まず、以下のデータを考える。
- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。
- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。
- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。
幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。
𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
ここで、
この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。
核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手
Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)
ここで、
𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)
問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。
ヒッチン写像を導入する。
ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)
ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。
完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。
Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。
𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))
ここで、
- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。
- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。
この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。
𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))
ここで、
- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。
- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。
作用素:
M 理論におけるブレーンの配置:
- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。
- Σ は曲線 𝑋。
Lurie の高次圏論:
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。
これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
おれ、chatGPT使えるようになって真っ先に望月新一のABC予想についての海外数学コミュニティでの受け止めについて聞いてみたんだけど、その時はまあまあちゃんとした内容（通り一遍ではあるが）が返ってきた。いま望月新一について尋ねてみたらこんなのが戻ってきた。
望月新一（もちづきしんいち）は、日本の漫画家であり、推理小説家でもあります。彼は、特に『名探偵コナン』の作者として知られています。
望月新一は、1965年6月4日に青森県青森市で生まれました。彼は若い頃から漫画や小説を書くことに情熱を持っており、高校生の頃から漫画家としてのキャリアをスタートさせました。
1994年に、望月新一は『名探偵コナン』を連載し始めました。この漫画は、高校生探偵の江戸川コナンが、毒を飲まされて小さくなってしまった身体を利用して、事件を解決するストーリーです。この作品は、世界中で大きな成功を収め、アニメ化や映画化など、さまざまなメディアで展開されました。
望月新一は、漫画だけでなく、小説でも才能を発揮しています。『名探偵コナン』の小説版をはじめ、数多くの推理小説を執筆しています。
また、望月新一は、漫画や小説以外にも、音楽にも興味を持っており、自ら作曲した楽曲を使用したアニメーション作品もあります。
いや数学者だろ、とツッコミを入れたら以下。もっともらしいがデタラメ多い、というか、望月拓郎とごた混ぜになっている。
望月新一（あきら・もちづき）は、日本の数学者であり、代数幾何学を専門としています。主に、モチヅキ理論やモチヅキ加群、モチヅキ因子などの研究で知られています。
代数幾何学は、代数学と幾何学の融合であり、代数方程式の幾何学的な対象である代数多様体を研究する数学の分野です。望月新一は、代数多様体の幾何学的性質を研究する際に、代数的手法を用いて新しい理論を発展させました。
具体的には、望月新一は、代数多様体上の「D加群」と呼ばれる特殊な加群を研究し、それを用いて、代数多様体の幾何学的性質を解明しました。また、望月新一は、代数多様体上の「モチヅキ因子」と呼ばれるものを定義し、これを用いて、代数多様体の双有理幾何学に関する新しい理論を構築しました。
どうせほとんどの読者は高校数学さえ理解していないのだから、何を解説したって数学の本質的な理解は無理なのかもしれない
彼らには、以下はどれも同じに見えている
虚二次体の有限次Abel拡大は、1のべき根と、楕円モジュラー函数の特殊値と、虚数乗法を持つ楕円曲線の等分点の座標で生成される。
Xを位数q=p^mの有限体F_q上のn次元非特異射影代数多様体、Y=X×_{F_q}(F_qの代数閉包)とすると、
#X(F_q) = ∑[i=0, 2n](-1)^i Tr(F_q, H^i(Y, Q_l))。
Cをダークマターの作用を持つN次元クリスタル、Xをそのアトラクターとすると、XからCへの次元変換Fは、固有なファクター方程式
F = F_1 ⊕ ... ⊕ F_N
を満たす。
一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。
もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。
本稿を通して、kは代数閉体とする。
i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]
を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム
Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))
と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。
与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。
定義:
Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが
f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]
により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。
例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、
dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n
∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))
であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。
∴ dim(O_{E}(np)) = n
n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。
この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。
与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。
定理(Cartan-Serre-Grothendieck):
XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、
i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0
定理(Nakai-Moishezon):
Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、
D^dim(Y).Y＞0
kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は
E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...
と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。
このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、
・[Y] = [Q×Z] + [R]
・dim(R)＜dim(Z)
が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。
dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。
このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。
定理:
各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は
f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}
と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。
Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。
定理(Hilbert):
Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。
以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。
定理(Hilbert):
