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はてなキーワード: 単射とは

2020-10-10

anond:20201010175741

単射とは言ってないと思う… つまり、別のリアクション総体が同じキャラクターに行き着く場合もありうる。

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2020-02-29

ミルクボーイ漫才スプラトゥーン

駒場「うちのおかんがね、好きなニンテンドーゲームがあるらしいんやけど」

内海「そうなんや。」

駒場「その名前を忘れたらしいねん。」

内海「好きなゲームなの名前忘れてまうってどうなってんねん。」

駒場「いろいろ聞くんやけどな、全然からへんねん。」

内海「ほんだら俺がね、おかんの好きなニンテンドーゲーム、一緒に考えてあげるから、どんな特徴言うてたかとか教えてみてよ。」

駒場プレイヤーイカの姿になったり、ヒトの姿になったりしながら、いろんなブキでインクを撃ち合うやつやって言うてた。」

内海スプラトゥーンやないかい?

その特徴はもう完全にスプラトゥーンやがな。

すぐわかったよこんなもん。」

駒場「俺もスプラトゥーンやと思てんけどな、おかんが言うには、野良[^1]でも仲間と協力するのが楽しいっていうねんな。

[^1]: 知らない人同士の4対4のオンライン対戦

内海スプラトゥーンと違うか!

スプラトゥーンはね 仲間を信じないで全部自分でやるゲームやねん。あれは。どんな温厚な人でもスプラトゥーン では味方にイライラしてしまうねん。敵にやられるより、味方がデスしていることにボルテージがあがってくねん。

スプラトゥーンってそういうもんやから

ほな スプラトゥーンちゃうがなそれ。

もうちょっと詳しく教えてくれる?」

駒場「なんでも、新しいギアが加わってゲームバランス崩壊したらしい」

内海スプラトゥーンやないかい!

スプラトゥーン2はver.4.2.0シューターの強化で全体的に良いバランスになってきたなと思ってたところに、メイン性能強化の追加で縮まっていたブキ格差が一気にドカンと広がったんやから!あれで喜んでるのはスプベ、竹、リールガン使ってるやつやねん。

そもそもスプラトゥーン2で攻撃ギアと防御ギアをなくしてええ感じやったのに,よりによって攻撃ギアだけ追加してまったんやろな? インク影響軽減があるけど,短射程のブキなんて絶対インク踏んでまうから結局擬似確になってまうんよ.

俺はなんでもオミトオシやねんから

スプラトゥーンやそんなもんは!」

駒場「わかれへんねん、でも。」

内海「何が分かれへんねん。」

駒場「俺もスプラトゥーンやと思てんけどな、おかんが言うには、どんなブキにも強いところがあって使い分けるのが楽しいっていうてた。」

内海「ほな、スプラトゥーンちゃうやないかい!

スプラトゥーンはね、単射程も長射程もクーゲルヒューで完結やねん!全ブキ中で最速の3f連射の単射モードとバレル以上の射程でほとんどぶれない長射程モードを兼ね揃えてんねん。しかも、長射程モード以外での人速も全ブキ中最速やねん。モンガラエリアボールド使ってみ?何にもやることないから!

もうちょっと詳しく教えてくれる?」

駒場「なんでも今でも初代のオンライン対戦が爆速マッチングするらしい」

内海スプラトゥーンやないかい!

発売から5年が経ってても、続編が発売されていようとも未だに爆速マッチングするのは完全にスプラトゥーンやがな

今でもみんな「はいスパショ」、「はいダイオウ」、「はいポイズンバリア」で気持ちよくなりたいんだから

俺はなんでもオミトオシやねんから

スプラトゥーンやそんなもんは!」

駒場「わかれんへんねん。」

内海「なんでわかれへんのそれで。」

駒場「俺もスプラトゥーンや思てんけどな、おかんが言うには、いろんな作品コラボしててそのたびに課金が大変って言っててん。

内海スプラトゥーンちゃうやないか

スプラトゥーン課金なんてたかだか月々300円のニンテンドーオンライン代くらいなのよ。

コラボも初代でイカ娘と一回コラボしただけだし,無課金で入手可能なのよ!

