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はてなキーワード: プランク定数とは
ニュートンの万有引力定数 、光速度、換算プランク定数の3つの基本物理定数を組み合わせて、長さ、質量、時間の次元を持つ量を計算することができる。これらはそれぞれプランク長、プランク質量、プランク時間と呼ばれ、われわれの自然界を特徴付けるスケールとなっており、総称してプランクスケールと呼ばれる。これよりも小さいスケールでの現象は現在の物理学では記述できない。
故に離散でーす
はーいろんぱっぱ😝
「これよりも小さいスケールでの現象は現在の物理学では記述できない」について、「記述できる」とはどういう意味か、なぜ「記述できない」のか、記述できないならばなぜ「離散である」と言えるのか
ブラックホール情報パラドックスは、量子場の理論と一般相対性理論の整合性に関する根本的な問題だ。以下、より厳密な数学的定式化を示す。
量子力学では、系の時間発展はユニタリ演算子 U(t) によって記述される：
|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩
ここで、U(t) は以下の性質を満たす：
U†(t)U(t) = U(t)U†(t) = I
これは、情報が保存されることを意味し、純粋状態から混合状態への遷移を禁じる。
ブラックホールの形成過程は、一般相対性理論の枠組みで記述される。シュワルツシルト解を考えると、事象の地平面の半径 rₛ は：
rₛ = 2GM/c²
ここで、G は重力定数、M はブラックホールの質量、c は光速。
ホーキング放射による蒸発過程は、曲がった時空上の量子場の理論を用いて記述される。ホーキング温度 T_H は：
T_H = ℏc³/(8πGMk_B)
ブラックホールが完全に蒸発した後、初期の純粋状態 |ψᵢ⟩ が混合状態 ρ_f に遷移したように見える：
|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| → ρ_f
ホログラフィー原理は、(d+1) 次元の重力理論が d 次元の場の理論と等価であることを示唆する。ブラックホールのエントロピー S は：
S = A/(4Gℏ)
ここで、A は事象の地平面の面積。これは、情報が事象の地平面上に符号化されていることを示唆する。
AdS/CFT対応は、d+1 次元の反ド・ジッター空間 (AdS) における重力理論と、その境界上の d 次元共形場理論 (CFT) の間の等価性を示す。AdS 空間の計量は：
ds² = (L²/z²)(-dt² + d𝐱² + dz²)
CFT の相関関数は、AdS 空間内のフェインマン図に対応する。例えば、2点相関関数は：
ここで、m は AdS 空間内の粒子の質量、L は測地線の長さ。
量子エンタングルメントは、ブラックホール情報パラドックスの解決に重要な役割を果たす可能性がある。2粒子系のエンタングルした状態は：
|ψ⟩ = (1/√2)(|0⟩_A|1⟩_B - |1⟩_A|0⟩_B)
ER=EPR 仮説は、量子エンタングルメント（EPR）とアインシュタイン・ローゼン橋（ER）の等価性を示唆する。これにより、ブラックホール内部の情報が外部と量子的に結合している可能性が示される。
超弦理論は、ブラックホール情報パラドックスに対する完全な解決策を提供するには至っていないが、問題に取り組むための数学的に厳密なフレームワークを提供している。
ホログラフィー原理、AdS/CFT対応、量子エンタングルメントなどの概念は、このパラドックスの解決に向けた重要な手がかりとなっている。
今後の研究では、量子重力の完全な理論を構築することが必要。特に、非摂動的な超弦理論の定式化や、時空の創発メカニズムの解明が重要な課題となるだろう。
1. 古典力学 (Classical Mechanics):
古典力学では、粒子の運動は時間 t の関数 q(t) で表され、ニュートンの運動方程式を満たすのだ：
q̈ = -U'(q)
ここで、U(q) はポテンシャルエネルギーである。運動方程式は、ラグランジアン L(q) = 1/2q̇² - U(q) に基づく変分問題として再定義でき、作用積分 S(q) = ∫ₐᵇ L(q)dt の極値点として運動を記述するのだ。これは、最小作用の原理とも呼ばれるぞ。
2. 古典場の理論 (Classical Field Theory):
