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はてなキーワード: 線形とは
もともと女性一般から広くモテたいとか、誰でもいいからセックスをしたいとかさせてほしいとか、社会から魅力的な男性として認められたいといった願望はない。俺が惚れた女がたまたま俺に惚れてくれないという状況がン十年続いているだけだ。しかし世間一般ではその状況こそ恋愛弱者とされているのだろう。俺からしてみれば弱者という自覚などないしこうした現状を特に気に病んでもいないが、うるおいのない人生であることもまた事実だ。たしかに人生はパサパサだ。顔は脂でネチョネチョしているが。さて、独り身の男がうるおいのない人生に慰めを見出すとしたら？ もっとも手軽な手段は読んで字のごとく自慰である。というわけで、ここから先はオナニーの話をします。恋愛弱者論は出てきません。お引き取りください。
100%イマジネーションだけで登頂できる程度にはまだ元気な私だけれど、もちろんよいおかずがあればそれに越したことはない。私の世代の男性はさまざまなおかずで食事をしてきた。うつろいゆくエロメディアの変遷をすべて経験してきた。いや、ピンク映画は経験してないか。まあいい、それはさておき、自宅の電話線に通信モデムが接続されるまでの長い長い間、私の主食は紙媒体だった。エロ本、エロ小説、エロマンガである。劇画タッチの暗くて薄汚いエロマンガに代わってアニメ調のかわいらしい絵柄の美少女エロマンガ雑誌が続々登場し、それに夢中になったりもした。アダルトビデオもすでに文化としては大輪の花を咲かせていたが市場的にはレンタル専用の位置づけで、日々の主食とするにはコストがかかりすぎるごちそうだった。どんなに気に入った作品でもレンタルは返さなければいけないし、セル用ＶＨＳともなると１本が１万円以上したのだ。
こうしたおかず環境はインターネットの登場で激変し、通信環境やパソコンの処理能力の向上でもう一度激変した。このあたりの変遷はくだくだしく振り返る必要はないだろう。かつて、何世代ものダビングを経て裏か表かすらよくわからなくなった飯島愛のビデオに目をこらしていたことを考えると、常時接続のネット回線からフルハイビジョンの無修正動画が無料でドバドバ降ってくる現代の状況は「隔世の感」などという月並みな言葉では語り尽くせない感慨がある。「この世の春」が少し近い。
もっとも、この変化はあくまでも量的な変化に過ぎない。ガビガビの飯島愛とフルハイビジョンの七沢みあの違いは、端的には解像度と入手性だけであり、メディアとしての質的な差はないと言える。どっちも同じ動画だ。そこには、かつてエロ本（静止画）に代わってエロビデオ（動画）が登場した時のようなパラダイムシフトはない。作品の内容についても同様である。80～90年代のＡＶに比べると現代のＡＶは内容がめちゃくちゃに高度化していて、とんでもない美人がとんでもなくエロいことをとんでもない演技力でやってのける時代になったが、これとても地道に連続的に向上していった結果であり、その間に何か飛躍があったわけではない。
この先もこういう線形な向上がひたすら続くんだろうな、と俺は思っていた。モデルはますます美人になり、エロ演出はますます洗練され、解像度は4K、8K、16Kとますます向上し……そのうちテレビも買い換えなきゃだな、と。この先に非線形な、飛躍をともなうパラダイムシフトが起こるとは思っていなかった。
ところが2016年になってそれは起こった。アダルトＶＲの登場である。
それはまさにパラダイムシフトだった。静止画が動画になったあのパラダイムシフトさえ超える革命だった。初めてアダルトＶＲを見たとき、「これは今までのＡＶとはまったく異質なものだ」と私は確信した。
ＶＲゴーグルをかけて再生を始めた時、自分は行為の「当事者」になっていた。それまでのＡＶでは（一人称視点モノであっても）自分はあくまでも「傍観者」だった。見慣れたハウススタジオで繰り広げられている知らない誰かと誰かの性行為を神の視点で眺めるだけの傍観者だ。男優の求めに応じて、あるいは自発的に女優が行う行為の淫靡さ大胆さ、背徳さや不潔さ、それを傍観して興奮するのが従来のＡＶだ。ＡＶ嬢は裸になるのが当たり前だし、裸になるまでのチンケな三文芝居など早送りするしかない。
しかしアダルトＶＲはそれとはまったく違った。なぜか間取りをうっすら知っている家の中に自分はいて、目の前にはめちゃめちゃきれいな女の子がいる。冬服に変わったばかりで今タンスから出してきたようなブレザーの制服を着ている。樟脳のにおいがしてきそうだ。その子がこっちを向いて「うふふっ」と笑う。こちらもつられてつい笑ってしまう。「ンフッ」 今までＡＶを見ていてそんなことがあったか？ 俺はなかった。画面の中で何が行われていても、握力と緩急の調整こそすれ、表情は真顔のままだったと思う。
驚くべきは女優たちの演技力だ。アダルトＶＲは基本的に「女優の一人芝居」である。自分役の男優はいるがただの木偶であり、ストーリー進行はすべて女優の演技に任されている。女優たちはこれを見事にしてのけるのだ。イッセー尾形とまでは言わないが、正直私はＡＶ女優たちがここまでちゃんとしたお芝居をするとは思っていなかった。また、そのくらいアダルトＶＲは女優の演技力が重要なジャンルなのだった。棒読み学芸会の芝居だとまったく白けたものになってしまうのだ。結果として、ただかわいくてスタイルがいいだけの女優ではなく、きちんとお芝居のできる女優が日々発掘され、適性が見いだされ、人気を得て活躍していくようになった。
