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はてなキーワード: アインシュタイン方程式とは
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
シュワルツシルト半径（シュワルツシルトはんけい、英語: Schwarzschild radius）とは、ドイツの天文学者、カール・シュヴァルツシルトがアインシュタイン方程式から導出した、シュワルツシルト解を特徴づける半径である。シュヴァルツシルト半径やシュバルツシルト半径とも表記される。
1916年、カール・シュヴァルツシルトはアインシュタインの重力場方程式の解を求め、非常に小さく重い星があったとすると、その星の中心からのある半径の球面内では曲率が無限大になり（下記にあるように、現在はこの考えは誤りとされている）、光も脱出できなくなるほど曲がった時空領域が出現することに気づいた。その半径をシュワルツシルト半径 (英語: Schwarzschild radius) または重力半径と呼び、シュワルツシルト半径よりも小さいサイズに収縮した天体はブラックホールと呼ばれる
シュヴァルツシルト（Schwarzschild）は、ドイツ語圏の姓。 「黒い盾」を意味する。 シュワルツシルト、シュバルツシルトとも。 カール・シュヴァルツシルト - ドイツの天文学者。
心残りがある。
ホッジ作用素とか、アインシュタイン方程式、群環体、微分幾何、集合と位相くらいは理解した（つまり、e-MANや物理のかぎしっぽくらいのサイトを眺めるレベル）
でも、
って感じの、学部中級レベルしか物理や数学は理解できていない。
東大まで行って、これかよっていう。
ってか、工学系でも、これらの知識使ってるところは使ってる研究室あって、普通に研究してるわけで。
自分がいた研究室は、そんなに高度な数学も物理も使わなかった。せいぜい、微分幾何学とかチョロっとだけルベーグもあったかなーくらい。ほとんど何もまともな頭を使う議論はなかった。ルベーグってのも、別にルベーグじゃなくて、ノルムがどうこうでちょろっと。
物性系なら、超電導とか相転移とか。あるいは、核物理とかなら、普通に素粒子とかで数学バリバリできたんかなあ。
もう就職しちゃったけど、博士やれるなら、純粋数学か、素粒子物理やりたいなあ。。。
Fラン私立大卒業後、しばらく資格職で働いたのちに、30歳目の前で東大理系院に潜り込んだ。
学部はド文系だったため、入試に受かるか不安だったが、あっさり受かった。
働いていて、こんなものが世界なのかと、人付き合い含めて嫌になっていた。
理系に関して憧れがあった。技術で人間は救われるんじゃないかと思った。
研究分野に関していえば、さらに絶望が深まった感があるんだけど。
まず、入学当初に期待していた数学や理論物理に関しては、少しガッカリだった。
東大の数学科や理論物理科（数理科学院）の研究を眺めたが、これらが直接世界をよくするイメージがイマイチわかなかった。
もちろん、カラビヤウだの、ヤンミルズだの、M理論だのはあまりわからなかったニワカで語っている。
しかし、代数幾何や数え上げ幾何やルベーグ関数解析、アインシュタイン方程式くらいは理解した。
もう少し勉強すれば深い感動はあったのかな？
一方で、予想していなかった分野では感動がたくさんあった。
情報幾何学、材料物性、光学、計算化学といった、実学のちょっと先の分野が大変面白いと思った。
数ヶ月ごとに、これまでの人類が刷新される成果がガンガン出てくる。
パワー半導体や、レアアース採掘、電池やエネルギー技術は、本当に２、３年でドンドン人類が根本的に変わる発明や実用化がガンガン出る。
このような分野を普通に理解できるようになったのは本当に楽しい。(別にこのくらいを楽しむ程度なら、東大行かなくても、youtubeで勉強とかでも最近ではいいのかもしれないけど正直)
こんなに東大生というのはチャンスがあるのだなと感動しっぱなしだったし。
いわゆる最先端というか、未来を変えうる技術を少しできるようにしたくらいの成果はできた。
また、この分野の研究や成果をどうやって作るのかの知見も得られた。
自分は、社会人に戻ったが、あの日々の経験は自分にとっては、「生きててよかった、世界は間違いなく変わる」ことを実感させてくれた。
技術が作る未来を見たいし、そこに、自分のようなブサイクで生きる価値のないキモい人間も生きていられる世界ができる気がするし、自分でも世界を作れると感じられるから。
ネットではもう水伝とか江戸しぐさと同レベルのトンデモ扱いされている「掛け算の順序」について思うこと。
いわく、小学校で習った「みちのり・はやさ・じかん」などのシンプルな公式は
光速に近いようなメッチャ速い速度の中では通用せず、
かわりになにかアルファベットだらけの難しい式を使わなければならないのだと。
たとえば小学校の算数では、時速200kmで走る新幹線の中で進行方向に時速150kmの野球ボールを投げたら、
進行方向の逆に投げれば、外から見れば時速50kmのボール、というように
速度と速度は単純に足したり引いたり出来ると教わったが、
光速の数パーセントというオーダーの世界では、それは正しい答えにならないのだ。
幼い俺は「ん？」と思った。
だけど、新幹線だってボールだって、どんなに遅いと言っても光速の0.00000000...
