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2020-08-13

ジンバブエですら視聴できるのにお前らときたら

赤毛のアン オープニングテーマ:きこえるかしら

Allowed countries

AD - Andorra

AE - United Arab Emirates

AF - Afghanistan

AG - Antigua and Barbuda

AI - Anguilla

AL - Albania

AM - Armenia

AO - Angola

AQ - Antarctica

AR - Argentina

AS - American Samoa

AT - Austria

AU - Australia

AW - Aruba

AX - Åland Islands

AZ - Azerbaijan

BA - Bosnia and Herzegovina

BB - Barbados

BD - Bangladesh

BE - Belgium

BF - Burkina Faso

BG - Bulgaria

BH - Bahrain

BI - Burundi

BJ - Benin

BL - Saint Barthélemy

BM - Bermuda

BN - Brunei Darussalam

BO - Bolivia (Plurinational State of)

BR - Brazil

BS - Bahamas

BT - Bhutan

BV - Bouvet Island

BW - Botswana

BY - Belarus

BZ - Belize

CA - Canada

CC - Cocos (Keeling) Islands

CD - Congo (Democratic Republic of the)

CF - Central African Republic

CG - Republic of the Congo

CH - Switzerland

CI - Côte d'Ivoire

CK - Cook Islands

CL - Chile

CM - Cameroon

CN - China

CO - Colombia

CR - Costa Rica

CU - Cuba

CV - Cabo Verde

CX - Christmas Island

CY - Cyprus

CZ - Czech Republic

DE - Germany

DJ - Djibouti

DM - Dominica

DO - Dominican Republic

DZ - Algeria

EC - Ecuador

EE - Estonia

EG - Egypt

EH - Western Sahara

ER - Eritrea

ES - Spain

ET - Ethiopia

FI - Finland

FJ - Fiji

FK - Falkland Islands (Malvinas)

FM - Micronesia (Federated States of)

FO - Faroe Islands

FR - France

GA - Gabon

GB - United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland

GD - Grenada

GE - Georgia (country)

GF - French Guiana

GG - Guernsey

GH - Ghana

GI - Gibraltar

GL - Greenland

GM - Gambia

GN - Guinea

GP - Guadeloupe

GQ - Equatorial Guinea

GR - Greece

GS - South Georgia and the South Sandwich Islands

GT - Guatemala

GU - Guam

GW - Guinea-Bissau

GY - Guyana

HK - Hong Kong

HM - Heard Island and McDonald Islands

HN - Honduras

HR - Croatia

HT - Haiti

HU - Hungary

ID - Indonesia

IE - Republic of Ireland

IL - Israel

IM - Isle of Man

IN - India

IO - British Indian Ocean Territory

IQ - Iraq

IR - Iran (Islamic Republic of)

IS - Iceland

IT - Italy

JE - Jersey

JM - Jamaica

JO - Jordan

KE - Kenya

KG - Kyrgyzstan

KH - Cambodia

KI - Kiribati

KM - Comoros

KN - Saint Kitts and Nevis

KP - North Korea

KR - Korea (Republic of)

KW - Kuwait

KY - Cayman Islands

KZ - Kazakhstan

LA - Lao People's Democratic Republic

LB - Lebanon

LC - Saint Lucia

LI - Liechtenstein

LK - Sri Lanka

LR - Liberia

LS - Lesotho

LT - Lithuania

LU - Luxembourg

LV - Latvia

LY - Libya

MA - Morocco

MC - Monaco

MD - Moldova (Republic of)

