「f(X)」を含む日記 RSS

はてなキーワード: f(X)とは

2021-02-22

anond:20210222191036

そもそもロック自体個人的に嫌いなのでロックじゃないけど、個人的にクソじゃないと思ってる曲少し挙げるね

もちろん他の人からしたらこれもクソじゃんって思うかもしれないけど、人を煽ったのだから煽り返されるのは承知

f(x) / Glitter

MAMAMOO / Girl Crush

BTS / Dynamite

好きな音楽とかじゃなく、あえて政治的に嫌ってる変な人が多い新しいKPOPで質高いやつから適当に挙げた

2021-01-14

anond:20210114010704

写像微分という概念は、可微分多様体MとNの間の写像f:M->Nがあったとき、x∈Mにおける接空間T_xMからNの接空間T_f(x)Nへの線型写像df_x: T_xM -> T_f(x)Nとして定義される。

2020-07-21

宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」の感想

Amazonレビューなどに書くと過去レビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます

初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文査読体制問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想しかありません。

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加藤文元先生の「宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、

ほとんど内容がない」

この一言に尽きます数学書としても、一般書としてもです。

本書の内容と構成

本書は、RIMS(京都大学数理解析研究所)の望月新一教授が発表した数学理論である、IUT理論宇宙タイミューラー理論)の一般向けの解説書です。

1~3章では、数学研究活動一般説明や、著者と望月教授交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています

4~7章では、IUT理論の基本理念(だと著者が考えているアイデア)を説明しています技術的な詳細には立ち入らず、アイデア象徴する用語フレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています

8章がIUT理論解説です。

まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1~7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論本質的関係ない」ということです。これについては後述します。

各章の内容

1~3章は、論文受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。

IUT理論が多くの数学者に受け入れられないのは、従来の数学常識を覆す理論から

望月教授が公開された研究集会などを開かないのは、多数の人に概要だけを話しても理解できないから。

などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学コミュニティの中でIUT理論懐疑的人達説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思いますもっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論懐疑的である認識して本書を書いたのなら話は別ですが。

4~7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的説明されていません。

正則構造とは、正方形の2辺のように独立に変形できないもの

対称性とは群のことで、回転や鏡映などの操作抽象化したもの

のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません(これに関して何が問題なのかは後述します)。そもそも、本書を手に取るような人、特に1~3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6~7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1~2ページ程度の内容しか無く(誇張ではなく)、極めて退屈でした。

8章はIUT理論解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、

複数数学舞台対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。

今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要がありますしかし、これ以上は技術的になるので説明できません。

のような調子で話が進みますいくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います

本書の問題

本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論本質的関係ない」ということです(少なくとも、私にはそうとしか思えません)。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。

たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば

素数pに対して、√pは三角関数特殊値の和で表される。(たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7))

4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。(たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2)

のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論典型的重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論一般的な定理証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的現象」は説明できるわけです。

もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)

このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から

1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| < 1)

両辺を積分し、形式的にx = 1を代入すると

arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば

dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)

のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、

Σ((n+1)a_{n+1} - Aa_n) = B

  • a_1 - Aa_0 = B
  • (n+1)a_{n+1} - Aa_n = 0 (n ≧ 1)

よって、

  • a_{n+1} = Aa_n/(n+1) = A^n (B + A a_0)/(n+1)! (n ≧ 0)

a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、

  • a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)

「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります

上の計算正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数収束するかどうか、または項別に微分積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になりますしかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的現象」を説明することはできるわけです。

一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語注釈しかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的関係のない解説しかないようなものです。

もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。

繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるもの数学的に正しい命題意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうもの区別が付きません。

本書の続編があるなら望むこと

ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitter加藤先生ツイートを拝見したり、東工大京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます

まず、私は加藤先生ファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます

まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。

そして、IUT理論既存数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。

論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存重要定理、およびIUT理論から導かれる重要定理を、正式ステートメント証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。

直感的な側面は、既存数学からアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論位相空間における被覆空間理論類似になっているとか、そういう類のものです。

以上です。

加藤文元先生望月新一先生、およびIUT理論研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心から祈り申し上げます

2020-07-18

K-POP追ってると芸能人自殺に慣れてしま

KARAハラちゃん2019年に29歳で自殺してしまった

f(x)のソルリも2019年に25歳で自殺してしまった

SHINeeのジョンヒョンも2017年に27歳で自殺してしまった

ジョンヒョンが死んでしまって2年半になるけど今でもソロアルバム聴いている

ソロでも活動するようになって自作曲の質が良くて好きだった

グループとして発表された曲よりソロの曲のほうが好きだったかもしれない

若手アイドルとして事務所の言うとおりに働くだけではなくて

売れたおかげである程度自分意見も通せるようになり

幅広い才能を見せてくれるようになっていたその矢先に死んでしまった

2020-06-05

Galois拡大って何?

分離的かつ正規代数拡大のことです。

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

  1. 任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
  2. ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
  3. 任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
  4. 任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
  5. 任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
  6. 任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
  7. ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
  8. 任意のa∈K\{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
  9. 任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例
  • 有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。
  • 素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから

Kを体とする。K上の任意多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで

F(X) = a(X - a1)...(X - an)

と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のもの存在し、Fの(最小)分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるからaiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元ベクトル空間である

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないもの存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。


拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限代数拡大という(上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である)。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つもの存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。


Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L\Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元ベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。

Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。

Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。


正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 < m < n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である


分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。


Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である


Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。

  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
  • 中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)

さらに、以下の性質を満たす。

  • H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
  • K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
  • 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
  • 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大(L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大)であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。

K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである

この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。

2019-12-05

今週のドラゴン桜2(83限目)の数学問題

問題

  • 第2問: 整数係数の2次式f(x)と、1次式g(x)がある。f(x)のx^2の係数は1であり、|f(x)|=|g(x)|を満たす実数xは1,2,3のみであるf(x)とg(x)を求めよ。

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解答

整数a,b,c,dとし、

  • f(x) = x^2 + a x + b
  • g(x) = c x + d
  • c != 0

とする。さらに、

  • |f(1)| = |g(1)|
  • |f(2)| = |g(2)|
  • |f(3)| = |g(3)|

である

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上記絶対値の等式より、

  • f(1) = ±g(1)
  • f(2) = ±g(2)
  • f(3) = ±g(3)

であるが、f(x)は2次式の曲線であり、1次式のg(x)、-g(x)の直線とは、どちらも3点で交わることはない。

よって、この等式は、g(x)につく符号はすべて+、もしくは、すべて-になることはない。

この等式のf(x)とg(x)をx=1,2,3でそれぞれ展開すると、

  • 1+a+b = ±(c+d)
  • 4+2a+b = ±(2c+d)
  • 9+3a+b = ±(3c+d)