一人称ＡＶというジャンルは古くからあるが、久しくマイナージャンルであった。しかしここへきて一人称ＡＶは突然業界のどセンターに据えられることになったのだから世の中わからないものである。
一人称という形式により、２Ｄでは早送りしていたような行為前後のたわいもないドラマシーンががぜん意味を帯びてきた。この女性は下宿の美人管理人さんで、俺はしがない浪人生。この女性はかわいい妹で俺はモテない兄貴。この女性は神待ちＪＫで俺は一人暮らしの冴えないおっさんリーマン。２Ｄではわりとどうでもよかったそんな設定がいちいち重要になってきた。その設定に没入すればするほど、目の前の女性が服を脱いだ時の衝撃と興奮が大きいのだ。もし美人教師やかわいい看護婦さんが「現実に」目の前で服を脱ぎだしたら、誰だってびっくりするでしょう？
風呂上がりでバスタオルを胴に巻いただけの妹が俺のほうに上半身をのり出してきて、急にまじめな顔になって聞く。「ねえおにいちゃん、そらのおっぱい見たい？」俺はあまりのことに声も出せずただブンブンと首をタテに振るしかできなかった。「ほら！」バスタオルの前が勢いよく開かれた。椎名そらの、いつもＡＶで見ていたあこがれの椎名そらの、あの白くてすべすべしてふっくらとまろやかで、ぷにぷにと弾力のあるかわいい乳房が、俺の目の前でぷるんと揺れた。「あっ、あっ…！！」人は感極まるとカオナシみたいな声が出てしまうことを知った。「興奮する？」「うん…する…する！」思わず答えていた。
目の前に素敵な女の人がいて、自分を信頼して親密に身を寄せてきてくれるあの幸福感が脳を満たす。「幸せ物質」みたいなものがあるとしたらそれが体中を駆けめぐる感じ、２ＤのＡＶでは決して味わうことのないゾクゾクする感じがアダルトＶＲにはあった。もちろん相手が生身の女性だったらその歓喜はもっとずっと大きいはずだが（長いこと感じていないのでどのくらいか忘れてしまった）そんなことはもうどうでもいい。少なくとも２Ｄにはそれがなく、ＶＲにはそれがあるのだ。
心通じ合うパートナーがいなければこの先ずっと得られないと思っていたあの歓びを、わずかでも擬似的にでも感じることができたし、ゴーグルをかければいつでも感じることができる。そしてこの先まだまだＶＲゴーグルの性能は向上するし、きっと動画の解像度も上がっていくだろう。素晴らしいじゃないか。コロナにおびえながらキャバクラや風俗に通わなくてもいい。俺はもう、大丈夫だ。これさえあれば、アダルトＶＲさえあれば大丈夫だとわかった。生きていける。
私も似たような所にいたのでデジャブかと思った。ただ俺の場合は某大手メーカー。
ディープラーニングをこき下ろして自分たちのAIがより優れていると宣伝するのはどこの業界も同じなんだな。
某大手メーカーの研究所で作られたそのAIは「ディープラーニングのような旧世代の単純なものではなく、次世代の汎用人工知能」といった触れ込みで
AI事業をやっている我々SE部隊の所に降りてきた。AI事業というとかっこいいが、その中のSEは基本的に技術的なことはわからずITゼネコンの頂点として
PMをやっているような人たちが大半を占めるため、「技術的に顧客価値につながるか」ではなく、「顧客をその気にさせるパワポが用意されているか」の
ほうがよっぽど重要だった。また開発した研究所の方も、主任研究者だけは「そのAIすごい！」って心から信じてたみたいだが(笑)、
おそらくその他の研究者は詐欺っぷりには気づいていたと思う。でも「どうせSE土方共にはばれないだろｗ」という感じで押し付けてきた感あった。
その主任開発者の態度はまさに同じだったね。「なんでもできます。でも『チューニング』の必要があるのでPoCの費用はいただきます。」
という感じ。俺はそれをそのままスルーして客に伝えると「かの有名な○○さんがそういうならそうなんだな！」という感じで客は納得し、
数M～数百Mの金をポンと出す。PoCバブルの2018年頃はそんなボロい商売がいっぱい転がっていた。
しかし、このAIの中身は単に線形回帰程度しかしていないポンコツであり、ディープラーニングと比べるのもおこがましい代物。
「チューニング」といわれるものは実は有効な特徴量などを頑張ってSEや平の研究者が死にものぐるいで見つける作業であり、
全然「チューニング」レベルの話ではない。完全にカスタムAIをSIで作るような作業だった。しかも適当な特徴量でもある程度良い成果を出す
LightGBMやDeep Learningの使用は禁止され、ポンコツAIでも良い成果を出すような特徴量を見つけるという縛りプレイだった。
さらにアルゴリズムの部分がしょぼいだけではなく、エンジニアリングの部分もひどいものだった。
企業のソフトウェアプロダクトというのは開発した人ならわかるだろうが、一部のスーパープロダクトを除いて、正直コードやロジックは大したことがない。
でもテストは少しはしていてドキュメントは揃ってなんとか動くとか、使うための人力サポートは用意しているとか、最低限顧客を
ところが、だ。このAIに関してはデータサイエンス・アルゴリズムだけでなくソフトウェア・エンジニアリングの酷さもすごいものだった。
簡単なメモがあるだけでドキュメントはほぼ皆無、データを食わせると3回に1回はまともに動かない、非公開とゴネられたので
無理やり引っ張り出したコードを見ると大学生が卒検のために書きなぐったようなコード。おまけに「アルゴリズム」という名のくせに計算量解析すら
されていないロジック（そのため特定のサイズや値のデータを入れるとハングする）。