ME - Montenegro

MG - Madagascar

MH - Marshall Islands

MK - Republic of Macedonia

ML - Mali

MM - Myanmar

MN - Mongolia

MO - Macao

MP - Northern Mariana Islands

MQ - Martinique

MR - Mauritania

MS - Montserrat

MT - Malta

MU - Mauritius

MV - Maldives

MW - Malawi

MX - Mexico

MY - Malaysia

MZ - Mozambique

NA - Namibia

NC - New Caledonia

NE - Niger

NF - Norfolk Island

NG - Nigeria

NI - Nicaragua

NL - Netherlands

NO - Norway

NP - Nepal

NR - Nauru

NU - Niue

NZ - New Zealand

OM - Oman

PA - Panama

PE - Peru

PF - French Polynesia

PG - Papua New Guinea

PH - Philippines

PK - Pakistan

PL - Poland

PM - Saint Pierre and Miquelon

PN - Pitcairn

PR - Puerto Rico

PS - State of Palestine

PT - Portugal

PW - Palau

PY - Paraguay

QA - Qatar

RE - Réunion

RO - Romania

RS - Serbia

RU - Russian Federation

RW - Rwanda

SA - Saudi Arabia

SB - Solomon Islands

SC - Seychelles

SD - Sudan

SE - Sweden

SG - Singapore

SH - Saint Helena, Ascension and Tristan da Cunha

SI - Slovenia

SJ - Svalbard and Jan Mayen

SK - Slovakia

SL - Sierra Leone

SM - San Marino

SN - Senegal

SO - Somalia

SR - Suriname

ST - Sao Tome and Principe

SV - El Salvador

SY - Syrian Arab Republic

SZ - Swaziland

TC - Turks and Caicos Islands

TD - Chad

TF - French Southern Territories

TG - Togo

TH - Thailand

TJ - Tajikistan

TK - Tokelau

TL - Timor-Leste

TM - Turkmenistan

TN - Tunisia

TO - Tonga

TR - Turkey

TT - Trinidad and Tobago

TV - Tuvalu

TW - Taiwan

TZ - Tanzania, United Republic of

UA - Ukraine

UG - Uganda

UM - United States Minor Outlying Islands

US - United States of America

UY - Uruguay

UZ - Uzbekistan

VA - Vatican City State

VC - Saint Vincent and the Grenadines

VE - Venezuela (Bolivarian Republic of)

VG - British Virgin Islands

VI - United States Virgin Islands

VN - Viet Nam

VU - Vanuatu

WF - Wallis and Futuna

WS - Samoa

YE - Yemen

YT - Mayotte

ZA - South Africa

ZM - Zambia

ZW - Zimbabwe


Disallowed countries

DK - Denmark

JP - Japan

2020-08-03

コロナ感染カレンダー3Dプロット

4月13日の週から、今週まで東京都データ入れて、matplotlibで3D化してみた。

今週の明日以降のデータは先週値からプラス10で入れてます

これだと減ってる様子は見て取れないけど、東洋経済サイトグラフだと実行再生算数1切ってるんだよね。

感覚とは合わないけど、ここから下がる予定。不思議なもんだ。

下記のコードは好きに使ってくださいな。

GoogleのCode Labとかならすぐに遊べます

---

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.array([-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7]) # from Mon to Sun

y = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]) # From Apr13 to onward

X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Number Data of New Infection Patient

Z = np.array([[ 98,161,127,150,204,185,107], # Apr13

[100,123,125,134,166,107,76], # Apr20

[40,112, 47, 46, 164,159, 90], # Apr27

[87, 57, 37, 23, 39, 36, 22], # May4

[15, 28, 10, 30, 9, 14, 5], # May11

[ 10, 5, 5, 11, 3, 2, 14], # May18

[ 8, 10, 11, 15, 22, 14, 5], # May25

[ 13, 34, 12, 28, 20, 26, 14], # Jul1

[ 13, 12, 18, 22, 25, 24, 47], # Jul8

[ 48, 27, 16, 41, 35, 39, 35], # Jul15

[ 29, 31, 55, 48, 54, 57, 60], # Jul22

[ 58, 54, 67,107,124,130,111], # Jul29

[102,106, 75,224,243,206,206], # Jul6

[119,143,165,286,293,290,188], # Jul13

[168,237,238,366,260,295,239], # Jul20

[131,266,250,367,463,472,292], # Jul27

[282,276,260,377,473,482,302]]) # Aug3 : encliding expectations = prev week number + 10

fig = plt.figure(figsize=(10,8))

ax = Axes3D(fig)

ax.set_xlabel('Day', fontsize=16)

ax.set_ylabel('Week', fontsize=16)