ただし右辺のcとdは変数であるため、変数の算出時には右辺に付く+と-は入れ替えることができる。

よって、この3等式のうち、1つの等式のみのgに付く符号が違う、3パターンのみ考えれば良い。

また、3等式から4変数を求めるため、4変数パラメータ変数を含む値になる。

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x=1の等式で、符号が違うパターン
  • 1+a+b = c+d
  • 4+2a+b = -(2c+d)
  • 9+3a+b = -(3c+d)

1つ目と2つ目の等式より

  • d=4a+3b+6
  • c=-3a--2b-5

この値を3つ目の等式に代入することで、

  • b=-a

が得られる。

nを整数とし、a=n とすると

  • a = n
  • b =-n
  • c =-n-5
  • d = n+6

まり

  • f(x) = x^2 + n x - n
  • g(x) = (-n-5)x + n+6

である

この式にx=1,2,3をそれぞれ代入すると、

  • f(1) = 1
  • g(1) = 1
  • f(2) = n+4
  • g(2) = -n-4
  • f(3) = 2n+9
  • g(3) = -2n-9

であり、問題の条件を満たしている。

しかし、f(x) = g(x)とすると、

  • (x-1)(2n+x+6) = 0

より、x=1もしくはx=-2n-6のときに成立する。

となる。n=-4ならx=2になるが、それ以外の整数nではxは1,2,3以外の整数になり条件を満たさない。

また、f(x)=-g(x)とすると、

  • (x-2)(x-3)=0

であり、x=2,3のときのみ成立する。

よって、n=-4のとき

  • f(x) = x^2 -4 x +4
  • g(x) = -x + 2

のみ条件が成立する。

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x=2の等式で、符号が違うパターン
  • 1+a+b = c+d
  • 4+2a+b = -2c-d
  • 9+3a+b = 3c+d

1つ目と2つ目の等式より

  • d=4a+3b+6
  • c=-3a--2b-5

この値を3つ目の等式に代入することで、

  • b=-2a-9/2

が得られるが、この等式を満たす整数a,bの組は存在しないので、この符号パターンにはならない。

----

x=3の等式で、符号が違うパターン
  • 1+a+b = c+d
  • 4+2a+b = 2c+d
  • 9+3a+b = -3c-d

1つ目と2つ目の等式より

  • c=3+a
  • d=-2+b

この値を3つ目の等式に代入することで、

  • b=-3a-8

が得られる。

整数mとし、a=mとすると、

  • a=m
  • b = -3m-8
  • c = m+3
  • d = -3m-10

まり

である。この式にx=1,2,3をそれぞれ代入すると、

  • f(1) = -2m-7
  • g(1) = -2m-7
  • f(2) = -m-4
  • g(2) = -m-4
  • f(3) = 1
  • g(3) = -1

であり、問題の条件を満たしている。

f(x)=g(x)の場合

  • x^2-3x+2=0

より、これを満たすのはx=1,2のみである

一方、f(x)=-g(x)とすると、

  • (x-3)(x+2m+6) = 0

であり、これを満たすのは、x=3もしくは、x=-2m-6である

m=-4のとき、x=2となるが、それ以外の整数mではxは1,2,3以外の値になる。

よって、条件を満たすためにはm=-4でなくてはいけない。よって、

  • f(x) = x^2 -4x + 4
  • g(x) = -x +2

ただし、この式は先の式と同じ式である。これはf(2)=g(2)=0であるために起こった。

----

以上より、問題を満たすf(x)、g(x)は、

  • f(x) = x^2 -4x + 4
  • g(x) = -x +2

である

2019-04-21

anond:20190421192811

いや、数学においては

f(x)>0 が成立するならf(x)≧0

なんだわ

≧ってのは>or=なのでどっちか成り立ってれば≧でよろしい。

anond:20190421184745

俺も同じことを思った。

f(x)>0 が成立するときf(x)≧0 が成立するのは自明

自明だと思ってるのは、あんただけやろ?って。

f(x)>0 が成立するときf(x)≧0 が成立することを証明せよ

自明だ。と答えるようなバカなのかと・・・

数学証明ってどこまで省略していいの?

アンケート

とある数学試験問題に、具体的に与えられた函数 f(x) について「すべてに実数xについて f(x)≧0 となることを証明せよ」と書いてあった。ある人は「すべての実数xについて f(x)>0 となること」を正しく証明する答案を書いた。

その答案をあなたはどのように採点しますか?

http://b.hatena.ne.jp/entry/s/twitter.com/genkuroki/status/1118158654090297345

 

f(x)>0 が成立するときf(x)≧0 が成立するのは自明。したがって、f(x)≧0を示すためにはf(x)>0を示せば足りる。

それはまぁ良いとして、もう少し一般化して考えたときに、「命題Aが真であることを示せ」という問に、「命題Aの十分条件である命題Bが真であること(だけ)を示す」のは妥当かという疑問が残る。

まり、「(命題Bが真であることを証明する。)→したがって命題Aが真であることを示された。」という回答なら文句なしに満点としても、「(命題Bが真であることを証明する。)→証明終わり」だと、えーって思う。

(あるいは、「命題Bが真であることは命題Aが真であるための十分条件なので、命題Bを証明する。」という前置きを書くのも満点の回答だと思う。)

 

