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2020-08-27

中学高校数学にいわゆるユークリッド幾何学不要

ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在高校数学カリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。

ユークリッド幾何学不要だと思う理由単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って~」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズル適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間ベクトル三角関数微分積分などの手法一般的現象記述する上で必ず必要になります

もちろん、たとえば三角比定義するには、「三角形内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学性質必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:

OABに対して、|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|cos∠AOB

証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。

現状、少なくない時間ユークリッド幾何学に費やされています数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています

高校数学では以下のような事項が重要だと思いますユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。

これらの分野は数学手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的問題数学物理問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベル重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか?

ユークリッド幾何学初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います

  1. ユークリッド幾何学では証明の考え方を学ぶことができる
  2. 図形問題代数や解析の問題よりも直感的で親しみやす
  3. ユークリッド幾何学問題を解くことで「地頭」「数学直観」などが鍛えられる
  4. ユークリッド幾何学歴史的重要である

しかし、これらはいずれも正鵠を射ていません。

まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題証明されるべきものからです。高校教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離公式三角関数加法定理微分ライプニッツ則や部分積分公式など、どれも証明されていますそもそも数学問題はすべて証明問題です。たとえば、関数極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないか定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学けが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。

②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトル微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理メネラウス定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学手法問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法一般方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学手法にこだわる理由はありません。

③は単なる個人思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要数学素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学特別視する理由になっていません。

④もおかしいです。そもそも歴史的重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的重要ならば教えるというなら、古代バビロニアインド中国などの数学特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や+-×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わず数学記述するべき理由があるでしょうか。

数学重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学擁護する論者は、「(表面的に)計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います

大昔は代数計算方程式の解法(に対応するもの)は作図問題帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法重要な結果を導きやす方法を用いればよいに決まっています数学史家は別として)。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。

たとえば、放物線は直線と点から距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育重要なのは明らかに2次関数グラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから最初から2次関数グラフとして導入するのは理にかなっています数学教育の題材は「計算問題証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。

三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学連立方程式を学ぶのに小学生鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います

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(*1)

現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに

(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーデルタ)

内積定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間ベクトル微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています

(*2)

数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題ガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識必要」というわけではありません。

2020-05-08

ギリシア文字 τ (タウ) 普及委員会 2020-05-08

( 'τ') …

!たうたう星人も呆れて絶句

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たうたう星人 とは…

・嫌いな文字円周率 π (パイ)

・好きな文字 … τ (タウ)、 すなわち、円の半径と円周の長さ の比、 (τ=2 π )

・好きな数式 … 円の面積 A (Circle) = π * r^2 = 1/2 * (τ r^2)

円の面積では、係数の 1/2 が出てきており、ここがお気に入り

1/2 が目に見えるおかげで、 円の面積は 「rの一次式」 を積分した結果 だと15歳のくそガキでも直感的に分かる。

経歴

円周率であるπを憎んでおり、2010年から学会で以下のように主張しつづけている。

円周率を 直径と円周の長さで表現した πは 合理的でない。

それよりも、円周率を 半径と円周の長さの比で表現した τ の方が合理的だ。

理由 1. 円周を積分したら 1/2 の係数が出てきて目にみえること。 πでは この係数が消えてしまう。

理由 2. 複素平面上の回転操作では 1回転(360度)することで元の位置に戻る。よって1回転が基本単位だ。

しかし、現実複素平面における 360度の回転操作は、 π を使うと 2π(rad) となり係数 *2 をつける必要がある。

ここで τ を使えば τ (rad) となり、係数の *2 を付ける必要がない。 1回転の操作 は 1τ 。

少なくとも、教育上は、 π よりも τの方が明らかに教育的でこちらを採用すべきだ。

ちなみに、2020年現在でも彼は1人で戦い続けている、τの普及のために。

2019-12-11

ちょおしえて

物理学では複素平面ってけっこう大事な考え方なんだけど

化学専攻だと複素平面ってつかう?