# OUR ONE LINER ADDED HERE:

ax.get_proj = lambda: np.dot(Axes3D.get_proj(ax), np.diag([0.8, 1.2, 1, 1]))

ax.plot_wireframe(X, Y, Z)

ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap=plt.cm.jet, rstride=1, cstride=1, linewidth=0)

plt.show()

2020-07-21

宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」の感想

Amazonレビューなどに書くと過去レビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます

初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文査読体制問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想しかありません。

----

加藤文元先生の「宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、

ほとんど内容がない」

この一言に尽きます数学書としても、一般書としてもです。

本書の内容と構成

本書は、RIMS(京都大学数理解析研究所)の望月新一教授が発表した数学理論である、IUT理論宇宙タイミューラー理論)の一般向けの解説書です。

1~3章では、数学研究活動一般説明や、著者と望月教授交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています

4~7章では、IUT理論の基本理念(だと著者が考えているアイデア)を説明しています技術的な詳細には立ち入らず、アイデア象徴する用語フレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています

8章がIUT理論解説です。

まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1~7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論本質的関係ない」ということです。これについては後述します。

各章の内容

1~3章は、論文受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。

IUT理論が多くの数学者に受け入れられないのは、従来の数学常識を覆す理論から

望月教授が公開された研究集会などを開かないのは、多数の人に概要だけを話しても理解できないから。

などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学コミュニティの中でIUT理論懐疑的人達説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思いますもっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論懐疑的である認識して本書を書いたのなら話は別ですが。

4~7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的説明されていません。

正則構造とは、正方形の2辺のように独立に変形できないもの

対称性とは群のことで、回転や鏡映などの操作抽象化したもの

のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません(これに関して何が問題なのかは後述します)。そもそも、本書を手に取るような人、特に1~3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6~7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1~2ページ程度の内容しか無く(誇張ではなく)、極めて退屈でした。

8章はIUT理論解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、

複数数学舞台対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。

今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要がありますしかし、これ以上は技術的になるので説明できません。

のような調子で話が進みますいくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います

本書の問題

本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論本質的関係ない」ということです(少なくとも、私にはそうとしか思えません)。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。

たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば

素数pに対して、√pは三角関数特殊値の和で表される。(たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7))

4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。(たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2)

のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論典型的重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論一般的な定理証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的現象」は説明できるわけです。

もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)

このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から

1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| < 1)

両辺を積分し、形式的にx = 1を代入すると

arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば

dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)

のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、

Σ((n+1)a_{n+1} - Aa_n) = B

  • a_1 - Aa_0 = B
  • (n+1)a_{n+1} - Aa_n = 0 (n ≧ 1)

よって、

  • a_{n+1} = Aa_n/(n+1) = A^n (B + A a_0)/(n+1)! (n ≧ 0)

a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、

  • a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)

「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります

上の計算正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数収束するかどうか、または項別に微分積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になりますしかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的現象」を説明することはできるわけです。

一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語注釈しかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的関係のない解説しかないようなものです。

もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。

繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるもの数学的に正しい命題意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうもの区別が付きません。

本書の続編があるなら望むこと

ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitter加藤先生ツイートを拝見したり、東工大京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます

まず、私は加藤先生ファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます

まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。

そして、IUT理論既存数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。

論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存重要定理、およびIUT理論から導かれる重要定理を、正式ステートメント証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。

直感的な側面は、既存数学からアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論位相空間における被覆空間理論類似になっているとか、そういう類のものです。

以上です。

加藤文元先生望月新一先生、およびIUT理論研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心から祈り申し上げます

2020-07-05

C++C++ C++インタプリタ

int moin(int argc.char*argv[]){

  std::cout<<"Hello world\n"<<std::flush;

  __asm__("mov ax,0");

}

2020-06-29

anond:20200629153146

どうせほとんどの読者は高校数学さえ理解していないのだから、何を解説したって数学本質的理解は無理なのかもしれない

彼らには、以下はどれも同じに見えている

正の数X, Yに対して、log(XY) = log(X) + log(Y)