疑問なのは、そのような「自明から省略可」かどうかは誰がどうやって決めるのか?(一般的な決め方はないのではないか?)ということ。

もし明確に基準があるのであれば、省略しても良いこととだめなことの境界はどこにあるのか、教えて欲しい。

2018-08-23

はてなーにも分かる確率割合軽自動車危険?~

確率警察です。軽自動車安全性について考察してバズった記事を読んで、驚いたので確率についての記事を書きたいと考えた。この記事で伝えたいのは以下の内容になる。

https://anond.hatelabo.jp/20180822005110

  1. 確率割合の違い
  2. 確率変数確率分布
  3. 誤った理解による軽自動車への風評被害NG

確率割合

割合とは

全体に対して部分が占める比率の事。比率とは二値A,Bあり、AのBに対する比率を表す場合、A÷Bで示される値の事を言う。

確率とは

事象の中で、事象Uが発生するか、発生しない割合の事を言う

確率割合比率の違い

比率特に全体を定義する必要はない。割合確率は全体が定義されて初めて意味がある。

すなわち、(正規化を行ったとして)、割合は全部分の割合を合算した場合1になる様に、確率は全事象確率積分すると1になる様に定義されなければならない。

かみ砕くと、いま宝くじが1等~7等、そしてはずれで構成されているとして、1等から7等とはずれの枚数を足した場合宝くじ全体の枚数となっている必要があるし

1枚をひいたときに、1等から7等とはずれが出る確率を足したものは1になる必要がある

確率公理

上記を言い換えるとこうなるが、ここはわからなくてよい。確率公理みたさなくてはならない。数式を書くのが面倒なのでリンクを張る

http://bin.t.u-tokyo.ac.jp/spzemi2013/chap1.pdf

1-2 確率公理 を参照のこと

元増田の不理解

元増田普通車登録台数にたいする、事故件数の「比率」を求めている。事故は同一運転手及び同一車両による重複もあり得るとしたら、割合ですらないし、まして確率ではない。

したがって「事故発生率」という事象の発生する割合と誤認させるような表現は、明らかに間違いである。

軽自動車死亡事故発生割合は、普通車より4割近く多い。

正しく表現するなら、こうなるべきだろう

1万台当たりの死亡事故数を比較したとき軽自動車普通自動車に対する死亡事故数の比率は、1.39となり。死亡事故数が4割近く多い事が言える。

ここまでの説明から、この4割が40%高い「確率」で死ぬということを意味しないことは明らか。「発生率」という言葉とともに、大いに誤認を誘うものとなっており、元増田確率理解しているかは疑わしい。

ブコメの不理解

hatekun_b 結論から書いてあって大変読やすい。台数あたりの事故発生数は7%増なのに死亡数は39%増ということは、一事故あたり30%多く死ぬってこと(4人乗ってた普通車なら1人生き残れても軽だと全滅する)

ここまで説明したことから比率加減乗除は無価値であり何も言えてないことが分かるはずである。正しい理解があれば、「一事故あたり30%多く死ぬ」などという結論には、絶対に至らない。

関数としての確率

唐突だが、今ここで、ある人の誕生から時間経過にかんする死亡率を考える。人間は必ず100歳までに死ぬ、生死の状態は背反であり半分死んでるなどは認めない、と仮定しよう。死亡率を定義する関数Fを年齢について表す場合、F(60)=0.05などと表せる。

この時、60歳の1年間で死ぬ確率は0.05 = 5%である。F(0)からF(100)までを足すと必ず1になり、F(x)、年齢 xは0以上かつ100以下、 は必ず F(x) は 0以上かつ 1以下 を満たすものである。この時のF(x)の値を確率変数関数Fの値がなす分布確率分布とよぶ。

この時の死亡確率Fは年齢のみに依存して変化するだろうか?すべての人の年齢に対する死亡率は等しいだろうか?

答えはNoであろう。身長体重性別、などなど多くの情報の影響もうけるはずである。年齢も含めた死亡率に関連のある数値を、関数の値を決定する変数として定めた場合関数FはF(x0,....,xn)= y のように表せる事になる。

この時、各変数x_i,iは0以上かつn以下、 が互いに影響を与えない、すなわち独立しているならば簡単だが、死亡率のようなもの場合には各変数は互いに相関を持つことは想像に難くない。これを交絡という。

車種に関する死亡率

元増田は死亡比率を語っているだけだが、あえて死亡率であることを認めたとして、車種を変更した場合に死亡率は決まるだろうか?上記の話から、死亡率も多数の変数の交絡を考える必要があることは明らかであろう。

したがって、車種を変更しただけで「死亡率」を乱暴に扱う元増田の考え方は非常に危険と言わざるを得ない。死亡比率であったとしても、死亡事故発生件数定義する関数は多変量であるはずで状況としては変わらない。

最後

見てきたように元増田確率に対する誤った理解から、多くのブックマーカーに誤認を与えてしまっている。非常に残念なことだ。軽自動車の開発に携わる人々は、購入者の事を考えて、より便利で快適で安全な車を提供しようと努力をしている。

乱雑で誤った数値いじりによって、軽自動車普通自動車に対して著しく危険とするのは間違った考え方で改めてほしい。安全試験の結果など、対象の車について明確に定義されている値のみを参考にしていただきたいと思う。

またはてなーの皆様には、確率という割と雑に扱われ適当に参照されてしま数学を、改めて理解しなおしていただきたいと思う。この程度の基本知識一般教養として知っておいて損のない話のはずだ

補足

id:tenari んーでも確率の分野でもこれを40%多い確率死ぬって表現するのは普通じゃないのかな?医療健康領域とか。詳しい解説がほしい

この指摘はあるかと思っていました。知りたいと思われているのは、こういう事である想像します。複雑な現象について述べる場合、条件を限定する仮定を置いたモデルもっともらしさを証明する事によって、複雑な現象をより簡単に述べる事が可能になるような手法がある。この現象について限定したモデル統計モデル統計モデルもっともらしさを測る値を尤度といい、我々が目にする様々な確率を述べるにあたって広範囲に用いられている。この増田で書くには重い話ですので、興味があれば調べられると良いかと思う。

2018-08-06

anond:20180806182710

f(x)=2x ここでx=3を代入して

=6

ってちゃんと補足して書くとか

f(3)=2(3)=6って書くとか

何にせよその書き方はよくわからないし、一度消したxをもう一回出すのは変

anond:20180806182214

質問を間違えた。

関数名前があるからそりゃわかるよね。 f(2x) を f かける 2x だと思う人なんていない。

たまにやりたいなと思うのが、数式の中の一部を関数として、そこに何かを代入するやつ。例えば

f(x) = 2x

f(3) = [2x](3) = 6

これでいいのかな?

数学質問

関数って f(x) みたいに、括弧で書くけど、数式の中でこれ使うと掛け算と区別がつかない。

数式の中で関数に何かを代入する表記するにはどうすればいいの。

2017-08-01

FizzBuzz問題

プログラミング問題だけど高校一年生までの数学の考え方で解決できる。嬉しい。

FizzBuzz問題とは

1 から順に数を数えていく。但し、その数が 3 で割り切れるならば数字の代わりに Fizz と、5 で割り切れるなら Buzz と言うゲーム。3 でも 5 でも割り切れる場合は、FizzBuzz の順に言う。

はてなキーワードより引用

これをプログラミングするのがFizzBuzz問題です。

具体化

1から15までの例を考えてみる。

入力出力
11
22
3Fizz
44
5Buzz
6Fizz
77
88
9Fizz
10Buzz
1111
12Fizz
1313
1414
15FizzBuzz