古典場理論では、粒子ではなく、連続的な場 φ(x,t) を考えるのだ。この場は部分微分方程式に従い、例えば波動方程式
□φ = 0
で記述されるぞ。ラグランジアン L(φ) は微分多項式であり、作用積分 S(φ) = ∫_D L(φ)dx dt を極小化することによって運動方程式（オイラー-ラグランジュ方程式）が導かれるのだ。
古典力学と異なり、量子力学では粒子は古典的な軌道を持たず、確率的に動くのだ。ブラウン運動をモデルにして、粒子の位置 q(t) は確率密度
P(q) ∝ e^(-S(q)/κ)
に従い、ここで S(q) = ∫ₐᵇ (1/2q̇² - U(q)) dt は作用、κ は拡散係数である。このような確率的動力学の期待値は、経路積分を用いて計算されるぞ。
量子力学ではブラウン運動モデルを基にしつつ、拡散係数 κ を虚数 iℏ に置き換えるのだ（ℏ はプランク定数）。したがって、量子力学の相関関数は次のように表されるぞ：
⟨q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ)⟩ = ∫ q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ) e^(iS(q)/ℏ) Dq
5. 量子場理論 (Quantum Field Theory):
⟨φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ)⟩ = ∫ φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ) e^(iS(φ)/ℏ) Dφ
ただし、この積分は複素測度に基づくため、数学的に厳密に定義するのが困難であり、理論物理学における重要な課題となっているのだ。
といった式について、素粒子では後者が支配し、天体では前者が支配する。
近距離における強い力のために、電子は原子核に螺旋状に落ち込むが、明らかに事実と違う。
というハイゼンベルグの関係式に従う。このため、r=0となることはなくなり、問題は回避される。
多様体上の楕円型作用素の理論全体が、この物理理論に対する数学的対応物で、群の表現論も近い関係にある。
しかし特殊相対性理論を考慮に入れるとさらに難しくなる。ハイゼンベルグの公式と同様の不確定性関係が場に対して適用される必要がある。
電磁場の場合には、光子というように、新しい種類の粒子として観測される。
電子のような粒子もどうように場の量子であると再解釈されなければならない。電磁波も、量子を生成消滅できる。
数学的には、場の量子論は無限次元空間上の積分やその上の楕円型作用素と関係する。
量子力学は1/r^2に対する問題の解消のために考え出されたが、特殊相対性理論を組み込むと、この問題を自動解決するわけではないことがわかった。
といった発展をしてきたが、場の量子論と幾何学の間の関係性が認められるようになった。
では重力を考慮するとどうなるのか。一見すれば1/r^2の別な例を重力が提供しているように見える。
しかし、例えばマクスウェルの方程式は線型方程式だが、重力場に対するアインシュタインの方程式は非線形である。
また不確定性関係は重力における1/r^2を扱うには十分ではない。
物理学者は、点粒子を「弦」に置き換えることにより、量子重力の問題が克服できるのではないかと試した。
量子論の効果はプランク定数に比例するが、弦理論の効果は、弦の大きさを定めるα'という定数に比例する。
もし弦理論が正しいなら、α'という定数は、プランク定数と同じぐらい基本的定数ということになる。
ħやα'に関する変形は幾何学における新しいアイデアに関係する。ħに関する変形はよく知られているが、α'に関する変形はまだ未発展である。
これらの理論は、それぞれが重力を予言し、非可換ゲージ対称性を持ち、超対称性を持つとされる。
α'に関する変形に関連する新しい幾何学があるが、理解のために2次元の共形場理論を使うことができる。
ひとつは、ミラー対称性である。α'がゼロでない場合に同値となるような2つの時空の間の関係を表す。
まずt→∞という極限では、幾何学における古典的アイデアが良い近似となり、Xという時空が観測される。
t→-∞という極限でも同様に時空Yが観測される。
そして大きな正の値であるtと大きな負の値であるtのどこかで、古典幾何学が良い近似とはならない領域を通って補間が行われている。