ここで疑問に思うのは「なぜこんなポンコツAIが全社的代表プロダクトになれたのか」であろう。
とにかくポンコツであることはひた隠しにして「次世代の汎用人工知能」というブランディングだけを
ひたすらフロントを使って確立させた事が大きい。さらに開発者は徹底的に外部の雑誌を避け自社の雑誌にのみ論文を大量に投稿し、
社外成果は特許、プレスリリース、雑誌のインタビューに絞ることでプレゼンスを上げるということをやっていた。
（当然だがディープラーニングより優れているなんて社外の学術雑誌に投稿しても「は？またトンデモ論文か」と言われてRejectされるだけである）
そしてこれこそがITゼネコンの真髄とも言うべきところであるが、子会社に専門部隊を作りいつでもそのAIを使ったビジネスをReady状態にする
社内体制づくりをしっかりやったところが大きい。例えばPFNあたりが「うちすごいAIあるんすよー」っていってよくわからん若造（実は東大IS Dr.）
とかが出てきて専門用語を並べ立てたりすると、古い企業からすれば「（どうも信用ならん・・・ほんとにコイツら仕事できるのか？）」となるだろう。
しかし、スーツをビシッと決めた営業と多少技術もわかるSE（もちろんスーツ）が来て、アルゴリズムの説明は一切なく、「ビジネスにどう効果があるのか」
「エンドユーザーへのインパクト」「金銭的効果」など一般人にわかりやすいパワポで説明し、来週から定例会議や進捗会議などPM面もおまかせ、
ふわっとした状態からの要件定義でもやってみせます！といわれる「（これは・・・いける！！）」となるのである。
また2018年あたりは顧客の方も偉い人から「AI使ってなんかしろ」という予算枠だけ用意されたふわっとした状態なので優れたアルゴリズムを使いたい
わけではなく、「AIを使ってビジネスしてます感」が重要なので、ここに刺さったのが大きかったね。
一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。
もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。
本稿を通して、kは代数閉体とする。
i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]
を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム
Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))
と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。
与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。
定義:
Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが
f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]
により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。
例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、
dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n
∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))
であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。
∴ dim(O_{E}(np)) = n
n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。
この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。
与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。
定理(Cartan-Serre-Grothendieck):
XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、
i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0
定理(Nakai-Moishezon):
Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、
D^dim(Y).Y＞0
kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は
E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...
と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。
このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、
・[Y] = [Q×Z] + [R]
・dim(R)＜dim(Z)
が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。
dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。
このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。
定理:
各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は
f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}
と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。
Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。
定理(Hilbert):
Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。
以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。
定理(Hilbert):
寿司打 値段21840 平均キータイプ数6.8 正しく打ったキーの数1140 ミスタイプ数17 前日比-760
https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome はじめた
教師あり学習：サンプルデータとそれに対するラベルが与えられる。
回帰問題は連続する値を扱うもので、分類問題は離散的な値を扱う。
教師なし学習は特徴に応じて集まりに分けることができる。その集まりがどういう集まりかまではわからないけど。
回帰学習は訓練データが与えられると学習して、仮説関数を求める。仮説関数の名前は慣習的なものらしくて仮説という言葉を深く考えなくていいらしい。
線形的な仮説関数が出てくるものは線形回帰、しかも一変数なら単回帰という。
集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。
K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。
C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である。
L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)が存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。
そのような多項式が存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。
なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式
X^2 -(z + z*)X + zz* = 0
の解だから。
Kを体とする。K上の任意の多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで
と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のものが存在し、Fの（最小）分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である。
LをFの分解体とする。Lの部分環Vを
K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))
の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるから、aiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元のベクトル空間である。
Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像は全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である。
Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである。
さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないものが存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□
L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限次代数拡大という（上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である）。
M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。
α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。
[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つものが存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。
Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。
