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2020-07-21

宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」の感想

Amazonレビューなどに書くと過去レビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます

初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文査読体制問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想しかありません。

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加藤文元先生の「宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、

ほとんど内容がない」

この一言に尽きます数学書としても、一般書としてもです。

本書の内容と構成

本書は、RIMS(京都大学数理解析研究所)の望月新一教授が発表した数学理論である、IUT理論宇宙タイミューラー理論)の一般向けの解説書です。

1~3章では、数学研究活動一般説明や、著者と望月教授交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています

4~7章では、IUT理論の基本理念(だと著者が考えているアイデア)を説明しています技術的な詳細には立ち入らず、アイデア象徴する用語フレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています

8章がIUT理論解説です。

まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1~7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論本質的関係ない」ということです。これについては後述します。

各章の内容

1~3章は、論文受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。

IUT理論が多くの数学者に受け入れられないのは、従来の数学常識を覆す理論から

望月教授が公開された研究集会などを開かないのは、多数の人に概要だけを話しても理解できないから。

などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学コミュニティの中でIUT理論懐疑的人達説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思いますもっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論懐疑的である認識して本書を書いたのなら話は別ですが。

4~7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的説明されていません。

正則構造とは、正方形の2辺のように独立に変形できないもの

対称性とは群のことで、回転や鏡映などの操作抽象化したもの

のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません(これに関して何が問題なのかは後述します)。そもそも、本書を手に取るような人、特に1~3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6~7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1~2ページ程度の内容しか無く(誇張ではなく)、極めて退屈でした。

8章はIUT理論解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、

複数数学舞台対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。

今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要がありますしかし、これ以上は技術的になるので説明できません。

のような調子で話が進みますいくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います

本書の問題

本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論本質的関係ない」ということです(少なくとも、私にはそうとしか思えません)。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。

たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば

素数pに対して、√pは三角関数特殊値の和で表される。(たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7))

4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。(たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2)

のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論典型的重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論一般的な定理証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的現象」は説明できるわけです。

もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)

このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から

1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| < 1)

両辺を積分し、形式的にx = 1を代入すると

arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば

dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)

のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、

Σ((n+1)a_{n+1} - Aa_n) = B

  • a_1 - Aa_0 = B
  • (n+1)a_{n+1} - Aa_n = 0 (n ≧ 1)

よって、

  • a_{n+1} = Aa_n/(n+1) = A^n (B + A a_0)/(n+1)! (n ≧ 0)

a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、

  • a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)

「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります

上の計算正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数収束するかどうか、または項別に微分積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になりますしかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的現象」を説明することはできるわけです。

一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語注釈しかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的関係のない解説しかないようなものです。

もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。

繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるもの数学的に正しい命題意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうもの区別が付きません。

本書の続編があるなら望むこと

ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitter加藤先生ツイートを拝見したり、東工大京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます

まず、私は加藤先生ファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます

まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。

そして、IUT理論既存数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。

論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存重要定理、およびIUT理論から導かれる重要定理を、正式ステートメント証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。

直感的な側面は、既存数学からアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論位相空間における被覆空間理論類似になっているとか、そういう類のものです。

以上です。

加藤文元先生望月新一先生、およびIUT理論研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心から祈り申し上げます

2020-04-05

[]2020年4月4日土曜日増田

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2020-04-04

anond:20200404024237

かに計算機圏論として考える場合計算量を無視してしまう事が多いのが現状です

細かな計算量の違いを反映した圏を構成しようとしている研究者もいるけど

そこまで具体的な成果は出ていない…問題としては面白くても原理的な難しさが存在するのかもしれない。

ここで望月新一のIUT理論計算機科学への応用の可能性があれば面白いのだけど

IUT理論はフロベニオイドという概念に基づいての議論が多い上で

フロベニオイドは計算機モデルとして扱える可能性は殆ど見えないのが残念

ABC予想証明ギャップがあるというのが分からない

望月新一証明圏論用語をよく使う一方で、同型な複数オブジェクトに異なるラベルをつけて区別して議論している。

ピーターショルツとジェイコブスティックスは圏論常識的な考え方として同型なオブジェクトは同一視すべきだと主張して

同型なオブジェクトを同一視した場合望月新一議論破綻する事を指摘した。

望月新一は同型な複数オブジェクトを同一視すべきでない例をあげて反論している。

同一視しなければいいのでは?

2020-04-03

anond:20200403180713

フェセンコは、望月新一宇宙タイミューラー理論英語版)(Inter-universal Teichmüller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的役割を果たした。フェセンコは同研究サーベイ論文[pub 19]及び一般論説[pub 20]の著者であり、数学界の難問ABC予想証明できたとする望月論文2012年)に関して「証明内容に誤りは無い」と後押しする主張を行った数学者の1人である。フェセンコは、IUTに関する(同理論理解したいと考える数学者に向けて内容を説明する)2つの国際ワークショップを共同開催した

フェセンコが言うなら間違いないだろう。

2019-05-31

望月新一の「abc予想」とは? 宇宙際タイヒミュラー理論とは?論文の真偽は?調べてみました!!!

分かりませんでした!!!!!

2019-02-25

anond:20190225182353

望月新一ってなんか小保方的な雰囲気になってきたけど実際どうなの?

