■[経済メモ] 貨幣発行の無効性の証明

貨幣の中立性と超中立性の理論

貨幣の中立性と超中立性の概念を用いて、貨幣発行の効果を厳密に分析する。

貨幣の中立性

長期的には、貨幣供給量の変化は実質変数に影響を与えないという仮説である。

定義：∀x ∈ X, f(λM, x) = λf(M, x)

ここで、

• X: 実質変数の集合
• M: 名目貨幣供給量
• λ: スカラー（λ > 0）
• f: 経済システムの関数

貨幣の超中立性

貨幣供給量の成長率の変化も実質変数に影響を与えないという、より強い仮説である。

定義：∀x ∈ X, g(μ, x) = g(μ', x)

ここで、

• μ, μ': 異なる貨幣供給量成長率
• g: 経済システムの定常状態を表す関数

動学的一般均衡モデル

より厳密な分析のため、動学的一般均衡モデルを考える。

代表的家計の効用最大化問題：

max E₀[Σ₍ₜ₌₀∞) βᵗU(cₜ, mₜ/pₜ)]

制約条件：cₜ + mₜ/pₜ + bₜ/pₜ = yₜ + (mₜ₋₁ + Rₜ₋₁bₜ₋₁)/pₜ + τₜ

ここで、

• β: 割引因子
• cₜ: t期の消費
• mₜ: t期末の名目貨幣保有量
• pₜ: t期の物価水準
• bₜ: t期末の債券保有量
• yₜ: t期の所得
• Rₜ: 名目利子率
• τₜ: 一括税（または移転）

貨幣発行のインパクト：理論的分析

1. フィッシャー方程式：

i = r + π

ここで、i は名目利子率、r は実質利子率、π はインフレ率である。

2. 貨幣需要関数（Cagan型）：

ln(Mᵈ/P) = α - βi + γy

ここで、Mᵈ は貨幣需要、P は物価水準、y は実質所得である。

3. 貨幣市場均衡条件：

Mˢ = Mᵈ

4. 貨幣成長率とインフレ率の関係（長期均衡）：

μ = π

ここで、μ は貨幣供給量の成長率である。

これらの方程式系から、貨幣供給量の増加が長期的にはインフレーションに直結し、実質変数に影響を与えないことが導出される。

数学的証明：貨幣発行の無効性

仮定：

1. 貨幣の中立性が成立

2. 合理的期待形成

証明：

Let M₀ be the initial money supply and M₁ = λM₀ (λ > 1) be the new money supply after monetary expansion.

Step 1: By monetary neutrality, ∀x ∈ X, f(λM₀, x) = λf(M₀, x)

Step 2: Let P₀ and P₁ be the price levels corresponding to M₀ and M₁ respectively.

Step 3: In equilibrium, M₀/P₀ = M₁/P₁ (real money balances remain constant)

Step 4: Substituting M₁ = λM₀, we get: M₀/P₀ = λM₀/P₁

⇒ P₁ = λP₀

Step 5: For any real variable x, its nominal value at t=1 is P₁x = λP₀x

Conclusion: The monetary expansion leads to a proportional increase in all nominal variables, leaving real variables unchanged. ∎

この証明は、単純な貨幣発行が実質的な経済問題を解決しないことを数学的に示している。

Permalink | 記事への反応(1) | 09:30

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