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はてなキーワード: フーリエ変換とは
2. モジュラスの計算: N = p * q
3. オイラーのトーシェント関数: φ(N) = (p-1)(q-1) を計算する。
4. 公開鍵と秘密鍵の生成: 公開鍵は (N, e) であり、e は gcd(e, φ(N)) = 1 を満たす整数である。秘密鍵は d であり、d * e ≡ 1 (mod φ(N)) を満たす。
RSA暗号の安全性は、合成数 N の素因数分解が計算的に困難であることに依存している。具体的には、次の問題が考えられる：
N = p * q
ショアのアルゴリズムは、量子コンピュータ上で動作する効率的な素因数分解アルゴリズムである。以下にその主要なステップを示す。
任意の整数 a を選択し、N に対して次の条件を満たすことを確認する：
整数 a の順序 r を求める。順序とは、次の条件を満たす最小の整数である：
a^r ≡ 1 (mod N)
量子フーリエ変換は、状態ベクトルを重ね合わせて次のように表現される：
|x⟩ = Σ(k=0 to N-1) |k⟩
ここで、量子フーリエ変換を適用することで周期性に関する情報が得られる。具体的には、
QFT |x⟩ = (1/√N) Σ(j=0 to N-1) Σ(k=0 to N-1) e^(2πi jk / N) |j⟩
得られた状態から測定を行うことで周期情報が得られる。この周期情報を用いて次の式を考える：
x = a^(r/2) - 1
y = a^(r/2) + 1
これらが非自明な因子である場合、p と q を次のように計算できる：
p = gcd(x, N)
q = gcd(y, N)
ショアのアルゴリズムは確率的であり、成功率は高いものの100%ではない。そのため、誤り訂正技術や複数回実行することで成功確率を向上させる必要がある。
チーズ牛丼の神秘なる力を宿した我々チー牛は、フェミニズムの虚構を超越した存在であることを、ここに宣言する。
その証明たるや、実に複雑怪奇にして難解極まりないものなのだ。
まず、チーズ牛丼の具材の配置が、実は宇宙の暗黒物質の分布と完全に一致していることが判明した。
これは、我々チー牛が宇宙の真理を胃の中に宿していることの動かぬ証拠である。
一方、フェミの主張する平等は、実はブラックホールの事象の地平線上でのみ成立する概念であり、現実世界では適用不可能なのだ。
次に、チー牛の眼鏡のレンズの厚さを、フェミニストの髪の毛の本数で割ると、必ず素数になるという驚くべき法則が発見された。
これは、数学的にチー牛の優位性を示すものであり、同時に、フェミニズムが非合理的であることの証明でもある。
さらに、チーズ牛丼を食べる際の咀嚼音を逆再生すると、なんと古代マヤ文明の失われた預言が聞こえてくるのだ。
その預言には「チー牛こそが人類を救う」と明確に記されている。
フェミニズムについては一切言及がないことから、その存在価値の無さは明白である。
また、チー牛の脳波とフェミニストの脳波を同時に測定し、その波形をフーリエ変換すると、チー牛の方が明らかに高次元の思考をしていることが判明した。
これは、我々の知性がフェミニズムを遥かに凌駕していることの科学的証拠だ。
驚くべきことに、チー牛の唾液に含まれる特殊な酵素が、フェミニズム関連の書籍のインクを溶かす性質を持つことが発見された。
これは、我々の存在自体がフェミニズムを否定する力を持っていることを示している。
さらに、チー牛が着用する服のシワの数と、フェミニストのツイート数の相関関係を分析したところ、黄金比が現れることが判明。
興味深いことに、チーズ牛丼の食べカスから抽出した物質を使って作られた特殊なメガネをかけると、フェミニストの主張が全て「私はチー牛に憧れている」と聞こえるという現象が確認された。
これは、フェミニズムが実は我々への羨望から生まれた思想であることを示唆している。
最後に、チー牛の寝言を録音し、その音声データをビットコインのブロックチェーンに変換すると、驚くべきことに「フェミニズムは幻想」というメッセージが浮かび上がるのだ。