2019-02-14

anond:20190214163606

数学における最大の謎: 望月新一と不可解な証明

日本人数学者が彼の分野で最も重要問題のうちの一つを解いたと主張している。困ったことに、彼が正しいのかどうか殆ど誰も分からないことだ。

2015年10月8日 Davide Castelvecchi

2012年8月30日の或る時、望月新一は静かに彼のウエブサイトに4つの論文ポストした。

論文は膨大(総計して500ページを超える)で密に記号が詰められており、10年以上の孤独研究絶頂だった。それらの論文はまた学界の突発的事件となる可能性を持っていた。論文の中で望月abc予想を解いたと主張した。abc予想は数論において他の誰も解決に近づかなかった27年目の問題だった。彼の証明が正しければ、今世紀で数学の最も驚異な業績となるであろうし、整数を持つ方程式研究を完全に変革するであろう。

しかし、望月自身証明について騒ぎ立てなかった。その有名な数学者は日本京都大学数理解析研究所(RIMS)で研究従事しているが、自身研究世界のどの仲間にも知らせなかった。彼はただ論文ポストして、世界が見つけるのを待っているのに過ぎなかった。

おそらく論文群を最初に注目したのはRIMSで望月の同僚である玉川安騎男だった。他の研究者達と同様に彼は望月が何年間その予想について研究していて、とうとう研究を終えたことを知った。同じ日に玉川は彼の共同研究者の一人である英国ノッティンガム大学の数論学者イヴァン・フェセンコにそのニューズ電子メールで送った。フェセンコはすぐに論文群をダウンロードし読み始めた。しかし、彼はすぐに"当惑した。それらを理解することは不可能だった"と言う。

フェセンコは数論幾何学という望月の分野の何人かのトップエキスパート電子メールした。証明の知らせは急速に拡がった。数日内に、熱のこもったおしゃべりが数学ブログオンラインフォーラムで始まった(Nature http://doi.org/725; 2012を見よ)。だが、多くの研究者達にとって証明に関する早期の意気揚々が急速に懐疑へと変わった。すべての人々(専門分野が望月のものと最も近い人々さえも)はフェセンコと全く同じように論文群に面食らった。証明を仕上げるため望月は彼の分野でも新しい分科をこしらえたが、純粋数学の水準においてさえも驚くほど抽象的なものである。"それを見れば、未来からの、または宇宙から論文を読んでいるのかも知れぬとちょっと思える"とウィスコンシン大学マディソン校の数論学者ジョーダンエレンバーグは論文出現の数日後にブログで書いた。

3年間ずっと望月証明数学的に未決定のままである。つまり、広くコミュニティによる誤りの指摘も無く、そして認められてもいない。望月は彼の研究理解出来るために数学大学院生が約10年かかるだろうと見積り、フェセンコは数論幾何学エキスパートですら約500時間かかるだろうと考えている。今のところ、証明全体を読めたと言っている数学者は4人しかいない。

これすき。

2017-07-23

https://anond.hatelabo.jp/20170723164140

ペレルマンはもちろん知っているが

彼が日本人だったら業界では強烈なリスペクトを集める一方で

フェミ系やマスコミなどは「キモくて金のないおっさん」として

少なからず笑いものにしたであろうことは難くない

京大望月新一大学辞めたらそういう扱いされそう

2015-04-16

http://anond.hatelabo.jp/20150416201757

そんなに自分の頭に自信あるなら数学やれよ。素粒子論でもいいぞ。

望月新一とかテレンス・タオとかエドワードウィッテンとか、そういう人類の至宝級の本気の化け物とやりあえるぞ。

2015-02-06

http://anond.hatelabo.jp/20150206182648

いまどきの研究者非コミュとかやってけるわけない。

望月新一レベルの超天才でも少なくとも同業者とのコミュニケーションは取れないと話にならない。

実験系とかで予算ガッツリ取ってこないといけない分野の教授とかになるとほとんど政治家レベル

2014-11-20

天才について

天才とは色々定義されるが、一番の特徴は集中力(あるいは勉強体力)があり、非常に長い間その問題に取りかかることができることだと思う。

例えば、望月新一氏について、オックスフォード大学教授であり、望月新一氏の友人でもある人は次のように言っている。

「彼が他の数学者と違うのは、彼がものすごく高い耐性(tolerance)があることなんだ。何時間も、何時間も机に向かって数学をすることができるんだよ」

「彼が学部生の頃の話なんだけどね。フランスグロタンティークって人の代数学算術幾何の著作は、その分野を学ぶ人はみんな読まなきゃいけないんだけど、普通は少しずつ理解していって、何年も費やすんだよ。何千ページもあるからね。でも望月学部時代のほんの数年で理解してしまったんだ。」

http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/

2012-09-20

東大卒ニートだけど

もちろん恥だと思っている。就職できなくてそうしたわけでなく自分でえらんでそうしたんだけど。半分しかたない事情もあったが。

ニートなんだけど最近は半分ニートじゃなくなりつつある。つまり微妙求職活動をしている。

しかしなんだ。東大というレッテルで全て見られるのが嫌なんだよな?「東大のくせに」とか「東大もたいしたことねーな」とか「だから東大卒はつかえない」とか。

あれはカンベンしてもらいたいもんだよな。おなじ大学人達にももうしわけない。予定通りなので働くのは嫌じゃないけど。

1つ書きたいこと思い出したからついでに書く。望月新一さんがABC予想証明たかもーってことで脚光あびてる。

京大理研有名人。でHPには「宇宙幾何学者」とあるんだけど、これについてネットでは

望月さんの異色の天才ぶり、超人ぶりを表わしたぴったりな肩書きだ」みたいなことが言われてた。ん?勘違いしてない?

数学畑の人でもあんまり知られてないけど「宇宙幾何学」って分野があるの。IU幾何

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf

[引用開始]

注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではなく、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパターン記述した組合せ論的アルゴリズムである。 

このような考え方を基にした幾何のことを、宇宙際(Inter-universal=IU幾何と呼ぶことにした

[引用終了]

 
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