一般

入力と出力の関係を考えると、入力が定まれば、出力も一意に定まることが分かる。つまり入力と出力の関係関数にすることができる。この関数f(x)とする。

関数f(x)は、入力が3の倍数なら"Fizz"、5の倍数なら"Buzz"、3と5の公倍数なら"FizzBuzz"、その他は入力値を返す。

公倍数は最小公倍数を整数倍した値なので、ある値が公倍数であるかどうか判断するには、最小公倍数で割ってみて、割り切れるかを調べることにする。

3と5の最小公倍数は15なので、15で試しに割ってみて、割り切れるかどうかを見る。

3と5の倍数の判定も、それぞれ、3と5で割り切れるかどうかを見る。

コード

使う言語Perlである

Perlは、上から順に命令を実行する命令言語なので、3や5の倍数の判定の前に、15の倍数の判定を持ってくる。

逆にすると、15の倍数は3の倍数であり、5の倍数でもあるため、"FizzBuzz"が必要な所が"Fizz"や"Buzz"だけになってしまう。

use 5.024;
use warnings;

sub f {
	my ($x) = @_;

	if (($x % 15) == 0) {
		return "FizzBuzz";
	}
	if (($x % 5) == 0) {
		return "Buzz";
	}
	if (($x % 3) == 0) {
		return "Fizz";
	}

	return $x;
}

foreach my $i (1..100) {
	say f($i);
}

2017-05-10

テーラー近似を一般化してテーラー展開の説明とするのは強引すぎる

x=aにおけるf(x)のテーラー近似はわかる。

近似誤差がどれくらいかとか可能場合不可能場合とか細かいところは気になるけど、わかる。

でもさ、

あくまでx=aにおける近似式なわけ。

これをf(x)一般形として書くのって強引だと思う。

x=aにおけるf(x)の近似式(f_a(x))を使ってx=bの近似

f(b)=f_a(b)

が言える保証はなくない?全く自然じゃない。

大抵の教科書はこの部分の説明を端折ってるけど、ここの説明ってかなり重要じゃない?

2016-07-16

WebデザインWebシステムは、相手企業事業が失敗しないように話を進めるべき

雑談

最近LINE株式上場(証券コード:3938)したようだ。一時は高値で5,000円まで上がったが、安値4,310円(2016年7月16日 17:44現在)まで下がり、なんと690円も下がっている。一瞬の差し足で儲ける連中は賢い。

流行統計的手法deep learning(機械学習人工知能)を駆使し、株価が3,000円台まで下がるタイミングは何月何日か?を探り空売りできないかを考える今日この頃

さてここからが本題。金融に関する仕事コンサルタントなどはできないと思い、とりあえずWebシステムもどき、あるいはWebサイトらしきものを作る仕事を始めた人の愚痴である

商品販売広告戦略立案Webサイト制作までの流れ

まずA社が商品販売するところから、B社がWebサイト制作をするまでの流れを簡単にまとめた。

[Step1]:商品を売ろうと企てる

[Step2]:商品の開発期間・開発コスト広告集客を考える(Plan)

[Step3]:2におけるチラシ・ホームページ外注に投げる

[Step4]:外注先がそれらを一件○万円で引き受け、広告完成(Do)

[Step5]:広告効果がどれだけであったか?を調べ、問題点について調べる(Check)

[Step6]:商品販売を取りやめるべきか?広告の打ち方を変えるかの改善を図る

[Step7]:改善された広告販売戦略を基に動き直す(Action)

さて、かの有名な電通鬼十則( こちら参照)にも「「大きい仕事」と取り組め。小さい仕事は己を小さくする」と言う言葉がある。

先日その大きい仕事のお膝元というべき会社で、Step4を担当している人と話した。それが意外に俺と同じ事を考えててビビった。って事は日本広告業界すべてが、派手な物を作って...って発想なのかと思った。

さて案件の規模が小さい程[Step1〜7]全体の大部分に関与でき、大きい程[Step1〜7]全体が見渡しにくく、関与もしにくい場合もある。そして自分アクションを起こしたが、結局[Step1〜7](PDCA)全体が回ってない事もあるのは何処も一緒なようだ。

もちろん自分は[Step4]の工程の1部品として動いていて、基本1〜7の大枠の中の1部品として動いているに過ぎない。ここでStep4の仕事をしていて愚痴りたい事の1つに、「[Step4]の人たちって、どうして[Step4]の事しか考えないのだろうね?」と言う事だ。以下その愚痴を書きたい。

愚痴:デザイナーに居る「俺が作ったデザインすばらしい」な意識高い系

どうも俺は「俺が作ったデザインすばらしい」「よそがやらないようなデザイン」をひけらかす為に話を進めている場合程、やる気なく仕事している。

過去の嫌な事例

過去酷いと思ったのは、[Step1〜3]側のクライアント会議で決まった内容を、[Step4]のこちら側で無理矢理ひっくり返した物を作った事だ。無論自分らの意見を押し通すのも商談の上で必要な事もあるが、必要ないならやらなくて良いと思う。

上は上で「クライアントでなくウチがやりたいんだ」と一点張り。それに対し、実際に手を下す俺は「既に決まった物なのに、そもそも全体の進捗を狂わす事はないんじゃない?ただただ作業日数も増え、俺のやることも増えるだけだし、俺そこまで能力ないし」と思っていた。

その結果中間会議クライアントに「やらない方がいいんじゃないですか?」と言われ、ざまーみろと思った事もあったっけ(笑)。こうなると「俺はこんなに素晴らしいと思っているのに、お前はそう思わないのか」と言う流れになり、相手からすげえ嫌がられることも少なくない。

確かに「とりあえず始めて見て反響を見る」と言う事も重要だ。しかしながらStep4の自分らが、デザインをひけらかすが目的ならこれは論外だ。以上。こうして俺はデザイン仕事ではやりたくないなあと思うようになった。

商品広告をお客さんに見てもらい、売上を上げる事がそもそものやる事

この時自分がやっていた仕事は、「商品Pの広告ターゲットとする客層のx%に見てもらい、商品Pにおける売上高をy%向上させる」事の一部ではなかろうか?ならば見た目自慢よりも、サイトに依ってお客さんにどれだけ反応が呼べたか?という事を調べ、クライアントと一緒に[Step5〜7]に活かす事も重要だと思う。

サイトの見た目、機能SEO(検索エンジンソーシャル対策)などがそれぞれバラバラなのもいけない。そしてそもそものところで「どのようなお客さんに見てもらったり使ってもらったか?」「そもそもの事業戦略」が無視されている。

そんなに見た目や機能重要か?必要最小限で良いか会社事業が回るようなものにする事こそ、自分ら[Step4]の人間のやる事だと思う。

クライアント、各Step毎の人と連携する姿勢を忘れない

そのためにクライアント、各Step毎の人と連携する姿勢を忘れてはいけない。先ほどの愚痴みたいに各Step毎にバラバラに行動するようなやり方は、今後世界的にも流行らないと予想する。又、システムホームページが内製化されるのも、Step毎の連携を良くする為である

