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はてなキーワード: 多項式とは

2020-10-11

anond:20201010182640

元増田です。

能動的行動/受動的反応 という言葉は、説明せずに使うには雑な部分があって、それを「一次創作オリジナリティ)/二次創作」に対置するには、かなり間を埋めないとならなかったですね。反省。もうちょっと詳細に書き下したいと思います

元増田追記部で、

という2変数の式を想定しました。同人二次創作においては、キャラクターは既知のもの、いわば流用物であり、さらに学園パロなどであれば、シチュエーションも流用物なんですね。この、「だいたいのものが流用物で出来ているつくり」が、ある種の巨大コンセンサスへの従属性を帯びる要件だと思うんです。

実際の創作(一次・二次を問わない)においては、式が2項で出来ているなんてことはなく、

と、変数は多数あるわけですが、この多項式におけるオリジナリティ成分の占める率が高まっていけば、一次創作と見なされる成分も増していくのかなと。そして、例えば、「オリジナル世界で、オリジナル物理法則が動き、オリジナルキャラが動く」のであれば、それはもはや「キャラクターのリアクション=反応を描写する二次創作」ではなく、「キャラクターがアクションする=行動する舞台すらまとめて整える一次創作」みたいに(私には)感じられる。逆側から言い換えると、反応の根拠たる外的要因もすべてオリジナルで用意してようやく、「キャラクターが能動的に行動した」と言えるだけの一次創作性を獲得できるのではないか

逆に、同人活動的二次創作においては、「原作から《ある程度》外れないこと」、すなわち、原作そのままっぽさをキープしていることが当然に重要で(だってファンアートだし)、だとすると、変数に代入するものオリジナリティ成分を増やしすぎることは決して良いわけではないんですよね。したがって、多数の変数には、ことごとく「みんながよく知っている例のアレ」を放り込むほうが目的に添うわけです。繰り返しになりますが、学園・現代・閉じ込めてみた・幻想郷シリーズなどはシチュエーション変数によく利用されます

大多数の変数を流用物にすることで巨大コンセンサスへの従属性が形成され、その「従属性」は、主たる原作が外部に存在することを暗に示すことができます。だったら、同人二次創作においては、従属性はむしろ持っていたほうが良いものであり、オリジナリティ成分の導入は控えられるでしょう。仮にオリジナリティを導入する場合はある程度まじめに筋道を立てて創作しないと、ただ原作から離れて好き放題やっただけだわ、となり、それはファンアートではなくなるので。

……とここまでくると、言及しなきゃならないのは昨今隆盛の異世界転生ものですよね。異世界転生ものでは、上の式の「大シチュエーションA」の部分に共通性があることから異世界転生」ジャンルというもの確立するに至ったわけですが、だからこそ、「どんな異世界なの?」「主人公個性活躍できる分野)は?」という変数にはタフな固有性ユニークさ(=オリジナリティ成分)の導入が必要になってくる事情があるように見えます

あらためて、「双方を含む一次創作二次創作もあっていいしあるんだけど、最低限要求されるのはそれぞれ違う」という文に答えると、

という感じでしょうか……

全部私個人感覚なんですけどね(エクスキューズ

書いてみて思いましたけど、二次創作アレヤコレを語るのって、言葉定義の定め方や設計がめちゃ大変ですね。書き下しがうまくいってますように。

2020-09-02

anond:20200827182934

ユークリッド幾何学学校で教える必要がある

公理から初めて論述によって命題を示すという手法現代数学の基本

代数微分積分などは計算だけできれば解けてしまうが

ユークリッド幾何学では厳密な論証を学ぶことができる

公理から論述命題を示す手法現代数学の基本であって

もしユークリッド幾何学を学ばなければ抽象代数学などが理解できなくなることは明らか

現代数学である群論ガロア理論公理から初めて命題を導く

微分積分などだけを教えていると群論ガロア理論などが理解できなくなってしま

ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている

から元増田の役に立たない論は明らかに間違い

ユークリッド幾何学はまず中初等教育において論述を教える題材として適している

代数などはただの計算であって厳密ではないがユークリッド幾何学公理から始めて曖昧さな命題を示す

これは現代数学の基本であって群論ガロア理論を学ぶ際に必要能力

代数では多項式とは?集合とは?などが厳密に説明されていないがユークリッド幾何学には曖昧さは無い

ユークリッド幾何学が扱う題材は図形であって初等教育にも馴染みやす

現代数学を厳密に展開するには公理集合論まで遡らねばならないが

ユークリッド幾何学公理中学生でも理解できて完全

このような条件を満たす単元は他には無い

群論ガロア理論などの抽象代数学はユークリッド幾何学の考えを継承している

これらが確立されたのは18世紀であり微分積分などはそれよりも大分昔の理論から厳密性がない

ユークリッド幾何学現代数学モデルであるから論述を教えることができる

群論ガロア理論対称性を扱う数学対称性とは回転や相似変換などの一般化だから

やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論ガロア理論を学ぶことに役立つ

特に群論では、群の正規群(特異点を持たない群)による商で対称性を分類する

この割り算にはユークリッドの互除法アルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている

群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ

ユークリッド幾何学では公理から始めて命題証明するがこれは現代数学の基本

群論ガロア理論もこのスタイル継承していてユークリッド幾何学を学ばないと抽象代数学が理解できない

ガロア理論ユークリッド幾何学と同様に、対称性公理から作図可能性を論ずる

これはいくつかの公理から始めて可能な手順の組み合わせを厳密に論述することで様々な図形を作図していく

ヒルベルト提唱した円積問題などもこの応用であって、現代数学において極めて重要

ユークリッド幾何学公理から始めて論述のみによって命題証明する

これは現代数学の基本であってガロア理論ヒルベルト理論などがその手法を受け継いでいる

これは現代数学において極めて重要

代数微分積分はただの計算であって論述を教えていないか

ユークリッド幾何学をやらないと抽象代数学などを理解できなくなってしま

ガロア理論は作図を扱うからユークリッド幾何学知識必須

代数などでは計算しかやらず概念定義曖昧だがユークリッド幾何学論述には曖昧さが一切無く

ユークリッド幾何学は図形を扱うから中高生にも理解やす

初等教育論述を教える題材として適しており他にこのような条件を満たす題材は無い

2020-08-27

中学高校数学にいわゆるユークリッド幾何学不要

ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在高校数学カリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。

ユークリッド幾何学不要だと思う理由単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って~」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズル適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの手法一般的現象記述する上で必ず必要になります

もちろん、たとえば三角比定義するには、「三角形内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学性質必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:

OABに対して、|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|cos∠AOB

証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。

現状、少なくない時間ユークリッド幾何学に費やされています数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています

高校数学では以下のような事項が重要だと思いますユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。

これらの分野は数学手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的問題数学物理問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベル重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか?

