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はてなキーワード: ホログラフィーとは
2. 波動関数がシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。
Hilb は次の性質を持つ。
- (S ∘ T)† = T† ∘ S†
- (T†)† = T
- id_H† = id_H
- (T ⊗ S)† = T† ⊗ S†
- 評価射: eval_H: H* ⊗ H → ℂ
- 共評価射: coeval_H: ℂ → H ⊗ H*
- (id_H ⊗ eval_H) ∘ (coeval_H ⊗ id_H) = id_H
- (eval_H ⊗ id_H*) ∘ (id_H* ⊗ coeval_H) = id_H*
⟨φ|ψ⟩ = (φ† ∘ ψ): ℂ → ℂ
⟨A⟩ψ = (ψ† ∘ A ∘ ψ): ℂ → ℂ
U(t) = exp(-iHt/ħ): H → H
- 射: t₁ → t₂ は t₂ - t₁ ∈ ℝ
- 射の対応: F(t₁ → t₂) = U(t₂ - t₁)
ψ(t₂) = U(t₂ - t₁) ∘ ψ(t₁)
U(t₃ - t₁) = U(t₃ - t₂) ∘ U(t₂ - t₁)
H_total = H_BH ⊗ H_rad
U_total(t): H_total → H_total
- U_total(t) はユニタリ射。
E(ρ_in) = Tr_H_BH (U_total ρ_in ⊗ ρ_BH U_total†)
- Tr_H_BH: H_BH 上の部分トレース
- 存在定理: 任意の完全正なトレース保存マップ E は、あるヒルベルト空間 K とユニタリ作用素 V: H_in → H_out ⊗ K を用いて表現できる。
E(ρ) = Tr_K (V ρ V†)
- バルクの圏 Hilb_bulk: ブラックホール内部の物理を記述。
- 境界の圏 Hilb_boundary: 境界上の物理を記述。
- G は忠実かつ充満なモノイドダガー関手であり、情報の完全な写像を保証。
- バルク: F_bulk: Time → Hilb_bulk
- 境界: F_boundary: Time → Hilb_boundary
- 各時刻 t に対し、η_t: F_bulk(t) → G(F_boundary(t)) は同型射。
η_t₂ ∘ U_bulk(t₂ - t₁) = G(U_boundary(t₂ - t₁)) ∘ η_t₁
- これにより、バルクと境界での時間発展が対応し、情報が失われないことを示す。
量子力学を圏論的に定式化し、ユニタリなダガー対称モノイド圏として表現した。ブラックホール情報パラドックスは、全体系のユニタリ性とホログラフィー原理を圏論的に導入することで解決された。具体的には、ブラックホール内部と境界理論の間に忠実かつ充満な関手と自然変換を構成し、情報が圏全体で保存されることを示した。
ブラックホール情報パラドックスは、量子場の理論と一般相対性理論の整合性に関する根本的な問題だ。以下、より厳密な数学的定式化を示す。
量子力学では、系の時間発展はユニタリ演算子 U(t) によって記述される：
|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩
ここで、U(t) は以下の性質を満たす：
U†(t)U(t) = U(t)U†(t) = I
これは、情報が保存されることを意味し、純粋状態から混合状態への遷移を禁じる。
ブラックホールの形成過程は、一般相対性理論の枠組みで記述される。シュワルツシルト解を考えると、事象の地平面の半径 rₛ は：
rₛ = 2GM/c²
ここで、G は重力定数、M はブラックホールの質量、c は光速。
ホーキング放射による蒸発過程は、曲がった時空上の量子場の理論を用いて記述される。ホーキング温度 T_H は：
T_H = ℏc³/(8πGMk_B)
ブラックホールが完全に蒸発した後、初期の純粋状態 |ψᵢ⟩ が混合状態 ρ_f に遷移したように見える：
|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| → ρ_f
ホログラフィー原理は、(d+1) 次元の重力理論が d 次元の場の理論と等価であることを示唆する。ブラックホールのエントロピー S は：
S = A/(4Gℏ)
ここで、A は事象の地平面の面積。これは、情報が事象の地平面上に符号化されていることを示唆する。
AdS/CFT対応は、d+1 次元の反ド・ジッター空間 (AdS) における重力理論と、その境界上の d 次元共形場理論 (CFT) の間の等価性を示す。AdS 空間の計量は：
ds² = (L²/z²)(-dt² + d𝐱² + dz²)
CFT の相関関数は、AdS 空間内のフェインマン図に対応する。例えば、2点相関関数は：
ここで、m は AdS 空間内の粒子の質量、L は測地線の長さ。
量子エンタングルメントは、ブラックホール情報パラドックスの解決に重要な役割を果たす可能性がある。2粒子系のエンタングルした状態は：
|ψ⟩ = (1/√2)(|0⟩_A|1⟩_B - |1⟩_A|0⟩_B)
ER=EPR 仮説は、量子エンタングルメント（EPR）とアインシュタイン・ローゼン橋（ER）の等価性を示唆する。これにより、ブラックホール内部の情報が外部と量子的に結合している可能性が示される。
超弦理論は、ブラックホール情報パラドックスに対する完全な解決策を提供するには至っていないが、問題に取り組むための数学的に厳密なフレームワークを提供している。
ホログラフィー原理、AdS/CFT対応、量子エンタングルメントなどの概念は、このパラドックスの解決に向けた重要な手がかりとなっている。
今後の研究では、量子重力の完全な理論を構築することが必要。特に、非摂動的な超弦理論の定式化や、時空の創発メカニズムの解明が重要な課題となるだろう。
僕は専門外だけどスラスラ読めた。
評価書には " He is a genius." とひと言だけ書かれていたとかなんとか。（噂。確認してない）
寝る前にちょっとだけ読み進めていたのが6章あたりから止まらなくなった。
とにかく熱い！ 第一次／第二次ストリング革命の熱気が！感動が！時を超えて伝わってくる。
基本的にお話だと思って読んでよいとおもう。たとえわからなくても熱気だけは伝わる。
数式を避け、簡単なことばを選んで専門用語を説明していく。
リーマン幾何学みたいな図が描いてあるなと思ったら「為替相場」と「裁定機会」とある。なんだこれ！
なんだこれはと思いつつ最後まで読むと理解できてしまう。ゲージ原理が！為替相場で！
ヤン=ミルズ場のゲージ変換なんてすごい。各サイト上に球面「ものさし」を置いて、局所的に回転することで視覚的に説明してしまう！
図を見ると一目瞭然なのでぜひ見て欲しい。
素晴らしい一冊。
めっちゃ特徴を捉えていて笑えてくる。これだけでも個人的には買ってよかった。
最近はてなで人気のホログラフィー原理は８章から。３章くらいから読むといいかな？
わからないところは飛ばしても読める。なぜか雰囲気で読めてしまう。
これなんだっけと前のページをめくるのが辛い。
「この顔イラスト見て見て！」とかやるのにページめくるの辛い。