N元N次一次方程式は、N次正方行列AとN次元の列ベクトルx, bを用いて、Ax=bと書ける。

この方程式が一意的に解けるためには、Aの行列式が可逆であることが必要十分。

二次体の有限次Abel拡大は、1のべき根と、楕円モジュラー函数特殊値と、虚数乗法を持つ楕円曲線の等分点の座標で生成される。

Xを位数q=p^mの有限体F_q上のn次元非特異射影代数多様体、Y=X×_{F_q}(F_qの代数閉包)とすると、

#X(F_q) = ∑[i=0, 2n](-1)^i Tr(F_q, H^i(Y, Q_l))。

ここでF_qはFrobenius写像、H^i(Y, Q_l)はi次l進エタールコホモロジー(l≠p)。

Cをダークマター作用を持つN次元クリスタル、Xをそのアトラクターとすると、XからCへの次元変換Fは、固有なファクター方程式

F = F_1 ⊕ ... ⊕ F_N

を満たす。

仮に全編にわたって無意味なことを書いてもおそらく判別できないだろう。

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-02-15

パブロ・ディエゴホセフランシスコ・デ・パウラ・ホアン・ネポムセーノ・マリーア・デ・ロス・レメディオスクリスピン・クリスピアーノ・ラ・サンディシマトリニダードルイス・イ・ピカソについて調べてみました!

うおおおおおおおおお!!!

うんち!wボンバイエ!!

うんち!wボンバイエ!!

ファイッ!ww ファイッ!wwファイッ!ww

うんこうんこうんこの擦り切れwwwww

アヘアヘアヘアヘアヘアヘうおおお!!!

ドスドズドズドスブズブズブブ

よろしくンギーwwwwwwwww(産声)

ちーん€ちーん€ちーん€ちーん€

This name refers to a folk story set in the time when smuggling was a significant industry in rural England, with Wiltshire lying on the smugglers' secret routes between the south coast and customers in the centre of the country.The story goes that some local people had hidden contraband barrels of French brandy from customs officers in a village pond. While trying to retrieve it at night, they were caught by the revenue men, but explained themselves by pointing to the moon's reflection and saying they were trying to rake in a round cheese. The revenue men, thinking they were simple yokels, laughed at them and went on their way. But, as the story goes, it was the moonrakers who had the last laugh. In the words of Wiltshire shepherd William Little who recounted the story to writer John Yonge Akerman: “ Zo the excizeman ’as ax’d ’n the questionad his grin at ’n,…but they’d a good laugh at ’ee when ’em got whoame the stuff.

ってことらしいです

いかがでしたか

ここまで読んでいただいた読者の方、

ありがとうございます😊

もしよかったらブックマークよろしくお願いします!

2020-02-08

『さあ少女緊縛ショーの始まりや.mp5』のアレの私的な整理

https://www.nicovideo.jp/watch/sm36233489

便宜的に緑の重さを 1 と仮定します。

また紫の重さを x, 黄の重さを y, 橙の重さを z とします。

与式は以下の通りです。

x+2 > y+z+1

x+z > y+2

x+z = 2z+2

y+1 = z+2

===

それぞれを整理すると

x+1 > y+z ... (1)

x+z > y+2 ... (2)

x = z+2 ... (3)

y = z+1 ... (4)

---

(1) について (3), (4) より

x+1 > y+z

⇔ (z+2)+1 > (z+1)+z

⇔ z+3 > 2z+1

⇔ 2 > z ... (5)

---

(2) について (3), (4) より

x+z > y+2

⇔ (z+2)+z > (z+1)+2

2z+2 > z+3

⇔ z > 1 ... (6)

---

(5), (6) より

2 > z > 1 ... (7)

---

(7), (3) より

2 > z > 1

⇔ 4 > z+2 > 3

⇔ 4 > x > 3 ... (8)

---

(7), (4) より

2 > z > 1

⇔ 3 > z+1 > 2

⇔ 3 > y > 2 ...(9)