2018-09-19

anond:20180919164125

数学1A2Bは高校でも大学受験でもやり、またⅢも文系クラスでも何故か最初(楕円と複素平面)だけやらされた状態です。

まあそういうのに関係なく復習的な段階や数Ⅲの基礎は前提ということでやろうと思います……指摘を見て、確かにそもそもまずは高校数学っていうのも大事だと身にしみました。)

ええと、統計のためだけならちょっと高校数学やるだけだし、みたいな発言を見てそう思ったのだとしたら、それもちょっとずれてるな、と。

楕円とか関係ないし。

統計のために必要個別知識はやはり統計として高度。勿論「数学のものとして高度」ではないのは確かだけど、

高校数学ちょろっとやるだけですむでしょみたいに言われてうのみにするのもちょっとどうかと。

文系数学を学ぶには……

私立文系大学にいる。

でも、常日頃から大学では文系もこれから数学大事って言われるし、必修で課せられる統計学では、線形がどうたらとか出てくる。

自分でもいろいろやってみようと思ったが、何をすれば良いのやらよくわからない。

とりあえずとある事情で有名な杉浦先生の「解析入門」を見てみたが、流石に文系が独学でどうにかできるようには思えなかった。

理工学部大学図書室へ行っていろいろ見てみたが、なかなか理解できそうなものはない。

世界史を学びたい場合高校教科書と「ガチな」専門への橋渡しとして、中央公論の「世界歴史」が良いと思っているが

それにあたるもの数学にはあったりしないのでしょうか、と……

追記

たくさん反応いただいて感謝しています

様々な書籍の紹介などを頂いたので、参考にしていろいろやってみようと思います

実は当初、本来理系学部の「線形代数」とかの履修でやろうと思いましたが、

理系の授業の聴講は、制度上はできるが理系学部までの距離などを考えると時間割上厳しいという感じでした。なので自力で本を読んだりするしか無くこうなったという感じです。

あとご指摘のどおりいわゆる文系しかない大学ではなく、単に自分文系なだけで大学全体としては総合大学です。適当表現すみませんでした。

数学1A2Bは高校でも大学受験でもやり、またⅢも文系クラスでも何故か最初(楕円と複素平面)だけやらされた状態です。

まあそういうのに関係なく復習的な段階や数Ⅲの基礎は前提ということでやろうと思います……指摘を見て、確かにそもそもまずは高校数学っていうのも大事だと身にしみました。)

2016-04-13

英語」という嘘吐きの教科が嫌い

私は英語が嫌いだ。それは英語が嘘つきの教科だからだ。

  • 例1

先生「同士の過去形過去分詞形は後ろにedをつけるんだぞ。」

_人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人_

> 動詞過去形は語尾にed説明したな。あれは嘘だ! <

 ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ̄

先生setの変化はset-set-setだかんな!!!

  • 例2

先生「主節と従属節は時制を一致させるんだぞ。」

_人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人_

> 主節と従属節は時制を一致と説明したな。あれは嘘だ! <

 ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ̄

先生仮定法のときは違うから!!!

こんな後出しルールばかりの世紀末教科ができる人は、こういう理不尽ルール変更みたいなの大丈夫な人なんだろうな。

いったい英語楽しいって奴は何が面白くて英語勉強ができるのか...

だけどな、数学を見てみろよアイツは正直だ。信用できる。

  • 例1

先生「x^2+1=0の答えは、『解なし』ですわ❤」(実数

先生「んほおおおおおおお? x=±iでぇええ❤関数複素平面ちゅらぬぃてるのおおおお"お"お❤❤❤❤!!!

