2019-11-19

結局掛け算の前後は入れ替えてもいいのか、ダメなのか

結論から言うと、「入れ替えてもいい」が自分意見である

が、そこに至るまでの結論はわりと複雑で、単純に論じられる問題ではない。

いちおう言っておくと、自分旧帝大数学科出身で、代数学計算機科学的な議論はひととおりできるし、教育にも携わったことがある。

まず第一論点として、少し厳密性に欠ける話なのだが、掛け算の左右は本質的には同じものではない。

まり、(結果として交換可能かどうかではなく)意味的に交換可能か、というと、これは交換不可能である

すなわち「掛け算の右と左は全く異なる意味を持つ」ということができると思う。

そもそも掛け算というのは、●を▲回足す、といった素朴な定義からスタートしている(現代的な数学基礎論立場でもこのように掛け算を定義していると言ってよい)。

●を▲回足すことと、▲を●回足すことは、結果の同一性は置いておいて、少なくとも意味としては異なる話であろう。

実際、たとえば●を▲回掛けることと▲を●回掛けることを比べると、これは結果すら異なってくるわけだから、素朴に交換してよい、という話にはならない。

数学では、非可換環だとかベクトル作用だとかわけわからんものが山ほどあり、そこでは乗法やそれに類する演算が交換不可能なことは日常茶飯である

ところがこれが交換可能になってしまうというのが、「交換法則」の主張するところである

これは掛け算そのものがその定義の中に「自明に」有している主張ではなく、定義から証明することによって主張される、いわゆる「定理である

するとここで「学校教育において、未だ習っていない定理テストの解答に使用してもよいか」という第二の論点が現れる。

これに対する解答は、「よくない」である

例えば大学入試においてロピタルの定理を使うことは、それが問題を解くために非常に役に立つにもかかわらず、許されていない。

どうしても使用する場合は、自らそれを解答用紙中で証明したうえであれば使うことができる、というルールだ。

小学校算数でも基本的にこのルールに従うべきではあろう。

さらにいえば、仮に交換法則を使ってもよいとして、「交換法則を使った」ことを明記せずに最初から定理適用後の姿で立式してしまうことにも疑問点が残る。

この論点でもやはり基本的には交換不能である側の意見に理があると考える。

にもかかわらず、自分結論はやはり「交換可能である」。

と、言うのも、基本的文章題においては日本語を数式に変換するための「解釈」は解き手に委ねられているからだ。

まり、3個ずつのリンゴを5人に配りました、という日本語から「3個を5回足すんだな」と解釈することにも、「5人を3回足せばいい」と考えることにも一定妥当さがあり、そこには読み取りの自由がある。

これは算数数学問題というより、日本語としての読み取り方の部分に交換可能性が潜んでいるのである

したがって、この文章を数式にするにあたって5×3と書いても、それは何ら減点要素ではない。

まとめると、

掛け算は意味的には交換可能ではないよ→でも交換法則があるよ→でも習ってない定理は使えないよ→でも日本語の読み取りの部分に交換可能性があるよ

ってことで、左右逆に書いても丸になるというのが結論

  • あれは、入れ替えても同じになる理由を小学生たちに考えさせるための教育的な問題提起だと受け取った

  • 日本語の読み取り部分まで定形化して教えてるから非可換だよ、が俺の結論だな。

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