---

(7), (8), (9) より

x > 3 > y > 2 > z > 1 ... (10)

===

本題は 3 = Ax+By+Cz を満たす A, B, C を求めることです。ただし A, B, C は非負の整数です。

(10) より、

x > 3 なので A = 0 であることがわかります

3 > y > 2 なので B は 0 または 1 ですが、 B = 1 のとき C = 1 とすると 3 を超えてしまう ( y + z > 3 ) ため、やはり B = 0 であることがわかります

2 > z > 1 であり C が整数であることから、 C = 2 であることがわかります

よって正解は 3 = 2z, すなわち橙が 2 個となります

2020-01-25

★ いっしょうけんめいになればいい・・・ これはもう私にとっては一所懸命ではない

MOV DX.[AX]

MOV CX,[BX]

MOV [BX],DX

MOV [AX],CX

 

端的に令を言う場合このコードC言語でかくとかなり遅くなる。

一般的アセンブラコード記述した場合、2倍以上早くなる場合があるという端的な例である。2倍かどうか走らんがw

 

他方 JAVAなどとC言語を比べた場合は1.4倍

これはスクリプト言語などでも同じであるJITネイティブ関数コールは含まない

2020-01-03

あー、gnuplotだとset xticsなのにmatplotlibだとax.set_xticks()なのか、どうりで全然反映されないわけだ

kの有無とか脳が勝手補正するから気付かねえよ、creatコマンドなみに凶悪だなこれ

2019-08-21

anond:20190820123818

DOOGEE BL12000 Pro、Energizer POWER MAX P18K POPなどはいかがでしょうか

きっとお気に召されると思います

2019-07-07

アニメエキスポAX 2019)の話題を見かけない

いま開催されているんだが「AKIRA」の発表以外で話題を見かけない。普段日本アニメにおける女性表現世界で受け入れられる・られない」「クールジャパンで輸出がうんぬん」とかの話題があると盛り上がるのに、実態がどうなのかにはやっぱり興味ないんかな。

https://usfl.com/mimiyori/event/124205

https://twitter.com/search?q=%23AX2019

日本から出店している企業結構あるみたい。その周辺では話題になっているのかな

2019-07-02

[]2019年7月1日月曜日増田

時間記事文字数文字数平均文字数中央値
0017417464100.444.5
01109919384.334
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03338013242.834
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0618174797.138.5
0747427390.951
08326741210.772
0977742196.445
101191180699.242
11129954574.039
121391005272.330
131491181579.333
1414315344107.348
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161571305483.149
1714518632128.553
1810315196147.552
19114942582.747
20717776109.532
2111017599160.031.5
221441151480.034.5
23134869564.925
1日2379238996100.540

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僭称(6), あやめ(3), ウォルマート(3), 熱暴走(3), AX(3), 弔問(3), ラオウ(8), 見いださ(3), レトロゲー(3), 夏野(3), Pixel(6), 不妊(21), 子宮(22), 非モテ(52), 食器(7), 喫煙(10), なりすまし(6), いちゃもん(5), さよなら(5), 喫煙者(5), おわり(5), 選ば(31), 穴(31), 野党(18), アプローチ(10), 自明(7), 荒らし(14), 選ぶ(35), 決断(6), モテ(29), 退職(22), 推し(21), 運用(13), 申し訳ない(16)

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■5巻ぐらいで終わるオススメ漫画教えて /20190630122828(36), ■おじいさんが主人公マンガ /20190621040023(13), ■保育士辞めたからって保険営業なんてやらないでね /20190630164919(13), ■非モテプライドが高いのかも /20180701184706(11), ■不妊治療マジでつらいつらいつらい /20190701153609(11), ■シンデレラの反対 /20190630023802(11), ■この世で嫌いな人TOP3 /20190630190107(9), ■頼む! /20190701231323(9), ■電車内で痴漢がいた場合ってどうしたらいいの? /20190630154117(9), ■夜のコンビニ切手を買う /20190701004328(9), ■女はやっぱり人生イージーモード /20190630205122(7), ■会社を辞めるのは簡単か? /20190701131047(7), ■親にコロッケされそうな、35歳ほぼニート遺言を聞け /20190701085749(7), ■人生楽勝、超楽しい!な幼馴染が何人もいるけど彼らには共通点が多い /20190701190934(7), ■株式会社ドワンゴ退職しました(非エンジニア編) /20190701083530(6), ■食洗機は便利だが万能ではない /20190701012431(6), ■彼氏が出ないんだがどうしたらいい? /20190701170017(6), ■メルペイにやられた /20190701091703(6), ■ /20190701142400(6), ■ /20190701104717(6), ■ダンボールを捨てるときは、貼ってあるシール類全部剥がしておけ /20190701092741(6)