ツールを作る事に頼らず、他のみんなができるように

さて、商売柄わからないことがあると、はてなブログQiita、StackOverflowなどのレシピサイトを見る事が多い。ここで最近Qiitaを読んでいて、「マーケティング担当者にSQLを完全マスターさせた話:Qiita」と言ういい記事があったので紹介したい。以下デザインの話から離れるが、是非聞いて欲しい。

みなさんこの試みをどう思うだろうか?俺はこの動きに賛成だ。俺の推測を書くが、恐らくこの会社社員数は多くて100人前後まで位で、上記の[Step1〜7]までの多くの部分を1社で担当していると思う。

無論顧客情報や売上情報に関するデーターベース(SQL)にアクセスし、それを分かりやすく画面に表示してくれるアプリはあるはずだ。これをみて経営商品を売るのをどうしていくか?を考えて行く訳だ。

例えば、1ヶ月に100回以上データベースに対し特定の処理がなされるのなら、アプリにした方が良い。しかし「この時だけ単発にデータベースに○○な処理をさせて、△△な事を調べたい」と場合もあるはずだ。こうなってくると、「マーケッターの人に単発のSelect案件を片付けてもらおう♪」という流れになる。

以下何故この作戦必要かを熱く語る。例えばファミコンボタンは「Aボタン、Bボタン、STARTキーSELECTキー十字キーしかなく、それ以外の事は一切できない。これはアプリケーションも同じで、アプリケーション化する事でユーザーの動きを制限することにつながる。

必要最小限に仕事をまとめたい場合は別だ。しかし今回の場合「火属性の敵に対し、どう対処するか?」「そもそも相手属性E_1,E_2,…,E_nに切り分け、それぞれに対しどう対処するか?」の場合ならば敵の弱点も変わってくる。そのため制限ありだと対処できないケースも出て来る。

こうなれば「賢者すっぴんすっぴんすっぴん」では某エ△スデスに勝てないだろう。それに賢者戦闘不能の時はもう冷あせもんだ。レイズアレイズ、フェニックスの尾がないときは、誰がケアルエスナしてくれよう。そこで全員が「賢者、赤魔導士、赤魔導士、赤魔導士」位ならば、賢者が忙しい時にケアルが使えてラクだし、全体を有利に進める事が可能になる。

[Step4]の会社にいる立場としてこんな選択が出来るのが羨ましい。なので新しくツールを作るだけが選択肢ではなく、みんながある程度できるようにしておきたい。

その為に自分は何ができ、どうしていきたいか

以下その為に自分は何ができ、どうしていきたいか?について話す。まず自分学生時代、どちらかと言えばxとyが嫌いだった人が絵や音楽をやる事もあるようだ。俺はその逆で、絵を描くのをサボってでもxとyをやり続けていたい人だった。なためどうも絵が好きな人音楽好きな人の話が抽象的に感じる事がある。(俺、Webシステムの方がリクツが分かるほうだから得意かも...)

起業は無いものとして考えた時、どの道Step1〜7のPDCAサイクルなど早々回りゃしない。ならば、少しでも自分の出来そうな方で仕事したいと思っている。わがままを言えば[Step1〜3]寄りの仕事がしたいと薄々思っている。

このまま堅い商売を続けるなら、それこそ物理学者みたいに世の中の物事を数値やy=f(x)化し、扱いやすくしてやりたいとも思う事もある。例えば商売なら、未来予測しきる無敵の関数y=f(x)を編み出してもうけるとか。

又は経営層やマーケッターがxとyを見やすく、確認やすくするデーターベースツールの開発が出来て、売っぱらう事ができれば…(用語言うなら、Microsoft PowerBIと言ったツールかな?)

xとyをフル活用することで、できる限り失敗しない線を探して勝ちを拾う。又はマーケッターなどの人と協力し、無難商品Pを売る上での最強の市場(=有利な戦場)を見つけて行ければとも思う。

最後に「無理に成功を夢見る」ではなく、「出来る限り失敗しないように無難にやる」「無難にやる策を模索する」で行きたい今日この頃。まあ、難しいんだけどな。

2015-11-22

0^0=0/0というのはおかしいという話

http://kosotatu.jp/study/0%E3%81%AE0%E4%B9%97%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%A7%A3%E3%81%8C%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E6%A4%9C%E7%B4%A2%E3%81%97%E3%81%A6%E3%82%82%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AA%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%A7/

後半はいいけど前半は色々と突っ込みどころがある

ふつう指数法則を考えるときには底が0よりも大きい場合を考えることが多い

負の場合についてはいわずもがな

0については0除算が定義できない以上、指数法則を考えることができない

分かりやすい例で言うと

0^2=0^(3-1)=0^3÷0^1=0÷0

こうすると0^2は定義できないことになってしま

から

0^0=0^(1-1)=0^1÷0^1=0÷0

で0^0が定義できないといってしまうなら

同様に0^2も定義できないといってしまわなくてはならなくなる

元々の話についての自分意見

結局は0^0は極限として解釈せざるおえず、

x->0の値がどちらも0に収束するf(x)、g(x)について

lim_(x->0)(f(x)^g(x))の極限値とすればいいが、

その値はf(x)、g(x)によって変わるので定義できないって結論でいいと思う

その内容は元記事の後半に書いてある通り

2015-02-07

test

これはテスト

これって書いている途中で一旦保存はできないのか…

見出しをつけてみる


小見出しはどんな感じか?
  1. こっちを使うとどうか
    1. プラスをつけると数字つきリスト
    2. これもチェック
さらにもうひとつ

すげーなTeXが使えるのか。

<img src="http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)~=~\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{x^n}" class="tex" alt="f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x^n}">