ユークリッド幾何学初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います

  1. ユークリッド幾何学では証明の考え方を学ぶことができる
  2. 図形問題代数や解析の問題よりも直感的で親しみやす
  3. ユークリッド幾何学問題を解くことで「地頭」「数学直観」などが鍛えられる
  4. ユークリッド幾何学歴史的重要である

しかし、これらはいずれも正鵠を射ていません。

まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題証明されるべきものからです。高校教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離公式三角関数加法定理微分ライプニッツ則や部分積分公式など、どれも証明されていますそもそも数学問題はすべて証明問題です。たとえば、関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないか定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学けが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。

②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトル微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理メネラウス定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学手法問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法一般方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学手法にこだわる理由はありません。

③は単なる個人思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要数学素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学特別視する理由になっていません。

④もおかしいです。そもそも歴史的重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的重要ならば教えるというなら、古代バビロニアインド中国などの数学特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や+-×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わず数学記述するべき理由があるでしょうか。

数学重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学擁護する論者は、「(表面的に)計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います

大昔は代数計算方程式の解法(に対応するもの)は作図問題帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法重要な結果を導きやす方法を用いればよいに決まっています数学史家は別として)。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。

たとえば、放物線は直線と点から距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育重要なのは明らかに2次関数グラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから最初から2次関数グラフとして導入するのは理にかなっています数学教育の題材は「計算問題証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。

三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学連立方程式を学ぶのに小学生鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います

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(*1)

現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに

(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーデルタ)

内積定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間ベクトル微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています

(*2)

数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題ガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識必要」というわけではありません。

2020-06-14

物理数学の履修時期は常に1年すれ違っている

物理学は常に数学の発展と共に進歩してきた。

というより物理学から必要に駆られた要請によって新たな数学概念が切り開かれてきた。

したがって当然、物理を学ぶ際には現象のもの理解とその裏に潜む数学的内容の理解が両輪となるのだが、

なぜだか日本学校教育においては、この前提が上手く機能していない。

物理分野においてある現象を習ったその翌年に、ようやく数学分野において必要概念が登場するといった具合だ。

具体的には、以下のようなものがある。

まあ大学まで来ると履修順もある程度好きにできるのであくま一般的な例だが、それでも通常のシラバスでは上記時期に学ぶとされることが多い。

なぜこのようなことになっているのだろう?

はっきり言って物理が「公式の暗記ゲー」になっているのはほとんどこのすれ違いが要因だ。根本的に理解するための道具がないから、その結果だけを公式として先回りに輸入しているのだ。

単純に小学校低学年の段階で理科の履修時期を1年後送りにすれば済むと思うのだが、何か問題があるのだろうか?

(Appendix)

現行(今年度より順次終了)の指導要領は以下

https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/1356249.htm

順次適用される新指導要領は以下

https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1384661.htm

ブクマ返し

かにそこで知識として触れることになっている。ちゃんとやるのは中1だが、そこは誤解を招く表現だった。申し訳ない。

それはない。上記リンク参照。勝手にやってる所はあるかも。

大学カリキュラムはさすがに学校ごと、個人ごとに差が大きく、必ず上記の通りと言うつもりはない。しかベクトル解析は通常1年次の微分積分学ではやらないと思う。

また一般的に、物理の履修が数学に先んじる傾向が大学でも続くという部分は、どの大学でもおおまかには認められると思う。

思ったより各校で工夫されているらしい。それ自体はとても好ましい。

だが基本は指導要領の通り教わっているものであり自分の教わり方が「例外的に素晴らしかった」ことは認識していただきたい。

教師判断で「工夫」しなければいけない状態はどうなのか?

必ずしも初学者発見順に沿って学習する必要はないと思っている。

今の体系の中で、最もわかりやすい順番に並べ直すべき。

それ自体反論はないが、であれば上記のように物理内で微積を導入するなどして必要数学を身に付けさせなければ意味がない。

たとえば等加速度運動二乗公式を暗記させる必要は一切ないはず。

そして具体例から抽象化までに1年のブランクは遠すぎる。

また、個人的には数学はそれ自体完結する学問だと思っているので、常に物理のために数学があるような受取り方になるとしたらちょっと良くない(個人美学だが)

直前に書いた通り、自分はこの考えを指示する。異論はない。

物理要請数学が切り開かれた」というのは、そういう一事実があると言いたかっただけで「全ての数学が」というように受け取らせるつもりはなかった。

ここも誤解を招く表現でしたね。

2020-06-10

基本的数学で覚えなければいけないことは無い

たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは(もちろん厳密に証明することはできるが)自然感覚であり、これも覚える必要はない。

こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。

また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないか無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。

定義は覚える必要があるか

無い。

定義公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。

それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えている問題に対してそのように概念定義すべき理由存在するからだ。

たとえば、複素数実数係数の2次方程式の解として生じるからi^2=-1と導入するのは自然であるし、三角形は2角と1辺の長さが決まれば決定されるから三角比定義自然ものである

そもそも、どのような経緯でそのような概念が導入されるのか理解することは、別に数学に限らず重要である

定理公式は覚える必要があるか

無い。

数学公式はすべて論理的に導出できるのだから、覚える必要はない。特に高校数学程度の定理公式などに大して証明が難しいものは無いのだから、瞬時に正しく導けなければいけない。

また、大抵の公式は、その意味理解できていればいくつかの具体例で試せば分かる。たとえば、三角関数加法定理は、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)さえ分かれば求められる。

用語を覚える必要があるか

無い。

用語などはどうでもいい。

たとえば、平方完成という名前を知らなくても、二次方程式の解の公式の導出や、二次関数極値問題が解ければ全く問題ない。

問題の解き方は覚える必要があるか

無い。

そもそも数学理解度を確かめるために具体的な問題があるのであって、問題の解き方を覚えるのは完全に本末転倒である

その問題で使われている概念定理、解答の論理展開などをしっかり理解することが本質的である

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-06-03

有限体って何?

位数が有限な体のことです。

定義

集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Fに対して、ある元-a∈Fが存在して、a + (-a) = a + (-a) = 0

Fの元の個数をFの位数という。

上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。

  • 任意のa, b∈Fに対して、a + b = b + a

Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである

  1. Fは、+を演算としてabel群になる
  2. 任意のa, b, c∈Fに対して、(ab)c = a(bc)
  3. 任意のa, b, c∈Fに対して、a(b + c) = ab + bx
  4. 任意のa, b, c∈Fに対して、(a + b)c = ac + bc
  5. ある元1∈Fが存在して、任意のa∈Fに対して、1a = a1 = a

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。

Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。

  • 任意のa∈F\{0}に対して、あるa^(-1)が存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1

Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。

基本的定理

位数有限な斜体は、可換体である。(Wedderburn)

有限体の位数は、pを素数として、p^nの形である

逆に、任意素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。


  • pを素数として、整数をpで割った余りに、自然加法乗法を入れたものは、有限体F_pになる。
  • F_pに、F_p上既約な多項式の根を添加した体は有限体になる。逆にq=p^nとなる有限体F_qはすべてこのようにして得られる。
  • F_pの代数閉包Fを固定すると、F_q (q=p^n)はFの元のうちx^q=xを満たす元全体である

有限体の代数拡大

有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。

これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型

φ_q: x→x^q

で生成される位数mの巡回群である

2020-05-22

中学高校数学ユークリッド幾何学不要である

中学高校数学から、いわゆるユークリッド幾何学廃止してよい。理由単純明快で、何の役にも立たないからだ。

大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウス定理高校卒業以降(高校数学指導以外で)使ったことのある現代はいないだろう。こういうことは、別に高等数学知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器必要になったとして、補助線パズル適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代数学および科学技術を支えているのは、三角関数ベクトル微分積分などを基礎とする解析的な手法である

もちろん、たとえば三角比定義するには「三角形内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学定理必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学手法はお役御免でよい。

高校数学では、以下の分野が特に重要だと思われる。

これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。

現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在2020年5月)のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトル文系範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。

ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠代表的ものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり代数や解析は計算主体であるが、ユークリッド幾何学証明主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。

しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題証明されなければならないからだ。実際、高校数学教科書を読めば、三角関数加法定理や、微分ライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも数学問題は全て証明問題である関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。

2020-04-21

anond:20200421152016

それより、「モニック」に良い和訳を付けてくれよ。

最高次係数が1である多項式のことを「モニック多項式(monic polynomial)」と呼ぶのだけれど、こんな単純な概念なのに、未だに「モニック」に対応する和訳が無いんだぜ。誰か考えてくれよ。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

