■量子幾何学概要

非可換幾何学

非可換幾何学は、空間の幾何学的性質を非可換代数を通じて記述する理論である。ここでは、空間を古典的な点集合としてではなく、代数的な対象として扱う。

• C*代数: 非可換幾何学の基盤を成す構造であり、複素数体上のバナッハ代数 A で、共役作用素 * を持ち、以下の条件を満たす。

∥ab∥ ≤ ∥a∥ ∙ ∥b∥, ∥a*a∥ = ∥a∥²

ここで、∥·∥ はノルムを表す。この代数のスペクトル理論を通じて、空間の幾何学的性質を解析する。

• スペクトル三つ組: (A, H, D) の形で表される。ここで A は C*代数、H はヒルベルト空間、D は自己共役作用素（ディラック作用素）である。この三つ組を用いて、非可換空間の幾何学的構造を記述する。

量子群

量子群は、リー群の代数的構造を量子化したもので、非可換幾何学や統計力学において重要な役割を果たす。

• ホップ代数: 量子群の代数的枠組みを提供する。代数 A に対して、余積 Δ: A → A ⊗ A、余単位 ε: A → ℂ、対心 S: A → A が存在し、以下のホップ代数公理を満たす。

(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ, (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ

これにより、量子群の代数的対称性を記述する。

トポロジカル量子場理論 (TQFT)

トポロジカル量子場理論は、トポロジーと量子物理を結びつける理論であり、コボルディズムの圏における関手として定義される。

• アトヤ・セガール公理: n 次元TQFTは、(n-1)次元閉多様体の圏からベクトル空間の圏へのモノイド関手として定義される。具体的には、(n-1)次元閉多様体 Σ に対し、ヒルベルト空間 H(Σ) を対応させ、n次元コボルディズム M に対し、線形写像 Z(M): H(∂M_in) → H(∂M_out) を対応させる。

量子コホモロジー

量子コホモロジーは、シンプレクティック多様体のコホモロジー環を量子化したもので、フロアホモロジーを用いて定義される。

• 量子積: 古典的なカップ積を変形したもので、次のように定義される。

a *_q b = a ∪ b + Σ_{d>0} q^d ⟨a, b, γ⟩_d

ここで、q は形式変数、⟨a, b, γ⟩_d は次数 d のフロアホモロジーによる量子補正項である。

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