import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

def simulate_correlation(n_samples=10000):
    # シナリオ1: AとSが一様乱数(0〜100)の場合
    A1 = np.random.uniform(0, 100, n_samples)
    S1 = np.random.uniform(0, 100, n_samples)
    O1 = S1 - A1

    # シナリオ2: Aが一様乱数(0〜100)、Sが60周辺の正規分布の場合
    A2 = np.random.uniform(0, 100, n_samples)
    S2 = np.random.normal(60, 10, n_samples)
    S2 = np.clip(S2, 0, 100)  # 0〜100の範囲に制限
    O2 = S2 - A2

    # 相関係数の計算 (AとOの間)
    corr1 = stats.pearsonr(A1, O1)[0]
    corr2 = stats.pearsonr(A2, O2)[0]

    # 結果のプロット
    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

    ax1.scatter(A1, O1, alpha=0.1)
    ax1.set_title(f'シナリオ1: 相関係数 = {corr1:.3f}')
    ax1.set_xlabel('実際の能力 (A)')
    ax1.set_ylabel('過大評価 (O)')

    ax2.scatter(A2, O2, alpha=0.1)
    ax2.set_title(f'シナリオ2: 相関係数 = {corr2:.3f}')
    ax2.set_xlabel('実際の能力 (A)')
    ax2.set_ylabel('過大評価 (O)')

    plt.tight_layout()
    plt.show()

    return corr1, corr2

# シミュレーションの実行
corr1, corr2 = simulate_correlation()
print(f"シナリオ1の相関係数 (AとO): {corr1:.3f}")
print(f"シナリオ2の相関係数 (AとO): {corr2:.3f}")

https://anond.hatelabo.jp/20240906145002

Permalink | 記事への反応(1) | 14:57

■anond:20240901012953

数理モデルをちゃんと理解してればお前みたいな曖昧な理解にならないよ。

変数: 実際評価A、セルフ評価S、過大評価O=S-A
命題: A~Oであることを証明せよ
証明: O(S,A)であり、OはAに対する関数であるため、証明完了。

つまりAとかSがなんであろうと、統計的に成立するってわけ。数字のマジックみたいなもの。だから、心理学とは無関係。

平均以上バイアスを加えたシミュレーションをするには、100点満点で、Sを60ぐらいで設定しておけばいい(ただしAは乱数)。そうすると相関がさらに強くなる。

Permalink | 記事への反応(1) | 14:50

2024-09-04

■[経済メモ] 公共政策の基礎

Vを社会福祉とすると、V(W_1,...,W_H)と表せる。

1,...,Hは社会のメンバーに割り当てられた番号であり、Wは満足度である。

政府は、公共財GやインフラIの供給量を決定する。

また、それぞれのメンバーhに財貨やサービスの転換T_hを課す(e.g. 所得税)。

また、T=(T_1,...,T_H)とおく。

Tが与えられた時、実現可能ベクトルの組(G,I)の集合をK_Tと表す。

メンバーの幸福度をW_h(X_h,G,I,T_h)と記す。

hの実現可能集合F_hはG,I, T_hによって定まるので、F_h(G,I,T_h,X_{-h})と記す。ただしX_hは消費ベクトルである。

W_hは消費ベクトルX_hからW_h(X_h)によって決まる。

最適な公共政策を決定するために、2段階ゲームを考える。

まず政府はTを選択し、さらにK_TからG,Iを選ぶ。

メンバーは政府による決定に対応して、次の行動を取る。

社会均衡X^*に到達していることとその均衡が一つしかないことを仮定する。均衡X^*はG,I,Tの関数である。

政府はその均衡を予測し、V(W(X_1^*),...,W(X_H^*))の結果を最大化するようにG,I,Tを選択する。

1. 位相空間と関数 空間

(G, I, T, X) をBanach空間とする：G = ℝᵐ, I = ℝⁿ, T = ℝᵏᴴ, X = ℝˡᴴ
社会福祉関数 V: ℝᴴ → ℝ を C² 級関数とする
個人満足度関数 Wₕ: ℝˡ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏ → ℝ も C² 級とする

