■クラインの壺のホモロジー群について

クラインの壺は、二次元の閉じた向き付け不可能な曲面である。

円筒の片方の端をひっくり返して反対側に接続することで構成される。

通常の三次元空間内では実現できない特異なトポロジーを持つ。

クラインの壺のホモロジー群とコホモロジー群は、その代数的特性を理解するための手段である。

クラインの壺のホモロジー群は次のように計算される。

• 𝐻₀(𝐾) ≅ ℤ: これはクラインの壺が連結であることを示す。
• 𝐻₁(𝐾) ≅ ℤ ⊕ ℤ/2ℤ: これはクラインの壺が持つ向き付け不可能性を反映。特に、メビウスの帯を二つ貼り合わせた構造からこの結果が得られる。
• 𝐻₂(𝐾) ≅ 0: 向き付け不可能な曲面であるため、2次元ホモロジー群は消える。

コホモロジー群はホモロジー群に対して双対的な関係を持つ。

• 𝐻⁰(𝐾) ≅ ℤ
• 𝐻¹(𝐾) ≅ ℤ ⊕ ℤ/2ℤ
• 𝐻²(𝐾) ≅ 0

クラインの壺のホモロジー群の計算には、マイヤー・ヴィートリス完全系列が使用されることがある。

クラインの壺を二つのメビウスの帯に分解し、それらの交わりが円にホモトピー同値であることを利用して計算を行う。

クラインの壺の高次元のホモロジー群が消えることが示される。

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