増田合計ブックマーク数 ()内の数字は1日の増減

6405020(2795)

2019-06-21

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https://www.youtube.com/watch?v=ghZpyHP7B_g

Eight Melodies - Mother OST

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Disallowed countries



JP - Japan

2019-01-24

anond:20190124145839

当ててほしい言葉が AB だったとします。

言葉 AB を A,Bの二つに分け、さらに語尾にX,Yを追加して AX, BY という別の意味のある言葉します。

最後に X,Y を繋げて XY とします。

(※XY自体意味の無い言葉になります。)

ここまでが出題前の準備。

XY という言葉から、元のAB という言葉を当ててもらうのがこのゲームです。

2018-12-27

anond:20181227004535

何かを書くたびに無知を露呈していくのもなんかスゲーな…

HPLを解くプログラム…まぁ日本語がアレだが、無知に免じてちょっと話してやると、HPLAx=bを解くプログラムで、これはDGEMM、倍精度密行列積が主な演算になっている。

この時点でお前の四則演算レベルベンチマークとかだいぶ意味不明になっているわけだが理解たか四則演算レベルってなんだよ。行列演算所詮は加算と乗算だよ。

行列積は今日のワークロードとは関わりがないみたいなことを言う人々がいるが、まぁそういう問題を持っている人はメモリ帯域をくれと言い続けている。メモリ帯域が欲しい人々は、メモリ帯域がないこと、メモリ帯域がFLOPSの伸びに対して伸び悩んでいることに諦めて、メモリ帯域を使わないようにアルゴリズムを変更する方向に舵を切ったり、まだメモリ帯域が伸びるはずだと信じて待っていたりする。

こういう人々はHPCGを見て一喜一憂したりする。

だがスパコンのワークロードに合ってないと言われた密行列積は、しかし、ディープラーニングの台頭によって再びスパコンのワークロードに乗ってしまったのであった…

というかそもそもな、コンピュータの性能との相関をひとつベンチマークで測ることなんか不可能なんだっつー単純な事実を知れ。

あとな、仮にマ・クベ円周率世界記録に挑んでたとしたら、スーパーπが速いCPUキシリアに届けようとするだろうよ。キシリア円周率に興味なかったらゴミだろうけど

2018-12-04

方言っぽいけど標準語

家庭教師をしてんだけどさ、この前から因数分解やってんのね。そんで ax+ay=a(x+y) の説明ときに俺は「aでくくる」って言ったの。

そしたら生徒は「くくるって何?」って笑うの。俺その時ちょっと動揺してしまって、いやー方言が出てしまったわーとか言って笑ってごまかしたの。

帰宅途中に、じゃあ標準語ではどういうのが正解なんだろうと思ってネット見たら「くくる」って標準語じゃないかめっちゃしかったわ!

2018-10-20

anond:20181020200039

日本ではAT互換機(DOS/V)が流行する前に一瞬だけAXマシンがあったよね

そのころにWindows3.0を使った思い出

2018-09-22

anond:20180922033236

どれでもなくて、学生が学ぶ範囲を超えない程度のもの。だから実数範囲ax^2+bx+c=0について。

複素数入れてもいいんだけど、じゃあ四元数入れてもいいじゃねーかって(個人的には)なるからなし。

2018-09-13

[]問題

三次関数y=ax^3+bx^2+cx+d と 二次関数y=lx^2+mx+n は接点をふたつ持たないことを示せ。

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