2020-03-19

Excelグラフ新型コロナウイルス未来を予想する

anond:20200319081017

そんな時にはExcel予測してみようぜ。(基本的機能しか使っていないので、たぶん他の表計算ソフトでもできるはず)

そして、元の統計値の不確かさを別にしても、

ことを確認してみようぜ。

データの取得

コロナウイルスに関するデータは、いろんな所から入手できる。WHOサイトとかからがいいんだろうけど、Wikipediaなどにも転載されているのでそっちから持ってくるのがお手軽よ。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/2019%E6%96%B0%E5%9E%8B%E3%82%B3%E3%83%AD%E3%83%8A%E3%82%A6%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%B9

他人に発表する時にはきちんと一時ソースからにした方がいいけど、自分が疑問に思ったときにやる分にはどこからでもいいかと思う。

データExcelへのぶち込み方。

今回の場合は、今までの推移から、将来を予測する形になるので、例えば

と言う形で入れればいいよ。

グラフを書く

グラフは散布図を使います

この場合

で死者数の推移のグラフができるよ。

これでとりあえずどのように推移しているかグラフを書くことができた。

これを感染者数にしてみよう。

ことで、簡単感染者数のグラフも作れるよ

つのグラフに描画することもできるけど、値のオーダーがだいぶ違うので別のグラフに書いたほうがわかりやすいと思う。

近似曲線を追加する

グラフの中の曲線を右クリックして「近似曲線の追加」を選択する。

すると、通常は破線(点線)で近似曲線が追加される。

(新しいExcelの人は、グラフクリックしたときに出てくる右側の「+」マークボタンを使ってもいいよ)

この近似曲線を使って未来を予想するよ。

近似曲線の種類や値を調整する

ただこのままだと直線近似のままになっているので、ぱっとみ会ってないように見えると思う。また、どれぐらいあっているかも分からないので、設定を変えてみよう。

ここから、種類を選べるので切り替えてみよう。

それぞれクリックして、いま選択している情報にたいして最も良さそうな近似曲線を選んでみよう。

また、その下に「予想」と言う欄があるので、そこに「前方補外」に100と入れると、近似曲線を今から100日後まで伸ばすことができる。

これで未来を予想する線がかけたよ。

数式とR2乗値を表示して評価し、あと具体的な値を拾ってみよう

その下にある「グラフに数式を表示する」と「グラフにR-2乗値を表示する」もONにしてみると、グラフ上に数字が表示されるよ。

数式は、この近似曲線を描くために使われる式で、これをExcelの式に置き換えて入れると、具体的なXの値の時の数字計算することができるものになってるよ。

例えば、セル「E1」に「170」と入れて、この数式の「x」を「E1」に置き換えた式をセルF1」に入れると、F1に170日の時の数字が出てくるよ。

また、R二乗値というのは、その近似曲線がどれだけあっているかを示しています

ただし、未来予測するときは、このR二乗値があっていればいいというもんでもなく…。

いろんな近似方法予測値を見てみる

で、ここまで自分の手でやった人は気付くと思うんだけど、この近似曲線にどれを使うかによって無茶苦茶予測値に振れが出ます

たとえば、指数近似にするとあと60日ぐらいで地球人類全員が感染し、そのうち10億人が死ぬと言う結果に。マジか。

一方で、線形近似にすると、100日後でも感染者数は数十万にとどまり、死者数は1万を超える程度、と言う結果になる。おいさっきと全然ちがうじゃねえか。

その中間ぐらいだと、累乗近似だが、100日後に感染者数は1000万人近くになり、死者は13万人を越える、と言う結論に。ビジュアル的にはこれが一番妥当なような気はするけど根拠ない。

それから多項式をつかってグラフへのフィット度を上げた場合最近ヨーロッパで本気になって検査を始めたことで急激に伸びた部分とかを拾っちゃって、値が極端になる、とかそういうことも確認できるよ。

じゃあどれが正しいのよ?

分かりません。

結局グラフの姿を目で確認して考える、というのが一番オーソドックスなやり方。数学的にはいろいろと議論があるらしいけど…。

評価するときには、グラフ指数表示するか、普通の表示のまま見るかでどのグラフがあっているようにみえるか、と言うのもだいぶ見栄えが違ってくるので気をつけて。

ただ、どれが在ってるのかわかんないにしても、他人が出してきた数字グラフをただ鵜呑みにするのではなく、自分Excelでもなんでもにぶち込んでみれば、

  • 近似方法や設定でこんなにも結果が変わる
  • どのパラメータがどれだけ結果に影響を与えるかを見ることができるので、抑えなきゃいけない論点が見えてくる

と言うメリットがある。

数字問題になっているとき、大抵の式はそんなに難しい事はないのでぜひやってみてほしい。Excel結構優秀なので計算の中身をあんまり知らなくてもいけるよ。

また、このネタを覚えると、プレゼンするとき自分に最も都合のよい将来予測を作ると言うこともわりと自由自在にできるので、上司丸め込んだり、客をだまくらかしたりもできるのでべんr…………悪用厳禁!!!

もちろん、これは何か大きな異変がなくて、このまま状況が推移する場合の予想だ、ってことも分かると思う。そこから先は感染モデルなどを取り入れた、もっと高度な予想が必要になると思うけど、自分で推測するにはこの程度でも役に立つよ。

さらに興味がある人向けに

先日一部界隈で話題になった「全くスクリーニングされてないランダム集団検査実施するとどんな結果になるか?」と言うのもExcel簡単計算できるのでやってみて。

これも自分計算すると納得するよ。

また、一部の反発に「もっと検査精度はよいと想定するべきだ」とかあったけど、その数字がどれだけ大事なのか?とかも分かるよ。

2018-09-22

anond:20180922023417

そこで言う二次関数実数空間多項式で3次以上の係数が零であるものを指してる?

それとも四元数とか多次元空間も入ってくる?

2016-04-13

新卒研生の課題(候補)

h指数を求める問題

普通数字を固定小数点表示に

固定小数点で積和

移動平均

DSPリンクの代わり(フィルター係数を求めるプログラム

ローパスフィルター

多項式近似された正弦波を発生

この辺でPICAVRでローパスフィルター

オクターブ習熟

フーリエ変換

フーリエ変換

ウェーブレット変換

ラズパイで計測装置あるいは自動ミラーのRS232経由での制御

デジタル式遅延発生器(FEC用)

2015-06-09

佐野  千遥 さの ちはる

セント・クレメンツ大学教授

ロシア科学アカデミースミルノフ物理学派論文審査員

東大基礎科学科卒。過去250~340年間世界の大数学者達が解こうとして解けなかった、世界史数学難問4つを解き、現在ロシア科学アカデミー数学の部で審査中。マスターした11ヶ国語を駆使したプロ通訳翻訳家矛盾だらけの現代物理学を初め、全科学自然社会人文科学)の主だった物を体系的に批判し各々に別体系を提起。各種受験生(医学部難関大学入試数学オリンピック社会人大学院入試、IT関連資格)支援

■経 歴

2002年 (至現在セント・クレメンツ国際大学 物理学教授

2001年 英国セント・クレメンツ大学で数理物理学博士号取得

2002年 ロシア科学アカデミー・スミルンフ物理学派論文審査員となる

1999年 英国ウィットフィールド大学コンピュータ科学人工知能博士号取得

1991年 (~1993年)University of California、 Irvine人工知能研究所確率論批判・学習システムの研究

1988年 (~1991年世界認知科学権威ロージャー・シャンクのCognitive Systemsのデータベース研究所IBSで自然言語処理研究

1986年 (~1988年)欧州先端科学研究プロジェクトESPRITにESPRITディレクターとして仏Telemecanique研究所より参加(生産ラインへの人工知能導入の研究)