任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。
L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。
L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。
[L : K] = 2なので、α∈L＼Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。
α∉Kより、K⊕KαはK上2次元のベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。
σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□
C/RはGalois拡大。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。
L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである。
K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式が重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。
nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 ＜ m ＜ n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式が重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。
体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。
F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。
実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。
L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。
K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。
部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。
逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。
次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。
L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。
- H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
- K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
- 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大（L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大）であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。
K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである。
この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。
和田秀樹らによるいわゆる「暗記数学」の要点をまとめると、以下のようになるだろう。
これは従来、数学の入試問題を解くのに必要なのが曖昧模糊とした「ひらめき」や「才能」だと思われていたことへのアンチテーゼである。「暗記」という語はその対比であり、特別な才能がなくとも、基礎事項を確実に習得することで、入試を通過できる程度の数学力は身に付くことを主張している。
そもそも、大学入試は大学で研究をする上で重要な知識や考え方の理解度を問うているわけであって、徒な難問を出して受験生を試しているわけではない。したがって、そのような重要事項（つまり、教科書の基礎事項や、数学を活用する上で頻繁に出てくるような考え方）を身に付けるのが正攻法である。
そのための教材としては、エレガントな別解や難問に拘ったものよりも、基礎事項や入試頻出の問題を網羅したスタンダードなものが良いとされる。
これはいわゆる解法暗記である。なぜ、具体的な実例を学ぶのかと言えば。数学に限らず、具体的な経験と関連付けられていない知識は理解できないためである。
実際、教科書を読んだばかりの人の多くは、自身の知識と入試問題との間にギャップを感じる。たとえば、ベクトルの内積の定義や線形性等の性質を知っただけでは、それを幾何学の問題に応用するのは難しいだろう。教科書を読んだばかりの段階というのは、将棋で喩えれば駒の動かし方を覚えただけのようなもので、実戦で勝つのは難しい。実戦で勝つには、定跡や手筋のような、ルールだけからは直ちに明らかではない、駒の活用法を身に着ける必要がある。