α'とħが両方0でないときに起こり得ることがなんなのかについては、5つの弦理論が一つの理論の異なる極限である、と説明ができるかもしれないというのがM理論である。
Xで共有された動画で塾講師の先生が「要領が悪い奴は定数を動かそうとする、変数をどうにかすべき、だからこういうところが数学を学ぶ意味だ」とか言ってんのよ
いいか、数学ってのは公理から演繹的に体系を導き出す「芸術」だ
証明法にもエレガントさってものがあるし、第一、美しくない公理体系は見向きもされない
定数ってのは物理学の話だ。物理学にはプランク定数h、光の速度c、重力定数G、という基本的な3つの定数があるが、たしかにこれらを「動かそう」という話はしない
あるいは数学にもπやeのような定数はあるが、要領の良さとは無関係であり、動かそうという話もない
しかしそれは常識レベルの話だ、「誰も神の力を持っていない」と言うようなものだからだ
線型回帰を適用したら定数項が出るかも知れないが、これは変数に依存しないというだけの話で、データが変われば動く
政治に対しては努力次第で影響を与えられるし、人間関係だってそうだろう
「努力の大きさに見合わないほど、それを動かすのが難しい」という話をしたいなら、残念ながらそれは「定数」の話ではない、むしろ現象が変数に対して持つ感度の問題である
しかし俺がいいたいのはそういうことじゃない。芸術であるはずのものを「要領の良さ」という低俗なトピックに落とし込むその感性が全く同意できないのである
例えばラングランズ・プログラムの先にあるものはなにか、と考えれば、それは驚愕的な数学の繋がりを示すことであり、陳腐とも言える「要領のいい」応用を目指したものではないだろう
要領の良さというのは、要するに経済学の話であり、数学ではない
わかったか？
ガンマ線のことが知りたくてchatGPTに聞いてみた
AI プランク定数と同じ波長の電磁波は存在しません。プランク定数は最小の電磁波エネルギーを表す定数であり、電磁波の波長がこの定数と同じ場合、波長が無限小になり、エネルギーは無限大になります。
俺 プランク定数は非常に小さい値だけど無限小ではないよね、エネルギーが無限大になるというのは矛盾しているのではないか？
AI 申し訳ございます。プランク定数は非常に小さい定数であり、無限小ではありません。また、プランク定数と同じ波長の電磁波が存在しないということも矛盾することです。実際には、プランク定数は最小のエネルギーを持つ電磁波のエネルギーを示す定数であり、波長が無限小になるというよりも、エネルギーが無限大になることはありません。訂正いたします。
横だけど
これは明らかに間違いね。
「3*5がokで5*3が間違い」という「特殊なルール」と、「古典力学は量子力学的に間違い」というのは根本的に違う話。
古典力学は量子力学のh→0の極限であって（hはプランク定数）、互いに無矛盾になるように理論が作られていなければ「間違い」。
h≒0で量子力学を近似すると「半古典近似」というものが出てきて、古典力学の世界と量子力学の世界が滑らかに接続される。
（同じように、相対論などもc→∞の極限(cは光速)で古典力学に接続されなければならない）
もっと言うと、古典力学と量子力学には正準交換関係という深淵な対応があって、「間違い」とかそういう次元の関係ではない。
こういうことを軽々しく言っちゃう奴（自分が分かってないことについて断定的に講釈を垂れちゃう人）は単に馬鹿なので、話を全部無視することをお勧めする。
ちょ、ブックマ増えてるしw
そんなことしたら兄ちゃん改定しちゃうぞっ！
| 0.25 | 1/4 |
| 0.301 | log10 2 |
| 0.477 | log10 3 |
| 0.50 | 2/4 |
| 0.683 | 正規分布において±1σに含まれる確率 |
| 0.75 | 3/4 |
| 0.785 | π/4 |
| 0.954 | 正規分布において±2σに含まれる確率 |
| 0.997 | 正規分布において±3σに含まれる確率 |
| 1 | n/n n0 log10 10 |
| 1.12 | 標準数R20の1番目 101/20の近似 |
| 1.25 | 標準数R10の1番目 101/10の近似 約5/4 |
| 1.41 | √2 一夜一夜 |
| 1.60 | 標準数R5の1番目 101/5の近似 |
| 1.73 | √3 人並みに |
| 2.00 | 21 R10の3番目 |
| 2.24 | √5 富士山麓 |