2. 実現可能性集合

Kᴛ = {(G, I) ∈ ℝᵐ × ℝⁿ : A(G, I) ≤ B(T)}

ここで、A: ℝᵐ × ℝⁿ → ℝᵖ は線形写像、B: ℝᵏᴴ → ℝᵖ は凸関数

Fₕ(G, I, Tₕ, X₍₋ₕ₎) = {Xₕ ∈ ℝˡ : Cₕ(Xₕ, G, I, Tₕ) ≤ Dₕ(X₍₋ₕ₎)}

ここで、Cₕ: ℝˡ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏ → ℝᵠ は凸関数、Dₕ: ℝˡ⁽ᴴ⁻¹⁾ → ℝᵠ は線形写像

3. 均衡の存在と一意性

均衡 X*: ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ の存在を証明するために：

1. Fₕ が上半連続対応であることを示す

2. Wₕ が Xₕ に関して強凹であることを仮定

3. Kakutaniの不動点定理を適用

一意性の証明：

1. Wₕ の Xₕ に関する Hessian 行列が負定値であることを示す

2. 陰関数定理を用いて、均衡が一意に定まることを証明

4. 政府の最適化問題

max[G∈ℝᵐ, I∈ℝⁿ, T∈ℝᵏᴴ] V(W₁(X₁*(G, I, T), G, I, T₁), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T), G, I, Tᴴ))

制約条件：A(G, I) ≤ B(T)

5. KKT条件の導出

Lagrange関数を以下のように定義：

L(G, I, T, λ) = V(...) - λᵀ(A(G, I) - B(T))

KKT条件：

1. ∇ᴳL = ∇ᴵL = ∇ᵀL = 0

2. λ ≥ 0

3. λᵀ(A(G, I) - B(T)) = 0

4. A(G, I) ≤ B(T)

6. 感度分析

均衡 X* のパラメータ (G, I, T) に関する感度を分析するために：

1. 陰関数定理を適用：∂X*/∂(G, I, T) = -[∇ₓF]⁻¹ ∇₍ᴳ,ᴵ,ᵀ₎F

ここで、F は均衡条件を表す関数

2. 得られた感度を用いて、社会福祉関数 V の変化を評価

7. 動的拡張

時間を連続変数 t ∈ [0, ∞) として導入し、動的システムを以下のように定義：

dX/dt = f(X, G, I, T)

ここで、f: ℝˡᴴ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ は Lipschitz 連続

定常状態の安定性分析：

1. Jacobian 行列 J = ∂f/∂X を計算

2. J の固有値を分析し、局所安定性を判定

8. 確率的要素の導入

確率空間 (Ω, ℱ, P) を導入し、確率変数 ξ: Ω → ℝʳ を用いて不確実性をモデル化：

max[G,I,T] 𝔼ξ[V(W₁(X₁*(G, I, T, ξ), G, I, T₁, ξ), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T, ξ), G, I, Tᴴ, ξ))]

制約条件：P(A(G, I) ≤ B(T, ξ)) ≥ 1 - α

ここで、α ∈ (0, 1) は信頼水準

この確率的問題に対して：

1. サンプル平均近似法を適用

2. 確率的勾配降下法を用いて数値的に解を求める

Permalink | 記事への反応(0) | 18:38

■マイクラ バーサスの必勝法が定まってしまった

世界一売れてるゲームであるマインクラフトの公式が開催しているイベントに、マイクラバーサスというものがある。第5回まで開催された現在、これの必勝法が定まってしまったので、書き記しておく。

マイクラバーサスは、ヒカキンやVtuberなどの有名な実況者配信者を20人呼び、5人×4チームに分かれて特別に作られたマップの中で制限時間以内に最もポイントを稼いだチームが勝ちとなる。