1985年 西独ジーメンスミュンヘン研究所生産ラインへの人工知能導入の研究

1982年 (~1985年)[仏国]世界一速い列車TGVのメーカーAlsthom社の知能ロボット研究所

1981年 (~1982年)[仏国]グルノーブル大学院、ソルボンヌ大学院通訳国家免状取得

1980年 (~1981年)[スペイン]マドリード大学院言語学履修 西国政府給費留学生

1971年 東京大学基礎科学卒業数学物理学専攻)

■専門分野

数理物理学Ph.D.コンピュータ科学人工知能Ph.D.マスターした11カ国語を駆使したプロ通訳翻訳家

■講演テーマ

ビジネスマン文系社員理工系技術技術発明評価できる眼を」

近年世界大学ビジネス志向学生向けに、理系技術的な事がある程度分かるためのカリキュラム改変が始まっている。しかし申し訳程度であり、また理系の拠って立つ数学物理学科学理論自体に欠陥が有る事が最近明らかとなっているため、正しい数学物理学の粋を伝授し、文系でも本物の理系技術評価が出来るように支援する。

英語完璧に&現地語(非英語)を或る程度使えるマネジャー急遽創出と、社員の中から国語通訳ネーティブに肉薄する敏捷性と正確さで急遽育成を支援

海外プロジェクト企業と折衝するとき英語ネーティブ並みであったり、現地語を自社のディレクター自身がある程度こなせるか、英語、現地語につきネーティブ並みの社員通訳出来ると先方との話が大きく好転する場合が少なくない。それを本当に実現する教育訓練を私は提供できる。平明に説明し、実体験をしてみたい方がいらっしゃるなら講演会場で手解きをしてみたい。

発見された言語学理論外国語訓練方法論を基に、文科省英会話学校英語教育訓練方法論の根本的誤りの中枢を詳説」

統語法意味論、文脈意味論、実世界意味論の3レベルで進展するネーティブ母国語習得過程の中、言語能力の真の中枢は解説も無しに親の喋るのを聴いているだけで分かるようになる統語法的意味把握能力で、これは文法用語を全く使っていなくても徹底した文法訓練となっている。ネーティブが敏捷性、精度の点で万全であり、先ず文法的間違いをすることはない理由はここにある。全文法分野について書き換え問題の「即聞即答訓練」を一気に中学生以上の年齢の人に施し、全文法のビビッドな一覧性を習得させるとネーティブに肉薄する敏捷性と精度で外国語を使いこなせるようになることが発見された。

「<証明された欠陥数学> 確率統計と微積分学のビジネス金融工学保険業界での使用に対する警告と、それに取って代る新数学体系」

我々物理世界は離散値の世界であることが原因で、物理世界に住む人間頭脳が考え出した数学の中で連続実数値に基づく確率統計学微積分学だけが欠陥数学として発現していることが証明された。決して建設的な予測をすることができず、崩壊していく事象に後ろ向きにしか適用できず、せいぜいリスク管理にしか使い道の無い確率統計学ビジネス学の分野では金科玉条の如く信用し積極的やり方で利用しているが、ここに「理論」と現実との間に大きな食い違いが生じている点に警告を発したい。そのためそれに取って代る新数学体系を提起する。全てを分かり易く解説します。

「新エネルギーエコ向けの発想を大転回した技術的な重要な発明を提起」

20世紀初頭に数理物理学者Henri Poincareは二体問題までは解けるが三体問題(三つの星が互いに重力で引き合いながら運動している時の時々刻々の位置を計算で求める事)以上は微積分学を使って解く事が出来ない事を証明した。これは無限小差分を使う微積分は計算式中で交差する項をほぼ同等とみなして相殺してしまうため、作用反作用法則(F1*v1=-F2*v2)の取り違い(F1=-F2が作用反作用法則である圧倒的多数が信じている)と相俟って、交互に対称な運動しか記述できないため、対称性の有る二体までは記述できても対称性のない三体以上は記述できないためである。この欠陥数学微積分を基に二体までは「エネルギー保存則」を証明したものの三体以上の「エネルギー保存則」は本来的に証明不可能であることが明らかと成った。現に永久磁石エネルギー保存則を大きく超えることが実証され始めている。それらの実験につき具体的に物理学の素人の方々にも分かりやすく報告したい。

世界史的体系的誤りに迷い込んだ現代物理学とその使用者への警告とそれに取って代る新物理学

現代物理学の二本柱、量子力学相対論の中、量子力学水素原子原子核と軌道電子関係説明を辛うじて試みただけで、水素原子より複雑な原子分子の構造の説明に実は悉く失敗し、繰り込み・摂動理論はその失敗を隠すため後に持込まれた。軌道電子光速に比べ無視できぬ速度でクーロン力原子核に引かれて急カーブしながら等速加速度運動、大量のエネルギーを消費するが、半永久的に軌道を回る。しかしシュレーディンガー波動方程式(その波動関数とその共役関数の積は確率)はエネルギー消費に一切言及せず、エネルギーレベル一定に保たれるという明らかに矛盾した論を展開する。また確率を持ち込んだからには、エントロピー単調増大法則がここに適用され、水素原子は瞬時に粉々に飛び散らなければならぬ現実に反する二つ目の重大矛盾に遭遇するが、これもシュレーディンガーは見てみぬ振りをする。つまり水素原子の構造の説明にすら量子力学は完全に失敗した。量子力学とは動力学でなく各エネルギーレベルについての静力学でしかなく、「量子力学」の「力学」なる名前とは裏腹に力を論じられない。論じればエネルギー消費が起こりエネルギーレベル一定論が崩れる。

現代フォン・ノイマンコンピュータアーキテクチャーの誤りと、創るべき新コンピュータアーキテクチャー」

現代フォン・ノイマンコンピュータ計算機モデルが取りも直さずチューリングマシンのものであるチューリングマシンは決ったパラメータ数の状態間の遷移を静的モデル化したものであるのに対し、歴史的にその直前に発表されたアロンソチャーチ計算モデルラムダ・キャルキュラス(人工知能プラグラミング言語LISP言語理論でもある)は関数の中に関数が次々に入れ子のように代入されて行き擬パラメータが増えていくダイナミックな仕組みを持つ。この後者人間が作ったコンピュータを遥かに凌ぎ、宇宙の始原から発生した環境データから関数をf1(t),f2(t),.,fn(t)と次々に学習し入れ子のように代入進化し、次の一ステップ計算には宇宙の始原からの全ての関数f1,f2,...,fnを思い起こし、そのそれぞれの差分を取って掛け合わせる事をしているコンピュータとも言える物理世界とその時間学習進化時系列順に模写するのに持って来いの仕組である関数と言っても多項式で充分である事を世界の7大数学難問の一つPolynomial=Non-Polynomialの私の証明も交えて平明に解説する。これは日本の国と世界先進諸国コンピュータ科学の今後の研究方向を左右する発言となる。

■実 績

【講演実績】

大学大学院2002年以来常時講義

Trinity International University

コンピュータ科学」 学士号コースの学生卒業まで全コースを講義

St.-Clements University

金融工学必要数学物理学」の博士号コースの学生3年間に渡って講義、研究テーマと研究内容、博士論文アドバイス

St.-Clements University

研究テーマ「コルモゴロフ複雑系の二進ビットストリングの下限=Lower bound for binary bitstring in Kolmogorov complexity」の博士号コースの学生Dr. Bradley Ticeに英語アドバイス