これこそ、デジタル時代における我々の正当性の証明と言えよう。
結論として、我々チー牛は、フェミニズムどころか、人類の理解をはるかに超えた、多次元宇宙レベルの真理を体現する存在なのである。
チーズ牛丼の食べ方一つで銀河系の運命が左右されるという事実を、もはや誰も否定することはできない。
我々こそが、真の啓示を受けた選ばれし者であり、フェミニズムなど所詮は我々の靴底に付いたチーズのカスにも及ばない存在なのだ。
そして、この真理を理解できない者たちよ。
ヒルベルト空間は無限次元の線形空間だが、射影ヒルベルト空間として有限次元多様体のように扱うことができる。射影ヒルベルト空間 P(H) は、ヒルベルト空間 H の単位球面上のベクトルをスカラー倍による同値類で割った空間であり、量子状態の集合を位相的に解析するための空間だ。局所座標系は、例えば、正規直交基底を用いてチャートとして定義され、局所的にユークリッド空間に似た構造を持つ。この構造により、量子状態の位相的特性を解析することが可能となる。
スキーム理論は代数幾何学の概念であり、ヒルベルト空間においては作用素環を通じて状態空間を解析するために用いる。特に、自己共役作用素のスペクトル分解を考慮し、各点を極大イデアルに対応させる。このアプローチにより、量子状態の観測可能量を代数的にモデル化することができる。例えば、観測可能量としての作用素 A のスペクトルは、A = ∫ λ dE(λ) という形で表され、ここで E(λ) は射影値測度である。これにより、量子状態の代数的特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間における射は、線形作用素として表現される。特に、ユニタリ作用素 U: H → H は、U*U = UU* = I を満たし、量子力学における対称変換を表す。これにより、系の時間発展や対称性を解析することができる。射影作用素は、量子状態の測定を表現し、観測可能量の期待値や測定結果の確率を計算する際に用いられる。これにより、量子状態の射影的性質を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間のコホモロジーは、量子系のトポロジカル不変量を解析するための手段を提供する。例えば、ベリー接続 A = ⟨ψ(R) | ∇ | ψ(R)⟩ やベリー曲率 F = ∇ × A は、量子状態のパラメータ空間における幾何学的位相的性質を記述する。チャーン数は、∫ F により計算され、トポロジカル不変量として系のトポロジカル相を特徴付ける。これにより、量子系のトポロジカル特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間の基底を用いて、空間を再構築する。直交基底 { |e_i⟩ } は、量子状態の展開に用いられ、|ψ⟩ = Σ_i c_i |e_i⟩ と表現される。これにより、状態の表現を簡素化し、特定の物理的状況に応じた解析を行う際に有用である。例えば、フーリエ変換は、状態を異なる基底で表現するための手法であり、量子状態の解析において重要な役割を果たす。
ヒルベルト空間における構造を保つ変換は、ユニタリ群 U(H) として表現される。これらの群は、量子系の対称性を記述し、保存量や選択則の解析に利用される。例えば、回転対称性は角運動量保存に対応し、ユニタリ変換は系の時間発展や対称性変換を記述する。これにより、量子系の対称性特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間は、内積により誘導される距離を持つ完備距離空間である。具体的には、任意の状態ベクトル |ψ⟩ と |φ⟩ の間の距離は、||ψ - φ|| = √⟨ψ - φ, ψ - φ⟩ で定義される。この距離は、量子状態の類似性を測る指標として用いられ、状態間の遷移確率やフィデリティの計算に利用される。これにより、量子状態の距離的特性を解析することが可能となる。