ポイントは、採掘した鉱石を納品すること、相手プレイヤーを倒すこと、敵Mobを倒すこと、このいずれかで得ることができる。

ポイントの割り振りやマップやその他特別な要素は変動するが、基本的なルールは変わらない。

世界一売れてるゲームということは世界一キッズの多いゲームでもあるので、軽く荒れてしまうこともある。

皆勤参加者のひとりにはマイクラ専門youtuber であるドズル社のメンバーおんりーがいるのだが、そのプレイスキルの高さにより無双し、他の参加者のファンからはヘイトを買い、殿堂入りという名の出禁にしろとの声が上がるような事態となっていた。それをうけてなのか第4回と第5回はナーフが入り、MVP装備と称して特別な防具が配られ、防御力を上げられない縛りがついていた。

その第5回目が8月31日に開催されていたが、攻略法が定まってしまった。第4回でも前述のおんりーがいるチームが優勝したのだが、そのときと同様の戦略をとり、今回もまた優勝した。

その戦略とは、「ゲーム開始から60分経過すると開放されるエンドで最速で1匹目のエンダードラゴンを倒し、得た経験値を消費してツルハシに幸運IIIのエンチャントを付与してダイヤモンドを効率よく採掘する」である。

何回か復活するエンダードラゴンは倒すごとに3000ポイントを得られるが、最初の一体を倒したときに限り大量の経験値を落とす。この経験値を消費することにより、レベルの高いエンチャントを付与することができる。その結果、1個200ポイントのダイヤモンドを1ブロックから2〜3個回収できるようになる。これでゲームの勝敗が決してしまう。

第4回からのリピーターはおんりー以外にもいたため、他のチームもエンチャントを付与する作戦に出ていた。しかしそちらは二位と三位となった。一匹目のエンダードラゴンを倒さないことには経験値が足りないため、レベルの高い強力なエンチャントを量産することができなかったのだ。なお細かいことを言うと、エンチャント以外にも、鉱石の掘り方や地面の下り方などのプレイスキルの差も出てはいた。出てはいたが、大した変数ではない。

制限時間3時間のうち、1時間が経過するとエンドが開放される。エンドにいるエンダードラゴンを倒すと大量の経験値を得て、強力なエンチャントを量産することができ、ダイヤモンドを他チームの数倍の効率で入手することができ、優勝が決まる。結果から語れば180分中の60分の時点で勝敗が決まるし、そのあとは画的にもひたすらブロックを掘削する作業的なシーンが長く続いてしまうゲームということになる。これではさすがにつまらない。

なので次回が開催される頃にはさらにルール改訂が入るとは思う。

・プレイヤーはRTA 日本一クラスのガチ勢からエンジョイ勢 Vtuberまでピンキリ

・チームは「界隈」事に固まってるため実力差はデカめ

・視聴者層はキッズ多め

・3時間という長丁場

という環境下で見世物として最後までうまく成立するルールを作る、この難しい問題をどう対処するのか、次回のマイクラバーサスが楽しみである。

余談だが、「見世物として最終盤に勝敗を決する盛り上がりが来てほしいが、前半戦が茶番にもならないでほしい」問題をどう処理するかの一例は、TBSのクイズ番組「東大王」にあった。「最終ブロックの東大生チームVS芸能人チームの早押しクイズで全体の勝敗が決まるが、それまでのブロックでの勝利点の分だけポイントが加算済みで始まる」というシステムになっていた。ブロックごとに区切りがある形式でないと採用できないが、これはうまい解決策だったと思う。

Permalink | 記事への反応(0) | 03:53

2024-09-03

■三次の射影

プロット

数学の世界には無限の可能性が広がっている。無数のパターンやそれらに隠された法則。

三人の応用数学者が、自分の全霊魂を賭けてある難問に挑んでいる。

登場人物

ドミニク・シュタイナー（Dominik Steiner）

ドイツ人
ドミニクは幼少期から、秩序と論理の重要性を教え込まれて育った。彼にとって、数学は完璧な秩序の象徴であり、すべての問題には解決策が存在すると信じている。彼は感情や不確実性を嫌い、すべてが論理的に説明できるべきだと考えている。彼の研究室は、無機質で機能的なデザインに統一されており、彼自身のアプローチも冷静かつ計算されたものだ。

