■楕円曲線の場合のホモロジカル・ミラー対称性

定理（楕円曲線の場合のホモロジカル・ミラー対称性）

複素数体上の楕円曲線 E と、そのミラー対称である双対楕円曲線 Eᐟ を考える。このとき、E のフクヤ圏 𝓕(E) は、Eᐟ の連接層の有界導来圏 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) と三角圏として同値である。

𝓕(E) ≃ 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ))

証明：

1. フクヤ圏 𝓕(E) の構成

• 対象： 楕円曲線 E 上のラグランジアン部分多様体 L と、その上の平坦な複素ラインバンドル（局所系） ∇ のペア (L, ∇) を対象とする。E はトーラス（ℝ² / ℤ²）であり、ラグランジアン部分多様体は一次元の閉曲線で、被覆空間上で直線に対応する。

• 射： 2つの対象 (L₀, ∇₀) と (L₁, ∇₁) の間の射は、フロアーコホモロジー群 𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) である。

• フロアーコホモロジーの計算：

1. 交点の特定： L₀ と L₁ が E 上で交わる点の集合を 𝑃 = L₀ ∩ L₁ とする。

2. 生成元の設定： フロアーコホモロジー群の生成元は、各交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対応する形式的なシンプレクティック・チェーンである。

3. 次数の計算： 各交点 𝑝 の次数 𝑑𝑒𝑔(𝑝) は、マスロフ指標やラグランジアンの相対的な位置関係から決定される。

4. 微分の定義： フロアー微分 𝑑 は、擬正則ストリップの数え上げによって定義されるが、楕円曲線上では擬正則ディスクが存在しないため、微分は消える（𝑑 = 0）。

5. コホモロジー群の計算： よって、𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) は生成元の自由加群となる。

• 𝐴∞ 構造： フクヤ圏の多項式的な合成写像 μⁿ は、擬正則多角形の数え上げによって定義される。楕円曲線上では、これらの数え上げは有限であり、具体的に計算可能である。

2. 連接層の有界導来圏 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) の構成

• 対象： Eᐟ 上の連接層（例えば、線束やその複体）。

• 射： 2つの連接層 𝓔 と 𝓕 の間の射は、導来圏における Ext 群である：

𝐻𝑜𝑚ⁱ(𝓔, 𝓕) = 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓔, 𝓕)

• 合成： 射の合成は、Ext 群の Yoneda 合成により定義される。

3. 関手 Φ: 𝓕(E) → 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) の構築

• ポワンカレ束の利用： 楕円曲線 E とその双対 Eᐟ は、ポワンカレ束 𝓟 を用いて関連付けられる。これは E × Eᐟ 上の連接層であり、双方の間のフーリエ–ムカイ変換の核となる。

• 関手の定義： フクヤ圏の対象 (L, ∇) に対し、以下のように関手 Φ を定義する：

Φ(L, ∇) = 𝑝₂*(𝑝₁*(𝓛ₗ) ⊗ 𝓟)

ここで、𝑝₁: E × Eᐟ → E、𝑝₂: E × Eᐟ → Eᐟ は射影であり、𝓛ₗ は L に対応するラインバンドルである。

4. 関手 Φ が忠実であることの証明

• フロアーコホモロジーと Ext 群の対応：

1. フロアーコホモロジーの計算：

- L₀ と L₁ の交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対し、そのフロアーコホモロジー群は生成元 [𝑝] で張られる。

- 次数 𝑑𝑒𝑔([𝑝]) は、ラグランジアンの相対的な位相データとモノドロミーから決定される。

2. Ext 群の計算：

- Φ(L₀, ∇₀) = 𝓛₀、Φ(L₁, ∇₁) = 𝓛₁ とすると、Ext 群は

𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) ≅

{ ℂ, 𝑖 = 0, 1

0, 𝑖 ≠ 0, 1 }

3. 対応の確立： フロアーコホモロジー群 𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) と Ext 群 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) は次数ごとに一致する。

5. 関手 Φ が圏同値を与えることの結論

• 関手 Φ は忠実かつ完全であり、対象の全射性も満たすため、圏同値を与える。

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