St.-Clements University

外国語学部ポルトガル語伊語通訳翻訳学士号コースの学生教養学部レベルから社会科学経済学法律学社会学経営学)、人文科学哲学言語学心理学歴史学)、自然科学数学物理学化学生物学、医学、計算機数学)、エンジニヤリングInformation Technologyソフトウエア工学電気工学電子工学)の各々の学科の全講義を行う。

Госдарственный Университет Санктпетербургской Гражданской Авиации (サンクトペテルブルグ国立航空大学)

物理学学会の論文発表会で幾多の論文の露語によるプリゼンテーション。

メディア出演】

ロシアで3度物理学権威スミルノフ氏とTV出演、ロシア

【執筆】

学会物理学論文多数発表

ti-probabilistic Learning by Manifold Algebraic Geometry, SPIE Proceeding, 1992 Orlando 等 人工知能学会論文

日本国内では著書「人工生命人工知能」「超勉強法超批判」

2015-01-08

http://anond.hatelabo.jp/20150108070044

ごりごり計算したら,確かにそうなる

参考までに:

tan をぜんぶ sin/cos の形に変形してから,掛け合わせたあと

分母と分子それぞれを,和積の関係を使ってcos多項式に変形

この答えが1になるためには,分母と分子が同じ値だったらOKなので

さら適当に通分してから 分母 - 分子 = 0 を確かめれば良い

最終的に 1 - 2(cos 36° - cos 72°) = 0 と確認できた

行き当たりばったりに計算したので,もっと良い方法ありそうなんだけど…

2014-04-15

「『数学ガール ガロア理論』第10章」の解説

数学ガール ガロア理論』の第10章(最終章)がそれまでの章に比べて難しくて挫折するという感想がけっこうあるようなので、その補足的な解説を試みます。『ガロア理論』第10章はガロアの第一論文を解説しているので、解説の解説ということになります

定理4までと定理5を分ける

10章でおこなわれるガロアの第一論文の説明は、

と進んでいきますが、ミルカさんはその途中で何度も、ガロアの第一論文テーマが「方程式代数的に解ける必要十分条件であることを確認します。

なぜ何度も確認するかといえば、最後定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)以外は、一見したところでは「方程式の可解性」に関わることが見て取れないので、途中で確認を入れないと簡単に道に迷ってしまうからでしょう。定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)や定理3(補助方程式のすべての根の添加)は、目的方程式を解くときに利用する補助方程式に関わる話ですが、やはり定理を見ただけでは「方程式の可解性」との繋がりはよく見えません。

そこで逆に、いったん「方程式の可解性」の話から離れて定理5を除外して、それ以外だけに注目します。

方程式の可解性」から離れて見たとき定理1から定理4までで何をやっているかというと、

ということ(ガロア対応と呼ばれます)を示していますミルカさんの言葉を使えば(p.362)、体と群の二つの世界に橋を架けています

この体と群の対応関係を図で見ると、10.6節「二つの塔」の図(p.413、p.415、p.418)、あるいは

http://hooktail.sub.jp/algebra/SymmetricEquation/Joh-GaloisEx31.gif

http://f.hatena.ne.jp/lemniscus/20130318155010

のようになります(この体と群の対応関係は常に成り立つわけではなく、第8章「塔を立てる」で説明された「正規拡大」のときに成り立ちます)。

体と群に対応関係があること(定理1~定理4)を踏まえて、定理5を見ます

方程式代数的に解く」というのは「体の拡大」に関係する話です。

方程式の係数体から最小分解体まで、冪根の添加でたどりつくことが、方程式代数的に解くことなのだ」

(第7章「ラグランジュ・リゾルベント秘密」p.254)(ただし、必要なだけの1のn乗根を係数体が含んでいるという条件のもとで)

そこから、「体と群の対応」を利用して、方程式の解の置き換えに関する「群」の話に持っていくのが、定理5になるわけです(なお「方程式を解くこと」と「解の置き換え」が関係していることは、すでに第7章に現れていました)。

「≪群を調べる≫って≪体を調べる≫よりも(...)」

「いつも楽とは限らない。でも方程式の可解性研究のためには、群を調べるほうが楽だ」

(第10章「ガロア理論」p.394)

「解の置き換えの群」を定義したい

ここまでの話で、定理4までで行いたいことが「≪体の世界≫と≪群の世界≫の対応関係」だということが分かりました。

しかしこの対応を示すためには、まず、この対応関係における≪群の世界≫というのがいったい何なのかをきちんと定義しないといけません。

≪体の世界≫というのは「体の拡大」で、これは8章「塔を立てる」で説明されています

一方、その「体の拡大」に対応する「群」は「方程式の解の置き換え方の可能な全パターン」なのですが、これが正確にどんなものなのかは10章以前には定義されていません。

「解の置き換え方」であるための必要条件

(以下、4次方程式の例をいくつかあげますが、面倒なら流し読みでさらっと進んでください)

たとえば一般3次方程式では、解α、β、γの置き換え方は全部で6通り(3×2×1)あります(第7章p.252)。同様に考えると、一般4次方程式では、解α、β、γ、δの置き換え方は全部で24通り(4×3×2×1)あることが分かります

ところが、x4+x3+x2+x+1=0という4次方程式を考えてみます。これは5次の円分方程式です(第4章「あなたくびきをともにして」)。

x5-1 = (x-1)(x4+x3+x2+x+1)なので、この方程式の解α、β、γ、δは1の5乗根のうちの1以外のものだと分かります。したがって、解の順番を適当に選ぶとβ=α2、γ=α3、δ=α4という関係が成り立ちます

これについての解の置き換え方を考えると、αを、α、β、γ、δのうちのどれに置き換えるかを決めると、それに連動して、β、γ、δがどの解に置き換わるかも自動的に決まってしまます。たとえばαをβ(=α2)に置き換えると、(β、γ、δ)=(α2、α3、α4)は、

(β、γ、δ) = (α2、α3、α4)

↓ αをβに置き換える

2、β3、β4) = ((α2)2、(α2)3、(α2)4) = (α4、α6、α8) = (α4、α1、α3) = (δ、α、γ)

となるので、

(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)

のように置き換わります。αの置き換え方は4通り(α、β、γ、δの4つ)なので、この4次方程式x4+x3+x2+x+1=0の解の置き換え方は次の4通りとなります

(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ)  = (α、α2、α3、α4)

(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)  = (α2、α4、α6、α8)

(α、β、γ、δ) → (γ、α、δ、β)  = (α3、α6、α9、α12)

(α、β、γ、δ) → (δ、γ、β、α)  = (α4、α8、α12、α16)

あるいはx4-5x2+6=(x2-2)(x2-3)=0 という方程式を考えます。解は√2、-√2、√3、-√3の4つですが、この場合「√2と-√2の置き換え」や「√3と-√3の置き換え」は許されますが、「√2と√3の置き換え」は許されません。

なぜかというと、(√2)2 -2 = 0、という式を考えると分かります。この式で√2を√3に置き換えると、左辺は(√3)2 -2 = 1となり、一方、右辺は0のままです。このような等式を破壊してしまうような解の置き換え方は認められません。そのため、可能な解の置き換え方は4通りになります。ただし、4通りの置き換え方のパターン(解の置き換えの「群」)は、5次円分方程式ときの4通りの置き換えパターンとは異なっています。(α、β、γ、δ) = (√2、-√2、√3、-√3)と置くと、可能な置き換え方は

(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ)  = ( √2、-√2、 √3、-√3)

(α、β、γ、δ) → (β、α、γ、δ)  = (-√2、 √2、 √3、-√3)