アレク サンドラ・イワノフ（Alexandra Ivanov）

ロシア人
アレクサンドラは、数学を革命の道具として見ている。彼女にとって、数学の発見は世界を変える力を持ち、既存の社会秩序を打破するための鍵だ。彼女は、数の美しさと可能性を追求しながらも、それを人々の解放や社会変革に結びつけることを目指している。彼女の研究室は、数学書と革命的なポスターで埋め尽くされており、彼女の目は常に未来を見据えている。

ケンジ・タカハシ（Kenji Takahashi）

日本人
ケンジは、数学を芸術の一形態と捉えている。彼にとって、数とは無限の美しさを秘めた存在であり、論理だけでなく直感と感性も重要な役割を果たすと信じている。彼は、複雑な数式に潜むシンプルな美しさを見つけ出すことに情熱を注いでいる。彼の研究室は、伝統的な日本の美意識が反映された静かな空間で、そこには自然の中に溶け込むようなデザインが施されている。

本文

ドミニク・シュタイナーはベルリンの研究室で、論理的な一連の方程式を前にしていた。彼は数学が絶対的な真理を解き明かすものであり、そこには一切の曖昧さが許されないと信じていた。数式は純粋であり、その解は厳密でなければならない。

その日、彼のデスクに届いた論文は、アレクサンドラ・イワノフからのものだった。彼女はロシアの数学者で、非線形ダイナミクスを用いた社会変革のモデルを研究している。ドミニクはその論文に目を通し、数式の整合性や論理性を冷静に評価した。

パリでの国際数学会議で、ドミニクは自身の研究成果を発表した。壇上に立ち、彼は無駄のない言葉で論理の精緻さを示す数式の力を説明した。彼の発表は冷静であり、数学的な厳密さに基づいていた。聴衆は静かに耳を傾け、数学の普遍性に魅了されているようだった。

発表が終わると、アレクサンドラ・イワノフが手を挙げた。彼女は冷静に質問を始めた。

「シュタイナー教授、あなたの理論は数理的に整合していますが、社会の複雑な相互作用を完全に捉えているでしょうか？非線形ダイナミクスを適用することで、社会変革の予測可能性が高まると考えられませんか？」

ドミニクは一瞬考え、冷静に答えた。

「イワノフ教授、非線形方程式は確かに複雑系の挙動を捉えるには有効かもしれませんが、その安定性が保証されていない場合、結果は信頼できません。数学の役割は、ランダム性を排除し、真理を探求することです。過剰に変数を導入することで、モデルの頑健性が失われるリスクがあります。」

アレクサンドラは再び問いかけた。

「そのリスクは承知していますが、社会変革は非線形な過程であり、そこにこそ数学の力を発揮する余地があると考えます。複雑系の理論に基づくシミュレーションによって、より現実に即したモデルが構築できるのではないでしょうか？」

ドミニクは彼女の意見に静かに耳を傾けた後、言葉を選びながら答えた。

「社会変革が非線形であるという見解は理解できますが、モデルの複雑性を高めることが必ずしも精度の向上を意味するわけではありません。安定した予測を行うためには、シンプルで確定的なモデルが必要です。」

その時、ケンジ・タカハシがゆったりと発言した。

「シュタイナー教授、イワノフ教授、両方のアプローチにはそれぞれの強みがありますが、私は数学的美学の観点から異なる提案をさせていただきます。リーマン幾何や複素解析の観点から、数式が持つ内在的な対称性やエレガンスは、解が収束するかどうかの指標となる可能性があります。特に、複素平面上での調和関数の性質を用いることで、社会変革のような複雑なシステムでも、特定のパターンや法則が見出せるかもしれません。」

ドミニクはケンジの言葉に耳を傾けた。

「タカハシ教授、あなたの視点は興味深いものです。調和関数の性質が社会変革にどのように適用できるのか、具体的な数理モデルを提示していただけますか？」

ケンジはうなずき、淡々と答えた。

「例えば、調和関数を用いたポテンシャル理論に基づくモデルは、複雑系の中でも安定した解を導き出せる可能性があります。リーマン面上での解析を通じて、社会的変革の潜在的なエネルギーを視覚化し、それがどのように発展するかを追跡することができます。エネルギーの収束点が見えるなら、それが社会の安定点を示すかもしれません。」