将棋の定跡を初心者が独自に発見するのが難しいのと同様に、数学の自明でない実例を見出すことも難しい。そのほとんどは歴代の数学者が生涯をかけて究明してきたものなのだから、当然である。しかし、現代の高校生には既に教科書や入試問題がある。特に入試問題は、数学の専門家が選りすぐった、良質な実例の宝庫である。受験生はこれを通じて数学概念の活用のされ方や、論理の展開等を深く理解するべきである。
そしてこれは、大学以降で数学や工学を学ぶ際も同様である。特に、大学以降の数学では、抽象的な概念が中心になるため、ほとんどの大学教員は、具体的な実例を通じて理解しているかを非常に重んじる。たとえば、セミナーや大学院入試等では、以下のような質問が頻繁になされる。
教科書の記述や、解いた問題は完全に理解すべきである。つまり、
といったことを徹底的に自問するべきである。自分の理解が絶対に正しいと確信し、それに関して何を聞かれても答えられる状態にならなければいけない。「微分で極値が求まる理屈は分からない（或いは、分からないという自覚さえない）が、極値問題だからとりあえず微分してみる」というような勉強は良くない。
そして、理解できたと思ったら、教科書の一節や問題の解答を何も見ずに再現してみる。これはもちろん、一字一句を暗記するということではなく、上に書いたような知識が有機的な繋がりを持って理解できているのかを確認することである。ある事実が、どのような性質を前提としていて、どのように示されるのかという数学のストーリーを理解していれば、何も見ずともスラスラ書けるはずだ。
また、問題を解く際は、いきなり答えを見るのではなく、一通り自分で解答を試みてから解答を見ることが好ましい。実際に手を動かすことにより、分かっている部分とそうでない部分が明確になるからである。
以上のことは、何も受験数学に限った話ではない。他の科目でも、社会に出て自分で調べたり考えたりしたことを他人に発表するときでも同様である。
要するに、数学の専門知識と社会的常識のある人は暗記数学に賛成しているようだ。
逆に、反対している人。
反対しているのは、金儲けが目的で目立つことを言っているか、何かをこじらせて勉強法に無駄な拘りを持っている人たちのようだ。
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思うに、アンチ暗記数学派というのは、精神の根底に以下のような考えを持っているのではないのだろうか？
一部の人は、大学入試では「ひらめき」「発想力」「頭の柔らかさ」「地頭の良さ」などを試すために敢えて典型的ではない問題を出しているとか、「天才」を発掘するために常人には解けないような難問を出題していると思っているのかも知れない。しかし、先にも述べたように、大学入試は、大学に入って研究するための基礎学力を測っており、入試問題は、そこで問われている知識や考え方が重要だから出題されるわけである。したがって、そういう重要な知識や考え方を十分に身に着けていれば受かる。ただそれだけの話である。そして、良識ある教育者は、数学で重要なところが分かっているから、それに基づいて教材や予想問題を作っている。そうでない人はもしかしたら、大学が普通の受験生には解けないように徒に問題を複雑にしていると思い込み、ひねくれた問題を教えているのかも知れない。
また、「数学自体は重要ではなく、数学を通じて思考力を鍛えることが重要」とか「受験勉強は社会に出て嫌な仕事を我慢するための訓練」等と思っている人もいるかも知れない。特に前者は、自称数学好きにもいるようだ。しかし、深く考えるまでもなく、大学受験に数学が課せられるのは、大学で研究するために（少なくとも、教員が望む水準で）絶対に必要だからである。そして何度も言うように、入試で問われるのは、研究のために必要な知識や考え方であり、「頭の柔らかさ」などではない。また、数学をそれほど使わない学部にも、受験に数学が課せられるのは、多くの大学には転部等の制度があり、文学部から経済学部とか、農学部から工学部に転部するような事例は珍しくないからである。
上記2つに共通するのは、「理解」よりも「ひらめき」等のオカルティックなものを重視することである。これは、上に述べた胡散臭い教育業者や、受験生に絡んでる学歴コンプが暗記数学に反対する理由と符合する。金儲けがしたい受験業者にとって、「基礎を確実に理解することが重要」と言うよりも「入試本番に典型問題は出ないから、ひらめきが大事（。そして、ウチの教材を使えば、それが鍛えられる）」などと言った方が、客は集まりやすいだろう。また、SNS等で受験生や教員などに絡んでる奴にしても、数学の本質が理解できず霊感的なものに価値を見出しておかしな勉強理論にかぶれてしまったと考えれば納得がいく。
そんな時にはExcelで予測してみようぜ。（基本的な機能しか使っていないので、たぶん他の表計算ソフトでもできるはず）
ことを確認してみようぜ。
コロナウイルスに関するデータは、いろんな所から入手できる。WHOのサイトとかからがいいんだろうけど、Wikipediaなどにも転載されているのでそっちから持ってくるのがお手軽よ。
他人に発表する時にはきちんと一時ソースからにした方がいいけど、自分が疑問に思ったときにやる分にはどこからでもいいかと思う。
今回の場合は、今までの推移から、将来を予測する形になるので、例えば
と言う形で入れればいいよ。
この場合
で死者数の推移のグラフができるよ。
これでとりあえずどのように推移しているかのグラフを書くことができた。