(α、β、γ、δ) → (α、β、δ、γ)  = ( √2、-√2、-√3、 √3)

(α、β、γ、δ) → (β、α、δ、γ)  = (-√2、 √2、-√3、 √3)

となります

では、「認められる置き換え方」であるためにはどのような条件を満たす必要があるのかというと、それは

  • 「解の置き換えをおこなうとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」

というものです。つまり解θの最小多項式f(x)とすると、解の置き換えをしたときに、θはf(x)の根θ1、...、θnのどれか(この中にはθ自身も入っています)に移らなければなりません。この条件を満たしていれば、等式に対して解の置き換えをおこなっても、等式が破壊されることはありません。

簡単な場合帰着させる

解の置き換えであるための必要条件が出ましたが、この条件だけではx4+x3+x2+x+1=0のときのような、解の置き換えで複数の解の動きが連動しているような場合をどう考えればいいのかは、まだ分かりません。x4+x3+x2+x+1=0のときは一つの解の動きを決めれば他の解の動きが決まりましたが、方程式によっては解の間の関係もっとずっと複雑にもなりえます

しかしそれは、たくさんの解を一度に考えるから解の間の関係が複雑になって混乱するのです。

もしもx4+x3+x2+x+1=0のときの解αのように、ただ一つの解の動きだけを考えて全ての置き換えが決まってしまうならば、話はずっと簡単になります

そして、その「一つの解の動きだけを考える」ようにしているのが、

です。

体に注意を向けたほうがいい。添加体を考えれば、補題3の主張は一行で書ける」

K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V)

(10.3.3節「補題3(Vを根で表す)」p.369)

これによって、「解α1、α2、α3、...、αmの置き換え」ではなく、ただひとつの「Vの置き換え」だけを考えればいいことになります

これと、解の置き換えの必要条件「解の置き換えをおこなったとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」を合わせると、「解の置き換え方の可能な全パターン」とは、「Vから、Vの共役への置き換えのうちで、可能なものすべて」となります

そして補題4(Vの共役)は、「Vの(共役への)置き換え」をすると、もとの多項式f(x)の根α1、α2、α3、...、αmの間の置き換えが発生するという性質を述べています。つまり「Vの置き換え」によって「方程式f(x)=0の解の、可能な置き換えが実現される」わけです。

この考えにもとづいて「解の置き換えの群」を定義しているのが、定理1(≪方程式ガロア群≫の定義)の説明の途中の、10.4.4節「ガロア群の作り方」です。

(ガロアは正規拡大の場合にだけ「解の置き換えの群」を定義したので、正規拡大のときの「解の置き換えの群」を「ガロア群」と呼びます)

体と群の対応関係証明する

前節で、証明のかなめとなるVと「解の置き換えの群」が定義されました。Vの最小多項式fV(x)の次数をnとすると、次が成り立ちます(最小多項式は既約で、既約多項式は重根を持たないので、Vの共役の個数は最小多項式の次数nと一致することに注意する)。

  • K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V) の拡大次数はnである
  • (Vの共役はちょうどn個あるので)「解の置き換え方の可能な全パターン」の個数は、n以下である

※1 考えている体K(V)に含まれない数へのVの置き換えは「解の置き換え」には認められないので、「解の置き換え方の個数」と「共役の個数」は一致するとは限りません。

※2 「最小多項式」は8.2.8節「Q(√2+√3)/Q」と8.2.9節「最小多項式」で説明されていますが、最小多項式が既約であることと一意に決まること(8.2.9節p.282)は、定義(可約と既約)と補題1(既約多項式性質)から証明されます

そして、

  • K(V) (=K(α1、α2、α3、...、αm) ) が正規拡大の場合、「解の置き換え方の全パターン」は、ちょうどn個ある(なぜなら、正規拡大ではVの共役がすべてK(V)に入っているため、VからVのどの共役への置き換えも「解の置き換え」として認められるので)。

したがって正規拡大のときには、

  • K(α1、α2、α3、...、αm)の拡大次数 = 「解の置き換えの群」の要素数 = n

という等式が成り立ちます。この関係が「体と群の対応」の第一歩目になります

このとき(つまり正規拡大のとき)、

が成り立ちます。実のところこの性質1と性質2は

  • ≪体の塔≫と≪群の塔≫の一番下の段が、互いに対応している

ことを主張しています

そして定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)と定理4(縮小したガロア群の性質)で、

  • ≪体の塔≫と≪群の塔≫の中間の段が、互いに対応している

ことを主張しています

定理3(補助方程式のすべての根を添加)と定理4で、

ことを主張しています

このように定理1、定理2、定理3、定理4によって、体と群の対応が示されます

定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)に進む

方程式代数的に(つまり冪乗根によって)解けるかという問題は

と言い換えられます。そして、

  • 「1の原始p乗根が最初から係数体Kの元にあるとする」(p.403)と、Kに冪乗根「p√a」を添加したK(p√a)は、Kの正規拡大になる

ので、「適切な冪乗根が存在するか」という問題は「適切な正規拡大が存在するか」という問題になり、体と群の対応により

という問題になります。この「適切な正規部分群があるかどうか」をもっと詳しく正確に述べたのが定理5です。

まとめ

まとめると、第10章の流れは次のようになっています

  1. 補題1(既約多項式性質)
  2. 補題2(根で作るV)、補題3(Vを根で表す)
    • すべての根α1、α2、α3、...、αmの添加を、ただひとつの要素Vの添加に帰着させる。
  3. 定理1の説明(10.4.4「ガロア群の作り方」) + 補題4(Vの共役)
    • (添加したVを使って)ガロア群(「解の置き換えの群」)を定義する。
  4. 定理1(≪方程式ガロア群≫の定義)、定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)、定理3(補助方程式のすべての根の添加)、定理4(縮小したガロア群の性質)
  5. 定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)

それでは改めて第10章を読んでいきましょう。



(追記: 数式の間違いの指摘ありがとうございます。訂正しました)

2013-08-09

http://anond.hatelabo.jp/20130808203552

なんで虚数必要なのか?って結構難しくて、

ごまかさないと、手っ取り早いとこでも三次方程式の解の公式とか、極座標とか、高校レベルを超えるか超えないかくらいのラインになる。

から、ちゃんとした理解はあきらめて、とにかくiを二乗したら-1、逆に二乗して-1になるのは+-iってことにして、計算だけやればいいと思う。

  

とりあえずこれだけ受け入れれば、実数二乗は負でないから、係数比較の考えもわかると思うし、

あとは多項式の剰余とかから、因数定理までやると、ごまかしではあるけど虚数があったほうがいい理由がわかると思う。

2013-05-11

yes となる証拠が与えられたとき、その証拠が本当に正しいかどうかを多項式時間で判定できる問題。

ここで証拠という日本語が適切とは思えんのだが

2012-06-25

http://anond.hatelabo.jp/20120625011828

まず、僕は大したこと無いよ。それがどうかしたの?

ていうか、プログラマ自分はすごいなんていう人いるの? リーナスですらGITって言うのに。そういう人はあまり見かけないけど?

いつ、誰が、文系をバカにしたの?

 

大したことのないクソやろうでも、年収は500は軽く超えてるんだからはてなー年収は500を軽く超える。

って事で 同意見 ってことでいいよね。 賛同ありがとう

 

上には上がいる、下には下がいる。単にそれだけの話しでしょ。僕がクズでバカだから文系をどうのこうのという話は全く関係ないと思うけど?

端的には、弁護士さんなんか僕らより給料高いし、たいていの経営者文系だと思うけど?

すごい文系なんて山ほどいると思うけど、そんな事もわからないの?