スプラトゥーン ちゃうがな。もうちょっとなんか言ってなかったか?」

駒場ゲーム内のニュース番組がうざいらしい。

内海スプラトゥーンやないか

スプラトゥーン はメインゲーム以外のシステムイカしてないねん!

とばせないハイカラニュース

amiibo使わないと固定できないギアのセット!

試し打ちを止める方法とさんぽを止める方法スタートボタンセレクトボタンで違う!

そもそも散歩できるステージも2時間ごと更新ってどうなってんねん!

スプラトゥーン にきまり!」

駒場「わからへん

内海「わからへんことない!おかんの好きなニンテンドーゲームスプラトゥーン

駒場おかんがいうにスプラトゥーン はないっていうてた」

内海「ほなスプラトゥーン ちゃうやないか

おかんスプラトゥーンではないと言えばスプラトゥーンちゃうがな!

駒場「そうやねん。」

内海「先言えよ!俺がスプラトゥーンシステムイカしてないところ言うてるときどう思てたん?」

駒場申し訳ないなと思って。」

内海「ほんまにわかれへんがな、それどうなってんねん。」

駒場おとんがいうには、マリオオデッセイちゃうかって。」

内海「いや、絶対ちゃうやろ!

もうええわ。どうもありがとうございました。」

2018-03-09

anond:20180308171513

数億の精子を出すから億劫なので、一匹づつ単射すればいいのだよ。

2013-08-08

http://anond.hatelabo.jp/20130808211834

「お手並み拝見」とかキモいこと言われた増田だけど、さすがに「虚数便宜上開発された」というのはやや言い過ぎな気がする。

数学重要なのは構造ルールのものであって、「二乗して-1になる数」とかいう具体的な実像はそれらから必要不可欠的に導かれたものに過ぎない。

二乗して-1になる数を考えてみよう!」なんて全く数学的にロジカルな思考とは言えないと思うね。

関数には定義域や値域というものがあって、それは集合である。sqrtという関数を考えると、普通の初等関数と同じように定義域と値域をRとするとどうもうまくいかなさそうである

定義域をRとするとR-のときに少なくともR上には値を持たないようだからだ(全射とか単射とかの概念もやっとくといいかもな)。

でも多くの関数と同じように、sqrtもR上で定義できる方法はないのか?

このくらいまでは持っていってようやく考えさせるフェーズに入るべきだろう。

もちろん答えは「値域をRからCに拡張する」であるわけだが、ではCという構造をwell-definedに決めるためにはどういうもの必要か?という話に当然なるわけで、それを表記的にきれいに表現できるのが虚数単位iという数(Cの元)の導入なわけだ。

i自体はC上の普通演算に対してゼロ元や単位元になっているわけでもなく、別に何ら特別な性質を持った値ではない。いきなり「二乗して-1になる数を考えよう!」とか言い出すことのセンスのなさはここにある。

もちろん、「値域を拡張する」というアイデアについて考える段階では、「虚数単位という1パラメータを考えればいい」かどうかも明らかでないわけで、その過程クォータニオン外積代数みたいな構造にまで思い至る奴もいるかもしれない。

それがロジカルってことだろ。「二乗して-1になる数があるぞー!それになんの意味があるのかとか考えるな!とにかくそれを探し出せ!」とかいうのは全然ロジカルじゃない。ただのクイズ

元増田があまりキモかったのでこっちに書かせてもらいました。

2011-02-02

http://anond.hatelabo.jp/20110202222607

俺が馬鹿でわかってない気がするけど、

の濃度が等しいという理屈わからん

前者をΩ、後者をXとかすると、X→Ωの単射でない写像があっても良い気がする。

あーいやごめんやっぱ俺が間違ってたわ。

 
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