2014-05-23

http://anond.hatelabo.jp/20140523205353

変数関係性をただ示すのが方程式 -> y+2x=3

どれかの変数について着目した時、その変数を導出する式が関数 -> y=f(x)=3-2x

2014-04-18

新しい精神病患者、他願症

最近アメリカ精神医学会において新しい精神障害発見された。

他願症とは論理能力他者とのコミュニケーションに障害が発生する障害の一種である

先天性の脳機能障害とされるが、脳機能上の異常から認知障害の発症へといたる具体的なメカニズムについては未解明の部分が多い。

幼児期においては特に問題行動は生じないが、思春期以降顕在化する事が多い。


一般的自分意志ははっきりと相手に伝えないと相手に理解されない事が多いが

他願症患者はたとえ表現を著しく曲げても相手に理解されて当然と思っている事が多い。


例えば以下の発言がある。


「この荷物って結構重いんだよ」


他願症患者が多用する発言であるが、

他願症でない一般人は、これは受取手によって発言の受け取り方が変わる事を知っている。

Aの発言においては

「この荷物重いから持ってください」と言う意味もあれば

「この荷物重いんだよ。こんな重い荷物持ってる私力持ちでしょ?」と言う意味もある。


通常発言にはいろいろな意味が含まれる事があり健常者は、

混乱を避けるため自分意志を伝える時は出来るだけ具体的に率直に意思を伝え曖昧な発言をさける。


しかしながら他願症患者自分意図した通りに発言が伝わらないと癇癪を起こし

相手の人格を非難したりする事が多い。


また、他願症の患者論理能力に欠け、基礎的な数学、例えば

f(x)=3x^2+xの微分を行う事も出来ないらしい。


精神科医藤堂高虎氏によれば日本においても最近認知数が増加している精神障害

現在の所、有効治療法は見つかっていないと言う。


近く精神科バイブルであるDSMの次期バージョンDSM6に追加される見込みだ。

その2へ続く

2014-04-15

「『数学ガール ガロア理論』第10章」の解説

数学ガール ガロア理論』の第10章(最終章)がそれまでの章に比べて難しくて挫折するという感想がけっこうあるようなので、その補足的な解説を試みます。『ガロア理論』第10章はガロアの第一論文を解説しているので、解説の解説ということになります

定理4までと定理5を分ける

10章でおこなわれるガロアの第一論文の説明は、

と進んでいきますが、ミルカさんはその途中で何度も、ガロアの第一論文テーマが「方程式代数的に解ける必要十分条件であることを確認します。

なぜ何度も確認するかといえば、最後定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)以外は、一見したところでは「方程式の可解性」に関わることが見て取れないので、途中で確認を入れないと簡単に道に迷ってしまうからでしょう。定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)や定理3(補助方程式のすべての根の添加)は、目的方程式を解くときに利用する補助方程式に関わる話ですが、やはり定理を見ただけでは「方程式の可解性」との繋がりはよく見えません。

そこで逆に、いったん「方程式の可解性」の話から離れて定理5を除外して、それ以外だけに注目します。

方程式の可解性」から離れて見たとき定理1から定理4までで何をやっているかというと、

ということ(ガロア対応と呼ばれます)を示していますミルカさんの言葉を使えば(p.362)、体と群の二つの世界に橋を架けています

この体と群の対応関係を図で見ると、10.6節「二つの塔」の図(p.413、p.415、p.418)、あるいは

http://hooktail.sub.jp/algebra/SymmetricEquation/Joh-GaloisEx31.gif

http://f.hatena.ne.jp/lemniscus/20130318155010

のようになります(この体と群の対応関係は常に成り立つわけではなく、第8章「塔を立てる」で説明された「正規拡大」のときに成り立ちます)。

体と群に対応関係があること(定理1~定理4)を踏まえて、定理5を見ます

方程式代数的に解く」というのは「体の拡大」に関係する話です。

方程式の係数体から最小分解体まで、冪根の添加でたどりつくことが、方程式代数的に解くことなのだ」

(第7章「ラグランジュ・リゾルベント秘密」p.254)(ただし、必要なだけの1のn乗根を係数体が含んでいるという条件のもとで)

そこから、「体と群の対応」を利用して、方程式の解の置き換えに関する「群」の話に持っていくのが、定理5になるわけです(なお「方程式を解くこと」と「解の置き換え」が関係していることは、すでに第7章に現れていました)。

「≪群を調べる≫って≪体を調べる≫よりも(...)」

「いつも楽とは限らない。でも方程式の可解性研究のためには、群を調べるほうが楽だ」

(第10章「ガロア理論」p.394)

「解の置き換えの群」を定義したい

ここまでの話で、定理4までで行いたいことが「≪体の世界≫と≪群の世界≫の対応関係」だということが分かりました。

しかしこの対応を示すためには、まず、この対応関係における≪群の世界≫というのがいったい何なのかをきちんと定義しないといけません。

≪体の世界≫というのは「体の拡大」で、これは8章「塔を立てる」で説明されています

一方、その「体の拡大」に対応する「群」は「方程式の解の置き換え方の可能な全パターン」なのですが、これが正確にどんなものなのかは10章以前には定義されていません。

「解の置き換え方」であるための必要条件

(以下、4次方程式の例をいくつかあげますが、面倒なら流し読みでさらっと進んでください)

たとえば一般3次方程式では、解α、β、γの置き換え方は全部で6通り(3×2×1)あります(第7章p.252)。同様に考えると、一般4次方程式では、解α、β、γ、δの置き換え方は全部で24通り(4×3×2×1)あることが分かります

ところが、x4+x3+x2+x+1=0という4次方程式を考えてみます。これは5次の円分方程式です(第4章「あなたくびきをともにして」)。

x5-1 = (x-1)(x4+x3+x2+x+1)なので、この方程式の解α、β、γ、δは1の5乗根のうちの1以外のものだと分かります。したがって、解の順番を適当に選ぶとβ=α2、γ=α3、δ=α4という関係が成り立ちます

これについての解の置き換え方を考えると、αを、α、β、γ、δのうちのどれに置き換えるかを決めると、それに連動して、β、γ、δがどの解に置き換わるかも自動的に決まってしまます。たとえばαをβ(=α2)に置き換えると、(β、γ、δ)=(α2、α3、α4)は、

(β、γ、δ) = (α2、α3、α4)

↓ αをβに置き換える

2、β3、β4) = ((α2)2、(α2)3、(α2)4) = (α4、α6、α8) = (α4、α1、α3) = (δ、α、γ)

となるので、

(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)

のように置き換わります。αの置き換え方は4通り(α、β、γ、δの4つ)なので、この4次方程式x4+x3+x2+x+1=0の解の置き換え方は次の4通りとなります

(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ)  = (α、α2、α3、α4)

(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)  = (α2、α4、α6、α8)

(α、β、γ、δ) → (γ、α、δ、β)  = (α3、α6、α9、α12)

(α、β、γ、δ) → (δ、γ、β、α)  = (α4、α8、α12、α16)

あるいはx4-5x2+6=(x2-2)(x2-3)=0 という方程式を考えます。解は√2、-√2、√3、-√3の4つですが、この場合「√2と-√2の置き換え」や「√3と-√3の置き換え」は許されますが、「√2と√3の置き換え」は許されません。

なぜかというと、(√2)2 -2 = 0、という式を考えると分かります。この式で√2を√3に置き換えると、左辺は(√3)2 -2 = 1となり、一方、右辺は0のままです。このような等式を破壊してしまうような解の置き換え方は認められません。そのため、可能な解の置き換え方は4通りになります。ただし、4通りの置き換え方のパターン(解の置き換えの「群」)は、5次円分方程式ときの4通りの置き換えパターンとは異なっています。(α、β、γ、δ) = (√2、-√2、√3、-√3)と置くと、可能な置き換え方は