とにかく「光速の何パーセントかの速度」には違いないではないか？
そうだとすれば、その速度同士を足し引きするのも、厳密には間違いということになるのでは？
解説を参考にしながらボールと新幹線を代入して、自分で計算してみた。
結果は……普通に足し引きするのとほぼ変わらない答え。俺は感動した。
同じひとつの方程式が、人間の日常レベルから光速までカバーできるなんてすごい。アインシュタインは天才。
ここから本題。
小学生に速度の計算を教えるとき、光速付近で不正確になってしまう古典物理学のやり方ではなく、
いずれ形而上的な「数」そのものを扱わねばならない学年になったときの足枷になったら困るからと、
「３つの袋それぞれに飴が５つずつ」式の、物理的実体と紐付けた説明は、最初から一切禁じるべきか？
これを使わず数字と数字の間にあるバッテンの意味を教えられる自信ある？ 小学生にだよ？
そして、これを使って教える限り、３×５ と ５×３ は、
たとえ計算結果は同じでも「式の”意味”が違う」と言わざるをえなくなる。
はっきり言って掛け算順序否定派は、人間の理解能力には発達段階があること、
子供相手に最初から全部を教えるのは無理だし、そうする必要もないこと、
前はこう教えたが実はちょっと違うんだ、と説明を覆して拡張していくのは
やり方次第であってべつにタブーではないこと、をわかっていないと思う。
実際俺は、くだんの本を読んだあとも「先生は不完全な計算法を教えていた！」なんて思わなかったし、
算数のテストでみんなが足し算している中で一人だけアインシュタイン方程式を使ってたらマルもらえなくてもしょうがないと思う。
終わり。
フルメタル・パニックのテレサ･テスタロッサ。16歳で大佐で天才少女。6歳でアインシュタインの十元連立非線形偏微分方程式の厳密解を解いたという設定。
で、「アインシュタインの十元連立非線形偏微分方程式の厳密解」って本当にあるんかいな？と、思ったのだが・・・ちゃんとあるんですね。普通は、10元連立非線形方程式、なんて長ったらしくは言わず、単に「アインシュタイン方程式」というらしいが。
http://ja.wikipedia.org/wiki/一般相対性理論#.E4.B8.80.E8.88.AC.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E6.80.A7.E7.90.86.E8.AB.96.E3.81.AE.E5.86.85.E5.AE.B9
で、「10元連立」って書いてあるぐらいだから、10本式があるのかと思ったら、テンソル表記で1つしか書いてない。「4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。」とのことですが・・・このテンソル表記の式が10元連立方程式であることを納得するので10分くらい考えてしまった。物理専門じゃないので、テンソルはちょろっとかじった程度なんだけど、次のような理解でOKなのかな？
要するに、テンソルが対称ということは、添え字μ,νを入れ替えても同じ式ということだよね。4次元空間とあるが、要するにμ, νには、(t,x,y,z)の4種類のうち、どれかが入る。というわけで、添え字の入れ替えを区別せずに列挙すると：
(t,t), (x,x), (y,y), (z,z)
(t,x), (t,y), (t,z)
(x,y), (x,z), (y,z)
の10通り。式で書くなら、4C2+4=6+4=10。で、10通り。
