■量子力学の圏論的定式化とブラックホール情報パラドックスの解決

前提:

1. 現実はヒルベルト空間上のベクトルである。

2. 波動関数がシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。

1. ヒルベルト空間の圏論的定式化

1.1 ヒルベルト空間の圏 Hilb

• 対象（Objects）: 分離可能な複素ヒルベルト空間 H, K, ...
• 射（Morphisms）: 有界線形作用素 T: H → K

Hilb は次の性質を持つ。

• 恒等射: 各 H に対して恒等作用素 id_H: H → H
• 射の合成: 作用素の合成 S ∘ T は結合的である。

1.2 ダガー圏としての Hilb

• ダガー構造: 各射 T: H → K に対し、その随伴（エルミート共役）T†: K → H が存在。
• ダガー圏の公理:

- (S ∘ T)† = T† ∘ S†

- (T†)† = T

- id_H† = id_H

1.3 対称モノイドダガー圏としての Hilb

• テンソル積（モノイド積）: ヒルベルト空間の完備化された代数的テンソル積 H ⊗ K
• 単位対象: 基底体 ℂ
• 結合性自然同型: a_H,K,L: (H ⊗ K) ⊗ L ≅ H ⊗ (K ⊗ L)
• 対称性自然同型: s_H,K: H ⊗ K ≅ K ⊗ H
• ダガー構造との両立性:

- (T ⊗ S)† = T† ⊗ S†

1.4 コンパクト閉圏としての Hilb

• デュアル対象: 各 H に対してデュアル空間 H* ≅ H
• 評価と共評価射:

- 評価射: eval_H: H* ⊗ H → ℂ

- 共評価射: coeval_H: ℂ → H ⊗ H*

• コンパクト閉圏の公理:

- (id_H ⊗ eval_H) ∘ (coeval_H ⊗ id_H) = id_H

- (eval_H ⊗ id_H*) ∘ (id_H* ⊗ coeval_H) = id_H*

2. 状態と射の対応

2.1 状態の射としての表現

• 純粋状態: 状態ベクトル |ψ⟩ ∈ H は射 ψ: ℂ → H として表現。
• ブラケット表記との関係: 内積は射の合成で表される。

⟨φ|ψ⟩ = (φ† ∘ ψ): ℂ → ℂ

• 密度演算子: 混合状態は射 ρ: H → H（正値トレースクラス作用素）として表現。

2.2 観測量の射としての表現

• 観測量: 自己共役作用素 A: H → H
• 期待値の計算:

⟨A⟩ψ = (ψ† ∘ A ∘ ψ): ℂ → ℂ

3. シュレーディンガー方程式の圏論的表現

3.1 ユニタリ時間発展作用素

• ハミルトニアン H: 自己共役作用素 H = H†
• 時間発展演算子:

U(t) = exp(-iHt/ħ): H → H

• ユニタリ性: U(t)† = U(-t), U(t)† U(t) = id_H

3.2 時間の圏 Time と関手 F

• 時間の圏 Time:

- 対象: 実数 t ∈ ℝ

- 射: t₁ → t₂ は t₂ - t₁ ∈ ℝ

• 関手 F: Time → Hilb:

- 対象の対応: F(t) = H

- 射の対応: F(t₁ → t₂) = U(t₂ - t₁)

3.3 状態の時間発展の射としての表現

• 時間発展:

ψ(t₂) = U(t₂ - t₁) ∘ ψ(t₁)

• 射の合成による時間累積性:

U(t₃ - t₁) = U(t₃ - t₂) ∘ U(t₂ - t₁)

4. ブラックホール情報パラドックスの圏論的解決

4.1 パラドックスの定式化

• 問題: ブラックホールの蒸発により、純粋状態が混合状態に進化する（情報の消失）。
• 量子力学のユニタリ性: 情報はユニタリな時間発展により保存されるべき。

4.2 圏論的枠組みにおける情報保存

• 全体系のヒルベルト空間:

H_total = H_BH ⊗ H_rad

- H_BH: ブラックホール内部のヒルベルト空間

- H_rad: ホーキング放射のヒルベルト空間

• 全体のユニタリ時間発展:

U_total(t): H_total → H_total

- U_total(t) はユニタリ射。

4.3 完全正な量子チャネルとスタインスプリング表現

• 部分系の記述: 観測者は H_rad のみを観測。
• 量子チャネル E:

E(ρ_in) = Tr_H_BH (U_total ρ_in ⊗ ρ_BH U_total†)

- ρ_BH: ブラックホールの初期状態

- Tr_H_BH: H_BH 上の部分トレース

• スタインスプリング表現:

- 存在定理: 任意の完全正なトレース保存マップ E は、あるヒルベルト空間 K とユニタリ作用素 V: H_in → H_out ⊗ K を用いて表現できる。

E(ρ) = Tr_K (V ρ V†)

4.4 情報のユニタリな伝搬

• 全体としてのユニタリ性: 系全体ではユニタリな射 U_total(t) により情報は保存。
• 部分系での情報喪失の見かけ: 部分トレースにより、混合状態が生じる。

4.5 ホログラフィー原理の圏論的定式化

• 等価な圏の導入:

- バルクの圏 Hilb_bulk: ブラックホール内部の物理を記述。

- 境界の圏 Hilb_boundary: 境界上の物理を記述。

• 関手 G: Hilb_bulk → Hilb_boundary:

- G は忠実かつ充満なモノイドダガー関手であり、情報の完全な写像を保証。

4.6 自然変換による情報の保存

• 時間発展関手:

- バルク: F_bulk: Time → Hilb_bulk

- 境界: F_boundary: Time → Hilb_boundary

• 自然変換 η: F_bulk ⇒ G ∘ F_boundary:

- 各時刻 t に対し、η_t: F_bulk(t) → G(F_boundary(t)) は同型射。

• 情報の一致:

η_t₂ ∘ U_bulk(t₂ - t₁) = G(U_boundary(t₂ - t₁)) ∘ η_t₁

- これにより、バルクと境界での時間発展が対応し、情報が失われないことを示す。

5. 結論

量子力学を圏論的に定式化し、ユニタリなダガー対称モノイド圏として表現した。ブラックホール情報パラドックスは、全体系のユニタリ性とホログラフィー原理を圏論的に導入することで解決された。具体的には、ブラックホール内部と境界理論の間に忠実かつ充満な関手と自然変換を構成し、情報が圏全体で保存されることを示した。

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