  |
はてなキーワード: 弱い相互作用とは
量子論の幾何学的側面は、数学的な抽象化を通じて物理現象を記述する試みである。
物理的には、SO(3)は角運動量の保存則や回転対称性に関連している。
SU(2)は、2×2の複素行列で行列式が1である特殊ユニタリ群である。
SU(2)はSO(3)の二重被覆群であり、スピン1/2の系における基本的な対称性を記述する。
SU(2)のリー代数は、パウリ行列を基底とする3次元の実ベクトル空間である。
この群は、SU(2)×SU(2)として表現され、四次元の回転が二つの独立したSU(2)の作用として記述できることを示している。
これは、特にヤン・ミルズ理論や一般相対性理論において重要な役割を果たす。
ファイバー束は、基底空間とファイバー空間の組み合わせで構成され、局所的に直積空間として表現される。
ファイバー束の構造は、場の理論におけるゲージ対称性を記述するために用いられる。
ゲージ理論は、ファイバー束の対称性を利用して物理的な場の不変性を保証する。
例えば、電磁場はU(1)ゲージ群で記述され、弱い相互作用はSU(2)ゲージ群、強い相互作用はSU(3)ゲージ群で記述される。
具体的には、SU(2)ゲージ理論では、ファイバー束のファイバーがSU(2)群であり、ゲージ場はSU(2)のリー代数に値を持つ接続形式として表現される。
幾何学的量子化は、シンプレクティック多様体を量子力学的なヒルベルト空間に関連付ける方法である。
これは、古典的な位相空間上の物理量を量子化するための枠組みを提供する。
例えば、調和振動子の位相空間を量子化する際には、シンプレクティック形式を用いてヒルベルト空間を構成し、古典的な物理量を量子演算子として具体的に表現する。
コホモロジーは、場の理論におけるトポロジー的性質を記述する。
特に、トポロジカルな場の理論では、コホモロジー群を用いて物理的な不変量を特徴づける。
例えば、チャーン・サイモンズ理論は、3次元多様体上のゲージ場のコホモロジー類を用いて記述される。
チャーン・サイモンズ理論は、3次元多様体上のゲージ場を用いて構成され、そのトポロジカル不変量を計算する。
といった式について、素粒子では後者が支配し、天体では前者が支配する。
近距離における強い力のために、電子は原子核に螺旋状に落ち込むが、明らかに事実と違う。
というハイゼンベルグの関係式に従う。このため、r=0となることはなくなり、問題は回避される。
多様体上の楕円型作用素の理論全体が、この物理理論に対する数学的対応物で、群の表現論も近い関係にある。
しかし特殊相対性理論を考慮に入れるとさらに難しくなる。ハイゼンベルグの公式と同様の不確定性関係が場に対して適用される必要がある。
電磁場の場合には、光子というように、新しい種類の粒子として観測される。
電子のような粒子もどうように場の量子であると再解釈されなければならない。電磁波も、量子を生成消滅できる。
数学的には、場の量子論は無限次元空間上の積分やその上の楕円型作用素と関係する。
量子力学は1/r^2に対する問題の解消のために考え出されたが、特殊相対性理論を組み込むと、この問題を自動解決するわけではないことがわかった。
といった発展をしてきたが、場の量子論と幾何学の間の関係性が認められるようになった。
では重力を考慮するとどうなるのか。一見すれば1/r^2の別な例を重力が提供しているように見える。
しかし、例えばマクスウェルの方程式は線型方程式だが、重力場に対するアインシュタインの方程式は非線形である。
また不確定性関係は重力における1/r^2を扱うには十分ではない。
物理学者は、点粒子を「弦」に置き換えることにより、量子重力の問題が克服できるのではないかと試した。
量子論の効果はプランク定数に比例するが、弦理論の効果は、弦の大きさを定めるα'という定数に比例する。
もし弦理論が正しいなら、α'という定数は、プランク定数と同じぐらい基本的定数ということになる。
ħやα'に関する変形は幾何学における新しいアイデアに関係する。ħに関する変形はよく知られているが、α'に関する変形はまだ未発展である。
これらの理論は、それぞれが重力を予言し、非可換ゲージ対称性を持ち、超対称性を持つとされる。
α'に関する変形に関連する新しい幾何学があるが、理解のために2次元の共形場理論を使うことができる。