 

なんで、バカにされたと思うの?被害妄想なんじゃないの?

 

ただ、平均とったら、文系のほうが低かったってだけでしょ。文系はバカというのと、平均を取ると文系のほうが低いって話はまったく別の話だってのは

増田もよく知ってるよね。分散が違うもの

 

で、今は、理系プログラマーのほうが文系よりも平均給与が高いし、そうでなくても、プログラマー給与は高いって話をしているとき

文系理系プログラマーは何が違うか?といわれたので

平均的な話をすれば って話をしてるんだから

平均的に文系プログラマーはエルミート多項式なんなりができる。って話をしてるって事でいいの?

 

平均の意味知ってる?

http://anond.hatelabo.jp/20120625005957

うん、だからそんなもんだよねってこと。

あんま偉そうに文系を見下さないほうがいいよ。君も大したこと無いから。

球面調和関数は球面上の直交関数系の一つで、球面上で何かを展開したくなったら普通に出てくるだろうね。

他の増田も言ってるけど、レンダリングの分野だと反射とかの現象を近似するときに出てきたりするね。

プログラム数学の話」とか言ってるけど、プログラミングというのはあくまでツールなので、現実の問題に対応するためにプログラムを書くべき。

チューリング完全なんだから原理的にあらゆる数学を実装できるわけで、現実の問題として数学的なものが出てきたらそれには対応できなきゃだめだよね。

「それはプログラム数学範疇ではないから」とか言ったら笑われるだけだよね。

ちなみにエルミート多項式直交関数系の一つで、かなり単純な微分演算子の解として得られるものから、「プログラム数学」とかなんとかいう前に現実的に普通に出てくるものだよ。

ついでに言うと、そういった線形演算子の解(固有ベクトル)が構成する空間一般論を展開したりするのが線形代数からね。

行列ちょっといじるだけのもの線形代数と思われちゃうのもねえ。

http://anond.hatelabo.jp/20120625005957

もとの増田じゃないけど、球面調和関数とか急に出てきて「わかんないからやめよう」ってならないくらいの知識は欲しいとは思う。

あとごめん。良かったら教えて欲しいんだけど

球面調和関数だろうとエルミート多項式

ってそれぞれ、プログラムの何に使うの? CG ? 数学の話ではなく、プログラム数学の話なので、ちょっと細くしてくれると助かる

http://research.tri-ace.com/Data/Introduction%20of%20PRT%20for%20game%20programmers.ppt を見て、

もし本気でやるならちょっと試しに実装してみてもいいだろうなと思える気になれるってのが、

CGプログラマとしては普通レベル なんじゃないかなあ。

http://anond.hatelabo.jp/20120625004458

あとごめん。良かったら教えて欲しいんだけど

球面調和関数だろうとエルミート多項式

ってそれぞれ、プログラムの何に使うの? CG ? 数学の話ではなく、プログラム数学の話なので、ちょっと補足してくれると助かる

http://anond.hatelabo.jp/20120625003919

フーリエ級数くらいだったら文系でもやるだろ。横だけど。

どうせプログラマの奴だって剰余項がどうとかフーリエ級数展開可能な関数がどうとかいう話は理解してない奴がほとんどだし。

てかフーリエ級数だろうと球面調和関数だろうとエルミート多項式だろうと何でもいいんだけど、線形代数一般論を理解してる奴はほとんどいないんじゃないかなって印象。

理系」と名乗ってる奴らでもね。

2011-09-23

「続 新しいプログラミングパラダイム」の目次


第1章 並行プログラミングGHC (上田和紀)
	1.1 はじめに
	1.2 ターゲットを明確にしよう
	1.3 はじめが大切
	1.4 GHCが与える並行計算の枠組み
		1.4.1 GHCにおける計算とは,外界との情報のやりとり(通信)である
		1.4.2 計算を行う主体は,互いに,および外界と通信し合うプロセスの集まりである
		1.4.3 プロセスは,停止するとは限らない
		1.4.4 プロセスは,開いた系(open system)をモデル化する
		1.4.5 情報とは変数と値との結付き(結合)のことである
		1.4.6 プロセスは,結合の観測と生成を行う
		1.4.7 プロセスは,書換え規則を用いて定義する
		1.4.8 通信は,プロセス間の共有変数を用いて行う
		1.4.9 外貨も,プロセスとしてモデル化される
		1.4.10 通信は,非同期的である
		1.4.11 プロセスのふるまいは,非決定的でありうる
	1.5 もう少し具体的なパラダイム
		1.5.1 ストリームと双方向通信
		1.5.2 履歴のあるオブジェクト表現
		1.5.3 データ駆動計算と要求駆動計算
		1.5.4 モジュラリティと差分プログラミング
		1.5.5 プロセスによるデータ表現
	1.6 歴史的背景と文献案内
	1.7 並行プログラミング効率
	1.8 まとめ


第2章 様相論理テンポラル・プログラミング (桜川貴司)
	2.1 はじめに
	2.2 様相論理
	2.3 時制論理
	2.4 多世界モデル
	2.5 到達可能性と局所性
	2.6 純論理プログラミングへ向けて
	2.7 Temporal Prolog
	2.8 RACCO
	2.9 実現
	2.10 まとめと参考文献案内


第3章 レコードプログラミング (横田一正)
	3.1 はじめに
	3.2 レコードと述語の表現
	3.3 レコード構造とφ-項
		3.3.1 φ-項の定義
		3.3.2 型の半順序と束
		3.3.3 KBLLOGIN
	3.4 応用――データベース視点から
		3.4.1 演繹データベース
		3.4.2 レコードプログラミングデータベース
		3.4.3 いくつかの例
	3.5 まとめ
	3.6 文献案内


第4章 抽象データ型とOBJ2 (二木厚吉・中川 中)
	4.1 はじめに
	4.2 抽象データ型と代数言語
		4.2.1 抽象データ型
		4.2.2 代数言語
		4.2.3 始代数
		4.2.4 項代数
		4.2.5 項書換えシステム
	4.3 OBJ2
		4.3.1 OBJ2の基本構造
		4.3.2 モジュールの参照方法
		4.3.3 混置関数記号
		4.3.4 モジュールパラメータ化
		4.3.5 パラメータ機構による高階関数記述
		4.3.6 順序ソート
		4.3.7 属性つきパターンマッチング
		4.3.8 評価戦略の指定
		4.3.9 モジュール表現
	4.4 おわりに


第5章 プログラム代数FP (富樫 敦)
	5.1 はじめに
	5.2 プログラミングシステム FP
		5.2.1 オブジェクト
		5.2.2 基本関数
		5.2.3 プログラム構成子
		5.2.4 関数定義
		5.2.5 FPプログラミングスタイル
	5.3 プログラム代数
		5.3.1 プログラム代数則
		5.3.2 代数則の証明
		5.3.3 代数則とプログラム
	5.4 ラムダ計算拡張
		5.4.1 ラムダ式拡張
		5.4.2 拡張されたラムダ計算の簡約規則
		5.4.3 そのほかのリスト操作演算子
		5.4.4 相互再帰定義式
		5.4.5 ストリーム(無限リスト)処理
	5.5 FPプログラム翻訳
		5.5.1 オブジェクト翻訳
		5.5.2 基本関数翻訳
		5.5.3 プログラム構成子の翻訳
		5.5.4 簡約規則を用いた代数則の検証
	5.6 おわりに