  • 例2

先生ベクトルとは矢印ですの」

先生抽象空間しゅきぃ~❤ 矢印も関数も❤!ぜんぶベクトルなのぉぉ❤❤!!」

  「公理をっ❤満たすのっ❤ぜーんぶ❤ベクトルッひゃ❤なのんっほぉおお"お" ~~~っっっ❤❤❤❤!!!! 」





この違い、お分かりいただけただろうか。

2015-06-03

RPG戦闘における公理

RPG戦闘のおやくそくをうまく説明するための公理系を考えてみました。

分かりやすい例として、随所でファイナルファンタジーをサンプルに挙げてます

生命体(仮称

自律的戦闘行動を行う主体のこと。

などが挙げられる。

生身の人間がコックピットロボットを操縦しているような場合は、操縦者ロボットを一括りにして一つの生命体として取り扱う事もできる。

生命力仮称

それぞれの生命体が持っている、戦闘行動を遂行するために必要エネルギーのこと。

生命力実数で表される。後述の「アンデッド」のように、負の生命力を持つ生命体の存在もありうる。以降の説明で「生命力」という言葉が出てきたら、数直線上のとある一点を表しているもの想像して欲しい。

通常の生物代謝や呼吸によって生命力を維持するが、戦闘ロボットなどは電力・燃料などが生命力の源であると考えることが出来る。

アンデッド

負の生命力を持つ生命体の総称

HP (ヒットポイント)

生命力絶対値

生命力は、正(アンデッド以外)および負(アンデッド)の値を取りうるが、HPはその絶対値として表されるため、常に正の値となる。

ダメージ

運動エネルギー物理攻撃)・熱エネルギー電気エネルギー化学反応(毒などのステータス異常攻撃)等の影響で生命力が削られて、HP生命力絶対値)が減少すること。

生命体に対して斬撃など何らかの攻撃を当てた場合、それが通常の生物であってもアンデッドでもダメージを与えることに変わりはないが、それは絶対値に対して影響を及ぼしているため。

戦闘不能

生命体が、自身生命力を失って戦闘行動を遂行できなくなった状態。

ダメージを受けて生命力が推移した結果、生命力が数直線上の原点(0)に一致するか、または原点を通過した(プラスからマイナス、あるいはマイナスからプラスに移動した) 際に成立する。

戦闘不能が成立した場合HPは0として扱われる。

ポーションケアル等の回復薬回復魔法

生命力を、負から正の方向に推移させる効果を持つ。

アンデッドは負の生命力を持つため、これらの効果ダメージとなる。

タクティクスオウガの「マーシーレイン」のように、アンデッド人間両方のHP回復できる魔法存在するが、これは「負→正の遷移」ではなく「生命力絶対値を上昇させる」現象とみなすことができる)

属性攻撃

上記とは逆に、生命力を正から負の方向に推移させる効果を持つ。そのため通常の生命体にとってはダメージだがアンデッドにとっては回復手段となる。

デス等の即死魔法

対象生命力を、「その生命体の最大HP」の量だけ、正から負の方向に推移させる効果を持つ。

そのため通常の生命体にとっては「即死」という効果として現れるが、アンデッドにとってはHP全快という結果になる。

アンデッド化(ボーンメイル装備時など)

正の生命力を持つ生命体に対して、生命力を「マイナス1」だけ掛け算する効果を持つ。

これは数直線上を移動するのではなく、原点を軸として180度回転するという演算になる。

原点を通過するわけではないので戦闘不能扱いにはならず、自身HP(=生命力絶対値)もそのままとなる。

HP吸収攻撃(ドレインなど)

対象生命力を正から負の方向に推移させ、その結果生じたダメージの量だけ自身HPを増加させる行為

アンデッドに対して行使した場合生命力が正から負に推移することで発生するダメージ量は負の値となるので、自身HP増加量も負の値となる。(つまり自分ダメージを受けて相手が回復する)

