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はてなキーワード: マルチンゲールとは
完備確率空間 (Ω, ℱ, ℙ) 上で、右連続増大フィルトレーション {ℱₜ}ₜ≥₀ を考える。
状態空間として、実可分ヒルベルト空間 ℋ を導入し、その上のトレース類作用素のなす空間を 𝓛₁(ℋ) とする。
システムダイナミクスを以下の無限次元確率微分方程式で記述する：
dXₜ = [AXₜ + F(Xₜ, uₜ)]dt + G(Xₜ)dWₜ
ここで、Xₜ ∈ ℋ は状態変数、A は無限次元線形作用素、F, G は非線形作用素、uₜ は制御変数、Wₜ は Q-Wiener プロセスである。
経済主体の最適化問題を、以下の抽象的な確率最適制御問題として定式化する：
ここで、𝓤 は許容制御の集合、L: ℋ × 𝓤 → ℝ は汎関数である。
価値汎関数 V: ℋ → ℝ に対する無限次元Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：
ρV(x) = sup{L(x, u) + ⟨AX + F(x, u), DV(x)⟩ℋ + ½Tr[G(x)QG*(x)D²V(x)]}
ここで、DV と D²V はそれぞれFréchet微分と2次Fréchet微分を表す。
システムの確率分布の時間発展を記述する無限次元Fokker-Planck方程式：
∂p/∂t = -divℋ[(Ax + F(x, u))p] + ½Tr[G(x)QG*(x)D²p]
ここで、p: ℋ × [0, ∞) → ℝ は確率密度汎関数、divℋ はヒルベルト空間上の発散作用素である。
dλₜ = -[A*λₜ + DₓF*(Xₜ, uₜ)λₜ + DₓL(Xₜ, uₜ)]dt + νₜ dWₜ
ここで、λₜ は無限次元随伴過程、A* は A の共役作用素である。
価格過程の一般的な表現を、以下の無限次元マルチンゲール問題として定式化する：
Mₜ = 𝔼[M_T | ℱₜ] = M₀ + ∫₀ᵗ Φₛ dWₛ
ここで、Mₜ は ℋ 値マルチンゲール、Φₜ は予測可能な 𝓛₂(ℋ) 値過程である。
Girsanovの定理の無限次元拡張を用いて、以下の測度変換を考える：
dℚ/dℙ|ℱₜ = exp(∫₀ᵗ ⟨θₛ, dWₛ⟩ℋ - ½∫₀ᵗ ‖θₛ‖²ℋ ds)
インフレーション動学を、以下の無限次元確率偏微分方程式で記述する：
dπₜ = [Δπₜ + f(πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + σ(πₜ)dWₜ
ここで、Δ はラプラシアン、f と σ は非線形作用素、iₜ は金利、Yₜ は総産出である。
小さなパラメータ ε に関して、解を以下のように関数空間上で展開する：
Xₜ = X₀ + εX₁ + ε²X₂ + O(ε³)
dwₜ = [Bwₜ + H(wₜ, πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + K(wₜ)dWₜ
ここで、B は線形作用素、H と K は非線形作用素である。
金利上昇の実質賃金への影響は、以下の汎関数微分で評価できる：
δ𝔼[wₜ]/δiₜ = lim(ε→0) (𝔼[wₜ(iₜ + εh) - wₜ(iₜ)]/ε)
1. 非可換確率論：
量子確率論の枠組みを導入し、不確実性のより一般的な記述を行う。
経済均衡の位相的構造を分析し、均衡の安定性を高次ホモトピー群で特徴付ける。
4. 超準解析：
無限次元確率動的一般均衡モデルは、金利、インフレーション、実質賃金の相互作用を一般的な形で記述している。
モデルの複雑性により、具体的な解を得ることは不可能に近いが、この理論的枠組みは経済現象の本質的な構造を捉えることを目指している。
このアプローチは、金利上昇がインフレ抑制を通じて実質賃金に与える影響を、無限次元確率過程の観点から分析することを可能にする。
しかし、モデルの抽象性と現実経済の複雑性を考慮すると、具体的な政策提言への直接的な適用は不適切である。
このモデルは、経済学の理論的基礎を数学的に提供するものであり、実際の経済分析や政策決定には、この抽象的枠組みから導かれる洞察を、より具体的なモデルや実証研究と慎重に組み合わせて解釈する必要がある。
このレベルの抽象化は、現代の経済学研究の最前線をはるかに超えており、純粋に理論的な探求としての意義を持つものであることを付記する。
連続時間モデルにおいて、最適投資戦略は Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程式を解くことで導出される。
投資家の効用関数を U(x) とし、リスク資産の価格過程を幾何ブラウン運動
このとき、最適な投資比率 π*(t,x) は以下の HJB 方程式を解くことで得られる：
0 = sup_π { U'(x)(rx + (μ-r)πx) + ½U''(x)σ²π²x² + V_t }
ここで、V(t,x) は価値関数、r は無リスク金利である。
完備市場を仮定し、リスク中立測度 Q のもとでのオプション価格を導出する。
ヨーロピアン・コール・オプションの価格 C(t,S) は以下で与えられる：
C(t,S) = e^(-r(T-t)) E_Q[(S_T - K)⁺ | F_t]
ここで、K は行使価格、T は満期、F_t は時刻 t までの情報集合である。
Black-Scholes モデルの下では、この期待値は解析的に計算可能であり、以下の公式が得られる：
C(t,S) = SN(d₁) - Ke^(-r(T-t))N(d₂)
ここで、N(・) は標準正規分布の累積分布関数、d₁ と d₂ は所定の公式で与えられる。
Heston モデルなどの確率ボラティリティモデルでは、ボラティリティ自体が確率過程に従うと仮定する：
ここで、W¹ₜ と W²ₜ は相関 ρ を持つウィナー過程である。
このモデルの下でのオプション価格は、特性関数法を用いて数値的に計算される。
大口注文の最適執行を考える。Almgren-Chriss モデルでは、以下の最適化問題を解く：
min_x E[C(x)] + λVar[C(x)]
ここで、C(x) は執行コスト、x は執行戦略、λ はリスク回避度である。
市場インパクトを線形と仮定すると、最適執行戦略は時間に関して指数関数的に減少する形となる。
極値理論を用いて、稀な事象のリスクを評価する。一般化極値分布 (GEV) を用いて、最大損失の分布をモデル化する：
F(x; μ, σ, ξ) = exp{-(1 + ξ((x-μ)/σ))^(-1/ξ)}
ここで、μ は位置パラメータ、σ はスケールパラメータ、ξ は形状パラメータである。
これにより、通常の VaR や ES では捉えきれないテールリスクを評価できる。
確率制御理論を用いて、時間変動する市場環境下での最適資産配分を導出する。
dXₜ = μ(Xₜ,αₜ)dt + σ(Xₜ,αₜ)dWₜ
sup_α E[∫₀ᵀ f(Xₜ,αₜ)dt + g(X_T)]