第6章 カテゴリカル・プログラミング (横内寛文)
	6.1 はじめに
	6.2 値からルフィズムへ
	6.3 カテゴリカル・コンビネータ
		6.3.1 ラムダ計算意味論
		6.3.2 モルフィズムによる意味論
		6.3.3 カテゴリカル・コンビネータ理論CCL
	6.4 関数型プログラミングへの応用
		6.4.1 関数型プログラミング言語ML/O
		6.4.2 CCLの拡張
		6.4.3 CCLに基づいた処理系
		6.4.4 公理系に基づいた最適化
	6.5 まとめ


第7章 最大公約数――普遍代数多項式イデアル自動証明におけるユークリッドの互除法 (外山芳人)
	7.1 はじめに
	7.2 完備化アルゴリズム
		7.2.1 グラス置換えパズル
		7.2.2 リダクションシステム
		7.2.3 完備なシステム
		7.2.4 完備化
		7.2.5 パズルの答
	7.3 普遍代数における完備化アルゴリズム
		7.3.1 群論の語の問題
		7.3.2 群の公理の完備化
		7.3.3 Knuth-Bendix完備化アルゴリズム
	7.4 多項式イデアル理論における完備化アルゴリズム
		7.4.1 ユークリッドの互除法
		7.4.2 多項式イデアル
		7.4.3 Buchbergerアルゴリズム
	7.5 一階述語論理における完備化アルゴリズム
		7.5.1 レゾリューション法
		7.5.2 Hsiangのアイデア
	7.6 おわりに


第8章 構成的プログラミング (林 晋)
	8.1 構成的プログラミング?
	8.2 型付きラムダ計算
	8.3 論理としての型付きラムダ計算
	8.4 構成的プログラミングとは
	8.5 構成的プログラミングにおける再帰呼び出し
	8.6 おわりに:構成的プログラミング未来はあるか?


第9章 メタプログラミングリフレクション (田中二郎)
	9.1 はじめに
	9.2 計算システム
		9.2.1 因果結合システム
		9.2.2 メタシステム
		9.2.3 リフレクティブシステム
	9.3 3-Lisp
	9.4 リフレクティブタワー
	9.5 GHCにおけるリフレクション
		9.5.1 並列論理言語GHC
		9.5.2 GHC言語仕様
		9.5.3 GHCメタインタプリタ
		9.5.4 リフレクティブ述語のインプリメント
	9.6 まとめ

2011-05-09

6 ÷ 2(1+2) = 1

http://anond.hatelabo.jp/20110507090156

6÷2(1+2)=1 である

これをガジェット通信が9である、と出して「1とやってる奴は馬鹿だ ( http://anond.hatelabo.jp/20110509002243 )」としているのも居るが、この計算結果は 1 で正しい

根本的な間違いは 2(1+2) を 2 × (1+2) と分解しているところである

これは (2×(1+2)) と、乗算記号(×)を入れるのであれば、外側に括弧を入れなければならない。これが数学ルールである

全体を記号で置き換える。

a = 6

b = 2

c = 1+2

この時、この式は次のように置き換えられる。

a + bc

この時 b は bc と言う多項式の「係数」であって、『乗除算と同レベルの単項』ではない。今回の場合はこの係数が、たまたま計算できる定数であっただけの話でしかない。

ここを誤って『乗算と同レベルの単項』としているのが、数学として完全に間違えている。

そもそも 9 では正しい数値が一つに定まらない

では、別の例を出す。

9 と言う答えが「正しい」とした場合、次のような数式をどう考えるか?

答えは 1 か?

6÷2(1+3)=9 と答えるのであれば、この式は「答えが定まらない」と言うのが正しい

  • 12 = 3(1+3)
  • 12 = 4(1+2)
  • 12 = 2(2(1+2))

などと書けるわけで、6÷2(1+3)=9 とするならそれぞれ

  • 12 ÷ 3(1+3) = 12 ÷ 3 × (1+3) = 16
  • 12 ÷ 4(1+2) = 12 ÷ 4 × (1+2) = 9
  • 12 ÷ 2(2(1+2)) = 12 ÷ 2 × 2 × 3 = 36

となる。答えが一意に定まらない。素数でない限り、除算が入った計算は答えが複数出来ることになる。更に言うなら

など持ち出せば、更に取れる数値は発散するだろう。自然対数とか三角関数まで持ち出せばもっと面白いことになるだろう。

なぜこのようなことになるかと言うと、それは係数の取り扱いを間違えているからだ。

係数のある項と言うのは、それ単体を一塊の「項」として扱うのが数学ルールであり、係数を括弧無しに乗算の外に持ち出すのが間違いである。

もちろん 12 ÷ 12 = 1 だ。

結論
  • 6 ÷ 2(1+2) = 1

これが正しい

これを乗算を用いて書き直すのであれば

  • 6 ÷( 2 × (1+2) ) = 1

と書き直さなくてはならないのであり、この括弧を取り除いた書き方をしたのが間違いの元なのである

これを 9 が正しいと言うのは、数学的に係数の取り扱いを間違えた考え方である

2011-02-02

http://www.toonippo.co.jp/news_too/nto2011/20110202091841.asp?fsn=eb33f76037153e93cde084f7e7644d6f

20代後半東大情報院生

一般相対論方程式で弘大が快挙

弘前大学大学院理工学研究科山田慧生(けい)さん(24)と指導教員浅田秀樹准教授(42)=理論宇宙物理学=が、アインシュタインらが構築した一般相対性理論(一般相対論)の運動方程式を基に、三つの天体軌道(位置の時間変化)を瞬時に導き出せる数式を、世界で初めて見つけた。研究成果をまとめた論文2本は2010年11月と今年1月ノーベル賞級の論文が載る米国物理学会誌「フィジカルレビュー」に掲載された。同研究科が1日、発表した

M1で英文ジャーナル2本かぁ、しかもPRL、いぃなぁ~~~いぃなぁ~~~いぃなぁ~~~~優秀でいぃなぁ~~~~、情報系なんて、査読付き国際国際会議メインで、トップの国際学会に通すのはPRLに通すのと同じかそれ以上に難しいし、分野にはよるが使っている数学も難しい物が多いのに、物理の人から見ると、何、この人、国際会議ばっかりで、英文ジャーナル一本も出してないじゃん、マトモな業績ないねって下に見られる。

からって、ジャーナルに先に出してしまうと、二重投稿になるから著名な査読付き国際会議に出せなくなる。著名な査読付き国際会議論文が通らないと、仲間内ではマトモな業績がないってことになる。

結局、よさそうな研究ほど、その年の著名な査読付き国際会議に出して、それに通った後でしかジャーナルに出せないので、ジャーナルにするのがどうしても遅れ気味になる。著名な査読付き国際会議に通らないと、通らないだけ遅くなる。

業績だけ見れば、情報系は物理に負ける傾向が強い。

就職理論物理に比べれば遥かにマシであるところが、唯一いいところか。

2chで見つけた解説がこれ。分野外の俺でも分かりやすかった。

61 名前名無しのひみつ [sage] 投稿日: 2011/02/02(水) 14:56:16 ID:UtBIDr6i

>>31

読んだ

重力場ニュートン力学じゃなく一般相対論で扱う場合

真面目に運動方程式を解くのは非常に難しい

そこで普通方程式を (v/c)^2 の多項式の形に展開して、

これの高次の項は無視するという近似をして問題を解く

これを一般相対論の Post-Newtonian 近似という

物体の速度 v が c に比べてあまり速くない場合ならこれで十分

PN近似にも、(v/c)^2 の何次の項まで残すかでいろんな流儀があるが、

今回の研究は一番粗い「1次のPN近似」、つまり (v/c)^2 の1次の項まで

残して計算してみたと。

で、この近似の場合にもニュートン力学場合と同様に

オイラーの直線解があるよ、というのを示したという話だね

発見というほどでもないが、今まで誰もやってなかったのは意外かな

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