おもいつき

もしも複素数生命力を持つ生命体が存在するとしたら、どんな現象が発生しうるか

今後の課題

2014-05-08

数学の本もこれだけの分量だと、文系では厳しい気がしますね。

http://anond.hatelabo.jp/20140506144603

これだけのものを「ちゃんと」読めば、そりゃあなんとかなるでしょう。

しかし、何万円になるんだ。

2013-12-24

東大に行った友人が使えなさすぎでヤバい

高校時代からの友人で、東大に行った奴がいるのだが落ちぶれすぎていて痛い。

昔は勉強ができたのに、どうしてこうなったんだか。

思えば入学すぐのゴールデンウィークあたりからもうおかしかった。

大学自分勉強する所とか言って講義にもろくに出てないとか、教授や先輩がいかにバカかを熱弁していた。

2年目の夏ぐらいか2ちゃんねるまとめを自動生成するシステムを作るとか言い出していろいろやっていた。

β版発表会とか言って、仲間内を集めてお披露目会をしていたが、ただのPHPを使った動的ウェブページで、

ソースを見たらオブジェクト指向はおろかサブルーチン呼び出しすらろくに理解していないようなウンコードだった。

これじゃスパゲッティになって開発続かないだろと思ったからそう指摘したら、

そんなもの俺には必要ない、お前らとは頭の出来が違うの一点張り

文系に行った奴らはだまされてたみたいだが、プログラミングが分かる仲間はみんな(^^;)って顔になってた。

結局完成しなかったらしい。

この間久しぶりに会って、就活勉強の話になったらもうひどいのなんの。

そいつIT系なのに、流行りの技術はおろか、基本的な知識もない。

だけどプライドだけは高くて分からないと言えないらしく、

関数型言語勉強していると言ったら時代アセンブラだと言い返したり、

じゃあアセンブラでどんな開発したのと聞けば、なぜか古文の助動詞複素平面の話になっていた。

古文は分からないけど、複素関数なら習ったかコーシーリーマン関係式の話でもしようとしたら、

遮って東大過去問の、数学的には低級な話にもっていって、最終的には俺の知識の無さについての話になった。

それを聞いて、あぁ、こいつはダメになってしまったんだな、と思った。

所詮高校までの勉強が俺よりマシな程度にできるだけだったというのに。

信頼とか友人らしい感情はもはや無い。

ちゃんと進級できてるのかどうかも分からないが、仮に就活しているとして、まともに就活できるんだろうか。

多分学歴を盾にそこそこいいとこ入っていくんだろうけど、就職浪人でもしたら友人やめると思う。

2013-08-10

すごいめんどくさい話で大雑把に書くんだけど、物理屋なんかでわかってないことはたくさんあって

なんかしらないけど、そうなるから、そうしてる。みたいなことは沢山ある。

そのなんかしらないけど、そうなるから、そうしてる。に対してどういうアプローチをしていくか?というのが、凡人に出来る精一杯。

 

√-1を 平面上に展開して複素平面でというのはかなり高度なアイデアだけど

物理で出てきた時に、なんかしらないけど、そんなパラメーター。という風に、わからないけど、使える。アプローチできる。

(実際には習うけど)中学では√-1って存在しないって教わったけど、いいや、このまま使っちゃえと思えるかどうかが、発想力。

 

実際問題、中学1年ぐらいの 2次方程式の解の公式でも虚数は出てくるけど、存在しないって教える。

でも、存在しないって教えるのは虚数高校生の範囲だから便宜上そう教えてるだけで 実際はあるし√-1って書いても何の問題もない。

数学やってる奴ならiって書かなくても√-1って書いてアレば 人間なんだから意味はわかる。

 

という、このアプローチ力を鍛えてないとだめなんじゃね?と 解き方を知ってる問題をとけるのは、犯人を知ってる推理小説の冒頭で犯人を言えるのが当たり前みたいなものだ。

問題等のは 解き方を知らないのに、解ける(実用上問題のない近似値が出せる)というところが、最も重要

 

だって、大人になってから解き方を知ってる問題なんてどんだけあんだよと。記憶力と思考力は別物。

 
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