(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ)  = ( √2、-√2、 √3、-√3)

(α、β、γ、δ) → (β、α、γ、δ)  = (-√2、 √2、 √3、-√3)

(α、β、γ、δ) → (α、β、δ、γ)  = ( √2、-√2、-√3、 √3)

(α、β、γ、δ) → (β、α、δ、γ)  = (-√2、 √2、-√3、 √3)

となります

では、「認められる置き換え方」であるためにはどのような条件を満たす必要があるのかというと、それは

  • 「解の置き換えをおこなうとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」

というものです。つまり解θの最小多項式f(x)とすると、解の置き換えをしたときに、θはf(x)の根θ1、...、θnのどれか(この中にはθ自身も入っています)に移らなければなりません。この条件を満たしていれば、等式に対して解の置き換えをおこなっても、等式が破壊されることはありません。

簡単な場合帰着させる

解の置き換えであるための必要条件が出ましたが、この条件だけではx4+x3+x2+x+1=0のときのような、解の置き換えで複数の解の動きが連動しているような場合をどう考えればいいのかは、まだ分かりません。x4+x3+x2+x+1=0のときは一つの解の動きを決めれば他の解の動きが決まりましたが、方程式によっては解の間の関係もっとずっと複雑にもなりえます

しかしそれは、たくさんの解を一度に考えるから解の間の関係が複雑になって混乱するのです。

もしもx4+x3+x2+x+1=0のときの解αのように、ただ一つの解の動きだけを考えて全ての置き換えが決まってしまうならば、話はずっと簡単になります

そして、その「一つの解の動きだけを考える」ようにしているのが、

です。

体に注意を向けたほうがいい。添加体を考えれば、補題3の主張は一行で書ける」

K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V)

(10.3.3節「補題3(Vを根で表す)」p.369)

これによって、「解α1、α2、α3、...、αmの置き換え」ではなく、ただひとつの「Vの置き換え」だけを考えればいいことになります

これと、解の置き換えの必要条件「解の置き換えをおこなったとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」を合わせると、「解の置き換え方の可能な全パターン」とは、「Vから、Vの共役への置き換えのうちで、可能なものすべて」となります

そして補題4(Vの共役)は、「Vの(共役への)置き換え」をすると、もとの多項式f(x)の根α1、α2、α3、...、αmの間の置き換えが発生するという性質を述べています。つまり「Vの置き換え」によって「方程式f(x)=0の解の、可能な置き換えが実現される」わけです。

この考えにもとづいて「解の置き換えの群」を定義しているのが、定理1(≪方程式ガロア群≫の定義)の説明の途中の、10.4.4節「ガロア群の作り方」です。

(ガロアは正規拡大の場合にだけ「解の置き換えの群」を定義したので、正規拡大のときの「解の置き換えの群」を「ガロア群」と呼びます)

体と群の対応関係証明する

前節で、証明のかなめとなるVと「解の置き換えの群」が定義されました。Vの最小多項式fV(x)の次数をnとすると、次が成り立ちます(最小多項式は既約で、既約多項式は重根を持たないので、Vの共役の個数は最小多項式の次数nと一致することに注意する)。

  • K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V) の拡大次数はnである
  • (Vの共役はちょうどn個あるので)「解の置き換え方の可能な全パターン」の個数は、n以下である

※1 考えている体K(V)に含まれない数へのVの置き換えは「解の置き換え」には認められないので、「解の置き換え方の個数」と「共役の個数」は一致するとは限りません。

※2 「最小多項式」は8.2.8節「Q(√2+√3)/Q」と8.2.9節「最小多項式」で説明されていますが、最小多項式が既約であることと一意に決まること(8.2.9節p.282)は、定義(可約と既約)と補題1(既約多項式性質)から証明されます

そして、

  • K(V) (=K(α1、α2、α3、...、αm) ) が正規拡大の場合、「解の置き換え方の全パターン」は、ちょうどn個ある(なぜなら、正規拡大ではVの共役がすべてK(V)に入っているため、VからVのどの共役への置き換えも「解の置き換え」として認められるので)。

したがって正規拡大のときには、

  • K(α1、α2、α3、...、αm)の拡大次数 = 「解の置き換えの群」の要素数 = n

という等式が成り立ちます。この関係が「体と群の対応」の第一歩目になります

このとき(つまり正規拡大のとき)、

が成り立ちます。実のところこの性質1と性質2は

  • ≪体の塔≫と≪群の塔≫の一番下の段が、互いに対応している

ことを主張しています

そして定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)と定理4(縮小したガロア群の性質)で、

  • ≪体の塔≫と≪群の塔≫の中間の段が、互いに対応している

ことを主張しています

定理3(補助方程式のすべての根を添加)と定理4で、

ことを主張しています

このように定理1、定理2、定理3、定理4によって、体と群の対応が示されます

定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)に進む

方程式代数的に(つまり冪乗根によって)解けるかという問題は

と言い換えられます。そして、

  • 「1の原始p乗根が最初から係数体Kの元にあるとする」(p.403)と、Kに冪乗根「p√a」を添加したK(p√a)は、Kの正規拡大になる

ので、「適切な冪乗根が存在するか」という問題は「適切な正規拡大が存在するか」という問題になり、体と群の対応により

という問題になります。この「適切な正規部分群があるかどうか」をもっと詳しく正確に述べたのが定理5です。

まとめ

まとめると、第10章の流れは次のようになっています

  1. 補題1(既約多項式性質)
  2. 補題2(根で作るV)、補題3(Vを根で表す)
    • すべての根α1、α2、α3、...、αmの添加を、ただひとつの要素Vの添加に帰着させる。
  3. 定理1の説明(10.4.4「ガロア群の作り方」) + 補題4(Vの共役)
    • (添加したVを使って)ガロア群(「解の置き換えの群」)を定義する。
  4. 定理1(≪方程式ガロア群≫の定義)、定理2(≪方程式ガロア群≫の縮小)、定理3(補助方程式のすべての根の添加)、定理4(縮小したガロア群の性質)
  5. 定理5(方程式代数的に解ける必要十分条件)

それでは改めて第10章を読んでいきましょう。



(追記: 数式の間違いの指摘ありがとうございます。訂正しました)

2014-02-13

http://anond.hatelabo.jp/20140212173806

話の暗黙の了解飛ばし定義を一部追加し分かりやすくした。

F(x),G(x,y),H(y)∃x∃a∃b

∃x∃a∃b((F(x)∧(G(x,a)∨¬G(x,b))∧(H(a)∧H(b)))

F(x)「xは小児性愛である

G(x,y)「xはyを性的対象とする」

H(y)「yは小児である

まず、記号で書くのに暗黙の了解を入れたら何も意味がないと思うんですが…

で、1行目は何の意味があるのかな?それ、なんと解釈するのか説明してもらえます

で、こちらの

A「小児性愛者は子供性的対象としてみる」

B「小児性愛者というのは、皆が皆、子供性的対象として見てるわけではない」

について、これをあなたが主張してる、ということはまずいい?そこは間違って無い?それを両方主張してる、ということは?