今日は「演習で学ぶ科学のための数学」という本を一通りやり終えました。薄い本ですが線形代数・微分積分の基礎からフーリエ変換まで書かれています。
これぐらい薄い本だと、計算問題を具体的に解こうとしない限りは一日で読み終えることができます。私はいつも計算問題を見ると、sage mathというツールを使えば解けるのになぁと思ったりします。
さて、最近の調子はどうかというと、インターネットの楽しみが増してきました。
「数学の複数の概念を繋げたらどうなるのか」という興味に基づいてグーグル検索するととても面白いのです。
調和解析と数論を繋げるような深淵的なものから、とりあえず繋がっただけという表面的なものまであります。
複数のドメインを繋げる際の「センス」について素人なので、どの繋がりが本質的なのかを見抜くことがまだまだできていない気はします。
atcoder的な問題解決者ではなく、コホモロジー的な理論構築の観点から深淵を覗きたいのです。
最先端のトピックが概ね英語で書かれていることが多いので、読む際に翻訳にかけなければスラスラと読めないのが少し難点です。
ところで「笑わない数学」という番組を知りました。私が最初に見たのは確率論に関するエピソードでしたが、昨日やっていたのは非ユークリッド幾何学でした。
テレビとTwitterの連動性はよく知られていますが、こういう番組に対して視聴者が持つ感想を眺めるのが面白いです。
低コストで飽きない趣味としては、数学はとても良い題材だと思います。
ファインマンさんが言うように、誰かに教えるときに学習効果が最大化されるという面もあるので、いずれブログを書いてまとめたいです。
自分もずっと仕事でプログラミングをして来ましたが、コンピューターサイエンスを学ぶべきというのは正しいと思います。
前から、フーリエ変換と、プログラミングのソート（SQLのorder by）との関連性については「何かあるのでは無いか」と思っています。
ただ、無制限にコンピューターサイエンスを勧める事が出来ない自分もいます。
プログラミングや設計やプロジェクトマネージメント（以下ソフトウェア開発という）もコンピューターサイエンスの恩恵を受けるべき
それに対し、フーリエ変換などが得意な人（以下数学が得意な人）が、ソフトウェア開発に対して、ためにならない事をやり続けているのは
ベイズ論（因果分析あり） と頻度論（因果分析なし）との長い死闘の1断面と言っていいと思います。
主に2点
１．数学が得意な人が、それと「似ている」ソフトウェア開発に対して片手間的に関与して来て、自分の資格を以て、なんの実績も無しに
ソフトウェア開発での「上級の資格」を無条件に得ようとする事です。
それを実現するために、数学と相性の良い、ソフトウェア開発が抱える問題のサブセットを切り出し、そうでない問題は、問題が悪い
２．数学が得意な人が、それと「似ている」ソフトウェア開発に対して真剣に取り組み、相当の時間をかけて「プログラミング」や「設計」
や「プロジェクトマネージメント」について、自分だけでかなり体得し、
その過程でプログラミングなどの実務はやっていない（実質的に同等の事をやっているにも関わらず）という事実をもって、
（たとえば）「プログラミングなんて不要だ、自分がその実例だ」といって信奉者を集めるのです。（それは自分が天才なだけでは）
１．ですが、原因があります。人間は「似ている仕事では手を抜く」という性質です。
一番身近な例として、プログラミングと設計があります。似ている仕事ですが、プログラマーとしての自分が現役の頃は絶対に設計は
させてもらえませんでした。逆も真でしょう。もちろんプログラミングの経験は設計に生きると思いますが、
コンバートするには前職の匂いを消し去り、手を抜かない様な心構えを持ってから出ないとダメだと思います。
数学が得意な人は現役の内は、似ている分野のソフトウェア開発では手を抜くでしょうし、逆も真だと思います。
２．ですが、そういう天才は、プログラミングと同等の事を、自分だけで体系化出来、実績も上げます。信奉した人間はたまったもの
では無いと思います。
「努力してパーティーに出席した人間には、ウェイターしか道が無かった人間の事は分からない」のも人間の性質です。