| 2.50 | R5の2番目 |
| 2.72 | 自然対数の底 e |
| 3 | 12/4 |
| 3.14 | 円周率 π |
| 3.15 | R10の5番目 |
| 4.0 | 22 12/3 R5の3番目 |
| 5.0 | R10の7番目 |
| 6 | 12/2 |
| 6.3 | R5の4番目 |
| 8.0 | 23 R10の9番目 |
| 10 | 十進法の底 |
| 12 | 1ダース |
| 16 | 24 16進数の底 |
| 24 | 2ダース |
| 32 | 25 |
| 36 | 3ダース |
| 48 | 4ダース |
| 60 | 5ダース |
| 64 | 26 |
| 72 | 6ダース |
| 96 | 8ダース |
| 128 | 27 |
| 144 | 12ダース |
| 256 | 28 |
| 1024 | 210 |
| 65536 | 216 |
| 1048576 | 220 |
| 16777216 | 224 |
| -273.15 | ℃ | 絶対零度 T |
| 6.626e-34 | Js | プランク定数 h |
| 0.1013 | MPa | 大気圧 P0 |
| 0.75 | kW | 1馬力の近似値 3/4 |
| 1.38e-23 | J/K | ボルツマン定数 k |
| 1.40 | 乾燥空気の比熱比 κ ちょっと混ざったらしいｗ | |
| 4.19 | J/cal | 熱の仕事当量 J 水の比熱に等しい |
| 7.86 | g/cm3 | 鉄の密度 |
| 9.81 | m/s2 | 重力加速度 g |
| 22.4 | L/mol | 標準状態における理想気体の体積 V0 |
| 25.4 | mm/inch | 1インチの長さ |
| 299792458 | m/s | 光速 c |
| 6.022e23 | mol-1 | アボガドロ数 NA |
他。
「何でこんなことやってるんだろうなあ。」
もう書くことは決まっている雑務の中の雑務をやりながら思った。
窓口に並ぶ老人、それに応対する同僚、それを見て考える。 こいつらは人生満足しているのかなあって。
昔は、３年前までは、とても輝いていた。
世間的にはとても頭がいいとされる分野で、俺は、とても優秀だった。 同学年ではダントツでナンバー１、テスト前はみんなから頼られた学部時代。 先輩達からは「後輩とは思えない。」、教授達からは「是非とも博士に。」、そう言われ続けた修士時代。
天狗になれた。
それはもう自分は頭がいいと思えたし、他の理系の分野を見て「こいつらのやってることは配管工と同じ。」と見下していたし、まさに大天狗だった。
その後博士課程で研究室の意向に反る形で、俺はその分野では日本で一番優秀な大学の博士課程に進学した。
何の躊躇もなかった。 多分自分はそこでも優秀でいられる、将来はポストが少ないかろうが研究職に就ける、と根拠のない自信があった。
でも現実は違った。 世界が違った。
引き離せない同期たち、何人かいる異世界の頭脳の化け物。 鼻は折られた。簡単に折られた。
自信を失った僕は素粒子に対する興味を失った。
いや、違う、僕が興味を持っていたのは、素粒子をやっている自分、素粒子という難しい分野をやっている自分、ただそれに興味があっただけだったのだ。 素粒子なんてものには、修士課程で概観をほぼ学習し終えた時点で興味を失っていた。
正直、世界の構造の探求とか、どうでもよかったのだ。 難しいことをやれていれば。
だから自分に対して向上心を持つことなど出来なくなっていた。輝きは完全に失われた。
その後、僕は役場に就職した。 他に良い就職なんてあるはずもなく、役場しかなかった。 素論崩れにしては上等な就職場所だった。
ここでの仕事ははっきり言ってつまらない。 退屈だ。 でも時間はある。
その時間でついつい考えてしまう。 「もし、もし、あのときこうしていれば・・」なんてことを。
でも、それで導かれる満足な未来は後悔しか生まない。 プライドの塊でしかなかった自分への後悔しか。
僕は典型的理系人だ。 ファッションなんて全く分からないし、女性の友達はいない、男の友達だって少ない。 コミュニケーション能力なんてプランク定数より少ない。当然ノミニケーションなどはむしろ苦痛だ。
そんな自分には同僚が薦めてくれる人生の楽しみ方も全く楽しいものには思えない。
役所に勤め始めて１年経つ。 今日もまた役場に来る人や同僚を見て色々考える。 どうすればまた輝けるのかを。