これを感染者数にしてみよう。
一つのグラフに描画することもできるけど、値のオーダーがだいぶ違うので別のグラフに書いたほうがわかりやすいと思う。
グラフの中の曲線を右クリックして「近似曲線の追加」を選択する。
すると、通常は破線（点線）で近似曲線が追加される。
（新しいExcelの人は、グラフをクリックしたときに出てくる右側の「＋」マークのボタンを使ってもいいよ）
この近似曲線を使って未来を予想するよ。
ただこのままだと直線近似のままになっているので、ぱっとみ会ってないように見えると思う。また、どれぐらいあっているかも分からないので、設定を変えてみよう。
ここから、種類を選べるので切り替えてみよう。
それぞれクリックして、いま選択している情報にたいして最も良さそうな近似曲線を選んでみよう。
また、その下に「予想」と言う欄があるので、そこに「前方補外」に100と入れると、近似曲線を今から100日後まで伸ばすことができる。
これで未来を予想する線がかけたよ。
その下にある「グラフに数式を表示する」と「グラフにＲ-2乗値を表示する」もONにしてみると、グラフ上に数字が表示されるよ。
数式は、この近似曲線を描くために使われる式で、これをExcelの式に置き換えて入れると、具体的なＸの値の時の数字を計算することができるものになってるよ。
例えば、セル「E1」に「170」と入れて、この数式の「x」を「E1」に置き換えた式をセル「F1」に入れると、F1に170日の時の数字が出てくるよ。
また、R二乗値というのは、その近似曲線がどれだけあっているかを示しています。
ただし、未来を予測するときは、このＲ二乗値があっていればいいというもんでもなく…。
で、ここまで自分の手でやった人は気付くと思うんだけど、この近似曲線にどれを使うかによって無茶苦茶予測値に振れが出ます。
たとえば、指数近似にするとあと60日ぐらいで地球人類全員が感染し、そのうち10億人が死ぬと言う結果に。マジか。
一方で、線形近似にすると、100日後でも感染者数は数十万にとどまり、死者数は1万を超える程度、と言う結果になる。おいさっきと全然ちがうじゃねえか。
その中間ぐらいだと、累乗近似だが、100日後に感染者数は1000万人近くになり、死者は13万人を越える、と言う結論に。ビジュアル的にはこれが一番妥当なような気はするけど根拠ない。
それから、多項式をつかってグラフへのフィット度を上げた場合、最近ヨーロッパで本気になって検査を始めたことで急激に伸びた部分とかを拾っちゃって、値が極端になる、とかそういうことも確認できるよ。
分かりません。
結局グラフの姿を目で確認して考える、というのが一番オーソドックスなやり方。数学的にはいろいろと議論があるらしいけど…。
評価するときには、グラフを指数表示するか、普通の表示のまま見るかでどのグラフがあっているようにみえるか、と言うのもだいぶ見栄えが違ってくるので気をつけて。
ただ、どれが在ってるのかわかんないにしても、他人が出してきた数字やグラフをただ鵜呑みにするのではなく、自分でExcelでもなんでもにぶち込んでみれば、
と言うメリットがある。
数字が問題になっているとき、大抵の式はそんなに難しい事はないのでぜひやってみてほしい。Excelは結構優秀なので計算の中身をあんまり知らなくてもいけるよ。
また、このネタを覚えると、プレゼンするときに自分に最も都合のよい将来予測を作ると言うこともわりと自由自在にできるので、上司を丸め込んだり、客をだまくらかしたりもできるのでべんｒ…………悪用厳禁！！！。
もちろん、これは何か大きな異変がなくて、このまま状況が推移する場合の予想だ、ってことも分かると思う。そこから先は感染モデルなどを取り入れた、もっと高度な予想が必要になると思うけど、自分で推測するにはこの程度でも役に立つよ。
先日一部界隈で話題になった「全くスクリーニングされてないランダムな集団に検査を実施するとどんな結果になるか？」と言うのもExcelで簡単に計算できるのでやってみて。
また、一部の反発に「もっと検査精度はよいと想定するべきだ」とかあったけど、その数字がどれだけ大事なのか？とかも分かるよ。
目標１：2050年までに、人が身体、脳、空間、時間の制約から解放された社会を実現
目標２：2050年までに、超早期に疾患の予測・予防をすることができる社会を実現
目標３：2050年までに、AIとロボットの共進化により、自ら学習・行動し人と共生するロボットを実現
目標４：2050年までに、地球環境再生に向けた持続可能な資源循環を実現
ムーンショット型自体はアメリカのDARPAを参考にして作られているわけだが、
向こうは、米国以外の国が技術先行し米国を脅かすようなことがないようにするというのが目的だ。
それまでとは動作原理が異なるもの、桁で性能が変わるものを重視している印象がある。
(既存の性能からの線形な性能向上から外れるというのを重視しているように見える）
この手の性質上、現代の感性からすると荒唐無稽と感じるのが出てきても不思議ではない。
もう一つ、米国を脅かすような目標を立てると潰される。中国が中国製造2025を出して覇権を握ろうとしたら米国から対抗策打たれているのが現状だ。
こういう文言にするしか仕方なかったのかなとも思えるが、米国に気づかれないうちに産業力をつけられれば大成功だろう。
さて、そんなムーンショットだが、反対する中から、あまりこれは革新的だという案を見たことがない。
なろう系を見ていても、そんな革新的なものが出ているわけではない。