ひとつは、ミラー対称性である。α'がゼロでない場合に同値となるような2つの時空の間の関係を表す。
まずt→∞という極限では、幾何学における古典的アイデアが良い近似となり、Xという時空が観測される。
t→-∞という極限でも同様に時空Yが観測される。
そして大きな正の値であるtと大きな負の値であるtのどこかで、古典幾何学が良い近似とはならない領域を通って補間が行われている。
α'とħが両方0でないときに起こり得ることがなんなのかについては、5つの弦理論が一つの理論の異なる極限である、と説明ができるかもしれないというのがM理論である。
単細胞生物や単純な多細胞生物に見られるような、基本的な感覚能力を持つ。
刺激に対する反応、光や温度の変化の検知など、限られた情報処理能力を持つ。
過去の記憶や将来の計画を立てることができ、感情や感覚を経験することができる。
意識レベルに加え、複雑な社会構造を形成し、他個体と協力したり競争したりする能力を持つ。
社会的知性レベルに加え、宇宙や生命の起源について理解し、他の惑星や文明と交流する能力を持つ。
意識を構成する条件がなく、意識が意識のみで成り立ち、電磁相互作用、重力相互作用、強い相互作用と弱い相互作用の制限から解放されている。
はてなブックマーク - ノーベル賞受賞の梶田隆章教授、NEWS小山慶一郎に「意味が分からない」 - ライブドアニュース
において「ニュートリノ振動は役に立つのか？」が話題になっていました。
以下に個人的な考えを述べます。できる限り誠実に書いてみます。
まずはニュートリノ振動がノーベル賞を受賞した理由を振り返ってみましょう。
研究者達は世界の全てを記述する究極理論を目指しています。その理論においては自然界における４つの力、重力、電磁気力（電場＋磁場）、強い力、弱い力を統一されているはずだと考えられています。
1970年代に電磁気力と弱い相互作用の統一まで完成し、現在では強い相互作用を記述する量子色力学とあわせて標準理論と呼ばれています。そしてこの後、人類は長い停滞期を迎えました。標準理論は実験と合いすぎたのです。
人類はこれまで実験により理論の破れを見つけ、それをヒントにして次の理論を作り上げてきました。マイケルソンモーリーの実験は相対論に、光電効果の実験は量子力学へと繋がりました。標準理論を超えて大統一理論に進むには理論の破れを見つける事が不可欠なのですが、長い間それを見つける事ができませんでした。こんな中で唯一見つかった標準理論の破れ目がニュートリノ振動だったのです。現在私たちの手にする数少ない、 beyond the standard model へ繋がる鍵と呼べるでしょう。
以上より「ニュートリノ振動は何の役に立つのか」は「大統一理論は何の役に立つのか」に言い換える事が出来るでしょう。
しかし残念ながら大統一理論は（候補は日々研究されているものの）まだ完成もしていません。これはちょっと早すぎる質問でしょう。その前にまずは現在の素粒子理論——標準理論は役に立つのか？ を考えてみることにしましょう。
実をいうと僕は素粒子理論は実社会には全く役に立たないのではないかと思っていました。
ところが癌医療への応用や火山研究への応用、加速器の副産物といえる放射光を利用した品種改良や材料開発といった産業利用が次々と成されるのを見て心の中でジャンピング土下座をしました。
いや、僕が「素粒子は役に立たない」と考えたのは単に僕に才能がなかっただけであって、世の中には僕の思いもよらない利用法を考えつくすごい人達がたくさんいるのだと思い知らされました。
ここでようやく表題に戻るのですが、「ニュートリノ振動は役に立つのか？」「大統一理論が完成したとしてそれは役に立つのか？」といった質問に僕なりに誠実に答えてみると以下のようになります。
「正直に言うと僕には役に立つようには思えないし、どう使われるかも全く想像つきません。そして役に立たないと言い切る自信もありません。」
「ただ、これまでの歴史を振り返ると誰かが利用法を考えるかもしれません。世の中には凄い人たちがたくさんいるのですから」
これだけだと誠実じゃないと思ったので追記します。
仮に大統一理論が完成したとしてもお金にはなりません。理論や定理を使う上で特許料は発生しないからです。研究成果は世界に公開されます。
