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はてなキーワード: 双対空間とは
∀x, y ∈ X, x ≿ y ∨ y ≿ x
∀x, y, z ∈ X, (x ≿ y ∧ y ≿ z) ⇒ x ≿ z
∀x ∈ X, {y ∈ X | y ≿ x} と {y ∈ X | x ≿ y} は X において閉集合
∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ (0, 1), (x ≿ z ∧ y ≿ z) ⇒ αx + (1-α)y ≿ z
関数 u: X → ℝ が以下を満たすとき、u を選好関係 ≿ の効用関数と呼ぶ：
∀x, y ∈ X, x ≿ y ⇔ u(x) ≥ u(y)
効用関数 u: X → ℝ に対して、任意の r ∈ ℝ に対する無差別集合 I_r を以下で定義する：
I_r = {x ∈ X | u(x) = r}
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が連続であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は X の閉集合である。
証明：
u の連続性より、I_r = u^(-1)({r}) は X の閉集合である。
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が準凹であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は凸集合である。
証明：
x, y ∈ I_r, α ∈ (0, 1) とする。u の準凹性より、
u(αx + (1-α)y) ≥ min{u(x), u(y)} = r
一方、u(αx + (1-α)y) > r とすると、公理 4 に矛盾する。
よって、u(αx + (1-α)y) = r となり、αx + (1-α)y ∈ I_r が示される。
X が Banach 空間のとき、関数 f: X → ℝ が点 x ∈ X で Gâteaux 微分可能であるとは、任意の h ∈ X に対して以下の極限が存在することをいう：
δf(x; h) = lim_{t→0} (f(x + th) - f(x)) / t
効用関数 u: X → ℝ が Gâteaux 微分可能であるとき、点 x ∈ X における財 i と財 j の間の限界代替率 MRS_{ij}(x) を以下で定義する：
MRS_{ij}(x) = -δu(x; e_i) / δu(x; e_j)
ただし、e_i, e_j は i 番目、j 番目の基底ベクトルとする。
X が Hilbert 空間で、効用関数 u: X → ℝ が二回連続 Fréchet 微分可能かつ強凹であるとき、任意の x ∈ X と任意の i ≠ j に対して、
∂MRS_{ij}(x) / ∂x_i < 0
証明：
u の強凹性より、任意の h ≠ 0 に対して、
⟨D²u(x)h, h⟩ < 0
これを用いて、MRS の偏導関数の符号を評価することで証明が完了する。
X が局所凸位相線形空間、p ∈ X* (X の双対空間)、w ∈ ℝ とする。
効用関数 u: X → ℝ が連続かつ準凹で、以下の問題の解 x* が存在するとき、
max u(x) subject to ⟨p, x⟩ ≤ w, x ∈ X
ある λ ≥ 0 が存在して、以下が成り立つ：
1. ⟨p, x*⟩ = w
2. ∀y ∈ X, u(y) > u(x*) ⇒ ⟨p, y⟩ > w
3. δu(x*; h) ≤ λ⟨p, h⟩, ∀h ∈ X
証明：
超平面分離定理を用いて、{y ∈ X | u(y) > u(x*)} と {y ∈ X | ⟨p, y⟩ ≤ w} が分離可能であることを示し、そこから条件を導出する。
1. (X, 𝒯) を局所凸ハウスドルフ位相線形空間とする。
2. ℱ ⊂ X を弱コンパクト凸集合とする。
3. 各 i ∈ I (ここで I は可算または非可算の指標集合) に対して、効用汎関数 Uᵢ: X → ℝ を定義する。Uᵢ は弱連続かつ擬凹とする。
4. 社会厚生汎関数 W: ℝᴵ → ℝ を定義する。W は弱連続かつ単調増加とする。
sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
定理: ℱ が弱コンパクトで、全ての Uᵢ が弱上半連続、W が上半連続ならば、最適解が存在する。
P: sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
D: inf[λ∈Λ] sup[y∈X] {W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) - ⟨λ, y⟩}
定理 (強双対性): 適切な制約想定のもとで、sup P = inf D が成立する。