其の上で、あなたは、AとBは矛盾しない、と言ってる、と。そこまでは正しいですか?

其の上で、上の式を出して説明している、と。そこまでは正しく理解できてますかね?

さて、そこで上の2番目の式ですが、

F(x)

は、単に小児性愛者という人が存在する、と。

(H(a)∧H(b))

はあるaとbが共に小児である、ことがある、と。いいですね?

(G(x,a)∨¬G(x,b))

ふむ、これは、「あるxにとって性的対象なaがいる。」または「あるxにとって性的対象でないbがいる」と。

合わせると、

「ある小児性愛者が居て、そいつにとって、性的対象である小児がいる、または性的対象でない小児がいる」ということになりますが、正しいでしょうか?

どこかおかしかったら訂正してくださいますか?

これは少しこちらが誤解してました、すいません。

こちらのBは、「小児性愛者」自体の話だったんですが、あなたはなぜか勝手に変更して、対象の方を変更してしまってるので、あまり無意味な話をしてますね?

あなたの主張は、小児性愛者、と言う中にも、子供が好きだから孤児院とか幼稚園とかに寄付をして子供の成長を助ける様な人が居て利点がある、

と主張してるんだと思いましたが

逆に言うと、そのことは一体何のための言動だったのでしょうか?今度はそこが矛盾しますね?

そこを無矛盾解釈しようと思って出した答えがA∨¬Aみたいな話だったんですが、その前の時点で矛盾してたわけですね?

とりあえず、他でも言ってる様に、「小児性愛者は子供性的に扱う」ということはそれはもう確固たる事実でよろしいですね?

孤児院とか幼稚園とかに寄付するのは、そこに性的対象いるから、という場合のみ。

そうでないのに寄付するのは小児性愛でもなんでもありませんね?ただの子供を大事に思う人です。

2014-02-10

http://anond.hatelabo.jp/20140210065514

人を批判すれば差別なのだろうか。それは違うと思いますけどね。

正直に言いなさい。

貴方はそれを私をバカにするつもりで使いましたよね?

少なくとも、私は不快に思いましたし、

増田での使い方を見る限り、人をバカにするときに使うのが一般的ですよね?

もし、あなた差別擁護として使ってないとしても、明らかに一般的には差別用語として捉えられるし、言われて不快に思う人が多いことくらいは

その言葉を使った時点で理解してるはずです。

理解してないとしたら、小児性愛を理解しろ、などと言う以前の問題です。

それとも、博愛主義者になると、相手がどう捉えようが言ってる本人に自覚がなければ差別にはならない、ということでしょうか?

他人に危害を与えようが、その意思が無ければ問題ない、ということでしょうか?

いえ、別に感情的に話すことと、そのことは何の関係もないです。

人間社会を理解できないの?お猿さん?

F(x),G(x,y),∃x∃a∃b

∃x∃a∃b(F(x)∧(G(x,a)∨¬G(x,b)))

えーと、これ、上の部分、何の意味があるのかな?yは何かな?

でさ、

A「小児性愛者は子供性的対象としてみる」

B「小児性愛者というのは、皆が皆、子供性的対象として見てるわけではない」

これは間違ってるのかな?あなた、この二つを繰り返し発言してるんだけど。

これが間違ってるというなら、正しく訂正してくれますか?

上のFとGとxとyが何に当たるか説明してくれますか?

申し訳ありませんが、あなたトンデモ理論はわかりかねますので。

F(x):子供性的対象としてみる

S:小児性愛

として、

Aは

∀a∈S F(a)

Bは

∃a∈S ¬F(a)

と書けます。ここまではいいですか?

¬A=¬(∀a∈S F(a))=∃a∈S ¬F(a)=B

ですね?したがって

A∨B=A∨¬A

となりトートロジーですね?猿でも分かる論理学ですね?

量化子の意味を理解してるのでしょうか?

まず、それを証明する必要があります

また、害になるとしても、それらを押し付けることを肯定できるかどうかも問題ですね。

子供がわからないうちに性的虐待を受けて、成長した後、その意味を知った時点で大変大きな精神的障害を持つことは理解できると思います

その場合子供の時点で、やられてることはよく分かってないし、お菓子をもらったら嬉しくてやられても特に気にしない、という自体があります

害ですね、どう考えても。

それらを押し付けることによって、少なくともそのような害を減らせていますし、

それによる問題は特に今のところ見受けられません。

これについて、ストローマンは受け付けません。

2013-11-24

長方形の面積を「縦かける横」でもとめなければいけない理由

それは、グラフの横がエックスで、縦がワイだから

長方形の面積を「縦かける横」でもとめなければいけない理由。

厳密にいうと、そんなものありません。

ただ「縦かける横」でもとめた方が美しいというだけです。

しかし、なぜ美しいかには、根拠があったらいいなと思っています

それでいろいろと考えてみました。

説明のため、関数グラフを思い出してください。

横軸は必ずX軸で、縦軸は必ずY軸でした。

長方形の面積を「縦かける横」でもとめたほうがいい理由は、ここにあります

と、ぼんやりわたしは思っています

話は積分にまで飛びます

積分記号を思い出すと、

S f(x) dx

みたいなかたちをしていました。

インテグラルは書けないので、都合上Sにしておきました。

この式は、縦f(x)、横dxの長方形を、たくさん足しあわせましたよ、という意味です。

ところが、

S dx f(x)

と書く人は誰もいません。

もし、「横かける縦」が世界スタンダードならば、積分の式はみな書きかわるでしょう。

そんなことは起こらず、みな「縦かける横」と矛盾しないかたちで、積分の式を書いています

世界今日平和です。

普通はy=f(x)の組み合わせで文字を使う慣習があります

そこで、わたしはこう考えました。

長方形の面積を「縦かける横」でもとめたほうがいい理由は、グラフの横軸X軸で、縦軸がY軸だから

ま、記憶ヒモつける程度の妄想なわけですが。

2013-07-03

テスト

http://anond.hatelabo.jp/20130703225118

ちなみにtex記法を使おうと思ってたけどすごいことになったね。

[tex:\bigsum_{n=1}^{N}{A_n}]
[tex:\lim_{x\rightar{a}}\frac{f(x)}{g(x)}]

まあそんなもん増田で使わねーよボケが。というのはおいといて。

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