∂W を W の劣微分とし、∂Uᵢ を各 Uᵢ の劣微分とする。
0 ∈ ∂(W ∘ (Uᵢ)ᵢ∈I)(y*) + Nℱ(y*)
ここで、Nℱ(y*) は y* における ℱ の法錐である。
T: X → X* を以下のように定義する：
⟨Ty, h⟩ = Σ[i∈I] wᵢ ⟨∂Uᵢ(y), h⟩
ここで、wᵢ ∈ ∂W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) である。
⟨Ty*, y - y*⟩ ≤ 0, ∀y ∈ ℱ
L: X → X を L = T ∘ Pℱ と定義する。ここで Pℱ は ℱ 上への射影作用素である。
定理: L のスペクトル半径 r(L) が1未満であれば、最適解は一意に存在し、反復法 y[n+1] = Ly[n] は最適解に収束する。
(Ω, 𝒜, μ) を確率空間とし、U: Ω × X → ℝ を可測な効用関数とする。
定理: 適切な条件下で、以下が成立する：
sup[y∈ℱ] ∫[Ω] U(ω, y) dμ(ω) = ∫[Ω] sup[y∈ℱ] U(ω, y) dμ(ω)
効用関数の族 (Uᵢ)ᵢ∈I を圏 𝐓𝐨𝐩 における関手 U: I → 𝐓𝐨𝐩 と見なす。ここで I は離散圏である。
経済を表現する空間を E とし、これを局所凸位相線形空間とする。価格空間 P を E の双対空間 E* の部分集合とし、商品空間 X を E の部分集合とする。
Z: P × Ω → X を一般化された超過需要関数とする。ここで Ω は外生パラメータの空間である。Z は以下の性質を満たす：
(b) 一般化された同次性：任意の λ ＞ 0 に対して Z(λp, ω) ≈ Z(p, ω)
(c) 一般化されたワルラスの法則：＜p, Z(p, ω)＞ = 0
ここで ＜・,・＞ は E* と E の間の双対性を表す
(d) 境界条件：p が P の境界に近づくとき、||Z(p, ω)|| は無限大に発散
価格の動的調整を表現するために、以下の無限次元力学系を導入する：
dp/dt = F(Z(p, ω))
ここで F: X → TP は C^1 級写像であり、TP は P の接束を表す。
定理1（均衡の存在）：適切な位相的条件下で、Z(p*, ω) = 0 を満たす p* ∈ P が存在する。
証明の概略：KKM（Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz）の定理を一般化した不動点定理を応用する。
定理2（局所安定性）：p* の近傍 U が存在し、初期値 p(0) ∈ U に対して、解軌道 p(t) は t → ∞ のとき p* に収束する。
証明の概略：リャプノフ関数 V(p) = ||Z(p, ω)||^2 / 2 を構成し、V の時間微分が負定値となることを示す。
不均衡状態における経済主体の行動を記述するために、以下の最適化問題を導入する：
最大化 U_i(x_i)
制約条件 ＜p, x_i＞ ≤ w_i + Σ_j p_j min{z_ij, 0}
ここで U_i は効用汎関数、w_i は初期富、z_ij は財 j に対する主体 i の超過需要である。
確率空間 (Ω, F, P) 上で、以下の確率微分方程式を考察する：
dp(t) = F(Z(p(t), ω))dt + σ(p(t), ω)dW(t)
ここで W(t) は適切な次元のウィーナー過程、σ はボラティリティ作用素である。
ε dp/dt = F(Z(p, ω))
この解析により、短期的な価格調整と長期的な均衡の関係を明らかにする。
定理3（一般化された不動点定理）：P が局所凸位相線形空間 E の非空、凸、コンパクト部分集合であり、F: P → P が連続写像であるとき、F は不動点を持つ。
この定理を用いて、より一般的な経済モデルにおける均衡の存在を証明できる。
ε → 0 のとき、特異摂動問題 ε dp/dt = F(Z(p, ω)) の解の漸近挙動は、元の動的システムの長期的均衡と一致する。
だから素粒子は勉強してないんだよ。まじで知らないんだけど、例えば電磁場みたいなベクトル場の一般化として、空間の各点に多様体（ファイバー）がくっついてるようなもん（ゲージ場）を考えてるんだろ？そんでそのファイバーに作用する変換群がU(1)とかSU(2)とかいろいろあって、その群の既約表現に一つ一つ「素粒子」を対応させることができるような量子化が存在するとかそういうことなんだろうなと思ってる。
超対称性はファイバーか構造群かしらんけどその双対空間みたいなのを考えてるのか？？と思ったけどどうも空間をでかくしてるっぽいな。元空間と双対空間の直積を考えるとかか？という気もするけどよく分からん。まじでわからん。https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fukaya/stringdual.pdf
